PSI 08/09

ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION

1.Calculs de champs « classiques » :

Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace, pour les distributions suivantes :

Remarque : on précisera l’origine des potentiels choisie.

a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur

l’axe de la circonférence ).

b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ;

c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ;

d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ;

e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ;

f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ;

g) Couche infinie d’épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ;

2. Piège électronique :

On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel :

V(x,y,z) = - V0 ( 2z2 – x

2 – y

2 ) / 4d

2 avec V0 > 0

a) Représenter le graphe de V(z) le long de l’axe Oz.

b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz.

c) Calculer le champ E.

d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du

mouvement.

e) A quelle condition sur V0 le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l’espace ? Le

mouvement transversal est-il confiné ?

3. Capacité d’un câble coaxial ( PT 99 )

On considère une ligne coaxiale de longueur

l constituée de deux cylindres de rayons a et

b, d’axe Oz et d’épaisseur négligeable,

séparés par un diélectrique assimilé à du

vide. On a l >> a, b : la ligne peut être

assimilée à une ligne infinie.

Les conducteurs portent respectivement les

charges Q et –Q uniformément réparties sur

les surfaces des conducteurs de rayons a et b.

a) Montrer que le champ électrique est radial

et qu’il ne dépend que de r, soit ru.)r(E =E�

�

.

b) Etablir l’expression de E(r) en tout point de l’espace, en fonction de Q, ε0, r, l, a et b.

c) Le conducteur central est porté au potentiel V1, et l’autre conducteur au potentiel V2. Exprimer la

différence de potentiel V2- V1 en fonction de Q, ε0, l, a et b.

d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de

potentiel V2- V1 ; déterminer C en fonction de Q, ε0, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de

longueur.

e) Quelle est la densité volumique d’énergie électrostatique ? En déduire l’énergie électrostatique

emmagasinée par le câble.

f) Quelle est l’énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de

potentiel V2- V1 ? Retrouver l’expression de C.

l a b

Q -Q

4. Condensateur plan

On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques

uniformes ± σ.

a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace.

b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et –Q ;

on néglige les effets de bord – ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la

différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan.

5.Charge dans le champ d’un dipôle :

a) Rappeler la définition d’un dipole électrostatique, ainsi

que le potentiel créé en un point M.

b) On considère un dipôle de moment P, au centre d’un

cercle de rayon r. Donner l’expression du potentiel et du

champ créés par ce dipôle aux points A et A’, extrémités

du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B’ du

diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points.

c) Une charge q0 est placée au point A. Quel est le travail

d’un opérateur déplaçant q0 de A à A’ ; de A’ à B, de B à

B’ ? Exprimer ce travail en fonction de q0 et du potentiel

VA en A.

6. Interaction entre molécules d’eau :

Le moment dipolaire d’une molécule d’eau a pour valeur :

p = 0,62.10-29

C.m

On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre

les molécules est d = 10,0 nm.

Quelle est la force d’interaction qui s’exerce entre ces deux molécules ?

Réponse : f = 6p2 / 4πε0d

4.

7.Etude du potentiel de Yukawa :

Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire

forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ – 1°)Calculer le

champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace.

On donne en coordonnées sphériques :

gradff

r r

fu

r

fu

�

� � �

= + +∂

∂

∂

∂θ θ

∂

∂ϕθ ϕu r

1 1

sin

2°) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O.

3°) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace ?

b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera.

c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges ?

4°) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace.

5°)Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges

Z(r) = 4πr2 ρ(r).

Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum ?

B

A »

’4’

B’

A

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ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION

1.Calculs de champs « classiques » :

Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace, pour les distributions suivantes :

Remarque : on précisera l’origine des potentiels choisie.

a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur

l’axe de la circonférence ).

b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ;

c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ;

d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ;

e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ;

f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ;

g) Couche infinie d’épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ;

2. Piège électronique :

On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel :

V(x,y,z) = - V0 ( 2z2 – x

2 – y

2 ) / 4d

2 avec V0 > 0

a) Représenter le graphe de V(z) le long de l’axe Oz.

b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz.

c) Calculer le champ E.

d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du

mouvement.

e) A quelle condition sur V0 le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l’espace ? Le

mouvement transversal est-il confiné ?

