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Exercices de traitement numérique du signal Gabriel Dauphin 1 Cours A : description d’un signal 1.1 Exercices d’application Exercice 1 (29) On considère un signal s 1 (t) = cos(2πt) et s 2 (t)= | cos(2πt)| t repré- sente le temps mesuré en secondes. 1. Représentez s 1 (t) et s 2 (t) sur un graphique pour t [0, 2]. 2. Montrez que s 1 est périodique de période 1. 3. Proposez une formule à appliquer pour calculer la puissance du signal ? 4. Démontrez la formule trigonométrique cos 2 (2πt)= 1+cos(4πt) 2 5. Déduisez la puissance de s 1 . 6. Montrez que s 2 est périodique de période 1/2. 7. Proposez une formule à appliquer pour calculer la puissance, si possible la même que la précédente. 8. Montrez que la puissance de s 2 est la même que la puissance de s 1 . 1

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  • Exercices de traitement numrique du signal

    Gabriel Dauphin

    1 Cours A : description dun signal

    1.1 Exercices dapplicationExercice 1 (29) On considre un signal s1(t) = cos(2t) et s2(t) = | cos(2t)| o t repr-sente le temps mesur en secondes.

    1. Reprsentez s1(t) et s2(t) sur un graphique pour t [0, 2].2. Montrez que s1 est priodique de priode 1.

    3. Proposez une formule appliquer pour calculer la puissance du signal ?

    4. Dmontrez la formule trigonomtrique cos2(2t) = 1+cos(4t)25. Dduisez la puissance de s1.

    6. Montrez que s2 est priodique de priode 1/2.

    7. Proposez une formule appliquer pour calculer la puissance, si possible la mmeque la prcdente.

    8. Montrez que la puissance de s2 est la mme que la puissance de s1.1

  • 1.2 Exercices pour approfondirExercice 2 (ex28) On considre un robinet qui goutte. On considre que les gouttes deausont de mme taille et ont un volume de 1/20mL. Le dbit de la moyen de la fuite est de0.3Lh1. Expliquez comment ce phnomne peut se modliser par :

    1. un signal temps continu valeurs relles,

    2. un signal temps continu valeurs discrtes,

    3. un signal temps discret valeurs relles,

    4. un signal temps discret valeurs discrtes.

    Pour chacun de ces modles indiquez la priode dchantillonnage et la frquence dchan-tillonnage lorsque cela est ncessaire.

    2 Cours B : Echantillonnage dun signal

    2.1 Exercices dapplication

    2.2 Exercices pour approfondirExercice 3 (33) Un filtre anti-repliement de spectre est souvent plac avant lchantillon-nage. A quoi est-ce que cela sert ? Ce filtre est souvent analogique, comment pourrait-onutiliser un filtre numrique la place ?

    2

  • Exercice 4 (2)On considre un signal s0 = sin(2f0t) avec f0 = 3kHz.

    1. Expliquez pourquoi lnergie est infinie et calculez la puissance.2. Tracez ce signal s0 et le signal chantillonn fe = 18kHz, not se1. Tracez la

    reconstruction de ce signal par un bloqueur dordre 0, not sr. Montrez que daprsle graphique il est possible que la puissance du signal chantillonn soit la mmeque le signal de dpart. Que nous informe le critre de Nyquist ?

    3. Montrez que le signal chantillonn est priodique.4. Calculez la puissance du signal chantillonn, et celle du signal reconstruit.5. Tracez s0 et se quand fe = 20kHz.6. Donnez les conditions sur f0 et fe pour que se soit priodique et indiquez alors cette

    priode.7. Montrez que la puissance du signal chantillonn est conserve mme quand le

    signal chantillonn nest plus priodique.

    3 Cours C : Srie de Fourier, transforme de Fourier

    3.1 Exercices dapplicationExercice 5 (51) On considre le signal temps continu et priodique de priode 2 dfinipar sur [0, 2] par x(t) = 1[0,1](t). Calculez la transforme de Fourier et reprsentez gra-3

  • phiquement le module de la transforme de Fourier en fonction de la frquence.

    Exercice 6 (30) On cherche calculer la transforme de Fourier de s(t) = sin2(2t) =1cos(4t)

    2

    1. Reprsentez sur une mme figure les fonctions sin(2t), cos(2t), 1/2 cos(4t) etsin2(2t) pour t [0, 1].

    2. Ecrivez sin(2t) comme une combinaison linaire dexponentielles complexes.3. Montrez que sin(2t) est priodique de priode 1. Dduisez de ceci que la prc-

    dente formule est en fait la dcomposition en srie de Fourier de sin(2t) en expo-nentielles complexes. Que valent les coefficients de la srie Fourier de sin(2t) ?

    4. Que vaut la transforme de Fourier de sin(2t) ?5. En dduire la transforme de Fourier de cos(2t) = sin(2(t1/4)) ? (la fonction

    cosinus est en avance dun quart de priode par rapport la fonction sinus, elle estdonc en opposition de phase avec la fonction sinus retarde dun quart de priode).

