Problema nº 1: “Números buenos y malos” Problema nº 2: “Un reparto a todo tren” Problema...

Problema nº 1: “Números buenos y malos”

Problema nº 2: “Un reparto a todo tren”

Problema nº 3 (Problema CASIO): “Fabricando papel”

Problema nº 4: “¿Césped o piscina?”

Problema nº 5: “Pintando cubos”

Problema nº 6: “π-ratas del Caribe”

Ya que Rocío ha explicado cuándo un número es bueno o malo, ayuda a Isa en su labor de investigación contestando de forma razonada a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos inclusive?

b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que sus cuadrados también lo son?

c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su cuadrado, también lo es?

Don Odón Betanzos ha encargado a sus paisanas Isa y Rocío, entusiastas en el estudio de los números, que investiguen sobre los números buenos y malos.

Rocío después de leer en un famoso libro de matemáticas, le dice a Isa:

“¿Sabes que los números buenos son números enteros superiores o igual a 2 y que pueden escribirse como la suma de números naturales no nulos, distintos o no, dónde la suma de sus inversos es igual a 1 y los números malos son aquellos que no son buenos, es decir, que no cumplen la propiedad anterior?”

SoluciónSolución MenúMenú

Problema nº 1: NÚMEROS BUENOS Y MALOS

Por ejemplo: 18 es un número bueno , porque 18 = 3+3+6+6 y

161

61

31

31

Solución:

EnunciadoEnunciado

a) ¿Cuáles son los números buenos que se encuentran del 2 al 10, ambos inclusive?

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• 3=1+1+1 y (1/1)+(1/1) +(1/1)= 3 ≠ 1 3=1+2 y (1/2)+(1/1) = 3/2 ≠ 1

Por lo tanto, 3 es un número malo

• 4=2+2 y (1/2)+(1/2) = 1 Por lo tanto, 4 es un número bueno

• 5=1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1) +(1/1) + (1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1 5=1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1) = 2 ≠ 1 5=1+4 y (1/4)+(1/1) = 5/4 ≠ 1 5=2+3 y (1/2)+(1/3) = 5/6 ≠ 1


• 2=1+1 y (1/1)+(1/1)= 2 ≠ 1 Por lo tanto, 2 es un número malo

Solución:

EnunciadoEnunciado

• 6=1+1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 6 ≠ 1

6=1+1+1+1+2 y (1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 9/2 ≠ 1

6=1+1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 3 ≠ 1

6=1+2+3 y (1/2)+(1/3)+(1/1) = 11/6 ≠ 1

6=1+1+4 y (1/4)+(1/1)+(1/1) = 9/4 ≠ 1

6=2+4 y (1/2)+(1/4) = 3/4 ≠ 1

6=3+3 y (1/3)+(1/3) = 2/3 ≠ 1

6=1+5 y (1/5)+(1/1) = 6/5 ≠ 1

6=2+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/2) = 3/2 ≠ 1

6=1+1+1+3 y (1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/3) = 10/3 ≠ 1

Por lo tanto, el 6 también es un número malo

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Solución:

EnunciadoEnunciado

• 7=1+1+1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1) +.....+ (1/1) = 7 ≠ 1

7=1+1+1+1+1+2 y (1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 11/2 ≠ 1

7=1+1+1+1+3 y (1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/3) = 13/3 ≠ 1

7=1+1+1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 4 ≠ 1

7=1+2+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 5/2 ≠ 1

7=1+1+1+4 y (1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/4) = 13/4 ≠ 1

7=1+3+3 y (1/3)+(1/3)+(1/1) = 5/3 ≠ 1

7=1+2+4 y (1/2)+(1/4)+(1/1) = 7/4 ≠ 1

7=1+1+5 y (1/1)+(1/1)+(1/5) = 11/5 ≠ 1

7=2+2+3 y (1/2)+(1/2) +(1/3) = 4/3 ≠ 1

7=1+6 y (1/6)+(1/1) = 7/6 ≠ 1

7=2+5 y (1/2)+(1/5) = 7/10 ≠ 1

7=3+4 y (1/3)+(1/4) = 7/12 ≠ 1

Por lo tanto, 7 es también un número malo

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Solución:

EnunciadoEnunciado

• 8=1+1+1+1+1+1+1+1 y (1/1)+(1/1)+.....+ (1/1) = 8 ≠ 1

8=1+1+1+1+1+1+2 y (1/2)+(1/1)+.....+(1/1) = 13/2 ≠ 1

8=1+1+1+1+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1)+(1/1)+(1/1) = 5 ≠ 1

