1

MÉCANIQUE RELATIVISTE - corrigé des exercices I. Énergie de masse et désintégration d'un neutron • L'énergie ΔE “libérée”, sous forme d'énergie cinétique, est égale à la diminution de l'énergie de masse (l'énergie totale est conservée) : ΔE = [m(n) - m(p) - m(e-) - m(

!

")].c2 = 0,782 MeV. II. Puissance émise par le Soleil • Pour une puissance émise P = 3,8.1026 W, l'énergie émise en un siècle est : E = Pt = 1,2.1036 J.

• La diminution de masse correspondante est : Δm =

!

Ec2

= 1,3.1019 kg.

• En comparaison de la masse du Soleil, la diminution correspond à une proportion :

!

"mM

≈ 7.10-12.

◊ remarque : si on admet que les réactions nucléaires seront terminées lorsque la masse aura diminué de ≈ 0,1 %, cela signifie que la durée de vie du Soleil est de l'ordre de 108 siècles, c'est-à-dire environ dix milliards d'années. III. Désintégration d'un pion 1. • La conservation du quadrivecteur énergie - quantité de mouvement correspond à : Eπ = Eµ + Eν et

!

p" =

!

pµ +

!

p" . Compte tenu de la condition initiale

!

p" =

!

0 on obtient :

!

pµ = -

!

p" donc pµ = pν ; en outre Eπ = mπc2. • La pseudo-norme donne par ailleurs : mµ

2c4 = Eµ2 - c2pµ

2, donc le rapport des deux relations

donne :

!

mµ2c2

m" = Eµ - cpµ.

• On obtient alors par addition : Eµ =

!

mµ2 +m"

2( ).c22m"

puis l'énergie cinétique :

Ecµ = Eµ - mµc2 =

!

m" #mµ( )2c22m"

= 4,12 MeV.

◊ remarque : même quand on veut obtenir l'énergie cinétique, les calculs relativistes sont générale-ment plus faciles en passant par l'énergie totale.

2. • On obtient de même par différence : pµ = pν =

!

mµ2 "m#

2( ).c2m#

= 29,8 MeV/c.

IV. Collision élastique de deux particules 1. • La conservation du quadrivecteur énergie - quantité de mouvement conduit à : E1 + E2 = Eʼ1 + Eʼ2 et

!

p1 +

!

p2 =

!

" p 1 +

!

" p 2 . Pour obtenir une relation entre Ec1 et Eʼc1, compte tenu des conditions aux limites

!

p2 =

!

0 et

!

" p 1⊥

!

p1 , le plus simple est de considérer la relation : Eʼ22 - m22c4 = c2

!

" p 2 2 = c2.(

!

p1 +

!

p2 -

!

" p 1 )2 et de simplifier compte tenu de : Eʼ2 = E1 + E2 - Eʼ1. ◊ remarque : même quand on veut obtenir l'énergie cinétique, les calculs relativistes sont générale-ment plus faciles en passant par l'énergie totale.

• On obtient : 0 = m12c4 + E1m2c2 - Eʼ1m2c2 - E1Eʼ1 puis : Eʼ1 =

!

m12c4 +E1m2c

2

m2c2 +E1

.

2

• Avec Ec1 = E1 - m1c2 et Eʼc1 = Eʼ1 - m1c2 on obtient : Eʼc1 = Ec1 .

!

m2c2 "m1c

2

Ec1 +m1c2 +m2c

2 puis fina-

lement :

!

Ec1 " # E c1Ec1

=

!

Ec1 + 2m1c2

Ec1 +m1c2 +m2c

2 .

2. • Pour Ec1 ≪ m1c2 on obtient :

!

Ec1 " # E c1Ec1

≈

!

2m1m1 +m2

≈ 67 % (avec m2 ≈ 2m1).