    6. On observe que la fonction cos(4t) est une contraction de la fonction cos(2t),calculez sa transforme de Fourier ?

    7. Quelle est la transforme de Fourier de la fonction constante t 7 1 ?8. En utilisant la formule trigonomtrique initiale, quelle est la transforme de Fourier

    de sin2(2t) ?9. Calculez la transforme de Fourier inverse de celle trouve et retrouvez la formule

    trigonomtrique initiale.4

  • Exercice 7 (31) On cherche dterminer la transforme de Fourier de

    s(t) = 1[0,1](t) + 1[0,2](t)

    1. Reprsentez le signal s pour t [0, 2].2. Calculez la transforme de Fourier de s1(t) = 1[0,1](t) en utilisant la transforme de

    Fourier S(f ) = s(t)e

    j2ftdt, montrez quelle se met sous la forme de

    S1(f ) = ejf sin(f )

    f

    3. Expliquez le fait que ce signal ne soit pas valeurs relles ?

    4. Calculez la transforme de Fourier en f = 0 sans utiliser la formule plus haut.

    5. Dduisez la transforme de Fourier de s2(t) = 1[0,2](t)

    6. Montrez que la transforme de Fourier de s se met sous la forme suivante :

    S(f ) =2 e2jf e4jf

    2jf

    7. Pour faciliter la reprsentation du module de la transforme de Fourier, il est engnral souhaitable dexprimer ce module sous la forme de produit de fonctionsimple. Aprs avoir remarqu que le numrateur sannule en la frquence nulle et

    5

  • effectu une factorisation, montrez que le module de la transforme de Fourier semet sous la forme suivante :

    |S(f )| =sin ff

    5 + 4 cos 2f8. Dessinez main leve le module de la transforme de Fourier pour f [4, 4].

    Exercice 8 (6)Soit le signal dfini par x(t) = 0 pour t 6] 1, 3[, x(t) = t pour t ]1, 2[, x(t) = 2 t

    pour t ]0, 1[ et x(t) = 2 pour t ] 1, 0[ et aussi pour t ]2, 3[.1. Calculez arg(X(f )).2. Calculez X(0).3. Calculez

    X(f )df .

    4. Calculez|X(f )|2df .

    3.2 Exercices pour approfondirExercice 9 (3)

    Donnez le dveloppement en srie de Fourier dun pulse priodique de priode T , delargeur et damplitude A, centr par rapport lorigine. En posant K = T , donnezle nombre de raies du lobe principal et des lobes secondaires. Que se passe-t-il pourK + en maintenant A/K constant.

    6

  • Exercice 10 (4)Donnez la transforme de Fourier dun pulse de largeur et damplitude A, centr

    autour de lorigine. Donnez la largeur du lobe principale et des lobes secondaires. Quese passe-t-il pour 0 en maintenant A constant ?

    Exercice 11 (7)On considre un signal s0(t) sinusodal de frquence f0 = 1kHz sur une dure T

    variant entre 0.5ms et 10ms. On cherche visualiser comment volue cette transformede Fourier.

    1. Montrez que pour un signal quelconque s(t), la transforme de Fourier de s(t)1[T/2,T/2]est +

    S(f )sin(T )

    d

    Pour cela on peut exprimer s(t) et 1[T/2,T/2] en fonction de leur transforme deFourier.

    2. Calculez alors le spectre de s0(t).3. Reprsentez ce spectre, et commentez en terme du principe dincertitude temps/frquence.4. La fentre de Hanning est dfinie par s(t) = 0.5 + 0.5 cos(2tT ). Dessinez son spectre

    et commentez par rapport au spectre dun signal crneau.5. La fentre de Hamming est dfinie par s(t) = 0.54 + 0.46 cos(2tT ), dessinez son

    spectre.7

  • 4 Cours D : TFD, TFTD

    4.1 Exercices dapplicationExercice 12 (34)

    On considre le signal priodique x1[n] de motif {1, 0, 0, 1} et le signal x2[n] prio-dique de motif {1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1}. Calculez les transformes de Fourier discrtes de cesdeux signaux. Montrez comment les deux sexpriment en fonction dun cosinus et commentla deuxime aurait pu se dduire de la premire.

    Exercice 13 (40) On considre deux signaux xn et yn dfinis par

    xn = n + n2 et yn = n + n1 + n2 (1)

    o n est la suite nulle sauf en n = 0 o elle vaut 1. On cherche calculer la transformede Fourier. La frquence dchantillonnage est note fe et vaut 1kHz.

    1. Dessinez les signaux xn et yn. Sagit-il de signaux temps discret/temps continu,sagit-il de signaux priodiques ou non-priodiques. Quelle transforme de Fouriervous semble adapte pour de tels signaux ?

    2. Calculez la transforme de Fourier de xn, note X(f ).

    3. Retrouvez la signal xn en calculant la transforme de Fourier inverse. Pour cela ilest conseill de traiter sparment les trois cas n = 0, n = 2, n 6 {0, 2}.

    8

  • 4. On considre un complexe z, montrez que

    1 + z + z2 =z3/2

    z1/2

    (z3/2 z3/2

    z1/2 z1/2

    )(2)

    5. Dduisez de (2) que

    1 + ej + e2j = ejsin(32)

    sin(12)(3)

    6. Utilisez (3) pour en dduire la transforme de Fourier de yn, note Y (f ).

    7. Reprsentez |Y (f )| en utilisant le fait qu basse frquence cela ressemble unsinus cardinal.

    Exercice 14 (45) On considre xn, un signal temps discret priodique de priode 4 chan-tillonn la frquence fe = 100Hz. Les premires valeurs de xn sont x0 = x1 = 1 etx2 = x3 = 0.

