Mécanique des sols resistance

Rupture versus résistanceRupture versus résistance

F F

τ

σ

Exercice 1:

Le bloc a une dimension de 1 m × 1 m × 1 m. La force minimale exigée pour déplacer le bloc est de 20 kN. Calculez la résistance (capacité) de l'interface entre le bloc et le plancher.le bloc et le plancher.

Rupture versus résistanceRupture versus résistance

τ μστ =Sans colle

µF

1

δ

τ

σ

σ

τ μστ += c μστ +c

µδ

Avec colle

1

δF

τ

σ

σc

C'est quoi, l'angle δ?

δ

T

δ δδ

WN

WT δτ sin== angle de

AAτ ==

WN δμδ

δδτ

=== tansinfrottement

AW

AN δσ cos

== δσ coscoefficient de f tt tfrottement

U li t d t iUn glissement de terrain

État de contrainte le long du planÉtat de contrainte le long du plan de glissement

•Cercle de Mohr•Cercle de Mohr–État de contrainte en un seul point sur des plans à l'orientation quelconque

État de contrainte en un pointp

h = 10 mσ h 10 m

σh

σvφ' = 30°γ = 20 kN/m3

σv

σh = ?hσv = ?τ = ?

État de contrainte en un point

h = 10 mσv

σhφ' = 30°γ = 20 kN/m3

σ1

σ3 σ3

σ1


σ1

σ

σ3 σ3σ3

σα

ταα

ταα

σ1σ1

Convention

Méthode Analytiqueσα

α

σ3

ταα

σ

α

AAsinα

É ilib d l di ti h i t l

σ1Acosα

Équilibre dans la direction horizontale:

0sin)(cos)()sin(3 =−− ασατασ αα AAAÉquilibre dans la direction verticale:

0cos)(sin)()cos(1 =−+ ασατασ αα AAA1 αα

1 Composante normale

0sin)(cos)()sin(3 =−− ασατασ αα AAA0cos)(sin)()cos(1 =−+ ασατασ AAA 0cos)(sin)()cos(1 + ασατασ αα AAA

0sincossin =−− ασατασ 0sincossin3 =ασατασ αα

0cossincos1 =−+ ασατασ αα

( ) ααασατασ αα sin0sinsincossin3 ×=×−−( )αα3

( ) ααασατασ αα cos0coscossincos1 ×=×−+

( ) 0sincossinsin 223 =−− ασαατασ αα( )3 αα

( ) 0coscossincos 221 =−+ ασαατασ αα

( ) 0sincossinsin 223 =−− ασαατασ αα( )3 αα

( ) 0coscossincos 221 =−+ ασαατασ αα

ασασσα2

12

3 cossin +=

22cos1cos 2 αα +

=ααα 2cossincos 22 =−

1sincos 22 =+ αα

2

2cos1sin 2 αα −=1sincos =+ αα 2

sin α

22cos1

22cos1

13ασασσα

++

−=

22 13α

2cos12cos1 αα ++

−22 13 σσσα +=

ασσσσσα 2cos22

3131 −+

+=

22

2 Composante Tangentielle

0sincossin =−− ασατασ 0sincossin3 =ασατασ αα

0cossincos1 =−+ ασατασ αα

( ) ααασατασ αα cos0cossincossin3 ×=×−−( )αα3

( ) ααασατασ αα sin0sincossincos1 ×=×−+

( ) 0cossincoscossin 23 =−− αασαταασ αα( )3 αα

( ) 0cossinsincossin 21 =−+ αασαταασ αα

( ) 0cossincoscossin 23 =−− αασαταασ αα( )3 αα

( ) 0cossinsincossin 21 =−+ αασαταασ αα

( )( ) αασστα cossin31 −−=

ααα cossin22sin =

ασστα 2sin2

31 −−=


σαα

σ3

ταα

σ

α

AAsinα

σ1Acosα


3131 −+

+=

ασστα 2sin2

31 −−=

22

α 2

Exercice 2: Calculer les contraintes normales et de cisaillementExercice 2: Calculer les contraintes normales et de cisaillement sur différents plans d'orientation.