◊ remarque : dans un choc élastique, le transfert d'énergie cinétique est en proportion maximum (100 %) pour m2 = m1. V. Création d'une paire particule-antiparticule 1. • Dans le référentiel d'inertie, pour une désintégration “spontanée” du photon, la conservation du quadrivecteur énergie - quantité de mouvement donne : Eγ = Eʼ1 + Eʼ2 ≥ 2mec2 > 0 et

!

p" =

!

" p 1 +

!

" p 2 =

!

0 .

• On devrait donc aboutir à : mγc2 =

!

E"2 # c2p"

2 > 0, ce qui est impossible pour un photon (de masse nulle). 2.a. • Dans le référentiel du laboratoire, pour un choc d'un photon sur un noyau d'atome, la “masse équiva-lente” Mt de l'ensemble vérifie : Mt

2c4 = (Eγ + EM)2 - c2

!

p" 2 = (Eʼ1 + Eʼ2 + EʼM)2 - c2.(

!

" p 1 +

!

" p 2 +

!

" p M )2. • Compte tenu de l'énergie cinétique relative des particules finales, cette masse est par ailleurs telle que : Mtc2 ≥ 2mec2 + Mc2 (l'égalité correspond au cas où les particules finales ont le même vecteur vitesse et n'ont donc pas de mouvement relatif). ◊ remarque : on peut aussi calculer la “masse équivalente” de l'ensemble dans le référentiel d'inertie, où :

!

" p 1 +

!

" p 2 +

!

" p M =

!

0 ; ceci donne : Mtc2 = Eʼ1 + Eʼ2 + EʼM ≥ 2mec2 + Mc2. 2.b. • Ceci correspond à : Mt

2c4 = (hν + Mc2)2 - (hν)2 = (2hν + Mc2).Mc2 ≥ (2mec2 + Mc2)2.

• Contrairement à celle de la question (1), cette condition est réalisable pour : hν ≥ 2mec2.(1 +

!

meM

).

◊ remarque : on constate que la désintégration redevient en pratique impossible si M → 0.

• La fréquence minimum est donc : νmin =

!

2mec2

h.(1 +

!

meM

).

2.c. • Pour M ≫ me on obtient : νmin ≈

!

2mec2

h.

• La longueur d'onde maximum est donc : λmax =

!

c"min

≈

!

h2mec

= 1,2 pm.

VI. Effet Compton 1. • Compte tenu de

!

pe =

!

0, la conservation du quadrivecteur énergie - quantité de mouvement donne (en notant

!

u et

!

" u les vecteurs unitaires orientés selon la propagation des photons) : me2c4 = Eʼe2 - c2pʼe2 =

= (Eγ + Ee - Eʼγ)2 - c2.(

!

p" -

!

" p # )2 = [h.(ν - νʼ) + mec2]2 - h2.(ν

!

u - νʼ

!

" u )2. • On obtient ainsi : 0 = mec2 h.(ν - νʼ) - h2 ννʼ.(1 -

!

u•

!

" u ) ; puis, en notant θ l'angle de diffusion (entre

!

u et

!

" u ) :

!

" # $ " " $ "

=

!

hmec

2 .[1 - cos(θ)]. Cette relation peut encore s'écrire : λʼ - λ =

!

hmec

.[1 - cos(θ)].

• Le photon incident, d'énergie E = 350 keV, correspond à une longueur d'onde : λ =

!

hcE

= 3,55 pm.

3

• Si, après la collision, l'électron a une énergie cinétique Ec = 200 keV, alors (par conservation de l'énergie totale) le photon diffusé a une énergie : Eʼ = (E + mc2) - mc2 - Ec = 150 keV, ce qui correspond à

une longueur d'onde : λʼ =

!

hc" E = 8,28 pm.

2. • On peut en tirer l'angle de diffusion : cos(θ) = 1 -

!

mech

.(λʼ - λ) = -0,95 donc : θ = 2,82 rad = 161°.