3. Capacité d’un câble coaxial ( PT 99 )

On considère une ligne coaxiale de longueur

l constituée de deux cylindres de rayons a et

b, d’axe Oz et d’épaisseur négligeable,

séparés par un diélectrique assimilé à du

vide. On a l >> a, b : la ligne peut être

assimilée à une ligne infinie.

Les conducteurs portent respectivement les

charges Q et –Q uniformément réparties sur

les surfaces des conducteurs de rayons a et b.

a) Montrer que le champ électrique est radial

et qu’il ne dépend que de r, soit ru.)r(E =E�

�

.

b) Etablir l’expression de E(r) en tout point de l’espace, en fonction de Q, ε0, r, l, a et b.

c) Le conducteur central est porté au potentiel V1, et l’autre conducteur au potentiel V2. Exprimer la

différence de potentiel V2- V1 en fonction de Q, ε0, l, a et b.

d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de

potentiel V2- V1 ; déterminer C en fonction de Q, ε0, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de

longueur.

e) Quelle est la densité volumique d’énergie électrostatique ? En déduire l’énergie électrostatique

emmagasinée par le câble.

f) Quelle est l’énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de

potentiel V2- V1 ? Retrouver l’expression de C.

l a b

Q -Q

4. Condensateur plan

On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques

uniformes ± σ.

a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace.

b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et –Q ;

on néglige les effets de bord – ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la

différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan.

5.Charge dans le champ d’un dipôle :

a) Rappeler la définition d’un dipole électrostatique, ainsi

que le potentiel créé en un point M.

b) On considère un dipôle de moment P, au centre d’un

cercle de rayon r. Donner l’expression du potentiel et du

champ créés par ce dipôle aux points A et A’, extrémités

du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B’ du

diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points.

c) Une charge q0 est placée au point A. Quel est le travail

d’un opérateur déplaçant q0 de A à A’ ; de A’ à B, de B à

B’ ? Exprimer ce travail en fonction de q0 et du potentiel

VA en A.

6. Interaction entre molécules d’eau :

Le moment dipolaire d’une molécule d’eau a pour valeur :

p = 0,62.10-29

C.m

On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre

les molécules est d = 10,0 nm.

Quelle est la force d’interaction qui s’exerce entre ces deux molécules ?

Réponse : f = 6p2 / 4πε0d

4.

7.Etude du potentiel de Yukawa :

Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire

forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ – 1°)Calculer le

champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace.

On donne en coordonnées sphériques :

gradff

r r

fu

r

fu

�

� � �

= + +∂

∂

∂

∂θ θ

∂

∂ϕθ ϕu r

1 1

sin

2°) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O.

3°) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace ?

b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera.

c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges ?

4°) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace.

5°)Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges

Z(r) = 4πr2 ρ(r).

Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum ?

B

A »

’4’

B’

A

PSI 08/09

ELECTROSTATIQUE - EXERCICES DE REVISION

1.Calculs de champs « classiques » :

Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace, pour les distributions suivantes :

Remarque : on précisera l’origine des potentiels choisie.

a) Circonférence de rayon R chargée avec une densité linéique uniforme λ ( on calculera le champ sur

l’axe de la circonférence ).

b) Droite infinie chargée avec une densité linéique uniforme λ ;

c) Cylindre infini de rayon R chargé avec une densité volumique uniforme ρ ;

d) Sphère de rayon R chargée en surface avec une densité surfacique uniforme σ ;

e) Sphère de rayon R chargée en volume avec une densité volumique uniforme ρ ;

f) Plan infini x = 0 chargé avec une densité surfacique uniforme σ ;

g) Couche infinie d’épaisseur 2a chargée avec une densité volumique uniforme ρ ;

2. Piège électronique :

On considère un champ électrostatique dérivant du potentiel :

V(x,y,z) = - V0 ( 2z2 – x

2 – y

2 ) / 4d

2 avec V0 > 0

a) Représenter le graphe de V(z) le long de l’axe Oz.

b) Trouver les équipotentielles dans le plan Oxy et dans un plan quelconque passant par Oz.

c) Calculer le champ E.

d) Un électron est soumis à la force électrostatique exercée par ce champ. Ecrire les équations du

mouvement.

e) A quelle condition sur V0 le mouvement axial est-il confiné dans une région limitée de l’espace ? Le

mouvement transversal est-il confiné ?

