Tema V Cilindros de pared gruesa. Ecuaciones fundamentales para el caso de un cuerpo sometido a...

Tema V

Cilindros de pared gruesa

Ecuaciones fundamentales para el Ecuaciones fundamentales para el caso de un cuerpo sometido a cargas caso de un cuerpo sometido a cargas

simétricas (con respecto al eje Z)simétricas (con respecto al eje Z)

TE

TE

TE

rzz

zr

zrr

1

1

1

Mecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa

ecuaciones fundamentalesecuaciones fundamentales

TE

TE

TE

rz

r

rr

1

1

Haciendo σz=0 se tiene que:



212

212

212

1

1

1

ETJG

ETJG

ETJG

zz

rr



TE

TE

TE

rzz

z

zrr

r

11211

11211

11211


Las ecuaciones anteriores también pueden ser escritas así:


Haciendo σz=0 se tiene que:

0

11

11

2

2

z

r

rr

TE

TE


La deformación axial puede escribirse también como:



TE

rz

1

Haciendo z=0 se tiene:

ETE

ETE

r

rr

11

11



Haciendo z=0 se tiene:



ETE

ETE

r

rr

11121

11121

Ecuación de equilibrio para un Ecuación de equilibrio para un elemento de volumen simétricoelemento de volumen simétrico


ecuación de equilibrioecuación de equilibrio

02

2

drdzrdFdzddrrdd

drdzdzrd rrrr


0

rrr F

dr

d

r

Dividiendo entre (rdΦdrdz) se obtiene:

Caso general de esfuerzo plano (Caso general de esfuerzo plano (σσzz=0) =0)

considerando espesor constante considerando espesor constante (t=ctte)(t=ctte)


2

2

22

2 11

1

rF

rotacióndeinerciadefuerzalaesFdonde

FEdr

rdT

r

ru

dr

rdu

rdr

rud

r

r

r

caso general de esfuerzo planocaso general de esfuerzo plano

Integrando dos veces con respecto a r obtendríamos:

2

21222

22122

2

21

322

118

31

118

3

8

11

1

1

1

r

ECECrrETrdrrT

r

E

r

ECECrrdrrT

r

E

r

CrCr

ErdrrT

rru

r

r

r

r

r

r

r


Caso general de deformación plana Caso general de deformación plana ((zz=0) con espesor constante (t=ctte)=0) con espesor constante (t=ctte)

211

2

121

121118

21

11

121118

23

1

18

121

1

1

122

22122

2

22122

2

21

32

1

1

1

CEr

rET

r

ECECr

rETdrrT

r

E

r

ECECrdrrT

r

E

r

CrCr

EdrrT

rru

z

r

r

r

r

r

r

r


Cilindros de pared gruesa sometidos Cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externaa presión interna y externa

Cilindros sometidos a esfuerzo plano σz=0, cilindros abiertos o cortos (discos).

Cilindros sometidos a deformación plana z=0, extremos del cilindro restringidos o cilindros muy largos.

Cilindros con tapas (σz y z diferentes de cero).

Cilindro de pared gruesa sometido a presión interna solamente.


Cilindro de pared gruesa sometido a presión externa solamente.

Cilindro de pared gruesa con presión interior y exterior iguales.

Cilindro dentro de un medio elástico infinito.


cilindros de pared gruesa sometidos a cilindros de pared gruesa sometidos a presión interna y externapresión interna y externa

Cilindro sometido a esfuerzo plano Cilindro sometido a esfuerzo plano σσzz=0,cilindros abiertos o cortos =0,cilindros abiertos o cortos

(discos)(discos)


cilindro sometido a esfuerzo planocilindro sometido a esfuerzo plano

r

CrCru 2

1

0

11

11

221

221

z

r

r

ECEC

r

ECEC


A partir de las ecuaciones de esfuerzo plano, haciendo T(r)=0 y w=0

Condiciones de bordeCondiciones de borde


21

22

12

122

22

21

22

212

22

11

1

1

rr

PrPr

EC

rr

PPrr

EC

DesplazamientoDesplazamiento

2

2

1

222

1

2

11

21

22

22

21

11

1111

rr

PKy

rr

PKdonde

r

rr

E

K

r

rr

E

Kru


EsfuerzosEsfuerzos

0

11

11

2

12

2

21

2

12

2

21

z

r

r

rK

r

rK

r

rK

r

rK


DeformacionesDeformaciones

21

12

2

21

2

12

2

21

2

1111

1111

KKE

r

r

E

K

r

r

E

K

r

r

E

K

r

r

E

K

z

r


Cilindros sometidos a deformación Cilindros sometidos a deformación plana plana zz=0; extremos del cilindro =0; extremos del cilindro

restringidos o cilindros muy largosrestringidos o cilindros muy largos


cilindros sometidos e deformación planacilindros sometidos e deformación plana

r

CrCru 2

1

211

2

1211

1211

1

221

221

CE

r

ECEC

r

ECEC

z

r


A partir de las ecuaciones de deformación plana tenemos haciendo T(r)=0 y w=0 tenemos:

Condiciones de borde

2

12

2

212

22

12

21

22

12

122

21

1

211

rr

PPrr

EC

rr

PrPr

EC


Desplazamiento en función de las Desplazamiento en función de las presiones interna y externapresiones interna y externa


rrr

PPrr

Er

rr

PrPr

Eru

112112

12

2

212

22

12

12

2

12

122

2

Esfuerzos en función de las Esfuerzos en función de las presiones interna y externapresiones interna y externa

21

22

22

212

1

21

22

222

211

221

22

122

22

1

21

22

222

211

221

22

122

22

1

2

1

1

rr

PrPr

rr

rPrP

rrr

PPrr

rr

rPrP

rrr

PPrr

z

r



2

2

1

222

1

2

11

21

2

2

22

2

1

11

21211

rr

PKy

rr

PKdonde

r

rrK

r

rrK

Eru


Los esfuerzos y deformaciones anteriores pueden ser escritos también de la siguiente manera

EsfuerzosEsfuerzos

21

2

12

2

21

2

12

2

21

2

11

11

KK

r

rK

r

rK

r

rK

r

rK

z

r



0

21211

21211

2

12

2

21

2

12

2

21

z

r

r

rK

r

rK

E

r

rK

r

rK

E


Cilindros con tapas (Cilindros con tapas (σσzz y y zz diferentes diferentes

de cero)de cero)


Cilindros con tapas (Cilindros con tapas (σσzz y y zz diferentes de diferentes de

cero)cero)

z

r

r

r

z

r

r

r

r

ECECrrETdrrT

r

E

r

ECECrdrrT

r

E

r

CrCru

1118

31

1118

3

22122

2

22122

2

21

1

1

Condiciones de bordeCondiciones de borde

2

12

2

212

22

12

21

22

22

212

11

1

1

rr

PPrr

EC

Err

PrPr

EC z


Desplazamiento en función de las Desplazamiento en función de las presiones interna y externapresiones interna y externa

r

Errr

PPrr

Er

rr

PrPr

Eru z

111

21

22

212

22

12

12

2

22

212

1


Esfuerzos en función de las Esfuerzos en función de las presiones interna y externapresiones interna y externa

21

22

222

211

21

22

222

211

221

22

122

22

1

21

22

222

211

221

22

122

22

1

1

1

rr

rPrP

rr

rPrP

rrr

PPrr

rr

rPrP

rrr

PPrr

z

r



2

2

1

222

1

2

11

21

22

22

21

11

121121

rr

PKy

rr

PKdonde

r

rr

E

K

r

rr

E

Kru


Los esfuerzos y deformaciones anteriores pueden ser escritos también de la siguiente manera

EsfuerzosEsfuerzos

21

2

12

2

21

2

12

2

21

11

11

KK

r

rK

r

rK

r

rK

r

rK

z

r



21

2

12

2

21

2

12

2

21

21

121121

121121

KKE

r

r

E

K

r

r

E

K

r

r

E

K

r

r

E

K

z

r


Cilindro de pared gruesa sometido a Cilindro de pared gruesa sometido a presión interna solamentepresión interna solamente

Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzo plano σz=0.

Cilindros sometidos a presión interior en deformación plana z=0.

Cilindros sometidos a presión interior con tapas σz y z diferentes de cero.


Cilindros sometidos a presión interior Cilindros sometidos a presión interior en esfuerzo plano en esfuerzo plano σσzz=0=0



r

rr

E

Kru

11 22

21


12

1

2

11

rr

PKdonde

EsfuerzosEsfuerzos

0

1

1

2

21

2

21

z

r

r

rK

r

rK



1

2

21

2

21

2

11

11

KE

r

r

E

K

r

r

E

K

z

r


Esfuerzo tangencial máximo y Esfuerzo tangencial máximo y mínimomínimo

12min

2

1

211max

2

1

Krr

r

rKrr


Espesor relativoEspesor relativo

1

12

21

2

1

2

21

12

rr

rr

rrrr

r

t

pro


Distribución de los esfuerzos en un Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a cilindro de pared gruesa sometido a

presión interiorpresión interior


Valores para cilindro hueco, sometido Valores para cilindro hueco, sometido a presión interiora presión interior