VII. Effet Compton et énergie de “recul” de l'électron 1. • Par conservation du vecteur quantité de mouvement :

!

p"1 =

!

p"2 +

!

pe2 ; ces trois vecteurs sont donc coplanaires (l'un est une combinaison des deux autres). 2. • L'énergie du photon incident est : Eγ1 = hν0 = 62 keV ; l'énergie de l'électron avant le choc est : Ee1 = mec2 = 511 keV.

◊ remarque : ceci correspond à x =

!

E"1

Ee1 =

!

h"0mec

2 = 0,121.

3.a. • Par conservation de l'énergie totale, l'énergie de l'électron après le choc est : Ee2 = Eγ1 + Ee1 - Eγ2 = = hν0 + mec2 - hν.

• De plus, par conservation de la quantité de mouvement totale :

!

pe2 =

!

p"2 -

!

p"1 =

!

hc

.(ν0

!

u0 - ν

!

u )

où

!

u0 et

!

u sont les vecteurs unitaires orientés selon la propagation des photons. On en déduit : pe2 =

=

!

hc

!

"02 + "2 + 2""0 cos #( ) .

3.b. • Pour l'électron après le choc : me

2c4 = Ee22 - c2pe2

2 = me2c4 + 2h.(ν0 - ν) mec2 - 2h2νν0.[1 - cos(α)]

d'où, après simplification : ν =

!

"01+ x # 1$ cos %( )[ ]

=

!

"01+ x

= 1,34.1019 Hz.

3.c. • On en déduit : λ =

!

c"

= λ0.

!

1+ x " 1# cos $( )[ ]( ) = λ0.(1 + x) = 22,4 pm.

4. • En projetant

!

pe2 =

!

hc

.(ν0

!

u0 - ν

!

u) sur les directions des axes, on obtient respectivement :

pe2x =

!

hc

.[ν0 - ν cos(α)] et pe2y = -

!

hc

.ν sin(α)].

• On en déduit : tan(θ) =

!

pe2ype2x

= -

!

sin "( )#0#$ cos "( )

= -

!

sin "( )1+ x( ) # 1$ cos "( )[ ]

= -

!

11+ x

= -0,89 ce qui corres-

pond à : θ = -0,728 rad = -41,7°. ◊ remarque : le signe négatif signifie que l'électron et le photon diffusé sont de part et d'autre de la direction incidente. 5.a. • À la question (3) on a obtenu : Ee2 = hν0 + mec2 - hν ; on en tire : Eec2 = Ee2 - mec2 = h.(ν0 - ν) =

= hν0x ! 1" cos #( )$% &'

1+ x ! 1" cos #( )$% &' = hν0

!

x1+ x

= mec2

!

x2

1+ x = 6,7 keV.

5.b. • Par comparaison à l'énergie du photon diffusé :

!

Ece2E"2

=

!

"0"

- 1 = x.[1 - cos(α)] = x = 0,121.

4

6. • L'énergie cinétique étant nettement inférieure à l'énergie de masse (≈ 1 %), on peut utiliser un calcul

non relativiste : ve2 ≈

!

2Ece2me

= cx

!

21+ x

= 4,85.107 m.s-1 (c'est-à-dire

!

ve2c

≈ 0,16).

◊ remarque : le calcul relativiste donne : Ece2 = (γ - 1) mec2 d'où on tire (en posant η =

!

Ece2mec

2 ) :

ve2 = c

!

"# " + 2( )" +1

= 4,81.107 m.s-1 (valeur tout à fait compatible avec la précédente).

VIII. Énergie disponible dans le référentiel du centre d'inertie 1. • Puisque les quantités de mouvement sont parallèles à l'axe (Ox), on peut traiter le problème algébri-quement selon cet axe.

• La quantité de mouvement p = γ mv peut s'écrire aussi s'écrire : p =

!