    Calculez le module de la transforme de Fourier de ce signal. Reprsentez graphique-ment le module de la transforme de Fourier en fonction de la frquence.

    4.2 Exercices pour approfondirExercice 15 (15)

    9

  • On considre le signal cosinus tel que : x[k] = cos(2k/6), observ sur une durelimite T=N.Te, avec comme frquence dchantillonnage fe = 1kHz. On considre 3cas : N=6, N=12 et N=16.

    1. Quelle est la frquence du signal temps discret sil tait dfini sur une dureinfinie ?

    2. Calculez la TFD dans les deux premiers cas. On pourra saider de ce que sur lor-dinateur on trouve les rsultats affichs sur la figure 1.

    3. Le calcul de la TFD dans ces 3 configurations donne les rsultats suivants montrssur la figure 1. Mettez les bonnes chelles en frquences pour les trois graphiques.Confrontez ce rsultat ceux trouvs prcdemment. Expliquez pourquoi le troi-sime cas est diffrent.

    4. Proposez une ide pour attnuer les distorsions dans le 3me cas ?

    Exercice 16 (18)Cet exercice a pour but dintroduire lalgorithme de FFT (Fast Fourier Transform).

    Pour simplier les critures, on a pris une transforme de Fourier discrte (TFD) de tailleN = 8. Le signal temps discret priodique est not x1, x1, ... x7 ; les coefficients de latransforme de Fourier discrte sont notes : X1, ... X7.

    1. En regroupant les termes dindices pairs et les termes dindices impairs, montrezque lon peut calculer la suite Xk partir de deux TFD de longueur 4. Donnezlalgorithme qui itre cette opration.

    10

  • FIGURE 1 s0,se,sa

    11

  • 2. En comparant uniquement le nombre de multiplications et dadditions effectues delalgorithme prcdent celui dun calcul direct, donnez le gain de calcul. Appli-quez ce rsultat N = 1024.

    5 Cours E : Repliement de spectre

    5.1 Exercices dapplicationExercice 17 (41) On considre une suite hn = n n1 On considre une entre ayantles valeurs suivantes

    x0 = 1 x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x4 = 1 x5 = 1

    Calculez yn = hnd xn Vous pourrez dabord montrer que

    yn = xn xn1Remarquez quon a ici calcul la sortie yn dun filtre de rponse impulsionnelle hn dontlentre est xn.

    Exercice 18 (42) On considre une filtre analogique dfini par

    y(t) =

    tt1

    x( ) d

    o x(t) est lentre et y(t) est la sortie.12

  • 1. Calculez y(t) quand x(t) = (t) en distinguant le cas o t < 0, t [0, 1] et t > 1.On note h(t) le rsultat trouve, cest la rponse impulsionnelle.

    2. Tracez la rponse impulsionnelle.

    3. Calculez la transforme de Fourier de h(t). On pourra utiliser le fait que

    TF[1[1/2,1/2]

    ](f ) =

    sin(f )

    f

    Cest la rponse frquentielle note H(f ).

    4. Sagit-il dun passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande ou passe-tout ?

    Exercice 19 (43) On considre une frquence dchantillonnage fe = 100Hz. On consi-dre un filtre numrique dfini par

    y = xn1 (4)

    1. On considre une entre xn = n. Calculez la sortie yn correspondant cette entre.Cette sortie est note hn, il sagit de la rponse impulsionnelle du filtre.

    2. Tracez la rponse impulsionnelle

    3. Calculez la transforme de Fourier temps discret de hn. Cest ce quon appelle larponse frquentielle note H(f ).

    4. Tracez le module de la rponse frquentielle. Sagit-il dun passe-bas, passe-haut,passe-bande, coupe-bande ou un passe-tout ?

    13

  • 5. Montrez en utilisant (4) que

    Y (f ) = H(f )X(f )

    Exercice 20 (44) On considre un signal xn que lon cherche sur-chantillonner endoublant la frquence dchantillonnage. On suppose que xn = 0 pour n < 0. Le pro-cd consiste dabord rajouter des chantillons nuls aprs chaque chantillon, le signalobtenu est zn

    z2n = xn z2n+1 = 0

    Puis on applique un filtre au signal zn, la sortie du filtre est note yn

    yn = zn + zn1

    1. On considre le cas de xn dfini par

    x0 = 2 x1 = 1 x2 = 3 x3 = 2

    Tracez sur le mme graphique xn, zn et yn.

    2. Exprimez z0, . . . z7 en fonction de x0, x1, x2, x33. Dmontrez les relations suivantes

    z2n+1 = xn z2n = xn14

  • 5.2 Exercices pour approfondir

    6 Cours EBis : Densit spectrale et autocorrlationExercice 21 (49) On considre la frquence dchantillonnage fe = 100Hz. On considrele filtre numriqueH dfini par lquation aux diffrences suivante

    yn+1 +yn2

    = xn

    o xn est lentre et xn est la sortie. Calculez la rponse frquentielle.

    Exercice 22 (46) On considre un signal temps continue non-priodique x(t) = 1[0,1](t).Calculez la densit spectrale dnergie. Reprsentez graphiquement cette densit spec-trale dnergie.

    7 Cours 1F : Filtres analogiques

    7.1 Exercices dapplicationsExercice 23 (5)

    Calculez les transformes de Laplace de sin(2f0t)1R+(t) et cos(2f0t)1R+(t).

