III-6. Solución de Kozeny para la línea de corriente superior en una presa de tierra. α = 180°.

Esta curva se presenta en la línea superior de corriente (LSC) cuando se tiene un

filtro horizontal.

En 1931 Kozeny analizó rigurosamente este problema, llegando a una solución en que las familias de las líneas de flujo y las equipotenciales son dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)

[Lugar Geométrico de los puntos queequidistan de un punto fijo llamado foco( Punto A) y una recta llamada directriz(Línea CD)]

Consideramos

Sustituyendo y elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:

Haciendo referencia a los Ejes X - Y de la figura y de acuerdo con definición de parábola se observa que si:

Parábola básica y dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)

despejando x:Esta ecuación representa

la parábola de Kozeny.

Yo es la ordenada en el origen de coordenadas de la línea de corriente superior

Parábola básica y dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)

M

Usando nueva mente la definición de parábola se tiene que:

Donde: d y h son la abscisa y la ordenada respectivamente del extremo de la parábola.

Pero se tiene que:

Remplazando tenemos:

En la solución se supone otra vez un punto conocido M de coordenadas d y h con el cual se pueden encontrar las distancias:

𝒂𝟎 y 𝒚𝟎

𝐚𝟎 =𝐲𝟎𝟐=𝟏

𝟐( 𝒅𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝒅)

La relación entre a0 y y0 que se anotoanteriormente corresponde a unaconocida propiedad de la parábola;también es propiedad de esta cónica eneste caso que su inclinación sobre el

origen (x = 0 , y = y0 ) es a 45°.

M

Tomando la pendiente de la línea de corriente superior cuando x = 0, es igual a la unidad (la tangente en este punto forma 45° con respecto a la horizontal) y que i (gradiente hidráulico) = 1.

De acuerdo a Dupuit resulta que el gasto por unidad de ancho, de acuerdo con la solución de Kozeny, es igual a:

En esta solución también el gasto a través de la presa, por unidad de ancho está dado por:

𝐪 = 𝐤 𝟐𝐚𝟎 = 𝒌 𝐲𝟎

En la solución de Kozeny, por lo tanto, a línea de corriente superior es una parábola que pasa por M y tiene su foco en A.

La parábola de Kozeny ha sido denominada frecuentemente la Parábola Básica.

M

Conclusión:

Filtro Horizontalα = 180°

Kozeny

𝒙 =𝒚𝟐−𝒚𝟎

𝟐

𝟐𝒚𝟎

𝒂𝟎 =𝒚𝟎𝟐

=𝟏

𝟐𝒅𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝒅

𝒒 = 𝟐 𝒌 𝒂𝟎 = 𝒌 𝒚𝟎

SOLUCION DE A. CAZAGRANDE PARA LA LINEA DE CORRIENTE SUPERIOR EN UNA PRESA DE TIERRA 60ᵒ < α < 180ᵒ

A. Cazagrande extendió la solución rigurosa de Kozeny de manera de llegar asoluciones aproximadas, pero de alto valor practico útiles para los casos enque el ángulo α tiene valores comprendidos entre 60ᵒ < α < 180ᵒ

Adoptar como primera aproximación para la forma de la línea de corrientesuperior la parábola básica de Kozeny .

Corregir tanto la entrada como la salida de la tangente al talud aguasabajo a fin de lograr que la línea que se traza satisfaga ambas condiciones

• Forma de trazar una parábola, suficientemente aproximada a la parábolade Kozeny

• 60ᵒ < α < 180ᵒ• Se traza la parábola básica con foco en A• La posición de a0 se determina con la formula• Determinación previa del punto M siguiendo la regla conocida

• Luego del trazado de la parábola, debemos ubicar el punto 4

• Debemos notar que a medida que decrece cuando el ángulo aumenta

Procedimiento grafico para obtener el punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo (B), cuando se tiene: α < 90°

𝑎0 =𝑦02= 1 2 𝑑2 + ℎ2 − 𝑑

Procedimiento grafico para obtener el punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo (B), cuando se tiene: α > 90°

𝑎0 =𝑦02= 1 2 𝑑2 + ℎ2 − 𝑑

• Utilizando la solución de A. Casagrande : se puede obtener el gastodirectamente de la red de flujo trazada a partir de la línea de corriente superior.

• El factor de forma es dado por la relación nf/ne , el ne es diferente si las caídasde potencias se encuentran sobre la línea de corriente superior o sobre lasuperficie impermeable horizontal ( frontera inferior de la región de flujo

• También se puede escribir :

• El gasto puede calcularse en cualquier franja parcial de la región de flujocomprendida entre dos equipotenciales sucesivas, la línea de corrientesuperior y la frontera impermeable, q es el mismo en cualquiera de esasfranjas.

• Ecuación general, usando toda la red, h es la perdida total de carga y el neserá el numero de veces que cabe ∆h en h ( el numero de caídas depotencial de la red contadas sobre la superficie impermeable horizontal

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