8=1+1+2+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/1)+(1/1) = 7/2 ≠ 1

8=1+1+3+3 y (1/3)+(1/3)+(1/1)+(1/1) = 8/3 ≠ 1

8=1+2+2+3 y (1/3)+(1/2)+(1/2)+(1/1) = 14/6 = 7/3 ≠ 1

8=2+2+2+2 y (1/2)+(1/2)+(1/2)+(1/2) = 4/2 = 2 ≠ 1

8=2+2+4 y (1/2)+(1/2)+(1/4) = 5/4 ≠ 1

8=2+3+3 y (1/2)+(1/3)+(1/3) = 7/6 ≠ 1

8=1+1+6 y (1/6)+(1/1)+(1/1) = 13/6 ≠ 1

8=1+2+5 y (1/2)+(1/5)+(1/1) = 17/10 ≠ 1

8=1+3+4 y (1/3)+(1/4)+(1/1) = 19/12 ≠ 1

8=1+7 y (1/7)+(1/1) = 8/7 ≠ 1

8=2+6 y (1/2)+(1/6) = 4/6 = 2/3 ≠ 1

8=3+5 y (1/3)+(1/5) = 8/15 ≠ 1

8=4+4 y (1/4)+(1/4) = 2/4 = 1/2 ≠ 1


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Solución:

EnunciadoEnunciado

• 9=3+3+3 y (1/3)+(1/3)+(1/3) = 3/3 = 1

• 10=2+4+4 y (1/2)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1

Por lo tanto, 9 es un número bueno

Por lo tanto, 10 es un número bueno

¡Así que los únicos números buenos del 2 al 10 son el 4, el 9 y el 10!

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Solución:

EnunciadoEnunciado

b) Una vez que has calculado cuales son los buenos, ¿puedes afirmar que sus cuadrados también lo son?

Hemos observado que 4 es un número bueno, ¿Será su cuadrado 16 = 42 un número bueno?

Pues sí es bueno ya que 16 = 4+4+4+4 y (1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4) = 4/4 = 1

Además, 9 es un número bueno, ¿también será bueno el 81 = 92?Pues vemos que también es bueno porque 81 = 9+9+9+9+9+9+9+9+9

y (1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)+(1/9)=9/9=1

Pues vemos que también es bueno porque 100=10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 y (1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10)+(1/10) = 10/10 = 1

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El 10 es un número bueno, ¿será bueno el 100 = 102

Solución:

EnunciadoEnunciado

c) Si un número natural cualquiera "n" es bueno, ¿se puede afirmar que su cuadrado, también lo es?

Sabemos que si "n" es un número bueno, su cuadrado “n2“ se puede escribir como la suma del número n, n veces.

Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre vamos a obtener n/n, es decir, la unidad.

Por lo tanto n2 siempre será un número bueno.

Veamos un ejemplo:El número 25 es bueno ya que 25 = 5+5+5+5+5 y (1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5)+(1/5) = 5/5 = 1

Observamos que su cuadrado 252 = 625 es también bueno ya que 625 = 25+25+25+........+25 y (1/25)+(1/25)+........+(1/25) = 25/25 = 1

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Solución:

EnunciadoEnunciado

a) Los números buenos que se encuentran del 2 al 10 son el 4, el 9 y el 10.

Reagrupemos las respuestas:

b) El 4, el 9 y el 10 son números buenos y sus cuadrados, 16, 81 y 100 también son números buenos.

c) Si "n" es bueno, entonces, n2 se puede escribir como la suma del número n, n veces.

Y al sumar n veces el inverso de n (1/n) siempre vamos a obtener la unidad.

Por lo tanto n2 siempre será un número bueno.

HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES...

… pero ¿habrá más formas de calcularlas?

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SoluciónSolución

Problema nº 2: REPARTO A TODO TREN

Giuseppe Peanín, que es el repartidor de la pizzería matelandesa, tiene que entregar un pedido en una casa en el mínimo tiempo posible. Armado de paciencia, ha estudiado minuciosamente los semáforos del barrio y ha descubierto algunas cosas. Los semáforos sólo tienen dos colores: rojo (no se puede pasar) y verde (sí se puede pasar) que se alternan cada dos minutos (dos minutos rojo, dos minutos verde, dos minutos rojo…). Giuseppe tarda 2 minutos y 5 segundos en ir de un semáforo al siguiente. Si en el momento que sale de cualquiera de las dos salidas del aparcamiento, la disposición de los semáforos se acaba de cambiar a la que se indica en el dibujo, ¿cuál es la ruta más rápida para entregar la comida?

