OPTICS II Section de Physique Cours: Pr. Romuald Houdré Exercices: Nicolas Descharmes

Série 1 - corrigé Rappels d’optique géométrique

20 février 2012

Exercice 1 – Tracé de rayons

Cas 1 : Optique de relais

γt =

€

A'B'AB

=

€

f1f2

Cas 2 : La loupe

2

€

γ t =1

1+O1AO1F1'

=O1F1'

O1A +O1F1'

Remarques :

1- Tel que représenté sur la figure

€

O1A est une quantité négative (la convention usuelle fixe le sens positif comme allant de la gauche vers la droite). Plusieurs cas peuvent être envisagés: Pour

€

O1A <O1F1' = −O1F1 ,

€

γ t >1, si maintenant on place l’objet AB en F1, alors

€

γ t → +∞ et l’image virtuelle est à l’infini. Si finalement on place l’objet AB au delà de F1, alors d’une part l’image intermédiaire deviendra réelle, le grandissement sera inversé et il deviendra difficile, selon la longueur focale de la loupe, pour le cristallin de former une image nette sur la rétine.

2- On remarque que l’usage de la loupe permet la création d’une image intermédiaire agrandie de l’objet. Toutefois, la position de cette image est différente de celle de l’objet étudié. Le grandissement transverse n’est alors plus une bonne mesure du pouvoir « grossissant » de la loupe. De ce fait, il est généralement plus judicieux de qualifier ce dernier en terme de grandissement angulaire qui, lui, est indépendant de la distance de formation de l’image.

3

Cas 3 : Téléobjectif

L’intérêt principal d’un téléobjectif (association d’une lentille convergente et divergente comme schématisée dans cet exercice) est d’obtenir un objectif photographique à très longue focale (typiquement de 100 mm à 500 mm, mais pouvant aller jusqu’à plus de 1000 mm) sans devoir placer la lentille objectif à 500 mm (ou 1 mètre !) du capteur pour autant, ce qui serait très peu pratique et à la fois, très encombrant.

Exercice 2 – Points cardinaux

a) Soient les points Y1 et Y2 appartenant aux plans objet et image respectivement. De façon

générale on a

€

y2n'θ2

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ =

A BC D⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ y1nθ1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ . Les plans ici considérés étant conjugués, les points

Y1 et Y2 sont stigmatiques, i.e. tous les faisceaux émergeant de Y1 passent par Y2, d’où

T(A1A1’)=

€

A 0C D⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

b) Grandissement transverse γt=

€

y2 / y1 = A

Grandissement angulaire γa=

€

θ2 /θ1 = n /n'×D

4

T(A1A1’)=

€

γ t 0C γ a

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

c) Quand on multiplie T(A1A1’) par une matrice de déplacement d quelconque le long de

l’axe optique

€

1 d /n0 1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ , le coefficient C reste inchangé, i.e est invariant. On peut donc

posé C=-V (Vergence)

T(A1A1’)=

€

γ t 0−V γ a

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

d) En faisant le produit des trois matrices T(A2A1)=

€

1 −d /n0 1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ , T(A1A1’) et T(A1’A2)=

€

1 d' /n'0 1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥ on obtient:

T(A2A2’)=

€

γ t −V d'n'

−γ tdn

+ γ aʹ′ d

n+ V d ʹ′ d

n ʹ′ n −V γ a

ʹ′ n n

+ V dn

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥

Les plans repérés par A2 et A2’ sont conjugué si

€

−γ tdn

+ γ aʹ′ d

n+ V d ʹ′ d

n ʹ′ n =0

On en déduit la relation de conjugaison

€

γ a

d−γ t

ʹ′ d = −

Vʹ′ n = −

1ʹ′ f

On remarquera que les nouveaux grandissements transverse et angulaire sont

€

γ t −Vd'n'

et

€

γ aʹ′ n

n+ V d

n respectivement.

e) Soit xo et xi les positions objet et image définies par rapport à H et H’ respectivement.

Comme γt=1, on obtient

€

γ a

xo

−1xi

= −1ʹ′ f en utilisant la question précédente

La relation d’Abbe (condition d’aplanatisme) s’écrit

€

n ⋅ y1 ⋅ θ1 = n'⋅y2 ⋅ θ2. On en déduit la

relation importante

€

γ t ×nn'γ a =1

d’où

€

n / ʹ′ n xo

−1xi

= −1ʹ′ f relation bien connue pour une lentille mince où H=H’

T(HH’)=

€

1 0−V n' /n⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

f) Par définition F’ est l’image d’un point objet à l’infini xo

€

→∞ . A partir de la relation de conjugaison on obtient xi=

€

ʹ′ H ʹ′ F = ʹ′ f

5

De même

€

HF = −n / ʹ′ n ʹ′ f = f

g) En utilisant de nouveau la relation de conjugaison on trouve

€

HN =

€

ʹ′ H ʹ′ N = f + ʹ′ f .

