PANDEO DE CILINDROS - Calculo Estructural II (IM-IME)€¦ · para varios tipos de carga (axial,...

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Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 125 Capítulo 7 PANDEO DE CILINDROS 1 ECUACIONES PARA CILINDROS DELGADOS El análisis de un cilindro delgado en compresión se inicia definiendo dos coordenadas curvilíneas ortogonales ( x, θ ) sobre la superficie media del sistema indeformado y una tercera coordenada ( z ) en dirección perpendicular a las dos anteriores, según se muestra en la Figura 1-a. Los desplazamientos también están indicados en la Figura 1-a y se denotan u, v y w. Nos concentraremos en el análisis de la estabilidad de cilindros delgados, por ser estos muy empleados en aplicaciones prácticas. a) Coordenadas y desplazamientos b) Esfuerzos resultantes sobre un elemento de cilindro Figura 1: Convención de signos para las coordenadas cilíndricas, los desplazamientos y los esfuerzos resultantes sobre un elemento de cilindro Los esfuerzos resultantes y las ecuaciones constitutivas se definen de manera similar al caso de placas, según se indica en la Figura 1-b. Notar que a diferencia del caso de la placa, aquí el sentido positivo del eje z es hacia arriba. Para deducir las relaciones cinemáticas se adopta la hipótesis de Kirchhoff donde se asume que: las rectas normales al cilindro medio indeformado permanecen rectas y son normales al cilindro medio deformado”. Además, se desprecian las tensiones normales en los planos paralelos al cilindro medio. Planteando el equilibrio de fuerzas (tres ecuaciones) y de momentos (dos ecuaciones), todo en el sistema deformado, se obtienen ecuaciones similares a (15) hasta (19) del Capítulo 6 para el caso de placas. También aquí es posible eliminar los cortes, x Q y Q θ , obteniendo ecuaciones similares a las (24) a (26) del Capítulo 6: 0 x x N N r x + = θ θ (1)-a 0 x N N r x + = θ θ θ (1)-b 2 2 2 4 2 2 2 2 x x N N w w w N N D w p x r x r r + + + + = θ θ θ θ θ (1)-c donde r es el radio medio del cilindro, w es el desplazamiento transversal. Los esfuerzos membranales N x , N θ , N , y la presión p están indicados en la Figura 1-b, 4 es el bilaplaciano en coordenadas cilíndricas, mientras que D es la rigidez flexional, definida en la ecuación (32) del Capítulo 4: ( ) 4 4 4 2 4 2 4 2 2 2 4 4 2 1 x r x r θ θ = = + + 3 2 12 1 ( ) Eh D = ν (2) Las ecuaciones (1) relacionan los desplazamientos transversales con los esfuerzos membranales y la carga transversal y son conocidas como las ecuaciones de Donnell .

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    125

    Captulo 7

    PANDEO DE CILINDROS 1 ECUACIONES PARA CILINDROS DELGADOS

    El anlisis de un cilindro delgado en compresin se inicia definiendo dos coordenadas curvilneas ortogonales ( x, ) sobre la superficie media del sistema indeformado y una tercera coordenada (z) en direccin perpendicular a las dos anteriores, segn se muestra en la Figura 1-a. Los desplazamientos tambin estn indicados en la Figura 1-a y se denotan u, v y w.

    Nos concentraremos en el anlisis de la estabilidad de cilindros delgados, por ser estos muy empleados en aplicaciones prcticas.

    a) Coordenadas y desplazamientos b) Esfuerzos resultantes sobre un elemento de cilindro

    Figura 1: Convencin de signos para las coordenadas cilndricas, los desplazamientos y los esfuerzos resultantes sobre un elemento de cilindro

    Los esfuerzos resultantes y las ecuaciones constitutivas se definen de manera similar al caso de placas, segn se indica en la Figura 1-b. Notar que a diferencia del caso de la placa, aqu el sentido positivo del eje z es hacia arriba.

    Para deducir las relaciones cinemticas se adopta la hiptesis de Kirchhoff donde se asume que: las rectas normales al cilindro medio indeformado permanecen rectas y son normales al cilindro medio deformado.

    Adems, se desprecian las tensiones normales en los planos paralelos al cilindro medio. Planteando el equilibrio de fuerzas (tres ecuaciones) y de momentos (dos ecuaciones), todo

    en el sistema deformado, se obtienen ecuaciones similares a (15) hasta (19) del Captulo 6 para el caso de placas. Tambin aqu es posible eliminar los cortes, xQ y Q , obteniendo ecuaciones similares a las (24) a (26) del Captulo 6:

    0x xN Nrx

    + =

    (1)-a

    0xN Nrx

    + =

    (1)-b

    2 2 2

    42 2 2

    2x x

    N Nw w wN N D w px r x r r

    + + + + =

    (1)-c

    donde r es el radio medio del cilindro, w es el desplazamiento transversal. Los esfuerzos membranales Nx, N, Nx, y la presin p estn indicados en la Figura 1-b,

    4 es el bilaplaciano en coordenadas cilndricas, mientras que D es la rigidez flexional, definida en la ecuacin (32) del Captulo 4:

    ( )4 4 424 2

    4 2 2 2 4 4

    2 1x r x r

    = = + +

    3

    212 1( )E hD =

    (2)

    Las ecuaciones (1) relacionan los desplazamientos transversales con los esfuerzos membranales y la carga transversal y son conocidas como las ecuaciones de Donnell.

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    Notar que en el caso lineal de flexin se desprecia el corchete en (1)-c porque se considera que los cambios de curvatura son pequeos. Sin embargo, la contribucin membranal asociada a la curvatura propia del cilindro mantiene acoplado el sistema (1) a travs de (N /r) en (1)-c.