Ec2

v. Cette relation est

également valable pour le centre d'inertie, donc si on peut représenter le mouvement d'ensemble par un

point ayant une vitesse v0, cette vitesse doit être telle que : p1 + p2 =

!

E1 +E2c2

v0 (le centre d'inertie est le

barycentre des énergies). On obtient donc : v0 = p1+p2( ) c2

E1+E2.

2.a. • L'énergie maximum disponible dans le référentiel d'inertie R * correspond à la masse équivalente de l'ensemble, telle que : Mt

2c4 = (E1 + E2)2 - c2.(p1 + p2)2 = E*2 (car p1 + p2 = 0 dans R *). On obtient donc : E* = E1 + E2 = Ec1 + Ec2 + 2Mc2. 2.b. • L'application numérique donne E* = 51,88 GeV.

3.a. • Dans le cas où p2 = 0 (dans R ) on obtient : E*ʼ =

!

E1 +Mc2( )2 " c2p12 avec E1 =

!

M2c4 + c2p12 .

Ceci donne en simplifiant : E*ʼ = 2Mc2 ! E1+Mc2( ) .

3.b. • En fonction de E = E1 + Mc2, ceci donne effectivement : E*ʼ2 = 2Mc2E. 3.c. • Pour disposer de E*ʼ = 50 GeV, il faut une énergie cinétique :

Ec1 = E - 2Mc2 =

!

E" ' 2

2Mc2 - 2Mc2 = 1330 GeV.

IX. Pseudo-norme et invariance des intervalles d'espace-temps 1.a. • Dans le référentiel du laboratoire, la vitesse de la particule est v =

!

LT

.

1.b. • Dans le “référentiel propre” de la particule, elle est immobile par rapport à elle même ; d'après l'inva-riance de la pseudo-norme, la durée du trajet est Tʼ tel que : c2T2 - L2 = c2Tʼ2. Ceci correspond à :

Tʼ =

!

T2 " L2

c2 = T

!

1" #2 .

1.c. • Le déplacement de E et R dans le référentiel de la particule est l'opposé ce celui de la particule dans le référentiel de la particule. La vitesse est donc la même (de sens contraire).

5

1.d. • La distance que la particule perçoit avoir ainsi “parcouru”, dans son référentiel propre, correspond à la distance qu'elle voit parcourir en sens inverse par E et R : Lʼ = vTʼ = L

!

1" #2 .

2.a. • La quantité de mouvement d'une particule de masse m et de vitesse v est : p =

!

m"c

1# "2 ; inverse-

ment : β =

!

p

p2 +m2c2 donc on retrouve que β → 1 (c'est-à-dire v → c) quand m → 0 avec p fixé.

• On obtient ainsi à la limite : Tʼ = T

!

1" #2 → 0 ; le photon perçoit une durée nulle (il arrive “en même temps” qu'il part). 2.b. • La distance que le photon perçoit avoir ainsi “parcouru”, dans son référentiel propre, correspond à la distance qu'il voit parcourir en sens inverse par E et R. On obtient ainsi à la limite : Lʼ = L

!

1" #2 → 0 ; le photon perçoit une distance nulle (il “se considère” comme une interaction “ponctuelle”). X. Énergie cinétique

1. • L'énergie cinétique peut s'écrire : Ec = E - mc2 = (γ - 1) mc2 =

!

1

1"#2"1

$

%

& &

'

(

) ) mc2 = 93,1 MeV =

= 1,49.10-11 J.

2. • La mécanique classique donne : Ec =

!

12

mv2 =

!

"2

2mc2 = 44,7 MeV = 0,72.10-11 J.