h = 10 mσvφ' = 30°γ 20 kN/m3σh γ = 20 kN/m3

σv α

Méthode Graphique


3131 −+

+=

ασστα 2sin2

31 −−=


3131 −=

+−

ασστα 2sin2

31 −−=

σσσσ 22⎞⎛⎞⎛ +

2

2⎞⎛


23131 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

ασστα 2sin2

2312 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

σσσσ 22

312

31 ⎟⎞

⎜⎛ −

⎟⎞

⎜⎛ +

σσ 2⎞⎛ −


23131 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

ασστα 2sin2

2312 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

( )αασστσσσ 2sin2cos 222

3122

31 +⎟⎞

⎜⎛ −

=+⎟⎞

⎜⎛ +

− ( )αατσ αα 2sin2cos22

+⎟⎠

⎜⎝

=+⎟⎠

⎜⎝

2312

231

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−σστσσσ αα

⎠⎝⎠⎝


σσσσ 23131 −+σα

α


3131 ++

=

σ3

ταα

α

ασστα 2sin2

31 −−=

σ1

AAsinα

Acosα

2312

231 ⎟

⎞⎜⎛ −

+⎟⎞

⎜⎛ + σστσσσ

Acosα

3131

22⎟⎠

⎜⎝

=+⎟⎠

⎜⎝

− τσ αα

État de contrainte en un pointσα

)( τσ

‐τ

σ3 ταα

),( αα τσ

σ1

??

3σ 31 σσ −

31 σσ +

2

231 σσ +

1σ

Démarche

Exercice 3: Tracer les cercles de Mohr des états de contraintes totales et effectives pour h =Tracer les cercles de Mohr des états de contraintes totales et effectives pour h = 10 m et 20 m, respectivement.

Estimer les contraintes normales et de cisaillement sur un plan incliné de 30° parEstimer les contraintes normales et de cisaillement sur un plan incliné de 30 par rapport à l'horizontale.

h = 10 mφ' = 30°φγ = 20 kN/m3α = 30°

• Critère de rupture–Critère de Mohr-Coulomb

Critère de CoulombCritère de Coulomb

Capacité(Disponibilité)

φστ tan+= c

( p )

φστ tan+= c

Demande(Appliquée)

Exercice 4: Pour un sable donné estimer les capacités et les demandes sur des plans différentsPour un sable donné, estimer les capacités et les demandes sur des plans différents.

α (°) Capacité Demande C – D

h = 10 mφ' = 30°γ = 20 kN/m3α

σ tanφ (kPa) τ (kPa) (kPa)

0 115.5 0.0 115.55 115.0 8.7 106.310 113.7 17.1 96.615 111.6 25.0 86.620 108.7 32.1 76.62525 105.2 38.3 66.930 101.0 43.3 57.735 96.5 47.0 49.540 91.6 49.2 42.40 91.6 49.2 42.445 86.6 50.0 36.650 81.6 49.2 32.355 76.7 47.0 29.760 72.2 43.3 28.965 68.0 38.3 29.770 64.5 32.1 32.375 61 6 25 0 36 675 61.6 25.0 36.680 59.5 17.1 42.485 58.2 8.7 49.590 57.7 0.0 57.7

Plan de rupture du critère de Coulomb σα

σ3 ταα( )φστ tan+cfσ1

( )φστ αα tan+−= cf

⎬⎫

⎨⎧

⎟⎞

⎜⎛ −+− φσσσσσσ 22i 313131f

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= φασσσσασσ tan2cos

222sin

2313131 cf

0=∂∂αf 0tan2sin2cos =+ φαα

φ2

45 φα +°=

Critère de Coulomb• La surface de rupture ou les plans de glissement font toujours un

angle de 45°‐φ/2 avec la contrainte principale maximale et un angle d 45° φ/2 l i i i l i i lde 45°+φ/2 avec la contrainte principale minimale

σ145°‐φ/2φ/

45°+φ/2

σ3σ3

plans de rupture p pusuellement observés pendant un essai triaxial

C itè d C l bCritère de Coulomb dans le plan de contraintes principalesp p p

φφσ

φφσ

i1sin1

i1cos2

31+

+=c

φφ sin1sin1 31 −−

( ) ( )2/45tan2/45tan2 231 φσφσ +°++°= c

ψσσ tan31 +=UCS

• Essais de laboratoireE i d i ill t di t– Essais de cisaillement direct

Exercice 5: Des essais de cisaillement direct donnent les résultats montrés sur la fifigure.