    Las ecuaciones lineales membranales se obtienen haciendo w = 0 :

    0 0 0x x xN N N Nr r N p rx x

    + = + = =

    (3)

    2 CARGAS CRTICAS PARA CILINDROS DELGADOS Las cargas crticas para distintos tipos de carga se pueden obtener haciendo un anlisis de

    bifurcacin del equilibrio similar al realizado en el Captulo 6 referido a pandeo de placas. Los despla-zamientos se pueden escribir como en el caso de placas,

    1, 2, 3i i iu u u i= + =0 1 (4)

    donde: iu0 corresponde a un estado de equilibrio antes del incremento o perturbacin, y est sobre la

    trayectoria principal, que es lineal; iu1 son perturbaciones infinitamente pequeas y iu representa a

    un estado de equilibrio adyacente, cuya existencia se investiga. Repitiendo una formulacin similar a la usada en el caso de placas, se obtienen ecuaciones

    equivalentes a las (29) del Captulo 6 referido a pandeo de placas:

    3 3

    43 3 2

    1w wur x r x

    = +

    1 11 (5)-a

    3 3

    42 2 4 3

    2 1w wvr x r +

    =

    11 1

    (5)-b

    2 2 2 2 4

    8 42 2 2 2 4

    2 1x x

    Nw w w wD w N N Cx r x r r x

    + = + +

    01 1 1 11 0 0

    (5)-c

    donde 8 es el cuadrilaplaciado 8 4 2( ) = y 2/ (1 )C E h = es la rigidez membranal definida en la ecuacin (27) del Captulo 4. Las ecuaciones (5) se conocen como las ecuaciones de estabilidad de Donnell en forma desacoplada. Notar que , yu v w1 1 1 son perturbaciones que se agregan al estado de equilibrio , yu v w0 0 0 , y los esfuerzos membranales , y x xN N N

    0 0 0 corresponden al estado de equilibrio fundamental , yu v w0 0 0 .

    A continuacin se presentan soluciones clsicas del problema de bifurcacin del equilibrio, para varios tipos de carga (axial, lateral y presin hidrosttica).

    2.1 Carga axial y bordes simplemente apoyados En la Figura 2 se muestra un cilindro de largo , radio r y espesor h, que soporta una carga axial

    de compresin P. La trayectoria fundamental es aproximada por una solucin membranal:

    2; 0x x x

    PN h N Nr

    = = = =0 0 0 (6)

    y las condiciones para bordes apoyados son: 2

    20 ; 0ww

    x

    = =

    11 en x = 0 y en x = (7)

    Figura 2: Formas de pandeo de un cilindro con carga axial: m semiondas axiales y n ondas circunferenciales

    La solucin es de la forma: ( )sen ( ) sen /mnw A n m x r=1 (8) donde: Amn es una constante, m y n son enteros y ( )m m r= . Notar que se propone un nmero entero de ondulaciones: m semiondas en sentido axial y n ondas en sentido circunferencial. En la Figura 2 se observan cuatro semiondas en sentido axial (m = 4) y tres ondas completas en sentido

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    circunferencial (n = 3). De esa manera se satisfacen las condiciones de apoyo que permiten el giro pero no el desplazamiento transversal en x = 0 y en x = , y la continuidad del desplazamiento transversal y su derivada en = 2.

    Reemplazando (8) y (6) en (5)-c se obtiene un problema de autovalores. Interesa el valor propio P que permita obtener un valor no trivial para Amn:

    ( ) ( )22 2

    22 212

    1 donde m nP Dx C x

    r r x m

    += + = (9)

    Notar que x es una variable que toma valores discretos en funcin de los enteros n y m. Los valores de m y n que producen el menor valor de P se deben encontrar por tanteos. Para cilindros de longitud intermedia, se puede obtener una buena aproximacin minimizando (9) en forma analtica respecto a la variable x, esto se hace igualando a cero la derivada de P respecto de x:

    ( )212 10 crtdP rxdx h= = (10) valor que llevado a (9) permite escribir:

    ( )23 1

    crtE r

    h

    =

    (11)

    Para 0,3 = se obtiene la frmula clsica de la tensin crtica:

    0,605crithEr

    = (12)

    La minimizacin analtica que condujo a la frmula clsica no es vlida para cilindros muy cortos. Como el largo del cilindro no figura en la ecuacin (12), resulta conveniente tenerlo en cuenta definiendo la variable adimensional Z conocida como parmetro de Batdorf,

    parmetro de Batdorf 2

    21Zr h

    = (13)

    Notar que el parmetro adimensional de Batdorf ( Z ) depende fundamentalmente de las variables geomtricas que definen al cilindro: el largo , el radio r y el espesor h.

    Introduciendo el valor de Z dado en (13) y el valor de la rigidez flexional 3 212 1[ ( )]D Eh = / dado en (2), podemos reescribir la frmula clsica (12) como sigue:

    ( )2 2

    2 2212

    30,702crit crit

    D DZ Zhh

    = =

    (14)

    Definiendo el parmetro adimensional *aK , la ecuacin (14) puede escribirse como:

    2

    2* * siendo 0,702crit a a

    D K K Zh

    = =

    (15)

    Notar que a pesar de su aspecto diferente, las ecuaciones (14) y (15) proveen el mismo resultado que la frmula clsica (12).

    La minimizacin analtica que condujo a las ecuaciones (12), (14) y (15) no es vlida para cilindros muy cortos, esto ocurre cuando:

    Z 2,85< no es vlida ni (12) ni (14) ni (15) (16)

    en tales casos se debe utilizar (9) y tanteos. Este procedimiento es vlido para cualquier longitud y sus resultados estn graficados en la Figura 3.

    2,85Z < se debe utilizar (9) y tanteos para obtener crit (17)

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    Con los resultados del procedimiento basado en encontrar el mnimo de la ecuacin (9) por tanteos, en la Figura 3 se ha graficado el coeficiente Ka para ser usado como sigue:

    2

    2crit aD Kh

    =

    *cilindros no muy cortos Z 2,85... ...... 0,702

    cilindros muy cortos 2,85... ...... de la Figura 3

    a

    a

    aK K Z

    Z K

    > = =

    (18)

    Figura 3: Grfico del coeficiente Ka para calcular crt en funcin del parmetro de Batdorf

    Es importante tener presente que en el caso de un cilindro sometido a carga axial, para que la tensin crtica dada por (12) sea menor que la tensin de fluencia se requiere que la relacin h/r sea extremadamente pequea y esa situacin generalmente no se da. Por otro lado para que Z sea menor que 2,85 el largo del cilindro debe ser nfimo y esa situacin generalmente tampoco se da. Para ganar sentido fsico consideramos, a modo de ejemplo, un cilindro de gran dimetro, pequeo espesor y extremadamente corto: dimetro 3 m, espesor 3 mm, largo 12 cm (!!), material acero ( E = 2100000 kg/cm2 , = 0,3 y f = 2800 kg/cm

    2 ).