    1. En utilisant les proprits de drivation, reliant le sinus au cosinus, vrifiez que laTL du cosinus se calcule bien partir de la TL du sinus.

    15

  • 2. En utilisant les proprits dintgration, reliant le cosinus au sinus, vrifiez que laTL du sinus se calcule bien partir de la TL du cosinus.

    Exercice 24 (11)

    1. Calculez la transforme de Laplace de s1(t) = cos(2f0t)1R+(t).

    2. Calculez la transforme de Fourier de s1(t). Commentez les diffrences et ressem-blances entre les deux formules.

    3. s2(t) = sin(2f0t)1R+(t) sexprime en fonction de la drive de s1(t) en dduire latransforme de Laplace de s2(t). Commentez la pertinence physique de ce calcul.

    Exercice 25 (47) On considre un filtre analogiqueH dfini par lquation diffrentiellesuivante

    dy

    dt+y

    2= x

    o x(t) est lentre et y(t) est la sortie. Montrez que ce filtre est stable.

    7.2 Exercices pour approfondirExercice 26 (8)

    16

  • On considre un signal y(t), temps continu et non-priodique dont lnergie vaut 1. On

    donne une premire dfinition de la dure utile du signal T = 2

    t2y2(t) dt et la lar-

    geur utile du spectre f = 2

    f 2|Y (f )|2df . On montre par une intgration par partieet en utilisant lhypothse que le signal est dnergie finie qualors Tf 1 . En effetdune part

    ytydt = [0.5y2t]+ 0.5

    y2dt = 0.5 et dautre part daprs lingalit

    de Cauchy-Schwartz, ce terme est major en valeur absolue par

    (ty)2dt

    (y)2dt. La

    transforme de Fourier de y(t) est 2jfY (f ), cela permet dobtenir lingalit recher-che.

    1. Expliquez pourquoi le fait dimposer que lnergie vaut 1 est utile dans cette inga-lit. Rcrire lingalit pour des signaux qui nauraient pas une nergie gale 1.

    2. On dfinit la date moyenne dun signal t0 =

    ty2(t)dt, et on redfinit la dureutile par

    T = 2

    (t t0)2y2(t) dt. Expliquez lintrt de cette nouvelle dfinition et mon-trez que lingalit est encore valable avec cette nouvelle dfinition.

    3. On dfini la frquence moyenne dun signal par f0 =

    f |Y (f )|2df et de mme on

    dfinit un nouvelle dfinition de la largeur utile du spectre par f = 2

    (f f0)2|Y (f )|2df .Expliquez lintrt de cette dfinition et pourquoi lingalit reste valable.

    17

  • 4. Expliquez pourquoi lingalit respecte la faon dont la transforme dun signal sedforme quand on dilate lchelle de temps, sans utiliser les dfinitions issues desdeux dernires questions.

    5. On sait que la transforme dune gaussienne est une gaussienne et que lingalitdevient une galit quand on lapplique une gaussienne et que

    eu

    2du =

    ,

    (rsultat que lon pourrait vrifier sous Excel). Comment scrit la rponse impul-sionnelle dun filtre gaussien qui a pour objectif de moyenner (et par suite dont latransforme de Fourier en la frquence nulle est gale 1). Quelle est la rponsefrquentielle de ce filtre (i.e. la transforme de Fourier de la rponse impulsion-nelle) ?

    6. Montrez quun signal crneau respecte cette ingalit.

    7. Donnez la dure utile de la rponse impulsionnelle en fonction dun gabarit dunpasse-bas.

    Exercice 27 (9)On considre un filtre de transforme de Laplace H(p) = ap+1p+b , avec a, b dans R.

    1. Pour quelles valeurs de b ce filtre est-il stable ?

    2. Calculez la rponse frquentielle de ce filtre.

    3. Donnez la relation entre a et b pour que H(0) = 1. A quoi sert cette relation ?

    4. Reprsentez le module de la rponse frquentielle quand b ]0, 1[ puis quand b ]1,+[. Commentez.

    18

  • 5. Calculez la rponse impulsionnelle de ce filtre. Commentez sur la stabilit du filtre.

    6. Reprendre les deux dernires questions en considrant une nouvelle chelle detemps t = 2t applique un nouveau filtre H(p) = 1p+1.

    7. Ecrire la relation entre-sortie sous la forme dune quation diffrentielle.

    8. Ecrivez la relation entre-sortie sous la forme dune quation intgrale.

    La transforme de Laplace est dfinie par H(p) = +0 h(t)e

    ptdt

    La transforme de Fourier est dfinie par H(f ) = h(t)e

    j2ftdt

    Exercice 28 (39) On considre un filtre de rponse impulsionnelle

    h(t) = 1[0,1](t)

    Lentre de ce filtres est note x(t) et la sortie est note y(t). Un tel filtre est appelmoyenneur.

    1. Expliquez pourquoi ce filtre est stable ?

    2. Montrez que la sortie du filtre sexprime en fonction de lentre

    y(t) =

    tt1

    x( )d

    3. On place en entre un chelon : x(t) = 1[0,+[(t) Calculez la sortie y(t) en distin-guant le cas t < 0, t [0, 1] et le cas t > 1.

    19

  • 4. Reprsentez graphiquement la sortie du filtre y(t).