h) En utilisant la formule de passage pour les grandissements obtenus à la question d) on a:

€

A = γ t −V d'n'

=1−V ʹ′ H Sn'

et

€

D = γ aʹ′ n

n+ V d

n=1+ V HE

n (entre les plans principaux

€

γ t=1

et

€

γ a =n'n

)

On en déduit

€

EH = f (D−1) et

€

S ʹ′ H = f '(A −1)

Ces relations nous montrent que la connaissance de la matrice de transfert d’un système optique entre E et S permet de déduire immédiatement H et H’.

Relations importantes:

€

EH = f (D−1)

€

S ʹ′ H = f '(A −1) avec T(ES)=

€

A BC D⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

ʹ′ H ʹ′ F = ʹ′ f

€

HF = −n / ʹ′ n ʹ′ f = f

Les points focaux sont repérés à partir des points principaux !

T(A1A1’)=

€

γ t 0−V γ a

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

γ t ×nn'γ a =1

€

V =ʹ′ n ʹ′ f

Important: Tout système optique se ramène à la connaissance de la position des points cardinaux: points principaux (H et H’) et foyers (F et F’). La connaissance de H, H’, F et F’ permet la détermination de tous les rayons traversant le système. (Remarque: à la place des points H, H’, F et F’ on peut évidement choisir comme autre combinaison les points N, N’, F et F’ par exemple.)

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Deux exemples de construction d’image à l’aide des points cardinaux :

Exercice 3 (supplément) – Le télescope de Cassegrain

1. On considère un objet situé à l’infini, dont les rayons entrent dans le télescope, parallèlement à l’axe optique.

La relation de conjugaison pour les miroirs M1 et M2 nous donne (pour le miroir M1) :

€

1S1A'

=2S1C

où A’ est l’image de l’objet situé à l’infini, à travers le miroir M1

La même relation de conjugaison appliquée au miroir M2, donne :

€

1S2A'

+1

S2A' '=2S2C

où A’’ est l’image (réelle) de A’ à travers le miroir M2.

L’objet étant situé à l’infini, l’image finale (A’’) se forme dans le plan focal image du télescope :

€

S2A''= S2F ' .

D’où :

€

S2F ' =S2A'. S2C2. S2A' − S2C

En écrivant alors

€

S2A' = S1A' − S1S2 = −R12− S1S2 et avec

€

S1S2 = R2 − R1

on trouve :

€

CF ' = CS2 + S2F ' = R2 +R2.(R2 −

R12)

(R1 − R2)

Note : on aurait pu obtenir le même résultat en utilisant le formalisme matriciel.

7

2. F’ sera en S1 si :

€

R1 =32R2

3. Le rayon parallèle à l’axe optique atteignant l’extérieur de M1 est défléchi vers le foyer de F1 de M1. Il forme alors un angle α avec l’axe optique. On peut donc en déduire la hauteur a2 à laquelle ce rayon atteint le miroir M2 et par conséquent le diamètre d’ouverture

minimal en fonction de a2. On trouve

€

a2 =a13

4. On appelle α2 l’angle formé entre le rayon précédent (réfléchi par M2) et l’axe optique, on

trouve :

€

α2 = arctan a1R1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

La tache d’Airy que l’on peut observer dans le plan focal image du télescope Cassegrain aura alors un rayon :

€

RA =1.22 λ2n sinα2

où n est l’indice de réfraction du milieu image (ici n=1).

Application numérique: RA = 5 µm

5. En appliquant la même formule dans le sens inverse (nous connaissons RA, a1 et λ) on trouve que cette même résolution serait atteinte avec un télescope dont le miroir primaire mesurerait seulement 25 cm de diamètre ! Les capacités de résolution du télescope de 2.4 mètres ne sont donc pas exploitées. La première fonction d'un télescope de grand diamètre est d'être un collecteur de lumière pour l'observation d'objets très peu lumineux. Ce problème de limitation de la résolution d’un télescope par les effets atmosphériques est un défi majeur dans la quête d’instruments de résolution toujours plus élevée. Deux solutions existent :

- Construire le télescope en altitude et l’équiper d’un système de correction active (optique adaptative) exemples : Keck (www.keckobservatory.org), VLT (www.eso.org/public/teles-instr/vlt.html), GranTeCan (www.gtc.iac.es).

- Placer le télescope en orbite exemples : Hubble (www.spacetelescope.org www.nasa.gov/mission_pages/hubble), James Webb Telescope (www.jwst.nasa.gov).