ELEKTROSTATIKA1. dio

26. listopada 2016.

Odjel za fiziku, Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera, Osijek

2.1 Električno polje2.1.1 Uvod

naboji izvoraprobni naboj

Q

q1

q2

qi

Temeljni problem elektrodinamike: Kojom silom (grč. δύναμη) električni naboji izvora djeluju na probni električni naboj?(Dani su položaji naboja izvora, treba izračunati putanju probnog naboja.)

Načelo superpozicije: međudjelovanje dvaju naboja neovisno je o prisutnosti ostalih naboja. Stoga je F = F

1 + F

2 + F

3 + ... eksperimentalna

činjenica

Elektrostatika: specijalni slučaj temeljnog problema elektrodinamike u kojem su naboji izvora statični (položaji su im neovisni o vremenu).

2.1 Električno polje2.1.2 Coulombov zakon

F =1

4 πϵ0

qQ

r e2 r e

separacijski vektor

naboj izvora

probni naboj

r = x i+ y j+ z k

r ' = x ' i+ y ' j+z ' kr e = r−r '

r e =r−r '|r−r '|

=(x−x ') i+( y− y ' ) j+( z−z ') k

√(x−x ')2+( y− y ')2

+( z−z ')2

re =|r e|= |r−r '|= √( x−x ')2+( y− y ')2+(z− z ')2

ϵ0 = 8,854⋅10−12C2 N−1 m−2

Sila na probni naboj ako je naboj izvora jedan točkasti statični naboj.

permitivnost vakuuma

eksperimentalna činjenica

2.1 Električno polje2.1.3 Električno polje

F = F1+F2+ ... =1

4 πϵ0 (q1Q

re 12 r e 1+

q2Q

re 22 re 2+...)

F = Q E

F = F1+F2+ ... = Q⋅1

4 πϵ0 (q1

re 12 re 1+

q2

r e 22 r e 2+...)

E(r ) ≡1

4 πϵ0∑i=1

n q i

r ei2 r ei

definicija

Coulombov zakon i načelo superpozicije su fizički input za elektrostatiku. Ostatak je matematička obrada tih temeljnih pravila.

električno polje(tehnički: sila na jedinični naboj,ali i… fizičko svojstvo u prostoru)

2.1 Električno polje2.1.4 Kontinuirane raspodjele naboja

E(r ) ≡1

4 πϵ0∫

1

r e2 r edq

dq = λ dl ' dq = σda ' dq = ρd τ '

E(r ) ≡1

4 πϵ0∫

ρ(r ')

re2 r ed τ ' definicija

ZADATAK 2.8 (Griffiths ItE 4th)

ZADATAK 2.7 (Griffiths ItE 4th)

ZADATAK 2.5 (Griffiths ItE 4th)

ZADATAK 2.3 (Griffiths ItE 4th)

2.2 Divergencija i rotacija elektrostatičkih polja2.2.1 Silnice, tok i Gaussov zakon

2.2 Divergencija i rotacija elektrostatičkih polja2.2.1 Silnice, tok i Gaussov zakon

ΦE ≡∫SE⋅d a definicija

Za točkasti naboj u ishodištu: E =1

4 πϵ0

q

r 2 r

Tok polja E kroz kroz površinu kugle polumjera r:

ΦE ≡∮E⋅d a=∫∫( 14 πϵ0

q

r2 r )⋅(r2 sinθ d θ d φ r ) =qϵ0

2.2 Divergencija i rotacija elektrostatičkih polja2.2.1 Silnice, tok i Gaussov zakon

Za mnoštvo točkastih naboja:

Tok polja E kroz kroz površinu kugle polumjera r:

ΦE =∮E⋅d a =∮∑i=1

n

Ei⋅d a = ∑i=1

n

(∮Ei⋅d a ) =∑i=1

n q iϵ0

=Qtotϵ0

E =∑i=1

n

Ei

∮E⋅d a =Qtotϵ0

Gaussov zakon u integralnom obliku

2.2 Divergencija i rotacija elektrostatičkih polja2.2.1 Silnice, tok i Gaussov zakon

Iz osnovnog teorema za divergenciju

i integrala volumne gustoće naboja Qtot =∫Vρd τ

∇⋅E =ρϵ0

∫V(∇⋅E)d τ =∮S

E⋅d a

Gaussov zakon možemo napisati ∫V(∇⋅E)d τ =

1ϵ0∫V

ρd τ

iz čega slijedi

Gaussov zakon u diferencijalnom obliku

ZADATAK 2.10 (Griffiths ItE 4th)

2.2 Divergencija i rotacija elektrostatičkih polja2.2.2 Divergencija od E

E(r ) =1

4 πϵ0∫

ρ(r ')

re2 r ed τ 'Iz ranije uvedene definicije električnog polja

računamo divergenciju ∇⋅E =1

4 πϵ0∫∇⋅( r e

re2 )ρ(r ' )d τ '

a uz ranije uvedenu definiciju 3D delta funkcije ∇⋅( r

r2 )=4 πδ3(r )

divergencija ispada ∇⋅E =1

4 πϵ0∫ 4 πδ

3(r e)ρ(r ' )d τ '

∇⋅E =1ϵ0∫δ

3(r−r ' )ρ(r ' )d τ '

∇⋅E =ρϵ0

iz čega opet slijedi

2.2 Divergencija i rotacija elektrostatičkih polja2.2.3 Primjene Gaussovog zakona

ZADATAK 2.11 (Griffiths ItE 4th)

ZADATAK 2.12 (Griffiths ItE 4th)

2.2 Divergencija i rotacija elektrostatičkih polja2.2.4 Rotacija od E

∮E⋅d l = 0

∇×E = 0

∫S(∇×v )⋅d a =∮c

v⋅d lIz Stokesovog teorema

slijedi

Što vrijedi za svako elektrostatičko polje, bez obzira na raspodjelu naboja.

2.3 Električni potencijal2.3.1 Uvod u potencijal

ZADATAK 2.20 (Griffiths ItE 4th)

Svaki vektor čija je rotacija 0, može se izraziti kao gradijent nekog skalara.

V (r )≡−∫℘

r

E⋅d l definicijaelektrični potencijal

V (b)−V (a)=∫a

b

∇ V⋅d l =−∫a

b

E⋅d l

E =−∇V