1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2 Q els sont les paramètre d ritère de Mohr Co lomb?2. Quels sont les paramètre du critère de Mohr‐Coulomb?3. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ = 5 kPa)?4. Si un tel matériaux est subit à un essai de compression triaxiale, à quelle valeur la contrainte

axiale qu'il y aurait la rupture si la contrainte de confinement est de 10 kPa?axiale qu il y aurait la rupture si la contrainte de confinement est de 10 kPa?5. Si la contrainte axiale est de 100 kPa, quel est la valeur minimale dans la direction

horizontale pour éviter la rupture?6 Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux?6. Quel angle le plan de rupture fera avec l horizontale avec tel matériaux?

τ

24 kPa

12 kPa

19 kPa

Exercice 6: Des essais de cisaillement direct donnent les résultats montrés sur la figure.

1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2. Quels sont les paramètre du critère de Mohr‐Coulomb?3 Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa σ = 5 kPa)?3. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ = 5 kPa)?4. Si un tel matériaux est subit à un essai de compression triaxiale, à quelle valeur la contrainte

axiale qu'il y aurait la rupture si la contrainte de confinement est de 10 kPa?5 Si la contrainte axiale est de 100 kPa quel est la valeur minimale dans la direction5. Si la contrainte axiale est de 100 kPa, quel est la valeur minimale dans la direction

horizontale pour éviter la rupture?6. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale quand tel matériaux est subi un essais

de compression triaxiale?de compression triaxiale?

τ

15.6 kPa

3.5 kPa

10.4 kPa

• Essais de laboratoireE i i t i i l– Essais en compression triaxiale

Essais de compression triaxiale conventionnelle (CTC)

Conditions de drainage

Phase 1: Phase 2: SymboleConsolidation Cisaillement

Non consolidé(Un‐consolidation)

Non drainé(Un‐drained)

UU

Consolidé Non drainé(Un‐drained)

CU

Consolidé Drainé CDConsolidé Drainé CD

Essais en compression triaxiale en condition non consolidée et non drainée (UU)

ττ

Pas besoin de mesurer la pression

ll

cu ou su

interstitielleφu = 0

σσc1 σc2 σa1 σa2

C t i t d' bt i l é i t d' il ditiCet essai permet d'obtenir la résistance d'une argile en condition non consolidée et non –drainée (dans la pratique on dit tout simple résistance au cisaillement non drainée), cu ou su. L'angle de frottement est 0est 0.

Essais en compression triaxiale en condition consolidée et drainée (CD)

ττ

φ'

c'σσc1 σc2 σa1 σa2

c

C t i t d' bt i l é i t d' l diti lidéCet essai permet d'obtenir la résistance d'un sol en condition consolidée et drainée. Les deux paramètres sont:

cohésion effective c'cohésion effective, cangle de frottement effectif, φ'

Essais en compression triaxiale en condition consolidée et non drainée (CU)

ττφ'

φ

Besoin de mesurer la pression interstitielle

σσc1 σc2σa1 σa2σ'c1 σ'c2 σ'a2σ'a1

Avec la mesure de pression interstitielle, cet essai permet d'obtenir les paramètres de résistance au cisaillement d'un sol équivalents d'en condition consolidée et drainée c' et φ'condition consolidée et drainée, c et φ .

Exercice 7: Vous avez réalisé deux séries d'essais de compression triaxiale. Les résultats sont résumés comme suitrésumés comme suit

1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2 Quels sont les paramètre de résistance à court terme?2. Quels sont les paramètre de résistance à court terme?3. Quels sont les paramètre de résistance à long terme?4. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux?5. Si un état de contrainte totale est σ = 200 kPa et σh = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la5. Si un état de contrainte totale est σv 200 kPa et σh 100 kPa, est ce qu il y aurait la

rupture? Quel est le FS?6. Si un état de contrainte totale est σ'v = 200 kPa et σ'h = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la

rupture? Quel est le FS?p7. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ' = 5 kPa)?

