Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione

z

m1

r1

m2

mK

r2

rK

Corpo rigido con asse di rotazione fisso(Z)

ogni elemento del corpo ha la stessa velocità angolare

kk rv ω=

un elemento a distanza rK dall’asse di rotazione ha velocità

e dunque energia cinetica222

22 kk

kk r

mv

m ω=

In un caso discreto, l’energia cinetica complessiva vale:

2222

2

1

2ωω

== ∑∑k

kkk

kk rmr

mK

momento d’inerzia

2

2

1 ωIK =

z

mkrk

Si divide il corpo in tanti elementini “infinitesimi” la somma diventa un integralePer un corpo esteso

Momento d’inerzia ∑=i

iirmI 2 [ ] 2mkg=I

dipende dalla distribuzione di massa rispetto all’asse di rotazione.

Momento d’inerzia

Grandezza scalare, sempre positiva.

come vedremo fra poco, è l’analogo rotazionale della massa

Esempi di momenti d’inerzia ....

Il momento d’inerzia dipende dall’asse di rotazione (v. Teorema degli assi paralleli)

2mdIZ =

d m

z

1 punto materiale: 2

12l

mI Z =

sbarra di massa m, lunghezza llll, risp. asse ortogonale passante per il cdm:

Anello, rispetto al proprio asse.

2mRI Z =2

2R

mI Z =

Cerchio, rispetto al proprio asse.

Sfera. rispetto ad un asse.

2

5

2mRI Z =

Alcuni momenti d’inerzia

RR

RCilindro , rispettoal proprio asse.

2

2R

mIZ =

rispetto ad un asse passante per il cdm

Effetto rotatorio di una forza. Momento di una forza

Un corpo rigido con un asse di rotazione fisso, può solo ruotare intorno al proprio asse.

L’applicazione di una forza produce una rotazione, ovvero una accelerazione angolare

con forze uguali l’effetto è proporzionale ad OP

Oa parità di direzione e punto di applicazione della forza, l’effetto è proporzionale a |F|F∝α

OP P’ OP∝α

a parità di |F| e punto di applicazionel’effetto dipende dall’angolofra F e OP

θα sin∝1Fr

Tutto ciò si riassume nel concetto di Momento della forzaF rispetto al punto (polo) O

una forza parallela ad OP (radiale) non produce rotazioneuna forza ortogonale ad OP (tangenziale) produce rotazione

O

2Fr

3Fr

P

Effetto rotatorio di una forza. Corpo rigido con asse fisso.

Momento della forza F rispetto al punto O (definizione provvisoria)

θτ sinFOP ⋅=

O P

F

θ

FR

FT

H

TFOP ⋅=τ

FOH ⋅=τ

il segmento OH si chiama braccio della forza

Si suol dire che il momento di una forza è dato da forza x braccio ....

... essendo il braccio la distanza del punto O dalla retta di applicazione della forza

Attenzione: il momento di una forza dipende dal punto O, quindi la stessa forza con lo stesso punto di applicazione, ha momenti diversi rispetto a punti diversi.

[ ] Nm=τasse di rotazione

Effetto rotatorio di una forza. Legge della rotazione

OP

F

θ

H

asse di rotazione

• dalla massa del corpo • da come tale massa è distribuita rispetto all’asse di rotazione

se l’asta ha massa trascurabile, e la sfera è piccola

m

OP

F

θ

H

d

2

1

md∝α

(asse di rotazione fisso)

in generale, I

1∝α

∑k

kτ

ατ ZZ I= 2a legge di Newton per le rotazioni

τ e α grandezze con segno

il moto dipende anche dal corpo:

τ e I calcolati rispetto allo stesso asse Z

Esempi di rotazione di un corpo rigido con asse fisso

FR

Se F costante: moto circolare uniformemente accelerato.