    { }150 0,3 12r h= = =

    (12)

    (13)

    2541

    3,05 2,85

    crt f

    Z

    = (19)

    En conclusin, podemos asegurar que el caso presentado en la ecuacin (17) es slo una curiosidad matemtica de muy poca aplicacin prctica.

    Finalizamos esta seccin recordando que los cilindros muy esbeltos pueden pandear como columna, por lo cual se los debe verificar como tales.

    2.2 Presin lateral y bordes simplemente apoyados Generalmente la carga lateral se debe a la presin de un fluido (o vaco interior), por lo que la

    carga es siempre perpendicular la superficie deformada. No obstante, en el anlisis de bifurcacin que se realiza a continuacin (siguiendo a Donnell) se considera que p es siempre radial, es decir

    perpendicular al cilindro no deformado, ver Figura 4.

    Ignorando el efecto de flexin cerca de los bordes, se puede aceptar una solucin membranal ( constantew =0 ) que simplifica el anlisis:

    0 0x xN N h p r N = = = =0 0 0 (20)

    Figura 4: Cilindro con presin lateral uniforme

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    Introduciendo (20) en (5)-c:

    2 4 2

    8 42 4 2

    1 1 0w wD w C pr x r+

    + + =

    1 11

    (21)

    y considerando bordes simplemente apoyados:

    2

    20 0wwx

    = =

    11 en x = 0 y en x = (22)

    la solucin tiene la forma ( )sen ( ) sen /mnw A n m x r=1 (23) donde: Amn es una constante, m m r= y m y n son enteros (m semiondas y n ondas completas).

    Introduciendo (23) en (21), se llega a un problema de valores propios. Para obtener un valor no trivial de Amn debe ser:

    ( )

    ( )

    22 2 42

    22 2 2 2 21( )

    m n D mp r Cm r n m n

    += +

    + (24)

    donde se verifica que el mnimo para la presin p, corresponde al menor valor de m , cuando m = 1. Definiendo los siguientes parmetros adimensionales:

    2

    2

    rp pD

    = (25)-a n n

    r= (25)-b (25)

    y utilizando el parmetro de Batdorf dado en (13), se puede reescribir (24) como:

    ( )

    ( )

    222

    22 42 2

    1 121

    1

    np Z

    n n n +

    = ++

    (26)

    donde el n que produce el menor valor de la presin adimensional, crtp , se puede encontrar por tanteos. Llevando ese valor mnimo adimensional, crtp , a (25)-a se obtiene la presin crtica:

    2

    2crt crtDp pr

    =

    (27)

    Como se muestra a continuacin los tanteos pueden evitarse si se divide a los cilindros en dos grupos segn su largo: cilindros largos y cilindros no largos.

    2.2.1 Cilindros no largos ( < 2 ) El valor de a partir del cual un cilindro se considera largo, denominado 2, se deduce ms

    adelante y est dado en (33). En el caso de cilindros no largos, se puede considerar a la variable discreta n (que segn (25)-b depende del entero n) como si fuera continua para minimizar analti-camente la presin adimensional p dada en (26), obtenindose el resultado graficado en lnea continua en la Figura 5.

    Figura 5: Grfico de la presin lateral crtica adimensional crtp en funcin del parmetro de Batdorf

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    En la Figura 5 se observa que la presin crtica adimensional se puede aproximar haciendo:

    crtp Z= (27) 2

    2crtDp Zr

    =

    (28)

    ya que usando escalas logartmicas se trata de una recta de pendiente indicada en lnea de trazos. Reemplazando en (28) los valores de Z dado en (13) y D dado en (2) se obtiene la expresin de la presin crtica para cilindros no largos simplemente apoyados y con presin lateral:

    cilindros no largos ( < 2 ) 2

    2,5

    0,750,822

    1( )critE h rp

    r =

    (29)

    2.2.2 Cilindros largos ( > 2 ) Para cilindros largos, n resulta pequeo y n no puede tratarse como una variable continua, la

    forma de pandeo corresponde a n = 2 (dos ondas completas) y la presin crtica es independiente de . En tales casos siendo r h , por (33) r . Haciendo n = 2 en (25)-b resulta que 1n y por lo tanto aplicando (26) se obtiene:

    2 2

    2 2 22 2 2 2 4 2

    1 12 11lim Z lim1

    ( )( )n n

    np n nn n n n

    + + + = + (25)-b

    22

    crtp r =

    (30)

    Llevando el valor aproximado de crtp dado en (30) a la ecuacin (27) se obtiene:

    3

    2

    0,333

    1crit

    hp Er

    =

    (31)

    En la Figura 6, se comparan los resultados provistos por las ecuaciones de Donnell para carga uniforme, actuando en la direccin radial, con resultados de la teora exacta de cscaras, con carga actuando en direccin perpendicular a la superficie deformada. Para cilindros largos, las diferencias son significativas, la teora exacta predice el 80 % del valor provisto por (31), por ello adoptamos:

    cilindros largos ( > 2 ) 3

    2

    0, 267

    1crit

    hp Er

    =

    (32)

    En cambio para cilindros no largos, ambas teoras (ecuaciones de Donnell y teora de cscaras) coinciden, por ello conservamos (29).

    Figura 6: Presin lateral crtica Comparacin entre la solucin exacta y la teora de Donnell

    2 ondas n = 2

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    2.2.3 Deduccin de 2 La longitud que permite considerar al cilindro como largo, que llamaremos 2 , se puede

    determinar igualando la solucin para la presin crtica para cilindros largos dada en (32) con la correspondiente a cilindros no largos dada en (29) y resulta:

    2 3 r r h / (33)

    2.3 Carga combinada (axial y lateral ) En el caso de carga combinada (axial y lateral ) indicado en la Figura 7, aceptando una

    solucin membranal para la trayectoria fundamental,

    02x x x

    PN h N h p r Nr

    = = = = =0 0 0 (34)

    se puede obtener el valor crtico de p minimizando (35)

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    42 2 4 22

    22 2 2 2

    1Dm n m Crp

    m n n R m

    + + =

    + +

    (35)

    donde: R es un parmetro adimensional que relaciona las cargas. 2/(2 )R P r p= (36)

    Figura 7: Cilindro con carga axial P y presin lateral p

    Para cilindros de longitud intermedia, se obtienen grficos de interaccin como los de la Figura 8, donde cx y c son las soluciones clsicas para las tensiones crticas de pandeo para carga

    axial y presin lateral respectivamente dadas por (11) y (29):

    (11) 213 ( )

    xcE h

    r

    =

    (37)

    (29) crt crtrph

    = 2

    1,5

    0,750,822

    1( )cE h r

    r

    =

    (38)

    Figura 8: Grfico de interaccin x y

    La Figura 9 muestra la presin crtica para el caso de presin axial, presin lateral y el efecto combinado en un cilindro sometido a presin hidrosttica. En el caso de presin hidrosttica predomina el efecto axial en los cilindros cortos, mientras que en los cilindros largos predomina el efecto lateral.