Pression de Contrainte axiale

Essais UU

Pression de confinement

Contrainte axiale appliquée à la

Pressioninterstitielle

Essais CU

confinement(kPa)

appliquée à la rupture (kPa)

10 30

confinement(kPa)


interstitielle(kPa)

35 80 1510 30

20 4065 100 54100 180 56

Exercice 8: Vous avez réalisé deux séries d'essais de compression triaxiale. Les résultats sont résumés comme suitrésumés comme suit

1. Tracer la surface de rupture de Mohr‐Coulomb.2 Quels sont les paramètre de résistance à court terme?2. Quels sont les paramètre de résistance à court terme?3. Quels sont les paramètre de résistance à long terme?4. Quel angle le plan de rupture fera avec l'horizontale avec tel matériaux?5. Si un état de contrainte totale est σ = 200 kPa et σh = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la5. Si un état de contrainte totale est σv 200 kPa et σh 100 kPa, est ce qu il y aurait la

rupture? Quel est le FS?6. Si un état de contrainte totale est σ'v = 200 kPa et σ'h = 100 kPa, est‐ce qu'il y aurait la

rupture? Quel est le FS?p7. Quel est le FS (facteur de sécurité) pour un état de contrainte (τ = 10 kPa, σ' = 5 kPa)?

Pression de confinement Contrainte axiale appliquée à

Essais CD

Pression de Contrainte axiale

Essais UU

(kPa) la rupture (kPa)

35 8065 100

confinement(kPa)


10 30 65 100100 180

10 30

20 40

Exercice 9: Vous faites une construction sur un sol argileux submergé en surface sur une f d d h l d k f dfondation de 5 m par 8 m. La charge totale est de 2000 kN. Supposons que vous avez fait des essais de laboratoire. Les résultats sont montrés à l'exercice 8. En négligeant le poids de la fondation, calculez

1. le FS (facteur de sécurité) à court terme au point A et au point B;2. le FS (facteur de sécurité) à long terme au point A et au point B?

2000 kN

5 m

A B

4 m

Tassement

DéfinitionsLe tassement d'une structure est le résultat de la déformation du sol de fondation. L'origine de cette déformation peut être un ou plusieurs suivant(s):plusieurs suivant(s):– La déformation sous une charge totale croissante est appelée

"mouvement" ou "déplacement"mouvement ou déplacement .– Le changement de volume associé à la diminution du volume

d'air, provenant d'un effet dynamique ou d'un chargementd air, provenant d un effet dynamique ou d un chargement statique, est appelé "compactage".

– Les changements de volume progressifs associés à une g p gréduction de la teneur en eau du sol est appelé "consolidation".

– La déformation sous contrainte effective constante est appelée "fluage".

Composantes du tassementCompressibilité du sol: Diminution du volume

‐ Compressibilité de l’aire qui remplit le vide: Quasi instantané‐ Evacuation de l’eau: Consolidation primaire (le volume diminue)‐ Compression du squelette solide: Consolidation secondaire (phénomène du

fluage)

Tassement final: Différentes composantes tS

scispt SSSSSS ++=+=

primaireTassementS =ondairesecTassementSs =

primaireTassementSp

immédiatTassementSi =

iliddTS ionconsolidatdeTassementSc =

Composantes du tassement

Pour les sols argileux, le tassement total, st:

où si = tassement immédiate (déformation élastique des fondations scit SSSS ++=

structurales);sc = tassement de consolidation (variation de teneur en eau);s = tassement secondaire (fluage)ss = tassement secondaire (fluage).

Pour les sables, le tassement total, st:, , t

sit SSS +=où le tassement immédiate, si, comprend le tassement élastique, se, et le tassement de consolidation (appelé plutôt "compression"), sc:

cei SSS +=

Tassement immédiatiS- indépendant du temps- Déterminé à partir du calcul d’élasticité

Tassement de consolidationfonction du temps

cS- fonction du temps(peut prolonger pendant des mois ou des années)- se produit dans les sols à grain finse produit dans les sols à grain fin(faible coefficient de perméabilité)

Tassement de consolidationfonction du temps

d i à i ff i

sS

- se produit à contrainte effective constantesans variation de pression interstitielle- Phénomène de fluage- Phénomène de fluage

1‐ Tassement d’un sol Grenu (sable, gravier)

Coefficient de perméabilité est élevé

Saturé ou non

é ’Le tassement est immédiat au moment d’application de la charge

Il n’est dû qu’à la Compression du squelette solide

Les tassements sont les mêmes que le sol soit sec, humide ou saturé

Les déformations sont dues à deux choses

‐ Réenchevêtrement des grains ce qui provoque une diminution deRéenchevêtrement des grains ce qui provoque une diminution de

l’indice des vides

‐ Déformation des grains eux même sous l’action des forces de contact.