    5. Calculez la fonction de transfert de ce filtre.

    6. Expliquez pourquoi ce filtre nest pas un filtre rationnel ?

    7. Pourquoi peut-on dire que ce filtre est stable ?

    8. Montrez que H(0) = 1. Pourquoi est-ce une proprit attendue dun filtre moyen-neur.

    8 Cours 2F : Filtres numriques, MA, AR, ARMA, Trans-forme en Z

    8.1 Exercices dapplicationExercice 29 (12)

    On dsigne par en et sn respectivement les valeurs de lentre et de la sortie du filtre linstant nTe dfini dans la figure 2 (p. 21).

    1. Montrer que lalgorithme de ce filtre peut scrire : sn = aen + bsn1, (a et b sontdeux coefficients constants).

    2. En dduire que la fonction de transfert en z de ce filtre peut scrire : T (z) = a1bz1 .

    La transforme en Z scrit TZ[hn] =

    n0 hnzn

    20

  • FIGURE 2 s0,se,sa (exercice 29, (12))

    Exercice 30 (20)On considre le filtre de fonction de transfert H#(z) = 1 + 3z1 + 6z2 + 3z3 + z4.

    Pourquoi ce filtre est phase linaire ? Montrez quil se comporte comme un filtre retard, quel est ce retard ?

    Exercice 31 (48) On considre le filtre numriqueH dfini par lquation aux diffrencessuivante

    yn+1 +yn2

    = xn

    o xn est lentre et xn est la sortie. Calculez la rponse impulsionnelle.

    21

  • Exercice 32 (49) On considre la frquence dchantillonnage fe = 100Hz. On considrele filtre numriqueH dfini par lquation aux diffrences suivante

    yn+1 +yn2

    = xn

    o xn est lentre et xn est la sortie. Calculez la rponse frquentielle.

    Exercice 33 (14) On dfinit deux filtres. Le premier filtre est dfini par sa rponse impul-sionnelle : han = [n] + 2[n 1] + [n 2]. Le deuxime filtre est dfini par sa fonctionde transfert : H(z) = 1+3z

    1

    2z1 .Pour les diffrents filtres ci-dessus, utiliss avec une frquence dchantillonnage de

    1MHz, complter les informations de manire avoir :1. Le type de filtre (RII,RIF)2. La stabilit3. Le diagramme de ple et de zros4. La rponse impulsionnelle5. Lallure du module de la rponse frquentielle.6. Quelle est lquation qui lie lentre et la sortie.

    8.2 Exercices pour approfondirExercice 34 (10)

    22

  • On considre le signal chantillonn fe = 8kHz, xn = cos(2nf0Te), avec f0 =1kHz. Ce signal est transform par un filtre de rponse impulsionnelle hn = 12n

    12n2.

    1. Exprimez yn = hn ? xn en fonction de xn.

    2. Reprsentez xn et xn2 sur un premier graphique puis yn sur un deuxime gra-phique. Lintervalle de temps considr est [0, 2ms]. Daprs le graphique, quand|yn| est maximal et quand |yn| est minimal que peut-on dire de xn, et de xn1. Pour-quoi on sait dj que yn est priodique ? Pourquoi sait-on que yn est une sinusodede frquence f0 ?

    3. Calculez yn, on pourra utiliser les valeurs numriques de f0 et fe.

    4. En utilisant de f0 et fe, les valeurs numriques de f0 et fe, calculez les transformede Fourier xn, hn. Calculez le module et largument de la rponse frquentielle.Reprsentez graphiquement la rponse frquentielle, sagit-il dun passe-haut, dunpasse-bas ?

    5. On pose = arg(H(f0))2f0 . Expliquez ce quest cette quantit ? Montrez que yn =xn Te

    |H(f0)|.6. On pose xn = xn1n0. Exprimez y

    n en fonction de yn. Montrez quon na plus

    yn = xn Te|H(f0)|. Expliquez pourquoi xn et yn est une modlisation plus raliste.

    Reprsentez graphiquement xn et yn.

    Exercice 35 (32)23

  • On considre le filtre de fonction de transfert H(z) = 112/3z1 . On considre que le

    signal dentre est chantillonn 1Hz valeurs dans [0, 10] et quantifi sur 11 niveauxsuivant la rgle de la partie entire.

    1. Reprsentez le filtre sous forme dun diagramme avec des retards.2. On suppose les signaux ne sont pas quantifis et que lentre est le signal constant

    gale 1, que vaut la sortie ?3. On suppose que maintenant les signaux sont quantifis, en particulier que la sortie

    de chaque module est aussi un signal quantifi correspondant un des 11 codes.Expliquez comment loprateur 2/3 transforme chaque code en un code.

    4. On suppose que la sortie est au dpart 0 et que lentre est constante et vaut 1,que les signaux sont quantifis tout au long du parcours, que vaut la sortie ?

    5. On suppose que la sortie est au dpart 2 et que lentre est constante et vaut 1,que les signaux sont quantifis tout au long du parcours, que vaut la sortie ?

    6. On suppose que la sortie est au dpart 6 et que lentre est constante et vaut 1,que les signaux sont quantifis tout au long du parcours, que vaut la sortie ?