    Figura 9: Grficos de presiones crticas adimensionales crtp en cilindros en funcin del parmetro de Batdorf

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    3 PANDEO DE CILINDROS REALES En la Figura 10-a, se muestran en lnea llena, las trayectorias de equilibrio (fundamental y secundaria) para el desplazamiento axial de un punto del borde de un cilindro perfecto sometido a una carga axial P. En lneas de trazos se graficaron las trayectorias de equilibrio para el caso de dos cilindros reales similares al ideal pero con imperfecciones.

    a) Carga axial b) Presin lateral

    Figura 10: Diferente comportamiento de un cilindro ideal y uno real ( imperfecto)

    Observando la Figura 10-a, se deducen tres caractersticas muy importantes: a) La carga crtica representa la mxima carga portante del cilindro ideal. b) La carga de pandeo de la cscara real ( imperfecta) puede ser sustancialmente menor que la

    carga crtica de bifurcacin de la cscara ideal (perfecta ). c) Las cargas de pandeo de cscaras nominalmente iguales pueden variar bastante debido a

    pequesimas e involuntarias imperfecciones.

    En la Figura 10-b se han representado las trayectorias de equilibrio de un cilindro con carga lateral, correspondientes al desplazamiento transversal de un punto alejado del borde del cilindro. All tambin se ve la influencia importante de las imperfecciones sobre las trayectorias.

    En la Figura 11 se presentan valores experimentales para carga axial, para el caso de bordes empotrados. En ella se observan discrepancias enormes entre los valores tericos y los experimen-tales, que se disimulan un tanto por la escala logartmica usada. Por ejemplo, para Z = 1000, los valores experimentales ms bajos son del orden del 20% del valor terico (146 / 700 0,2 ).

    Se debe destacar que el grafico de la Figura 11, corresponde al caso de carga axial, donde se presentan las mayores diferencias entre el caso real y el ideal. En menor medida, estas diferencias ocurren en los otros tipos de carga.

    Figura 11: Grfico del coeficiente Ka para calcular crt en funcin del parmetro de Batdorf

    Valores experimentales y comparacin cilindro ideal vs. cilindro real

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    En la Figura 12-a se presentan resultados para presin lateral y en la Figura 12-b resultados para presin hidrosttica (cilindro sumergido en un fluido); en ambos casos se observa que las discrepancias son menores que en el caso de carga axial.

    Figura 12: Valores tericos y experimentales de presiones crticas

    Debido a estas caractersticas, el diseo de las cascaras se debe basar en los resultados tericos afectados de un factor de reduccin Kr que depende del tipo de carga.

    Como un ejemplo de la obtencin de factores de reduccin, se presenta la Figura 13. En ella se observa que los cilindros ms delgados son ms sensibles a las imperfecciones. En lnea llena se traz la curva del 90 % de probabilidad, que significa que el 90% de las cscaras de las mismas caractersticas nominales admiten cargas superiores a la de diseo. Este grafico corresponde al caso de carga axial y la tensin crtica se ha normalizado respecto al valor terico provisto por (12). Lamentablemente no se inform sobre el largo de las probetas utilizadas.

    Figura 13: Factor de reduccin Kr correspondiente a carga axial

    4 LMITES INFERIORES La diferencia entre los resultados tericos y los experimentales hace que el diseo de una

    estructura, cuya seguridad depende de la estabilidad de una cscara, no se pueda basar en las cargas clsicas de la bifurcacin. El comportamiento poscrtico permite explicar y estimar las cargas de pandeo que se aproximan a las experimentales. Sin embargo, la evaluacin de la trayectoria poscrtica requiere tcnicas sofisticadas, como ser el mtodo de elementos finitos para anlisis no lineal, y an en el caso de poseer tal herramienta, el clculo resulta muy engorroso. En la primera etapa del clculo resulta imprescindible poder estimar las cargas de pandeo seguras para predimen-sionar la geometra y en todo caso dejar para la verificacin final el uso de elementos finitos.

    La obtencin de lmites inferiores ha sido un objetivo buscado por mucho tiempo. En esta seccin se presentan los resultados que se obtienen empleando el concepto de rigidez reducida desarrollado inicialmente por J. Croll.

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    4.1 Lmite inferior para carga axial Las componentes no lineales en el sentido radial dependen de las deformaciones precrticas y

    son altamente estabilizantes, pero en el caso de existir imperfecciones, la rigidez decrece notablemente. Por ello, Croll y Batista han propuesto un modelo que desprecia desde el principio dicha contribucin estabilizante y se llega a:

    ( )22 2 2 2 2 2

    2 2

    ( ) / /6 2(1 ) /( )(2 )infx

    n h r nE

    n+ + +

    = +

    donde: ( )2r = (39)

    y n debe elegirse por tanteos de modo de lograr el valor mnimo de infx . Hay que destacar que las cargas provistas por (39) constituyen un lmite inferior de los resultados experimentales.

    4.2 Lmite inferior para presin lateral En este caso todas las componentes no lineales membranales y flexionales son desestabi-

    lizantes. Las imperfecciones disminuyen la componente lineal membranal en el sentido axial. Utilizando un modelo de rigidez reducida en el que se desprecia la contribucin de la rigidez membranal, tanto axial como radial, se llega a una expresin simplificada de la carga de pandeo. Para cilindros de longitud intermedia (no largos) y bordes simplemente apoyados, se tiene:

    2

    1,5

    0,753 0,8224 1( )inf

    E h rr

    =

    (40)

    Comparando (40) con (29), se observa que el lmite inferior es un 75% del valor clsico de la carga de pandeo.