3. Capacité d’un câble coaxial ( PT 99 )

On considère une ligne coaxiale de longueur

l constituée de deux cylindres de rayons a et

b, d’axe Oz et d’épaisseur négligeable,

séparés par un diélectrique assimilé à du

vide. On a l >> a, b : la ligne peut être

assimilée à une ligne infinie.

Les conducteurs portent respectivement les

charges Q et –Q uniformément réparties sur

les surfaces des conducteurs de rayons a et b.

a) Montrer que le champ électrique est radial

et qu’il ne dépend que de r, soit ru.)r(E =E�

�

.

b) Etablir l’expression de E(r) en tout point de l’espace, en fonction de Q, ε0, r, l, a et b.

c) Le conducteur central est porté au potentiel V1, et l’autre conducteur au potentiel V2. Exprimer la

différence de potentiel V2- V1 en fonction de Q, ε0, l, a et b.

d) La capacité C du condensateur formé par les deux armatures est le quotient de Q par la différence de

potentiel V2- V1 ; déterminer C en fonction de Q, ε0, l, a et b. En déduire la capacité du câble par unité de

longueur.

e) Quelle est la densité volumique d’énergie électrostatique ? En déduire l’énergie électrostatique

emmagasinée par le câble.

f) Quelle est l’énergie emmagasinée par un condensateur de capacité C chargé sous une différence de

potentiel V2- V1 ? Retrouver l’expression de C.

l a b

Q -Q

4. Condensateur plan

On considère un système de deux plans infinis situés en x = ± a, chargés avec les densités surfaciques

uniformes ± σ.

a) Calculer le champ et le potentiel en tout point de l’espace.

b) Un condensateur plan est formé de deux armatures planes de surface S portant les charges Q et –Q ;

on néglige les effets de bord – ce qui revient à assimiler les armatures à des plans infinis. Calculer la

différence de potentiel entre les deux armatures. En déduire la capacité du condensateur plan.

5.Charge dans le champ d’un dipôle :

a) Rappeler la définition d’un dipole électrostatique, ainsi

que le potentiel créé en un point M.

b) On considère un dipôle de moment P, au centre d’un

cercle de rayon r. Donner l’expression du potentiel et du

champ créés par ce dipôle aux points A et A’, extrémités

du diamètre parallèle à p, et aux extrémités B et B’ du

diamètre perpendiculaire à p. Représenter E en ces points.

c) Une charge q0 est placée au point A. Quel est le travail

d’un opérateur déplaçant q0 de A à A’ ; de A’ à B, de B à

B’ ? Exprimer ce travail en fonction de q0 et du potentiel

VA en A.

6. Interaction entre molécules d’eau :

Le moment dipolaire d’une molécule d’eau a pour valeur :

p = 0,62.10-29

C.m

On considère deux molécules dont les moments dipolaires sont alignés sur une droite D. La distance entre

les molécules est d = 10,0 nm.

Quelle est la force d’interaction qui s’exerce entre ces deux molécules ?

Réponse : f = 6p2 / 4πε0d

4.

7.Etude du potentiel de Yukawa :

Ce potentiel fut introduit en 1934 par le physicien japonais Hideki Yukawa pour décrire l' interaction nucléaire

forte entre un proton et un neutron. Il prédit qu'une particule devrait être associée à ce champ – 1°)Calculer le

champ électrostatique crée par cette distribution en tout point de l'espace.

On donne en coordonnées sphériques :

gradff

r r

fu

r

fu

�

� � �

= + +∂

∂

∂

∂θ θ

∂

∂ϕθ ϕu r

1 1

sin

2°) Calculer la charge q(r) contenue dans une sphère de rayon r et de centre O.

3°) a) Quelle est la charge contenue dans tout l'espace ?

b) Montrer qu'il existe en O une charge ponctuelle que l'on déterminera.

c) Quel système pourrait être modélisé par cette distribution de charges ?

4°) Calculer la densité volumique de charge ρ(r) en tout point de l'espace.

5°)Etudier et tracer l'allure de la densité radiale de charges

Z(r) = 4πr2 ρ(r).

Quelle est d'après vous la signification physique de l'extrémum ?

B

A »

’4’

B’

A