    7. On considre maintenant que des signaux non-quantifis. Que vaut la rponse im-pulsionnelle du filtre ?

    8. On considre de nouveaux les signaux quantifis, montrez que lon peut considrerque la rponse impulsionnelle est en fait nulle partir dun certain instant parcequelle naura pas un effet diffrent aprs quantification. Comment peut-on tronquerla rponse impulsionnelle ?

    24

  • 9. Reprsentez le diagramme correspondant la rponse impulsionnelle tronque.

    9 Cours G : Synthse de filtre MA, gabarit, fentre, inva-riant impulsionnel

    9.1 Exercices dapplicationsExercice 36 (19)

    On cherche synthtiser avec un filtre rponse impulsionnelle finie un passe-hautde frquence de coupure fc = fe/6, avec fe = 1kHz, laide de la fentre triangulaire.

    1. On considre une suite temps discret h1n dont la transforme de Fourier est prio-dique de priode fe et gale 1[fc,fc] sur lintervalle [fe/2, fe/2]. Quelle trans-forme de Fourier utiliser pour calculer han ?

    2. On sait que la transforme de Fourier de 1[1/2,1/2](t) estsin(f)f . Montrez qualors

    la transforme de Fourier inverse de 1[fc,fc](f ) estsin(tfe/3)

    t ?

    3. Dduisez que han =sin(n/3)

    n

    4. On note hbn la suite dont la transforme de Fourier vaut 1[fe/2,fc]+1[fc,fe/2] au seinde lintervalle [fe/2, fe/2]. Que vaut hbn.

    5. On souhaite maintenant un filtre causal avec une rponse impulsionnelle hcn causalesur sept termes (i.e. ailleurs que sur ces sept termes la rponse impulsionnelle est

    25

  • nulle). Que vaut hcn ?6. On utilise maintenant une fentre triangulaire, que vaut le filtre hdn ainsi modifi ?7. Pourquoi le filtre obtenu est-il phase linaire ?8. Les modules et les phases des filtres recherchs sont reprsents sur la figure 3

    (p. 27), prcisez quelle courbe correspond quel filtre.

    Exercice 37 (35) Les signaux audio stro sont numriss sur 16 bits la frquencedchantillonnage avec fe = 44.1kHz. log10(2) 0.3 et log10(3) 0.5.

    1. Dterminez le rapport signal sur bruit en dcibel pour une sinusode plein chelle.2. Le nombre de bits est multipli par 1.05 (bit dhorloge, correcteur derreur, contrle,

    affichage). Quel est le dbit du systme denregistrement ?3. On peut enregistrer une heure de musique sur un CD. Evaluez le nombre de bits que

    lon peut stocker.4. A titre de comparaison : un dictionnaire peut possder jusqu 1500 pagesavec deux

    colonnes par page, 100 lignes par colonne, 8 mots par ligne, 6 lettres par mot. Ilfaut 7 bits pour coder une lettre. Combien de dictionnaires peut on stocker sur unCD ?

    Exercice 38 (37) La frquence dchantillonnage est fe = 1kHz. Faites la synthse dunfiltre passe-bas de frquence de coupure fc = 250Hz avec une fentre rectangulaire et enutilisant que 7 termes non-nuls.

    26

  • FIGURE 3 Module et phase des rponse frquentielle des diffrents filtres pour deuxtroncatures N = 6 et N = 100, avec et sans application de la fentre triangulaire,(exercice 36)

    27

  • FIGURE 4 Transforme de Fourier de w(a)n et w(b)n

    28

  • FIGURE 5 Transforme de Fourier de xn, xnw(a)n (avecN = 20) et xnw

    (b)n (avecN = 10).

    29

  • Exercice 39 (36) On tudie limpact dune fentre sur la synthse dun filtre de rponseimpulsionnelle hn. La frquence dchantillonnage est fe = 1kHz.

    1. Montrez que la transforme de Fourier de w(a)n = 1N+110..N [n]

    TF[w(an )](f ) =1

    N + 1ejfNTe

    sin f (N + 1)Tesin fTe

    (5)

    2. Expliquez en quoi le rsultat trouv se distingue dun sinus cardinal.

    3. On considre w(b)n = w(a)n

    d w(a)n . Calculez w(b)n . Pour cela on pourra dabord consi-drer le cas N = 2, N = 3 puis gnraliser en considrant sparment le casn N et le cas n N .

    4. Comment appele-t-on la fentre associe w(b)n ?

    5. A partir de la dfinition de w(b)n = w(a)n

    d w(a)n et partir (5), calculez le module dela transforme de Fourier de w(b)n .

    6. Indiquez partir de la figure 4 quelle courbe 1, 2 ou 3 correspondent les modulesdes transformes de Fourier de w(a)n pour N = 10 et N = 20 et w

    (b)n pour N = 10 ?

    Justifiez votre rponse ?

    7. La figure 5 reprsente les modules des transformes de Fourier de xn = cos(2f0nTe),xnw

    (a)n et xnw

    (b)n , avec f0 = 240Hz. Ecrivez (sans faire de vritables calculs) les

    modules des transformes de Fourier de ces trois signaux. Indiquez partir de la30

  • figure 5 quelle courbe 4,5,6 correspondent les transformes de Fourier de cessignaux ? Justifiez votre rponse ?