    5 CRITERIOS DE DISEO El diseo se debe basar en las cargas clsicas de bifurcacin modificadas para tener en cuenta

    el efecto de las imperfecciones. Esto ltimo, es especialmente importante en el caso de carga axial de compresin.

    5.1 Carga axial de compresin El valor de la tensin axial provocada por la carga axial P sobre el cilindro bosquejado en la

    Figura 14 est dada en (41), mientras que el coeficiente de seguridad CS est dado en (42):

    2xPr h

    = (41)

    menor , ,xf ESx x x

    cC

    =

    (42)

    Figura 14: Cilindro real con carga axial

    donde: P : carga total r : radio medio h : espesor : distancia entre apoyos f : tensin de fluencia en compresin C x : tensin crtica de pandeo de cscara, incluyendo imperfecciones E : tensin crtica de pandeo como columna (Euler )

    El valor de tensin crtica de pandeo como columna (Euler ) E depende del tipo de apoyo:

    2 2

    2 22

    ( / ) bordes apoyados

    ( / ) bordes empotradosE

    E r

    E r

    =

    (43)

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    135

    5.1.1 Coeficiente de reduccin para la tensin crtica c basado en la Figura 13

    El valor de la tensin crtica de pandeo de cilindro xc se puede obtener a partir de la curva de diseo de la Figura 13, donde lamentablemente no se da informacin sobre el largo de las probetas:

    ,1 ,11,25

    0,25

    0,605 ( / )0,605

    ( / )crit

    x crit xc cE h r hK E

    rK h r

    = = = = 1

    1r

    r

    (44)

    5.1.2 Coeficiente de reduccin para la tensin crtica c basado en la Figura 11

    Otro coeficiente emprico de reduccin rK se puede obtener de la Figura 11. Hay que distinguir dos casos dependiendo del largo del cilindro.

    Caso Z > 7 Cuando el cilindro es largo ( Z > 7) rK es independiente de las condiciones de borde en

    los extremos del cilindro y se tiene:

    Coeficiente terico: 0,702=aK Z Coeficiente de diseo: 0,740,88=aK Z (45)

    por lo tanto el coeficiente de reduccin 2Kr resulta:

    ( )0,74 0,260,88 0,702 1,254a aK K K Z Z K K Z= = =2 2 2 r r r (46)

    Utilizando el coeficiente de reduccin 2Kr dado en (46) deducido de la Figura 11 se obtiene otra frmula para diseo que tiene en cuenta el largo del cilindro, algo que (44) no considera.

    [ ] [ ],2 ,21,26

    0,260,52 0,74

    0,605 ( / ) 0,605 ( / ) 1,254 0,76x xc chE h r K E h r Z E

    r = = =2 x

    r (47)

    Notar que las frmulas (47) y (44) pueden dar resultados bastante diferentes. El diseador debe ejercer su criterio, una posibilidad es utilizar el valor menor para estar del lado de la seguridad.

    Caso Z < 7 Cuando el cilindro es corto ( Z < 7) rK depende de las condiciones de apoyo en los extremos

    del cilindro y se tiene:

    Bordes apoyados: Para el caso Z < 7 y bordes apoyados, se utiliza la ecuacin (47).

    Bordes empotrados: Observando la Figura 11, para el caso Z < 7 y bordes empotrados se adopta un valor constante e igual a 3,7 para el coeficiente aK .

    2

    ,3 ,3

    2

    23,7 3,34x xc c

    D hEh

    = =

    (48)

    5.2 Presin lateral En la Figura 15 se bosquej un cilindro sometido a presin lateral p. El valor de la tensin

    circunferencial provocada por la presin externa p es:

    rph

    = (49)

    y el coeficiente de seguridad es la menor de las siguientes relaciones:

    menor ,fScC

    =

    (50)

    Figura 15: Cilindro real sometido a presin lateral

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    136

    donde: p: presin externa r: radio medio h: espesor : distancia entre apoyos

    f : tensin de fluencia en compresin

    c : tensin crtica de pandeo de cscara, incluyendo imperfecciones

    2 : longitud que determina el lmite entre cilindros intermedios (no largos) y largos

    La tensin crtica de pandeo c se determina segn la longitud del cilindro:

    Cilindros largos > 2 ( tubos)

    Se aconseja utilizar el 85% del valor dado en (32), por lo tanto:

    2 2

    3 20,227 0,227

    1 1 crit c

    h hp E Er r

    = =

    (51)

    Cilindros intermedios < 2 ( recipientes)

    Segn la Figura 12 no hay mucha diferencia entre los valores tericos exactos, tericos aproximados y experimentales. Utilizaremos el 90 % del valor clsico dado por (29):

    1,5

    2 2

    2,5* *

    0,75 0,75 0,5

    0,74

    1 1

    0,74 ( ) ( )

    crit cE K h r E K hp

    r r

    = =

    (52)

    donde K* se debe utilizar cuando Z < 500 para corregir las discrepancias que se observan en la Figura 5 entre el resultado exacto en lnea llena y la aproximacin ( crtp Z= ) en lnea de trazos.

    2* *4,8 1,81 500 1 1 4Z K K

    Z Z< < = + < < (53)

    En las aplicaciones prcticas K* es prximo a la unidad. Por lo tanto en los casos en que se desconoce alguno de los parmetros que definen Z se puede usar K* = 1 y posteriormente verificar si la aproximacin es correcta, en caso contrario se puede iterar.

    Si al usar (52) se estima K* con un valor de Z superior al real se est del lado de la seguridad.

    Anillos de refuerzo Para dimensionar los anillos de refuerzos de recipientes (Figura 16), se aplica la solucin clsica

    de Levy (54) que determina la tensin crtica de pandeo del anillo crt. Esto permite calcular el momento de inercia requerido Ireq en funcin de la carga distribuida q sobre la circunferencia del anillo.

    Los datos del anillo son: A rea de la seccin resistente, I momento de inercia de la seccin, r radio medio y E mdulo de Young.

