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FI 3104: Informe Tarea 3 Martes 14 de Agosto, 2012 Patricio Cordero S., Javier Baeza O. Pablo J. Cabello H. 1

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FI 3104: Informe Tarea 3Martes 14 de Agosto, 2012

Patricio Cordero S., Javier Baeza O.

Pablo J. Cabello H.

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Problema 1

Para esta parte del informe buscamos evaluar numericamente la integral:

Γ(u) =

∫ ∞0

xu−1e−xdx

para valores u = 12 , 10.

Con tal de realizar esto consideraremos una discretizacion de la integral, con distancia h entre los puntos

de integracion, valor que variaremos con tal de analizar el comportamiento del algoritmo trapezoidal para

ambos valores de u, se usaran ademas integrales I1, I2, . . . , In tales que

Ij = Ij−1 +

∫ hj

h(j−1)

xu−1e−x

y n tal que el valor:

error∆ =|In − In−1||In|

(que sabemos que decrece a medida que aumenta j debido al decrecimiento de la exponencial) sea menor

que un cierto valor de convergencia.

Con los procedimientos anteriormente dichos se llega a un valor In que, al cumplir lo anterior, podemos

decir corresponde a una aproximacion numerica de la integral pedida, a continuacion damos algunos valores

obtenidos para distintos h:

u = 12 Γ ∼1.772453

h Iteraciones Resultado

0.1 101 1.460237

0.01 768 1.675971

0.0001 34308 1.747240

0.000001 384744 1.097295

u = 10 Γ = 362880

h Iteraciones Resultado

0.1 291 362875.108149

0.01 2560 362826.005461

0.0001 176675 356206.286294

0.000001 5390040 17517.139539

De los datos podemos ver que si bien, para valores ”grandes”de h y u = 12 existe un gran error proporcional

en la integral respecto al valor de Γ, pero Tal error disminuye para u = 10, esto se puede explicar debido a

las caracteristicas del integrando en el primer caso, puesto que para u = 12 el integrando se indetermina en

x = 0, lo cual, por la aproximacion que hicimos para tal caso, resulta en un gran error en el resultado final

de la integral numerica.

Ademas, vemos que, si bien uno creeria que para h→ 0 el error disminuiria, vemos que llegado cierto valor el

error comienza a aumentar, esto puede explicarse por las limitaciones de precision al llegar a ciertos numeros

muy pequenos.

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Problema 2

Para este problema queremos analizar la solucion de la E.D.O.:

x = x− x3 − ηx+A cos(ωt)

con A = 0,3, ω = 1,0 y diversos valores de η

Utilizando el algoritmo Runge-Kutta de Orden 4,con tal de analizar el regimen ”transiente”de este sistema,

se dejara evolucionar el sistema desde una condicion inicial cualquiera, hasta un tiempo t1 que garantice reg-

imen transiente, y plotearemos diversos puntos (x, x), ademas, buscaremos los primeros 32 minimos locales

del sistema, posterior al regimen permanente, con tal de obtener un grafico (η, xminlocal)

Parte a): Graficos de (x, x) para distintos valores de η, h = 0,01

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Parte b): Graficos de (x(t), x(t)) para distintos valores de η, h = π10 , t multiplo entero de 2π

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Podemos que ver que los graficos que entregamos en la parte a, corresponden a curvas cerradas, que de for-

ma equivalente se ven como ”formas simples.en los graficos obtenidos en la parte b, estos datos nos indican

la presencia de una periodicidad en el comportamiento de (x, x), esto es consistente con el hecho de que

estos datos corresponden a los regimenes transientes del problema, pero aun asi, se debe recalcar que la

contrareciproca no es necesariamente cierta, puesto que el sistema puede tener un comportamiento caotico,

hecho que puede verse graficamente en el grafico de η = 0,33, correspondiente al tercer grafico para ambas

partes.

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Parte c): Graficos de (η, xminlocal) para valores de η = {0,440, 0,439, 0,438, . . . , 0,202, 0,201, 0,200}

De este grafico tambien podemos extraer que valores de η, poseen una cierta periodicidad, y cuales un

comportamiento mas caotico, puesto que, podemos ver que para ciertos rangos de valores de η existen

muchos puntos de minimos (comportamiento caotico) y para otros (por ejemplo, para las vecindades de

0.22, consistente con lo que vimos anteriormente y para valores cercanos a 0.44), los minimos se repiten o se

concentran alrededor de ciertos valores.

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Problema 3

En este problema se pide analizar los resultados obtenidos de resolver la E.D.O.:

dy

dx= −15y

y(0) = 1

Usando 3 algoritmos vistos en clases, el de Adams-Bashforth orden 3, el metodo ”predictor corrector.orden 3

y Runge-Kutta 2, estos 3 algoritmos poseen errores de ordenes cubicos. Con tal de analizar tales resultados se

comparara en cada punto el valor calculado para y(tk) con el valor analitico de la edo e−15tk , y se sumaran los

errores obtenidos (calculados para cada punto como ∆k = e15tky(tk)− 1 ), de manera de obtener un numero

que nos permita comparar el comportamiento de los distintos algoritmos. Los resultados de tal procedimiento

se pueden revisar en la siguiente tabla, en la cual se puede ver el valor de errortotal = 1N

√Σnk=1∆2

k :

Puntos usados AB3 Predictor/Corrector Runge-Kutta 2

11 72747824.015169 0.303880 344.332877

101 0.094700 0.094791 0.116338

1001 0.029995 0.029995 0.037534

10001 0.009487 0.009487 0.011899

100001 0.003000 0.003000 0.003764

1000001 0.000949 0.000949 0.001025

Cabe notar que, cuando se consideran muchos puntos, el error de los algoritmos disminuye, lo cual es

consistente con el hecho que esta aproximacion funciona mejor para h→ 0, otra cosa que se recalcar es que

si bien tanto AB3 como RK2 fallan a la hora de calcular los datos cuando la discrtizacion tiene pocos puntos,

el algoritmo Predictor/Corrector tuvo un rendimiento bastante bueno para pocos puntos, este hecho puede

deberse al uso del corrector con tal de converger”hacia una solucion, lo cual le entrega una gran precision.

Por ultimo, decir que el algoritmo Predictor/Corrector, tuvo un desempeno notable para todos los valores

de la cantidad de puntos escogida, por tanto, podemos llegar a la conclusion que este corresponde a una

eleccion inteligente a la hora de analizar el comportamiento de una E.D.O.

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