Cilindros sometidos a presión interior Cilindros sometidos a presión interior en deformación plana en deformación plana zz=0=0



r

rrK

Eru

22

2

1

211


12

1

2

11

rr

PKdonde

Esfuerzos

1

2

21

2

21

2

1

1

K

r

rK

r

rK

z

r



0

211

211

2

21

2

21

z

r

r

rK

E

r

rK

E


Cilindros sometidos a presión interior Cilindros sometidos a presión interior con tapas con tapas σσzz y y zz diferentes de cero diferentes de cero



r

rr

E

Kru

121 22

21


12

1

2

11

rr

PK

EsfuerzosEsfuerzos

1

2

21

2

21

1

1

K

r

rK

r

rK

z

r



1

2

21

2

21

21

121

121

KE

r

r

E

K

r

r

E

K

z

r


Cilindro de pared gruesa sometido a Cilindro de pared gruesa sometido a presión externa solamentepresión externa solamente

Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano σz=0.

Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana z=0.

Cilindros sometidos a presión exterior con tapas σz y z diferentes de cero.


Distribución de los esfuerzos en un Distribución de los esfuerzos en un cilindro de pared gruesa sometido a cilindro de pared gruesa sometido a

presión exteriorpresión exterior


Cilindros sometidos a presión Cilindros sometidos a presión exterior en esfuerzo plano exterior en esfuerzo plano σσzz=0=0



r

rr

E

Kru

11 21

22


2

2

1

22

1

rr

PK

EsfuerzosEsfuerzos

0

1

1

2

12

2

12

z

r

r

rK

r

rK



2

2

12

2

12

2

11

11

KE

r

r

E

K

r

r

E

K

z

r


Esfuerzo tangencial máximo y Esfuerzo tangencial máximo y mínimomínimo

2

2

2

12min

2max

1

2

Pt

r

r

rK

K

propro


Valores para un cilindro sometido a Valores para un cilindro sometido a presión exteriorpresión exterior


Cilindros sometidos a presión Cilindros sometidos a presión exterior en deformación plana exterior en deformación plana zz=0=0



r

rrK

Eru

21

2

2

211


2

2

1

22

1

rr

PK

EsfuerzosEsfuerzos

2

2

12

2

12

2

1

1

K

r

rK

r

rK

z

r



0

211

211

2

12

2

12

z

r

r

rK

E

r

rK

E


Cilindros sometidos a presión Cilindros sometidos a presión exterior con tapas exterior con tapas σσzz y y zz diferentes diferentes

de cerode cero



r

rr

E

Kru

121 21

22


2

2

1

22

1

rr

PK

EsfuerzosEsfuerzos

2

2

12

2

12

1

1

K

r

rK

r

rK

z

r



2

2

12

2

12

21

121

121

KE

r

r

E

K

r

r

E

K

z

r


Cilindros de pared gruesa con Cilindros de pared gruesa con presión interior y exterior igualespresión interior y exterior iguales


P

Pr

Cilindro dentro de un medio elástico Cilindro dentro de un medio elástico infinitoinfinito


EsfuerzosEsfuerzos

1

2

1

1

2

1

Pr

r

Pr

rr



1

2

1

11

1

1

Pr

r

E

Pr

r

Er


Esfuerzo Cortante MáximoEsfuerzo Cortante Máximo

2231

maxr

rrr

PPrr 11

12

2

212

22

1max

En vista de que σθ normalmente es de tensión, mientras que σr es de compresión y ambos exceden a σz en magnitud, por lo tanto:


Cambio de las dimensiones del Cambio de las dimensiones del cilindrocilindro

Cambio de diámetro

Cambio de longitud

zrE

rrD

22

rzz E

LLL


Cilindros compuestosCilindros compuestos

El método de solución para cilindros compuestos es descomponer el problema en tres efectos separados:

- Presión por contracción sólo en el cilindro interior (cilindro).

- Presión por contracción sólo en el cilindro exterior (camisa).

- Presión interna sólo en el cilindro compuesto.