    Tensin crtica de pandeo del anillo 23

    crtE I

    r A = (54)

    Tensin de compresin en el anillo q rA

    = (55)

    Igualando la tensin a la tensin crtica permite despejar el Ireq 3

    3reqq rI

    E (56)

    Figura 16: Clculo del anillo de refuerzo usando la ecuacin de Levy

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    137

    5.3 Recipiente sometido a presin exterior En una primera etapa del clculo se ignora el efecto axial. El espesor h de un cilindro como el

    de la Figura 17-a, se puede despejar en la ecuacin (52) para la presin crtica:

    0,41,5

    *1,26 SC ph r L

    E K

    (57)

    donde se consider 0,3 = y un coeficiente de seguridad. Inicialmente se supone K* = 1 y una vez conocido h se

    calcula Z, si resulta menor que 500 se usa (53). Notar que si Z > 500 resulta 1 < K* < 1,01.

    Figura 17: Recipiente con presin exterior (o vaco interior)

    Generalmente, resulta ms econmico adoptar una chapa ms delgada y colocar anillos de refuerzos como en la Figura 17-b.

    El problema se resuelve por tanteos: a) Se adopta un espesor de chapa h1 y se calcula la distancia entre refuerzos, despejando

    la longitud a partir de (52) considerando 0,3 = y un coeficiente de seguridad CS:

    112,5 *

    1,50,794

    S

    h E KC pr

    = (58)

    b) Se calcula el nmero de tramos de modo que sea el entero ms prximo superior a 1L :

    m = entero mayor que 1L nmero de refuerzos = m 1 Si este valor no es satisfactorio porque resultan demasiados refuerzos, se propone un valor mayor para h1 y se emplea nuevamente (58). Este procedimiento se repite hasta obtener valores de h y de que se consideren adecuados.

    c) Por ltimo, se calcula el momento de inercia requerido para cada anillo de refuerzo, segn (56) haciendo :

    ( )3

    3

    SS

    C prq C p IE

    =

    (59)

    Nota 1: Este procedimiento no es vlido cuando la presin proviene de vapor, porque en tal caso se debe tener en cuenta la variacin del mdulo de elasticidad E con la temperatura.

    Nota 2

    : Al aplicar (57) se debe comprobar que el recipiente no fallar por fluencia en compresin, verificando:

    ( )Sf

    C p rh

    (60)

    5.4 Carga combinada (axial y lateral ) En el caso de carga combinada, se calcula crit utilizando (44), (47) (48) segn corresponda

    y critp usando (51), (52) (53) y luego se emplea una curva de interaccin. En la Figura 18, se adopt una curva de interaccin con la forma de una elipse. Se pueden dar tres casos:

    Si x y p varan juntos entonces:

    1SOQCOQ

    = (61)

    Si es fijo y x vara: 2 /SC AQ AQ= (62)

    Si x es fijo y vara: 3 /SC BQ BQ= (63) Figura 18: Curva de interaccin con forma de elipse

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    138

    Trabajando con valores normalizados (adimensionales), la elipse se transforma en un crculo.

    Empleando (61) y observando la Figura 19, resulta obvio que:

    ( ) ( )1/22 2

    1

    / /S

    xc x c

    C

    = +

    (64)

    Figura 19: Curva de interaccin normalizada ( circular)

    En la ecuacin (64):

    xc : se debe calcular para la carga axial actuando sola, utilizando (44) (47) (48).

    Tener en cuenta que no puede superar f en compresin.

    c : se debe calcular para la presin lateral actuando sola, utilizando (51) (52) (53).

    Tener en cuenta que no puede superar f en compresin.

    Para estar del lado de la seguridad, habitualmente se reemplaza la elipse por una recta, como se muestra en la Figura 20 y se llega a una frmula sencilla para el CS:

    *

    *

    = =

    =

    x

    x

    xxc

    c

    AQAQ

    AQ AQ

    * *

    = + = +x

    x

    c c cOQ AQ

    *1SC OQ =

    1

    / /x

    S

    c x c

    C

    =

    + (65)

    Figura 20: Recta de interaccin normalizada

    Tambin se suelen utilizar curvas de interaccin que corresponden a una situacin intermedia entre la recta y la elipse adoptando una poligonal. A modo de ejemplo se puede mencionar el caso de la Figura 8 donde se muestra una poligonal de tres tramos.

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    139

    PRCTICO Pandeo de Cilindros Nota: Todos los datos se dan en unidades [cm] y [kg]

    1 Un recipiente cilndrico de acero de 450 cm de largo y 120 cm de dimetro debe resistir vaco interior a temperatura ambiente con CS 4.

    Material: E = 2100000 kg/cm2 = 0,3 f = 2800 kg/cm2

    a) Determinar el espesor h requerido en el caso de no usar anillos de refuerzo.

    b) Determinar el nmero de tramos y el espaciamiento de los anillos de refuerzo necesarios para poder usar chapa de 4 mm con CS 4.

    2 Con los mismos datos del Problema 1 se pide: a) Disear los anillos de refuerzo necesarios para poder aplicar la solucin b) del problema 1.

    b) Calcular la economa de material de la solucin b) respecto de la solucin a).

    3 Un cilindro delgado de aluminio est cargado axialmente. Datos geomtricos del cilindro:

    h = 1/16 = 0,159 cm r = 40 cm = 100 cm

    Propiedades del material: E = 750000 kg/cm2 = 0,33 f = 2500 kg/cm

    2

    a) Calcular el valor de la carga axial crtica de pandeo.

    b) Determinar el lmite inferior para la carga crtica empleando el mtodo de Croll.

    4 El casco de un submarino de seccin circular de 300 cm de dimetro est rigidizado por cuadernas espaciadas cada 60 cm. Dimensionar el espesor para operar a una profundidad mxima de 120 metros ignorando la presencia de los refuerzos longitudinales.

    Material acero: E = 2100000 kg/cm2

    = 0,3 f = 2800 kg/cm

    2

    a) Determinar el espesor h considerando falla por fluencia y CS 2.

    b) Determinar el espesor h considerando falla por pandeo y CS 4.

    c) Responder las preguntas a) y b) considerando solamente la presin lateral y comentar las diferencias encontradas.

    c) Determinar el coeficiente de seguridad a pandeo usando los lmites inferiores de Croll y el criterio de interaccin lineal si se utiliza el espesor calculado en la parte b). Dar tambin el coeficiente de seguridad a fluencia de Von Mises.