◊ remarque : la valeur est nettement sous-estimée (l'énergie cinétique tend vers l'infini pour v → c). XI. Réactions nucléaires • La désintégration correspond à : U → Th + He. L'énergie libérée (a priori sous forme d'énergie cinétique) provient de la différence des masses : ΔE = [m(U) - m(Th) - m(He)] c2 = 8,67.10-13 J = 5,41 MeV. XII. Masse d'un proton • La masse d'un proton est, par définition, mesurée au repos ; c'est donc une constante indépendante de son état de mouvement (elle décrit “l'énergie interne”). ◊ remarque : le débat a été important lors du choix des conventions de notation ; devait-on définir la masse comme la grandeur inerte et pesante, auquel cas c'était “la même chose” que l'énergie relativiste (au facteur près c2 contant), ou devait-on conserver à la masse sa capacité à décrire le “contenu matériel” du système (de même que 1 kg de nourriture correspond toujours à la même quantité pour un astronaute sur la Lune, bien que le poids correspondant y soit plus faible que sur Terre, il est intéressant que 1 kg de nourri-ture en mouvement décrive toujours la même quantité...) ; le choix s'est finalement porté sur le second critère : la masse se mesure par définition au repos... mais la grandeur inerte et pesante est de ce fait l'éner-gie et non plus la masse. • L'énergie cinétique est : Ec = E - mc2 ; si elle représente la moitié de l'énergie totale, c'est que l'autre moitié est l'énergie de masse, donc : Ec = mc2 et E = 2 mc2 = 3,34.10-27 kg.c2 = 1877 MeV.

• L'énergie peut s'écrire dans ce cas : E =

!

mc2

1"#2 = 2 mc2, donc inversement : β =

!

1" 12#

$ % &

' ( 2

= 0,87

et v = β c = 260000 km.s-1.

6

XIII. Énergie et quantité de mouvement 1.a. • L'isotropie de l'espace impose que l'énergie ne dépende que de la norme de la vitesse (ou ce son carré) : E = E(v2). • L'énergie cinétique correspond à l'augmentation (de l'énergie) causée par la vitesse, donc par diffé-rence : Ec(v2) = E(v2) - E(0). En outre, on doit retrouver la relation non relativiste dans la limite pour les

faibles vitesses :

!

Ec v2( )

v2 →

!

m2

.

1.b. • Par analogie avec la mécanique non relativiste, la quantité de mouvement est orientée comme la vitesse. L'isotropie de l'espace impose que la fonction m(v2) ne dépende que de la norme de la vitesse (ou ce son carré) :

!

p = m(v2)

!

v En outre, on doit retrouver la relation non relativiste dans la limite pour les faibles vitesses : m(v2) → m. 2.a. • Dans le référentiel d'inertie, galiléen, les vitesses initiales de A et B sont opposées, donc de même direction ; il en est de même pour les vitesses finales ; donc le choc peut être décrit dans un plan. 2.b. • Par rapport au référentiel d'inertie

!

vAx"(in) = -

!

vBx"(in) . Il suffit donc de choisir R avec une vitesse d'entraî-nement selon Ox (de même direction dans tous les référentiels considérés) telle que

!

ve" =

!

vAx"(in) et de choisir R’ avec une vitesse d'entraînement selon Ox telle que

!

" v e# =

!

vBx"(in) . • Le sens de Oy étant choisi tel que

!

vAy(in) = V > 0, il ne reste alors qu'à justifier que

!

" v By(in) = -V. Or,

dans la transformation de Lorentz pour les vitesses :

!

vAy(in) =

!

vAy"(in)

!

1" ve#2

c2

1" ve#vAx#(in)

c2

et

!

" v By(in) =

!

vBy"(in)

!

1" # v e$2

c2

1" # v e$vBx$(in)

c2

avec

en outre :

!

vBy"(in) = -

!

vAy"(in) (et donc aussi

!

" v e# = -

!

ve" ).

2.c. • La condition indiquée correspond au cas particulier où les particules A et B repartent dans une direction symétrique de la direction incidente par rapport à Oy (v*x inchangé et v*y changé de signe). Or, l'expression m(v2) cherchée ne dépendant que de la norme de la vitesse, elle n'est pas influencée par la direction du mouvement ; si la méthode permet de trouver m(v2) pour toutes les valeurs de v, le résultat est forcément valable dans tous les autres cas.