    8. Commentez sur lintrt dutiliser la fentre w(b)n par rapport la fentre w(a)n .

    10 Exercice pour approfondirExercice 40 (21)

    On cherche synthtiser un filtre numrique gaussien. La figure 6 montre gauche larponse impulsionnelle dun filtre gaussien dcart-type = 0.01s et droite sa trans-forme de Fourier. La figure montre aussi gauche avec des + les coefficients dun filtrenumrique gaussien obtenu par invariant impulsionnel et avec une frquence dchan-tillonnage de 127Hz et qui a pratiquement le mme spectre (en module). Dans toutes lesformules qui suivent le fait de ne pas prciser les bornes de lintgrale signifie quelle estporte sur lintervalle ],[.

    1. On cherche dabord dterminer les caractristiques dun filtre analogique gaus-

    sien souhaitable. On suppose quil est de la forme h(t) = aet2

    22 et que sa rponsefrquentielle est de la forme H(f ) = becf

    2. Expliquez pourquoi H(0) = 1 =

    h(t)dt et pourquoi h(0) =H(f )df .

    2. Sachant quee t

    2

    22 dt =

    2, Montrez que a = 12

    , b = 1 et c = 222.

    31

  • 3. On dfinit la dure utile de la rponse impulsionnelle par t = 2

    t2h2(t) dth2(t) dt

    et la

    largeur utile du spectre f = 2

    f2|H|2(f) dt|H|2(t) dt

    En faisant lanalogie avec les proba-

    bilits, calculez t et f . Lingalit associ lincertitude temps-frquence estavec ces dfinitions justement tf 1/. Montrez quon a ici lgalit et quet =

    2 et f = 1

    2.

    4. Pour gnrer le filtre temps discret, on utilise ici linvariant impulsionnel qui consiste chantillonner la rponse impulsionnelle, tronquer puis dcaler pour rendrecausal. Que vaut la rponse impulsionnelle du filtre h#n obtenu ?

    5. On suppose dans un premier temps quon considre un grand nombre de termes,quelle est la relation entre la rponse frquentielle du filtre numrique et la rponsefrquentielle du filtre dorigine.

    6. Sachant que dans une gaussienne dcart-type , 95/100 de la surface est entre2 et 2, que proposez-vous pour choisir la frquence dchantillonnage ? Que sepasse-t-il pour fe =

    2

    ?

    7. Comment peut-on choisir le nombre de terme en fonction de la frquence dchan-tillonnage et en fonction de ?

    8. Montrez que les conditions pour choisir N et fe dans les deux dernires questionssont bien respectes dans la figure 6.

    32

  • FIGURE 6 A gauche : rponse impulsionnelle gaussienne et les 7 coefficients du filtrenumrique gaussien ( = 102s et fe = 127Hz). A droite : rponse frquentielle des filtresgaussiens temps continu et temps discret. rponse frquentielle en module et en phase dufiltre tudi ainsi que du filtre retard correspondant (exercice 40, (21))

    33

  • 11 Cours H : Synthse de filtre AR, gabarit, transformesbilinaires

    11.1 Exercices dapplicationsExercice 41 (22)

    On cherche synthtiser avec un filtre numrique de Butterworth un passe-bas defrquence de coupure f#c = fe/6, avec fe = 1kHz lordre 3.

    1. On cherche le gabarit que devrait avoir le filtre analogique pour quaprs applica-tion de la transforme bilinaire le filtre numrique obtenu soit celui souhait. Lin-gnieur A dit que les frquences sont transformes par une application non-linairequi est une tangeante, il propose f# = a tan(bf ), o f dsigne les frquences dufiltre analogique et f# dsigne les frquences du filtre numrique ; quand pour deuxfrquences f et f# cette relation est vrifie alors il y a galit entre H(f ) et H#(f ).Pourquoi cette relation, telle quelle est propose par lingnieur A nest pas per-tinente ? Lingnieur B propose une autre relation f = a tan(bf#). Proposez unraisonnement permettant de fixer b ; puis un deuxime raisonnement permettant defixer a en fonction de b en utilisant le fait qu basse frquence on souhaite que lefiltre analogique et le filtre numrique ait le mme comportement. Quel est alors legabarit ?

    2. Sachant que les fonctions de transfert des filtres de Butterworth vrifientH(p)H(p) =34

  • 1(1)np2n+1, montrez que le changement de variable p =

    p

    2f0permet dapprocher le

    gabarit recherch, calculez pour cela la rponse frquentielle. Comment choisiralors f0 ?

    3. La table des filtres de Butterworth indique que pour n = 3, H(p) = 1(p+1)(p2+p+1)

    .Daprs la faon de construire ces filtres et par suite sans calcul, donnez les plesde ces filtres.

    4. Calculez Ha la fonction de transfert du filtre analogique qui sapproche du gabarit,ainsi que la rponse frquentielle.

    5. Calculez Hb la fonction de transfert du filtre numrique recherch (fonction detransfert et rponse frquentielle). Les calculs sont simplifis en montrant dabordque p =

    31z

    1

    1+z1 .

    Hb(z) =1 + 3z1 + 3z2 + z3

    (5

    3 + 7) (7

    3 + 3)z1 + (7

    3 3)z2 + (5

    3 + 7)z3

    6. Sans utiliser ce dernier rsultat, calculez la rponse frquentielle du filtre num-rique recherch.

    Exercice 42 (13)On cherche comparer la rponse impulsionnelle dune filtre analogique avec la r-

    ponse impulsionnelle dun filtre numrique. La transforme de Laplace du filtre analo-gique tudi est H(p) = pp+1 35

  • 1. Pourquoi H est-il stable ?