Disco o cilindro, rotante intorno al proprio asse:

2

2R

MI =

ατ ZZ I= z è l’asse di rotazione

R

mg

T

TM

==−

αITR

maTmgcon Ra α=

+=

+=

mgImR

IT

gImR

mRa

2

2

2

→τ

FbOHFrF

rF

rF

=⋅====

⊥

⊥

ττ

θτ sin

Momento di una Forza(rispetto al polo O)

FOPFrrrrr ×=×=τ

Proprietà del momento ττττ.� τ ortogonale al piano definito da r e F. � Verso: regola della mano destra.� τ non ha un punto di applicazione

O

P

rr

Fr

⊥Fr

ττττ

θH

Polo

[ ]2

2

s

mkgNm ==τ

Piano definito da OP e F

Definizione generale.

braccio della forza

dimensionalmente uguale al Joule ma ...

Osservazioni sul momento di una forza

OFr

r

F

ττττ

r

Fττττ

Direzione e verso di ττττsono dati dalla regola della mano destra: versodi rotazione visto da O

Una stessa forza F, applicata in una determinatopunto, ha momenti angolari diversi a seconda del punto rispetto al quale si calcola. Alto grado di arbitrarietà.

A Fr

BC

La medesima forza F ha momenti diversi rispetto ai

punti A, B e C. Per esempio, ττττA e ττττC hanno segno

opposto, mentre ττττB=0.

mvbOHmvrmv

rmv

rmv

=⋅====

⊥

⊥

l

l

l θsin

Momento Angolareo Momento della quantità di motodi una particella

prvmOPrrr

lr

×=×=

Prodotto vettore: attenzione all’ordine.

Proprietà del momento angolare llll.♦ llll ortogonale al piano definito da r e p=mv. ♦ verso: regola della mano destra.♦ llll non ha un punto di applicazione

braccio

Definizione generale.

[ ]s

mkg

2

=l

O

P

rr

vr

⊥vr

L

θH

Seconda legge di Newton in forma angolare (e vettoriale)

vmrrr

lr

×=momento angolare di una particella(definizione)

derivando rispetto al tempo: dt

vdmrvm

dt

rd

dt

dr

rrr

lr

×+×=

vr

ar

dt

d lr

r =τ

si chiama anche Teorema del momento angolare

Fr

τr

Seconda L. Newton in forma angolare. Moto di una particella.

( ) gmrvmrdt

d rrrr ×=×

ZZ

dt

d τ=l

rv ω=

Tipicamente, con un solo punto materiale il teorema del momento angolare non dice nulla di nuovo. Un’eccezione importante è costituita dalle forze centrali, come la forza gravitazionale.

Pendolo semplice

( ) gmvmdt

d rr =

θθω

−==r

g

dt

d

dt

d2

2

2rmmvrZ ω==l

θθτ mgrmgrZ −≅−= sin

O

gmr

rr

x

y

H

θ

θ

gmr

rr

vr

O

Tr

m

L

m

mrvrv

dt

dA

dsrdA

O

22

sinsin

2

1

sin2

1

===

=

θθ

θθsin⋅ds( )tr

r

( )dttr +r

sdr

Campo gravitazionale. Leggi di Keplero

v

La direzione del momento angolare definisce il piano dell’orbita.

Conservazione della direzione di L : orbita piana(parte della 1a Legge Keplero)

Conservazione del modulo di L : velocità areolare costante(2a Legge Keplero):

0== OO M

dt

d rlcost=Ol

r

⇒

FrO

lr

Campo Gravitazionale

Siamo in grado di rispondere alla domanda: perché i pianeti non «cadono» sul Sole?

cost== θmrvLo

cost2

2 =−=r

MmGv

mEM

2

22

22 mr

Lv

mK o

r +=

Forza conservativa:

Forza centrale:

22

22 θvm

vm

K r +=

ovvero

r

MmG

mr

Lv

mE o

rM −+=2

22

22

rmin rmax

θ

r

O

Campo Gravitazionale

Ene

rgia

ME

r

MmGU −=

2

2

2mr

Lo

L’orbita del pianeta è compresa fra un minimo e un massimo. Se l’energia meccanica corrisponde al minimo della curva rossa rmin = rmax (circonferenza)

Estensione ad un sistema di particelle

Momento angolare di un sistema di particelle:

∑=+++=k

kL lr

lr

lr

lrr

...321

Derivando rispetto al tempo: ∑∑ ==k

kk

k

dt

d

dt

Ld τrlrr

dt

LdEST

rr =)(τ

Seconda legge di Newton in forma angolare, detto ancheTeorema del Momento Angolare

è una legge fondamentalee del tutto generaleIn particolare, notare:

L’equazione del moto rotazionale per un corpo rigido con asse fisso si può ricavare rigorosamente a partire da questo teorema.