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    140

    SOLUCIN del PRCTICO Pandeo de Cilindros

    Nota: Todos los resultados se dan en [cm] y [kg] 1 Dos propuestas para un recipiente con vaco interior (con y sin refuerzos).

    a) Cilindro sin anillos de refuerzo Comenzamos estimando el espesor necesario considerando slo la presin lateral. Suponemos que el parmetro de Batdorf es mayor que 500 y consideramos K* = 1.

    Ec. (57) 0,4 0,4

    1,5 1,5*

    4 11,26 1,26 60 450 0,762100000 1

    SC ph r LE K

    = =

    xx x x

    x

    Ec. (13) 2

    214500,3 4236

    60 0,76Z = =x

    x >> 500 por lo tanto la suposicin K* = 1 es correcta.

    Adoptamos un espesor comercial algo mayor para tener en cuenta la carga axial ........ 0,8h cm= A continuacin calculamos el coeficiente de seguridad a pandeo usando interaccin lineal.

    Axial: / (2 ) 1 60 (2 0,8) 37,5xpr h = =/x x Circunferencial: / 1 60 0,8 75pr h = =/x

    Ec. (44) ( ) ( )11,25 1,250,605 / 0,605 2100000 0,8/60 5756cx E h r = = =x x ( ignora el largo del cilindro)

    Ec. (47) 21,26 0,52 0,74 1,26 0,52 0,740,76 0,76 2100000 0,8 450 60 2429/ ( )/ ( )cx E h r = = =x x x

    Ec. (39) ( )22 2 2 2 2 2

    2 2

    ( ) / /6 2(1 ) /( )Mn 2186

    (2 ){ }infx n h r n En

    + + +

    = = +

    cuando n = 3

    Consideraremos el valor dado por (47) ........................................................... 22429Cx kg / cm =

    Ec. (52) 1,5 1,5

    2 2

    *

    0,75 0,5 0,75 0,5

    0,74 0,74 2100000 1 0,8 3421 1 0,3 450 60( ) ( )

    C

    E K h

    r

    = = =

    x xx

    x 2342C kg / cm =

    Ec. (65) 1 1 1 4,2675 342 37,5 2429 0,2193 0,0154

    x

    Sc x c

    C

    = = = =

    + + +/ / / / 4,26SC =

    Von Mises Cap. 2 Ec. (32): * 2 237,5 75 37,5 75 65 = + =

    x Falla por fluencia: */ 2800 /65 43S fC = = =

    b) Cilindro con anillos de refuerzo

    b-1) Cantidad de anillos y longitud de los tramos Comenzamos estimando el espaciamiento entre los anillos considerando slo la presin lateral. Estando del lado de la seguridad consideramos K* = 1.

    Ec. (58) 2,5* 2,5 1,5 1,50,794 0,794 2100000 1 0,4 (60 4 1) 90,8( )SE K h r C p = =/ /x x x x x Se adopta un espaciamiento menor para tener en cuenta la carga axial ...................... 75 cm=

    Se colocarn 5 anillos de refuerzo para dividir el largo del cilindro en 6 tramos de 75 cm entre centros.

    b-2) Clculo del CS a pandeo de los tramos del cilindro considerando interaccin lineal

    Axial: / (2 ) 1 60 (2 0,4) 75xpr h = =/x x Circunferencial: / 1 60 0,4 150pr h = =/x

    Ec. (47) 2

    1,26 1,26

    0,52 0,74 0,52 0,740,76 0,76 2100000 0,4 2575

    75 60cxE hr

    = = =x xx

    .................. 22575 /Cx kg cm=

    Ec. (52) 1,5 1,5

    2 2

    *

    0,75 0,5 0,75 0,5

    0,74 0,74 2100000 1 0,4 726,31 1 0,3 75 60( ) ( )

    C

    E K h

    r

    = = =

    x xx

    x 2726,3C kg /cm=

    Ec. (65) 1 1 1 4,24

    / / 150 / 726,3 75/ 2575 0,206 0,029x

    Sc x c

    C

    = = = =

    + + + 4,24SC =

    Von Mises: * 2 275 150 75 150 130 = + =

    x Falla por fluencia: */ 2800 /130 21,5S fC = = =

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    141

    2 Diseo de los refuerzos del problema 1.b y comparacin del peso de las soluciones 1.a y 1.b. a) Diseo de los anillos de refuerzo Comenzamos proponiendo una seccin rectangular b 6a

    3 3 4/12 (6 ) /12 18I ab a a a= = =x Ec. (59) ( ) ( )75 4 1 300Sq C p= = =x Suponemos tentativamente que b 5 cm 60 0,4/2 5 /2 62,7r + + =

    Ec. (56) 3 3300 (62,7) 11,74

    3 3 2100000reqq rI

    E= = =

    x

    x 4I 18 11,74 0,899reqI a a =

    Adoptamos un espesor comercial algo mayor = 0,95 ..................................... 0,95a cm= Clculo de la altura b del anillo rectangular

    3 3/12 0,95 /12 11,74 5,3I ab b b= = = =x .....(se estim adecuadamente) ...... 5,3b cm=

    b) Economa de material del diseo con refuerzos b.1 Peso del cilindro de espesor h = 0,8 cm (solucin 1.a ) y peso especfico 0,00785 = .