Explica razonadamente tu respuesta.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Para empezar, comprobemos lo que parece evidente: en el trayecto más rápido el motorista siempre se moverá hacía el Norte o hacía el Este.

Esto se debe a que nunca le conviene dar la vuelta a una o a dos manzanas para evitar semáforos rojos.

Por ejemplo, si el motorista está situado donde se indica en el dibujo, podría dar la vuelta a la manzana para evitar el semáforo R del camino azul.

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Sin dar la vuelta tarda de un semáforo a otro 2 min 5 s, y esperando al verde 2 min como máximo. En total: 2 (2 m 5 s) + 2 min = 6 min 10 s.

Realmente solamente tendría que esperar 1 m 55 s en el semáforo R.

Dando la vuelta, y suponiendo que no se tiene que parar, tarda como mínimo: 4 · (2 m 5 s) = 8 m 20 s

Si le da la vuelta a dos manzanas, para evitar dos semáforos R, seguiría siendo más rápido por más de 10 s.

Solución:

Dar la vuelta a tres manzanas implicaría en algún momento dar marchar atrás.

Para empezar, comprobemos lo que parece evidente: en el trayecto más rápido el motorista siempre se moverá hacía el Norte o hacía el Este.

Esto se debe a que nunca le conviene dar la vuelta a una o a dos manzanas para evitar semáforos rojos.

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Sin dar la vuelta tarda como máximo: 3 · (2 m 5 s) + 2 · (2 min) = 10 min 15 s.

Dando la vuelta sin pararse tarda: 5 · (2 m 5 s) = 10 m 25 s

1º 2º

3º

4º

5º

En segundo lugar, observemos qué ocurre cuando sale de un semáforo donde se ha parado. Por ejemplo, en el que se indica en la figura.

Si el siguiente semáforo también tiene el mismo color. Cuando los dos semáforos se cambien a V, el motoristaarrancará pero no llegará al 2º semáforohasta que se cambie otra vez. Se tendráque volver a parar 1 min 55 s.

Solución:

Por tanto, el camino más rápido se traza moviéndonos hacía el N o el E. Así pasaremos por 5 semáforos.

Sin embargo si el 2º semáforo tiene distinto color, llegará cuando este en V.

Justamente pasará a los 5 segundos de haberse puesto en V.


1º 2º

3º

4º

5º

Con el siguiente semáforo ocurriría lo mismo. Si no se ha parado y el color es distinto del 2º, lo pasará cuando este tercer semáforo lleve 10 s en V. Si es del mismo color, se tendría que detener 1 min 50 s.

Solución:

Por tanto, el camino más rápido se traza moviéndonos hacía el N o el E. Así pasaremos por 5 semáforos.

Si no se para y el 4º semáforo es de distinto color que el 3º, lo pasará a los 15 s de ponerse V. Si son del mismo color, se parará 1 min 45 s.

Y con el quinto pasaría lo mismo.

Deducimos…


Solución:

El camino más rápido debe tener el mayor número posible de semáforos consecutivos con distinto color y siempre hacia el N o el E. Además, mientras más semáforos pase, menos tiempo tiene que esperar en el siguiente semáforo R.

Utilicemos el diagrama de árbol para buscar el trayecto con menos semáforos consecutivos del mismo color, distinguiendo si en cada cruce nos vamos hacía el N o hacía el E.

Tomaremos el primer cruce hacia el N,en caso contrario el motorista se detendría en el primer semáforo.

1º 2º

3º

4º

5º


El camino más rápido debe tener el mayor número posible de semáforos consecutivos con distinto color y siempre hacía el N o el E.

Además, mientras más semáforos pase, menos tiempo tiene que esperar en el siguiente semáforo R.

Solución:

1º 2º

3º

4º

5º

PizzeríaSalida Norte

R R

R

R

RV

V R

R R

R

R

RV

V V

1

V

11 2

R

R

R

RV

V

3

V

3 4

R

R

V

V

R

RV

R

2

V

3 2Nº de semáforos

consecutivos de igual color

PizzeríaSalida Este

1º

2º

3º

4º

5º


1º 2º

3º

4º

5º

En los tres primeros recorridos, solamente se tiene que parar una vez, pero en el que más tarde se para, es en el tercero.