2.d. • D'après la transformation de Lorentz :

!

vAy(fi) =

!

vAy"( fi)

!

1" ve#2

c2

1" ve#vAx#( fi)

c2

= -

!

vAy(in) = -V.

• De façon analogue :

!

" v By(fi) =

!

vBy"( fi)

!

1" # v e$2

c2

1" # v e$vBx$( fi)

c2

= -

!

" v By(in) = V.

• Par ailleurs :

!

" v Bx(fi) =

!

vBx"( fi) # $ v e"

1# $ v e"vBx"( fi)

c2

= 0.

◊ remarque : les deux particules jouent des rôles symétriques par rapport aux deux référentiels.

7

3.a. • D'après la transformation de Lorentz à partir du référentiel d'inertie :

!

" v Ax(in) =

!

" v Ax(fi) =

!

vAx"(in) # $ v e"

1# $ v e"vAx"(in)

c2

=

!

2ve"

1+ve"2

c2

= Ve (vitesse d'entraînement de R par rapport à R’ ).

◊ remarque : ceci peut aussi être obtenu par passage direct de R à R’.

• De même :

!

" v Ay(in) =

!

vAy"(in)

!

1" # v e$2

c2

1" # v e$vAx$(in)

c2

=

!

vAy"(in)

!

1" ve#2

c2

1+ve#2

c2

mais ici le passage direct est plus simple :

!

" v Ay(in) =

!

vAy(in)

!

1" Ve2

c2 = V

!

1" Ve2

c2 et

!

" v Ay(fi) = -V

!

1" Ve2

c2.

3.b. • De façon analogue :

!

vBx(in) =

!

vBx(fi) =

!

vBx"(in) # ve"

1# ve"vBx"(in)

c2

=

!

2 " v e#

1+" v e#2

c2

= Vʼe = -Ve (vitesse d'entraînement de R’ par rapport à R ).

◊ remarque : ceci peut aussi être obtenu par passage direct de R’ à R .

• Par passage direct :

!

vBy(in) =

!

" v By(in)

!

1" # V e2

c2 = -V

!

1" Ve2

c2 et

!

vBy(fi) = V

!

1" Ve2

c2.

3.c. • La conservation selon Ox peut s'écrire : m(

!

vB(in) 2)

!

vBx(in) = m(

!

vB(fi)2)

!

vBx(fi) ; elle est automatiquement

vérifiée puisque

!

vBx(in) =

!

vBx(fi) et

!

vB(in) 2 =

!

vB(fi)2 = Ve

2 + V2.

!

1" Ve2

c2#

$ %

&

' ( .

• La conservation selon Oy peut s'écrire : m(

!

vA(in) 2)

!

vAy(in) + m(

!

vB(in) 2)

!

vBy(in) = m(

!

vA(fi)2)

!

vAy(fi) + m(

!

vB(fi)2)

!

vBy(fi) ;

avec

!

vA(in) 2 =

!

vA(fi)2 = V2 (et les valeurs calculées précédemment) : m(V2) = m

!

Ve2 + V2. 1" Ve

2

c2#

$ %

&

' (

#

$ % %

&

' ( (

!

1" Ve2

c2.

3.d. • Le cas particulier V = 0 impose (en notant simplement v au lieu de Ve) :

m = m(0) = m(v2)

!

1" v2

c2 et par conséquent :

!

p=

!

mv

1" v2

c2

.

◊ remarque : on peut se demander si la relation est valable pour le cas particulier V = 0 puisque cela correspond à une absence de choc, mais la relation doit être continue, donc rester valable à la limite V → 0. ◊ remarque : le théorème de l'énergie cinétique donne ensuite l'expression de E(v2) ; cette démonstra-tion (un peu modifiée ici) a été proposée par Lewis et Tolman.