‐ Variations de l’indice des vides

• ‐Compression d’un échantillon sable sans déformation latérale

• Au début déformation importante (Mouvement des grains)L l i• Lorsque les contraintes augmenteCompression élastique des grains

• Cycle ABCA : Montre comportement incompressible

Très forte contrainte il y a écrasement des grainsy g

• Il se traduit par un coude sur la courbe(rarement rencontré dans la pratique)

Lae tassement dans un sol grenu est dû

aux réenchevêtrement des grains:g

‐ Sol densité faible (sol lâche): Compressible

‐ Sol densité élevée (sol serré): très peu compressible

Rq: Le tassement d’un sol grenu est négligeable au voisinage d’une couche sol finRq: Le tassement d un sol grenu est négligeable au voisinage d une couche sol fin

saturé.

2‐ Tassements des sols fins ‐ Consolidation

‐Faible coefficient de permiabilité‐Sous l’action d’une charge l’eau libre ne peut s’évacuer

Pour les sols argileux le tassement total s :Pour les sols argileux, le tassement total, st:

où si = tassement immédiate (déformation élastique des fondations structurales par exemple);

sp = tassement de consolidation (variation de teneur en eau): Tassement primaireprimaire

ss = tassement secondaire (fluage).

Si on écrit la relation

- Analogie MécaniqueSi on écrit la relation

On obtient par différentiationOn obtient par différentiation

Ce qui donne

Cette étape correspond au transfert de la contrainte de l’eau vers le squelette solide

-Plus la perméabilité est faibleus a pe éab té est a b ePlus l’ouverture du robinet est petite

Loi de comportement : Expérimentale

Essai ŒdométriqueEssai Œdométrique

Essai Œdométrique

Hypothèses:Loi de comportement :

consolidation unidimensionnelle

df i

Hypothèses:

zz defonctionen σε

Tassement:HΔ

L’essai Oeudométrique fournit deux type de courbes:

Courbe de consolidationTassement de l’échantillon en fonction du

temps pour une contrainte constante

Essai répété pour plusieurs contraintes

sur le même échantillonsur le même échantillon

Courbe de compressibilitéTassement de l’échantillon en fonction deTassement de l échantillon en fonction de

la contrainte appliquée.

Courbe de consolidation

Deux phases:

-Consolidation primaire qui correspondp q p

au phénomène de la dissipation

interstitielle.

- Consolidation secondaire pour

laquelle le squelette solide continue à

tasser bien que la surpressiontasser bien que la surpression

interstitielle est nulle. Ils sont faibles en

généraleg

Branche BC:

Courbe de consolidation

Branche BC:

Zone de consolidation primaire correspond à

l’évacuation de l’eau en excèsl évacuation de l eau en excès

B h BCBranche BC:

Caractérise la consolidation secondaire qui est le

résultat du réarrangement progressif de la structurerésultat du réarrangement progressif de la structure

du sol

Le point A:

Fin du tassement primaire

Courbe de compressibilité

Elle traduit la déformation verticale ou l’indice desElle traduit la déformation verticale ou l indice des

vides en fonction de la contrainte effective

Ou en fonction de

'vσ

)log( 'σ

Branche AB: Zone de recompression

)log( vσ

correspond à faible tassement

Branche BC: Zone de transition La

'pσ

Branche BC: Zone de transition. La

contrainte de transition est 'pσ

Contrainte effective verticale maximale

exercé sur le sol dans son passé

'pσ

Branche CD: Zone de compression

géologique

p

vierge. Correspond à une linéarité de la courbe

Relation entre tassement et indice des vides

Tassement de consolidationTassement de consolidation

Caractéristiques de la compressibilité

Les sols sont donc des matériaux à mémoire

Indice de compression

La pente de la courbe dans sa partie'

après pσ

Indice de gonflement

La pente du cycle de déchargement et de

rechargement

-Non constant

- Dépend de l’état initial considéré et de'σ- Dépend de l état initial considéré et de

l’intervalle des contraintes

σ'σΔ

Classification des sols selon la compressibilité

- Sol normalement consolidé

- Sol surconsolidé

- Sol sous-consolidé

Intérêt de la classification

Mécanique des sols resistance

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