Solución:

PizzeríaSalida Norte

R R

R

R

RV

V R

R R

R

R

RV

V V

1

V

11 2

R

R

R

RV

V

3

V

3 4

R

R

V

V

R

RV

R

2

V

3 2Nº de semáforos

consecutivos de igual color

PizzeríaSalida Este

1º

2º

3º

4º

5º

EnunciadoEnunciado MenúMenú

EL TRAYECTO MÁS RÁPIDO ES

EL SEÑALADO EN EL PLANO

Solución:

HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...

… pero ¿habrá más formas de encontrarla?

Y ¿qué pasaría si el motorista no sale a la misma vez que se cambian los semáforos?



Problema nº 3: PROBLEMA CASIO: FABRICANDO PAPEL

Solución:

EnunciadoEnunciado

En primer lugar calculamos las dimensiones del mapa de Matelandia:

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Solución:

Ahora calculamos qué superficie necesitamos para obtener el papel necesario:

En primer lugar, vemos cuánto papel se consume al año en Matelandia. Si cada habitante consume 150 kg y en total hay 9.600.000 habitantes se tiene que:

Ahora calculamos los árboles necesarios para ello, sabiendo que cada árbol produce 40 kg:

EnunciadoEnunciado

36.000.000 árboles · 4 m2/árbol = 144.000.000 m2 = 144 km2

Solución:

EnunciadoEnunciado

Sabiendo que cada unidad representa 3 km, una posible representación sería:

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

HEMOS ENCONTRADO LAS SOLUCIONES... … pero ¿habrá más formas de calcularlas?

Algunas otras posibles representaciones serían:

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Problema nº 4: ¿CÉSPED O PISCINA?

Sofía Germain es la presidenta de una comunidad de vecinos. Gracias a una subvención ha construido en la urbanización una zona con césped y dos piscinas (las dos partes más claras que se muestran en el dibujo). Esta nueva construcción, como puede apreciarse, está formada por círculos tangentes entre sí en un punto. El círculo más pequeño tiene de diámetro 6 metros y cada círculo tiene un metro de radio más que el anterior. ¿Qué hay más, agua o césped?

Contesta razonando tu respuesta.

Solución:

EnunciadoEnunciado

El problema, simplificándolo, lo podríamos ver como cuatro círculos tangentes en el punto superior.

La zona verde representa el césped y la azul la piscina.

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Solución:Separamos las circunferencias para calcular el área de cada una de ellas:

6 cm

8 cm


Solución:Separamos las circunferencias para calcular el área de cada una de ellas:

10 cm

12 cm


Solución:

Calculo ahora la superficie de piscina. Nos podemos dar cuenta que hay dos piscinas: la primera, no hay ningún problema, ya la tenemos calculada; la segunda, nos damos cuenta de que es la diferencia entre las superficies del círculo 3 y del círculo 2:


Solución:

Por lo tanto de piscina tenemos:


Solución:

Así, de piscina tenemos:


Solución:

Vamos ahora con el césped, de la misma manera. Calculamos la parte más pequeña de césped, que saldrá de quitarle al círculo 2 el círculo 1.


Solución:

Lo mismo con la otra parte de césped: círculo 4 – círculo 3:


Solución:

En total de césped tenemos:


Solución:

Así, de césped tenemos:


Solución:

HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...


¡¡Sorprendente!! Hay la misma cantidad de

césped que de piscina.

¡¡Sorprendente!! Hay la misma cantidad de

césped que de piscina.


Eva le dice a Beatriz: “Tengo un buen montón de cubitos de 1 cm de arista y con ellos he formado cubos mayores de 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... cm de arista. A continuación he pintado las seis caras de estos cubos mayores. Adivina cuál es el cubo que tiene la misma cantidad de cubitos con una sola cara pintada, que sin ninguna.”

¿Cuántos cubitos forman el cubo que tiene que adivinar Beatriz? Razona tu respuesta

Problema nº 5: PINTANDO CUBOS


Solución:

EnunciadoEnunciado

Comenzamos con 1 cubito:

• Lógicamente va a tener todas sus caras pintadas.

Vamos a ver que ocurre con el cubo de lado 2:

• En este caso, todos los cubitos tendrán tres de sus caras pintadas.

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Solución:

Continuamos con el cubo de lado 3:

Quitamos los cubitos que tienen 2 o 3 caras pintadas y nos encontramos con:

Quitamos los cubitos que tiene una sola cara pintada y nos queda:


Solución:





Solución:

EnunciadoEnunciado

Vamos a observar que ha ocurrido con los cubos:

n=5

n=4

n=3

n=2

6·(5-2)2

6·(4-2)2

6·(3-2)2

6·(2-2)2

(5-2)3

(4-2)3

(3-2)3

(2-2)3

Cubos de lado n Cubitos 1 cara pintada Cubitos 0 caras pintada

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Solución:Vemos que en cada una de las caras del cubo, los cubitos con una

sola cara pintada, si quitamos los cubitos que tienen dos o tres caras pintadas, es igual al cuadrado del número de cubitos de la arista menos 2.

