1

Equilibrio Estático del Sólido Rígido

1. Equilibrio mecánico.

2. Sólidos libre y vinculado.

3. Grados de libertad y reacciones en los vínculos.

4. Condiciones de equilibrio de un sólido rígido.

1

2

1. Equilibrio Mecánico

Equilibrio Mecánico

00 0

cte

vF a

v

== ⇒ = ⇒

=∑

�� �

�

00 0

cteM

ωα

ω

== ⇒ = ⇒

=∑

��

�

�

Equilibrio Estático del Sólido Rígido

0

0

No se traslada

No gira

v

ω

= ⇒

= ⇒

�

�

2

ESTÁTICO

3

2. Sólidos libre y vinculado

Sólido libre: su movimiento no está restringido.Sólidos vinculado: su movimiento presenta restricciones.

3 . Grados de libertad y reacciones en los vínculos

Grados de libertad: Variables o coordenadas que definen la posición de una partícula o de un sistema de partículas (sólido). Desde un punto de vista práctico se refiere a las posibilidades de movimiento del cuerpo.

Vínculos: al limitar las posibilidades de movimiento, reducen los grados de libertad.

Ejemplo: Un sólido rígido atravesado por un eje fijo sólo tiene dos grados de libertad: traslación a lo largo del eje y otro de rotación alrededor de él.

3

4

4. Reacciones en los vínculos

Vínculos lisos: La reacción en el vínculo es perpendicular al vínculo en el punto de contacto.

NF�

TF�

F�

(No equilibrio)

F�

(Equilibrio)

R�

Vínculos con rozamiento: La reacción NO es perpendicular al vínculo en el punto de contacto.

NF�

TF�

F�

(Equilibrio)

N�

RF�

R�

4

5

5. Condiciones de equilibrio de un sólido rígido

Condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un sólido rígido:

0

0 0

0

x

y

z

F

F F

F

=

= ⇒ =

=

∑∑ ∑

∑

�

0

0 0

0

x

y

z

M

M M

M

=

= ⇒ =

=

∑∑ ∑

∑

�

No hay traslación

No hay rotación

Las fuerzas externas aplicadas al sólido no producen en el sólido movimiento de traslación ni de rotación.

5

66

Ejemplo 1.

La figura adjunta muestra un tablón homogéneo suspendido por tres cuerdas. Determinar las tensiones en cada una de las cuerdas, si el tablón pesa 1000 N.

L

A B

53º

1T�

2T�

3T�

53º

BA

P�

0

0

0B

x

y

F

F

M

=

=

=

∑∑∑

1 3

2 3

2

53 0

53 0

02

− + =

+ − = − =

�

�

cos

sen

T T

T T P

LT L P

Origen de Momentos

(+)

(-)

De la tercera ecuación:2T L 1000

L−

20 500

2NT= ⇒ =

Sustituyendo en la segunda:3 3

500 53 1000 625sen NT T+ = ⇒ =�

Y, finalmente, de la primera:1 1

625 53 375cos NT T= ⇒ =�

77

Ejemplo 2.

Una barra de 2 m de longitud soporta un cuerpo de 1200 kg de masa con la ayuda de un cable horizontal como indica la figura. Hallar las fuerzas ejercidas por el cable y por la barra.

P�

T�

xR�

yR�

0

0

0O

x

y

F

F

M

=

=

=

∑∑∑

O

0

0

1 0

x

y

R T

R P

T h P

− =

− =

− =

1 m

2 mh

2 22 1 3h = − = De la última ecuación: 3 12000 1 0 6928NT T− ⋅ = ⇒ =

6928

12000

N

Nx x

y y

R T R

R P R

= ⇒ =

= ⇒ =

2 2 2 26928 12000 13856 3, Nx yR R R= + = + =

(+)

(-)

8

Ejemplo 3.

Una escalera homogénea de 5 m de longitud que pesa 60 kp se encuentra en equilibrio apoyada en una pared formando un ángulo de 50º con el suelo. Un hombre de 70 kp estáen la mitad de la escalera. Si la pared no tiene rozamiento, encontrar las fuerzas ejercidas por el sistema sobre el suelo y sobre la pared.

50º

5 m

AR�

BR�

P ′�P�

xF�

yF�

A

B

φ

B

0

0

0

x

y

F

F

M

=

=

=

∑∑∑

�

�

�

( )

A

A

0

0

0

x

y

F R

F P P

P P d R h

− =

′− − = ′+ − =

h

d

cos 50º 2,5 cos 50º 1,61 m2,5

dd= ⇒ = =

sen 50º 5 sen 50º 3,83m5

hh= ⇒ = =

( ) A

A

60 70 1,61 3,83

54,65 kp

R

R

+ ⋅ =

=

A 54,65 kpxF R= =

( ) 130 kpyF P P ′= + =

2 2 2 2B 54,65 130 141,02 kpx yR F F= + = + =

130tan 2,38 67,21º

54,65y

x

F

Fϕ ϕ= = = ⇒ =

9

Ejemplo 4.

Un cilindro de 5 kg de masa tiene una cuerda arrollada sobre su superficie. El extremo libre de la cuerda se sujeta a un plano inclinado de 30º de tal forma que se alcanza la situación de equilibrio cuando la cuerda queda perfectamente horizontal, como muestra la figura. Determinar: a) la tensión de la cuerda, b) la fuerza normal que ejerce el plano inclinado sobre el cilindro, c) ¿cuál es el mínimo coeficiente de rozamiento estático entre el cilindro y el plano inclinado para que se de la mencionada situación de equilibrio.

30º

O

θ

θ

P�

N�

T�

RF�

0

0 sen 0

0 cos sen 0

0 0

xx R

y R R

R

F T F N

F N F T F

M T R F R

θ

θ θ

= + − =

= ⇒ + = ⇒ == − =

∑∑∑

cos30º sen30º

cos30º sen30º 50

T T N

N T

+ =

+ =

13,4 N

50 NRT F

N

= =

= ( )

( )maxmax

13, 40,268

50R

R e e

FF N

Nµ µ= ⇒ = = =

10

Ejemplo 5.

Una esfera de 10 kg y 0,1 m de radio reposa en una esquina formada por un plano inclinado de 30º y una pared vertical lisa. Calcular las fuerzas que las dos superficies ejercen sobre la esfera.

30º

O

P�

�

1N

RF� �

2N

=

= =

∑∑∑ 0

0

0

0

x

y

F

F

M

Si tomamos origen de momentos en el centro de la esfera, sólo la fuerza de rozamientos producirá momentos, por tanto:

− = ⋅⇒ = ⇒ = = =

− =

2 1

2 22

sen30 0 10 9,8cos30 113,2 N

cos30 cos30cos30 0

N N PN P N

N P

= ⇒ =0 0R RF R F

= = =1 2

sen30 113,2 sen30 56,6 NN N