    2. On considre que la frquence dchantillonnage est de fe = 1Hz. Montrez latransforme bilinaire Hd de H peut se mettre sous la forme Hd(z) = a + b

    1cz1 ,avec a = 2, b = 4/3, c = 1/3.

    3. Calculez la rponse impulsionnelle.

    4. Du fait de lutilisation de la transforme bilinaire, il existe une relation entre larponse frquentielle du filtre analogique et la rponse frquentielle du filtre num-rique. Quelle est cette relation, redmontrez cette relation et en dduire le module dela rponse frquentielle du filtre numrique ? Reprsentez le module de la rponsefrquentielle sur [2fe, 2fe].

    Exercice 43 (16)On considre un filtre de transforme de LaplaceH(p) = 1p+1. Lunit de temps choisie

    est la seconde.

    1. En quoi cette prcision sur lunit donne un sens plus prcis ce qui prcde ?

    2. Montrez que la relation entre-sortie associe est : y + y = u.

    3. Ce filtre est-il stable ?

    4. On dfinit un filtre linaire numrique par sa fonct1ion de transfertH#(z) = H( 2Te1z11+z1),

    o Te est la priode dchantillonnage gale 1ms. Il sagit de la transforme bili-naire. Quelle est la relation entre la rponse frquentielle de ce filre numrique etcelle du filtre analogique prcdent ?

    36

  • 5. Calculez le filtre numrique associ.6. Ce filtre est-il stable ?

    11.2 Exercices pour approfondirExercice 44 (23)

    On cherche construire un filtre numrique passe-bande de frquences de coupuresfe/8 et 3fe/8, avec une frquence dchantillonnage de fe = 1kHz en utilisant les filtresde Butterworth lordre 1, 2 ou 3. Le gabarit et les filtre numriques synthtiss sontreprsents droite de la figure 7 (p. 38).

    1. Dessinez le gabarit du filtre anal ogique que lon recherche. On pourra utiliser quetan(/8) =

    21 et que tan(3/8) =

    2+1. On pose f1 =

    fe(21) et f2 =

    fe(2+1)

    2. On propose le changement de variable

    p =

    f1f2

    f2 f1

    (p

    2f1f2

    +2f1f2p

    )A quoi doit servir un tel changement de variable ? Quel est le changement de va-riable en frquence correspondant ? Montrez que si f =

    f1f2 alors f vaut 0.

    Montrez que si f = f1 ou si f = f2 alors |f | = 12 . Montrez que si f > f2 ou si

    f < f1 alors |f | > 12 . Montrez pourquoi un tel changement de variable permet detransformer le gabarit dun filtre de Butterworth en le gabarit du filtre analogiquerecherch.

    37

  • 3. Montrez que le filtre numrique sobtient avec le changement de variable p = 1+z2

    1z2 .

    4. Sur les tables des filtres de Butterworth, on a H(p) = 1p+1, H(p) =1

    p2+2p+1

    etH(p) = 1

    (p+1)(p2+p+1). En dduire trois filtres numriques qui rpondent au problme.

    Le troisime est H(z) = 13z2+3z4z66+2z4 .

    FIGURE 7 A gauche : gabarit dun passe-bas et filtre de Butterworth analogique. Adroite : gabarit du passe-bande et filtres numriques synthtiss en utilisant les filtres deButterworth lordre 1, 2 et 3 (exercice 44, (23))

    Exercice 45 (24)38

  • On cherche dterminer lordre minimal du filtre de Butterworth qui permet de res-pecter le gabarit dun filtre passe-bas. On utilise pour le gain une chelle en dB inversedfinie par = 10 log10

    (|H(f )|2

    ). Cette chelle est commune aux filtres analogiques

    et numriques. Lobjectif porte sur le filtre numrique synthtiser, il est que [0, 1]en f# f#1 et > 2 en f# f

    #2 .

    1. Pourquoi souhaite-t-on que le filtre numrique synthtis vrifie = 0 en la fr-quence nulle ? Pourquoi 0 ?

    2. Dterminez le gabarit du filtre analogique correspondant, exprimez f1 et f2 en fonc-tion de f#1 et f

    #2 .

    3. On considre le changement de variable p = p

    2f0, montrez qualors les filtres de

    Butterworth se transforment en des filtres de rponses frquentielles |H (f )|2 =1(

    f f0

    )2n+1

    . Pour cette question et les suivantes, on note p et f pour les variables as-

    socies aux filtres de Butterworth dfinis dans les tables et on note p et f pour lesvariables associs aux filtres de Butterworth transforms.

    4. Montrez que si f = f0 alors = 3. Les rponses frquentielles dpendent de f0 etde n, montrez comment f0 et n modifient ces rponses frquentielles.

    39

  • 5. Montrez que

    n =1

    2

    log10

    (10

    2101

    101101

    )log10

    (f2f1

    )6. Montrez que par substitution on peut ensuite trouver f0 :

    f0 = f1(10110 1)1/2n

    7. Montrez que lon peut exprimer lordre du filtre directement partir des frquencesdu gabarit du filtre numrique.

    n =1

    2

    log10

    (10

    2101

    102101

    )log10

    (tan(f

    #2 /fe)

    tan(f#1 /fe)

    )

    40