Es decir, cubitos con una cara pintada: (n-2)2

El total de cubitos con una cara pintada será: 6·(n-2)2

El total de cubitos con ninguna cara pintada será: (n-2)3

Como se nos pide que cuál es el cubo que tiene igual cantidad de cubitos con ninguna cara pintada que con una sola cara pintada. Luego tendremos que 6·(n-2)2 =(n-2)3

De donde 6=n-2 por tanto n=8

Luego necesitaremos 83 cubitos pequeños, es decir 512 cubitos de 1cm de arista.


Solución:Vamos a verificarlo con una tabla:


Solución:



El cubo que buscamos es el formado por 8 cubitos en cada lado.

Luego necesitamos 83 cubitos pequeños, es decir:

512 cubitos de 1 cm de arista



Problema nº 6. π-RATAS DEL CARIBE

El pirata Malapata controla todo el Mar de los Números y los tesoros que se encuentran en sus doce islas. En las islas hay desde 1 tesoro hasta 12 tesoros, de forma que dos islas no pueden tener el mismo número de tesoros. Cada semana, Malapata hace distintas expediciones cuadradas y expediciones triangulares para comprobar que sus tesoros no han sido robados (como se muestra en los dibujos A, B y C).

Malapata llama botín de una expedición al número total de tesoros que hay en una expedición. Sabe que el botín de cualquier expedición cuadrada es siempre el mismo, y el botín de cualquier expedición triangular es el mismo botín de su expedición opuesta (véase el dibujo C). Además sabe que existe una diferencia de 3 tesoros entre el botín de una expedición triangular y cualquiera que no sea su opuesta.

Ayuda a Malapata y completa el dibujo adjunto, donde se muestra el número de tesoros de cada isla. Razona cómo lo has hecho.

Solución:

EnunciadoEnunciado

Hay 3 posibles expediciones cuadradas que pasan por las 12 islas sin que una isla pueda estar en dos expediciones distintas. Por tanto el botín de las 3 expediciones cuadradas será la suma de los números del 1 al 12: 1+2+3+….+10+11+12=78. Y como las tres tienen el mismo botín, cada expedición cuadrada tendrá un botín de 26 tesoros.

Empecemos analizando las expediciones cuadradas

Para poder referirnos a las islas sin equívocos, nombramos a cada una de ellas con la letra I (de isla) y como subíndice el número de la posición que ocupa (visualizando las 12 islas como la esfera de un reloj)

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Seguimos con las expediciones cuadradas, veamos qué información podemos obtener de cada una de ellas

I3 + I12 = 14 I7 + I10 = 13 I5 + I11 = 10

Los tesoros que nos faltan por colocar son 2, 4, 6, 7, 8 y 10. Por tanto en I7 e I10 estarán el 6 y el 7, en I3 e I12 estarán el 4 y el 10 y en I5 e I11 el 2 y el 8

VEAMOS COMO QUEDA GRÁFICAMENTE

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Solución: La única forma de conseguir el 13 con

los números sin colocar es usando el 6 y el 7.

También es fácil hallar los

otros

EnunciadoEnunciado

Solución:Empezaremos usando la pareja (expedición triangular y opuesta) de la

que tengamos más datos.

Estudiemos las expediciones triangulares para decidir:

Como el botín de las dos expediciones triangulares opuestas debe de ser igual. I10 +14 = I12 +17. Es decir, I10-3=I12.

La única posibilidad es que I10=7 e I12=4. Y por tanto I7=6 e I3=10


Solución:Utilizamos otra de las expediciones triangulares y su apuesta para

determinar la única duda que nos queda I11+16=I5+10. Es decir, I11+6=I5, por los que I5=8 e I11=2


Solución:



No hemos necesitado usar que existe una diferencia de tres tesoros entre una expedición triangular y cualquier otra que no sea su opuesta.

Pero podemos comprobar que se cumple: las islas 1, 5 y 9 suman 18 tesoros (al igual que las islas 3, 7 y 11) y las islas 2, 6 y 10 suman 21 tesoros (lo mismo que las islas 4, 8 y 12)


Problema nº 1: “Números buenos y malos” Problema nº 2: “Un reparto a todo tren” Problema...

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