Cilindros compuestosCilindros compuestosMecánica de materiales-Cilindros de pared gruesa

Cilindros compuestosCilindros compuestos


(Ea, a)

(Eb, b)

Esfuerzos tangenciales para el Esfuerzos tangenciales para el cilindrocilindro

12

22

12

3

21

22

23

21

22

21

22

2

121

23

21

23

21

22

22

1

'

'

2

Prrr

rrrP

rr

rrrr

Prr

rrP

rr

rrr

c

c

B

c


Esfuerzos tangenciales para la Esfuerzos tangenciales para la camisacamisa

3121

23

21

22

23

22

2122

21

23

21

22

23

22

23

22

23

22'

'

rrenPrr

rP

rr

r

rrenPrrr

rrrP

rr

rr

c

c

A

B


Esfuerzos radiales para el cilindroEsfuerzos radiales para el cilindro

212

22

12

3

21

22

23

11

'

'

rrenPrrr

rrrP

rrenP

cr

r

B

C


Esfuerzos radiales para la camisaEsfuerzos radiales para la camisa

3

2122

21

23

21

22

23

0'

'

rren

rrenPrrr

rrrP

A

B

r

cr


Presión de contactoPresión de contacto


En el diseño de cilindros compuestos es importante relacionar la diferencia de diámetro de los cilindros acoplados con los esfuerzos que se producirán. Esta diferencia de diámetros (tolerancia) se obtiene generalmente por contracción, es decir, calentando el cilindro exterior hasta que se deslice libremente en el cilindro interior, cuando el cilindro exterior se enfría y se contrae sobre el cilindro interior se obtiene la presión de contacto

presión de contactopresión de contacto


Sea δb y δa los cambios de diámetro del cilindro exterior e interior respectivamente, y puesto que la deformación perimetral es igual a la deformación diametral, se tiene que:

abrr ab 22



22

22

1

1

rrrrE

rrrrE

bbb

aaa

rbb

raa

cilindro

camisa

donde



cr

c

Prr

Prr

rrrr

a

a

2

21

22

21

22

2

El esfuerzo tangencial y radial para el cilindro viene dado por:



cr

c

Prr

Prr

rrrr

b

b

2

22

23

23

22

2

El esfuerzo tangencial y radial para la camisa viene dado por:



bb

c

aa

c

rr

rr

E

P

rr

rr

E

P

b

a

22

23

23

22

21

22

21

22

Sustituyendo los esfuerzos anteriores en las ecuaciones de deformaciones obtenemos:

Presión de contactoPresión de contacto

bb

aa

c

rrrr

Er

rrrr

Er

rP

22

23

23

222

21

22

21

222

bb

ca

a

c

rr

rr

E

Pr

rr

rr

E

Prr

22

23

23

222

21

22

21

222

Donde:



2

12

3

22

23

21

22

322 rr

rrrr

r

rEPc

Si Ea = Eb = E y a = b =


Ajustes de interferenciaAjustes de interferencia

Los ajustes de interferencia so aquellos en los que la pieza interior es mas grande que la exterior y requiere la aplicación de una fuerza “F” durante el ensamble. Una vez terminado el ensamble se presenta cierta deformación de las piezas y existe presión (presión de contacto) en la superficie que se ensambla. Después del ensamble no se genera movimiento entre las piezas, pero no existe un requisito particular para la presión resultante entre las piezas que se ajusten. Los ajustes de interferencia pueden ser de dos clases: ajustes forzados y ajustes por encogimiento.


Ajustes forzadosAjustes forzados

FN1: Ajuste de impulso ligero. Sólo se requiere ligera presión para ensamblar las piezas. Se utilizan para partes frágiles y donde no deban transmitirse fuerzas considerables mediante unión.

FN2: Ajuste de impulso medio. Clase de propósito general que se emplea a menudo para piezas de acero cuya sección es moderada.


Ajuste forzadoAjuste forzado

FN3: Ajuste de impulso pesado. Se utiliza para piezas de acero pesadas.

FN4: Ajuste de fuerza. Se utiliza para ensambles de alta resistencia donde se requiere altas presiones resultantes.

FN5: Ajuste de fuerza. Similar a la clase FN4 pero se utiliza cuando se requiere presiones mas altas.


Ajustes de fuerza y por encogimientoAjustes de fuerza y por encogimiento


Ajustes de fuerza y por encogimiento Ajustes de fuerza y por encogimiento (continuación de la tabla)(continuación de la tabla)


Fuerza normal, Fuerza de fricción Fuerza normal, Fuerza de fricción entre las superficies de contacto y entre las superficies de contacto y torque máximo admisible antes de torque máximo admisible antes de

que se produzca deslizamientoque se produzca deslizamiento

LrPrFT

LrPNF

LrPN

c

c

c

222

2

2

2

2

2


Tema V Cilindros de pared gruesa. Ecuaciones fundamentales para el caso de un cuerpo sometido a...

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