    2 2 60 0,8 450 0,00785 1065,4a mP r hL = = =x x x x x ................................ 1065aP kg= b.2 Peso del cilindro de espesor h = 0,4 cm ( solucin 1.b )

    2 2 60 0,4 450 0,00785 532,7bc mP r hL = = =x x x x x

    b.3 Peso de los 5 anillos de refuerzo rectangulares de 0,95x5,3 cm 5 (2 ) 5 2 (60 0,2 5,3 /2) (0,95 5,3) 0,00785 78,0ba mP r A = = + + =x x x x x x

    b.4 Peso del recipiente de espesor 0,4 cm con 5 anillos de refuerzo de 0,95x5,3 cm 532,7 78,0 610,7b bc baP P P= + = + = ................................................................. 611bP kg=

    b.5 Economa de material de la solucin 1.b respecto de la solucin 1.a. 1065 611Economa 100 100 42,6

    1065a b

    a

    P PP

    = = =x x ............................. Economa = 43 %

    3 Clculo de la carga crtica de pandeo y el lmite inferior de un cilindro de aluminio con carga axial. Datos geomtricos: h = 0,159 r = 40 = 100 Datos del material: E = 750000 = 0,33 f = 2500

    a) Clculo de la carga crtica de pandeo Ec. (44) ( ) ( )1

    1,25 1,250,605 / 0,605 750000 0,159/ 40 452,9cx E h r = = =x x

    Ec. (47) 1,26

    1,260,52 0,74 0,52 0,742

    0,76 7500000,76 0,159 334,3100 40cx

    hEr

    = = =xx

    . Se adopta este valor para cx

    rea de la seccin del cilindro = 2 2 40 0,159 39,96rh = =x x

    Carga crtica: 334,3 39,96 13359crt cxP A= = =x ........................................ 13359crtP kg=

    b) Clculo del lmite inferior por el mtodo de Croll

    Ec. (39) 2 2( / ) ( 40/100) 1,579r = = = x ( )22 2 2 2 2 2

    2 2

    ( ) / 6 2(1 ) /( )(2 )

    /infx

    n h r nE

    n

    + + +=

    +

    2 2 2inf(1,579 ) (1,975 3332590 / ) / (2,99 0,33 )xn n = + = + + El mnimo ocurre para n = 7

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xinf 151106 24881 5037 1379 544 346 331,8 384 470

    Lmite inferior: 331,8 39,96 13259infinf xP A= = =x .................................... 13259crtP kg=

  • Compendio de Clculo Estructural II FCEFyN UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015

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    4 Determinacin del espesor del casco de un submarino ignorando los refuerzos axiales. Presin debida a 120 metros de profundidad: 20,001 12000 12 /p H kg cm= = =x Axial: / (2 ) 12 150 / (2 ) 900 /x pr h h h = = =x Circunferencial: / 12 150/ 1800 /pr h h h = = =x

    a) Espesor requerido para evitar falla por fluencia con CS = 2 Von Mises: * 2 2(900 / ) (1800 / ) (900 / ) (1800 / ) 1559 /h h h h h = + =

    x

    * 2 (1559 / ) 2800 2 1559 / 2800S fC h h = = =x x .................................. 1,11h cm=

    b) Espesor requerido para evitar falla por pandeo con CS = 4

    Ec. (13) 2

    21600,3

    150Z =

    h x

    x 22,9/Z h= Suponiendo h = 1,5 Z = 15,3 Ec. (53) * 1,31K =

    Ec. (52) 1,5

    1,5* *

    2 0,75 0,5 0,75 0,50,74 0,74 2100000(1 ) (0,91) 150 60c

    E K h K hr

    = =

    x x

    x x 1,5*2270c K h= x x

    1,52974c h= x

    Ec. (47) 1,26

    1,26 1,260,740,52 0,520,74

    0,76 21000000,76 465760 150xc

    hE h hr

    = = = xx

    Ec. (65) 1,5 1,261 1800 / 900 / 0,25

    / / 2974 4657x

    Sc x c

    h hCh h

    = + =+

    .... por tanteos......h = 1,62

    Dado que se estim K* usando un valor de h inferior al real (1,5 en lugar de 1,62) se consider un valor de Z superior al real y por lo tanto se est del lado de la seguridad y se puede aceptar el valor calculado (1,62 ) como vlido. Por otro lado iterando llegamos a convergencia cuando: Iterando: h = 1,618 Z = 14,15 K* = 1,330 1,53020c h = h = 1,618...... 1,62h cm=

    c) Espesor requerido considerando slo la presin lateral c.1 * 2 (1800 / ) 2800 2 1800 / 2800S fC h h = = =x x ....................... 1,29h cm=

    c.2 ( )1,5 0,4* *4 (1800 / ) 2270 3,172 /S cC h K h h K = = =x x Suponiendo h = 1,58 Ec. (13) Z = 14,5 Ec. (53) * 1,32K = [ ] 0,43,172 /1,32 1,42h = = Suponiendo h = 1,42 Ec. (13) Z = 16,1 Ec. (53) * 1,29K = [ ] 0,43,172 /1,29 1,43h = = A esta altura se logr convergencia. En efecto: h = 1,43 Z = 16,01 K* = 1,293 1,52935c h = h = 1,432 ............ 1,43h cm= Comentarios: c.1 Considerando slo la presin lateral se ignora la interaccin con la tensin axial x y paradgi-

    camente se est del lado de la seguridad

    c.2 Al considerar solamente la presin lateral se ignora la interaccin con la tensin axial x y

    ya que resulta un espesor 16 % mayor que el necesario (1,29 en lugar de 1,11). En el criterio de Von Mises resulta beneficioso que las dos tensiones membranales tengan el mismo signo, eso por el signo menos en la ecuacin (32) del Captulo 2.

    se est del lado de la inseguridad

    d) Determinar el CS a pandeo usando los lmites inferiores de Croll cuando h = 1,62 cm

    . Resulta un espesor 12 % menor que el realmente necesario (1,43 cm en lugar de 1,62 cm ).

    / (2 ) 12 150 / (2 1,62) 555,5x pr h = = =x x / 12 150/1,62 1111,1pr h = = =x

    ( )1/2* 2 2555,5 1111,1 555,5 1111,1 962 = + =x 2800 962SC = / ........ a fluencia... 2,91SC =

    Ec. (40) 2 2

    1,5 1,5

    0,50,75 0,753 0,822 3 0,822 2100000 1,62 38994 4 150 601 1 0,3( ) ( )inf

    E h rr

    = = =

    xx

    x

    Ec. (39) ( )22 2 2 2 2 2

    2 2

    ( ) / /6 2(1 ) /( )Mn 10874

    (2 ){ }infx n h r n En

    + + += =

    +

    (ocurre cuando n = 9)

    Ec. (65) 1 1 2,98/ / 1111,1/ 3899 555,5 /10874

    x

    Sc x c

    C

    = = =

    + +.. a pandeo... 2,98SC =

    Captulo 7PANDEO DE CILINDROS1 Ecuaciones para cilindros delgados2 Cargas crticas para cilindros delgados3 Pandeo de cilindros reales4 Lmites inferiores5 Criterios de diseo