• la somiglianza con il teorema della quantità di moto• che solo le forze esterne al sistema hanno effetto

Momento angolare di un corpo rigido con asse fisso

Es. punto materiale in moto circolaremv

O r

llll

vmrrr

lr

×=

kk rv ω= ω è la stessa per tutti i punti

z

mkrk

Si divide il corpo in tanti elementini di massa Ogni elemento di massa si muove di moto circolare intorno all’asse

ω2kkkkkZk rmvmr ==l momento angolare della massa k-ma

(componente lungo l’asse z)

Momento angolarelungo l’asse di rotazione(z) di un corpo esteso.

punto k-esimo

parallelo all’asse di rotazione (se ..)

ω

== ∑∑= k

kk

N

kkzZ rmL 2

1

l

2rmmrvZ ω==l comp. lungo l’asse di rotazione z

in tal caso basta la componente di L lungo l’asse z (LZ).

ωrr

IL =

In casi particolari, ad esempio quando l’asse di rotazione è asse di simmetria

questa formula ha una validità limitata, mentre quella per le componenti z è di validità generale

se |ωωωω|=ω e la direzione è data dalla regola della mano destra

ωZZ IL =

Momento angolare di un corpo rigido con asse fisso

questa relazione si può scrivere in forma vettoriale:

In un sistema isolato(o comunque se il momento delle forze esterne è nullo) il momento angolare è costante.

La conservazione del momento angolare in un sistema isolato è una delle leggi di conservazione fondamentali.

cost0 =⇒= Ldt

Ld rr

finin LLrr

=

1a e 2a legge di Keplero (quasi) costanza della velocità di rotazionee dell’orientamento dell’asse di rotazione.

Sistemi isolati. Conservazione del momento angolare

Sistemi isolati. Conservazione del momento angolare

ffii II ωω =

Persona su pedana girevole

per un corpo “rigido” cost== ωZZ IL

uomo su una corda

Sistemi isolati. Conservazione del momento angolare

v. anche tuffi dal trampolino

Nota: questi non sono sistemi isolati! Tuttavia il momento si conserva rispetto al centro di massa

Nature, v. 481, p.181. 12 Gennaio 2012

Corpo rigido e forza peso.

gdmr⋅

gmdr⋅′

gmr

Un risultato fondamentale dello studio dei sistemi di forze equivalenti riguarda la forza peso

In un corpo esteso, la forza gravitazionale agisce su ognunadelle sue particelle. E’ un sistema di forze parallele.

In un corpo rigido, l’insieme di queste forze è equivalente

• alla forza peso totale mg ...• ... applicata nel centro di massa (*)

In realtà, il punto di applicazione è il centro di gravità, che non necessariamente coincide con il centro di massa. Coincidono se l’accelerazione di gravità identica in ogni punto del corpo, condizione senz’altro verificata negli esempi ordinari.

(* )

Equilibrio di un corpo rigido.

Determinazione empirica del centro massa (coincide con il centro di gravità o baricentro)

c.d.g

Risultante delle forze (esterne) nulla.

Momento risultante delle forze (esterne) nullo

F2

mg

F1

F2

mgF1

T

mg

==

0

0

EXT

EXTF

τr

r

Equilibrio di un corpo rigido.

gr

m

TrVR

r

θ2

sin

0

0

ll mgT

mgTR

TR

YVY

XVX

=

=−+=+

θ

gr

m1N

r

2Nr

d1 d2

2211

21

dNdN

mgNN

==+

gr

1m gr

2m

b1 b2

2211

2211

bmbm

gbmgbm

==

RV

«leggi della leva»