Vecteurs de Fresnel A quoi servent-ils? A simplifier les calculs trigonométriques.
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Vecteurs de Fresnel
A quoi servent-ils?A simplifier les calculs trigonométriques
Christian Loverde 2006
Vecteur tournant
Grandeur sinusoïdale: u(t) = U√2.cos(ωt + φ)
Vecteur tournant de vitesse angulaire ω . Lien entre les deux:u(t) est la projection du vecteur sur l'axe Ox.
Christian Loverde 2006
Illustration
Christian Loverde 2006
Simplification
Fonction sinusoïdale Vecteur de FresnelValeurefficac
e
Phase à l’origine
Christian Loverde 2006
Somme de 2 tensions
Tensions sinusoïdales Vecteurs associés
Animation
Angle O°
U1=10V
+90°U2=5V
u(t)= u1(t) + u2(t)
Christian Loverde 2006
Résultats
u(t) = u1(t) + u2(t)
Module
Phase à l’origine
Christian Loverde 2006
Les complexes
La grandeur sinusoïdale: Le nombre complexe associé:
U = a + jb
ou
Christian Loverde 2006
Module & argument
Le nombre complexe Module ArgumentAutre représentation avec U = a2 + b2
Christian Loverde 2006
Le plan complexe
Le nombre complexe est le point M du plan complexe
Module et argument
Christian Loverde 2006
Calcul du produit
U1 x U2 module du produit = produit des modules |U1 x U2| = | U1| x | U2|
argument du produit=somme des arguments = 1 + 2
Christian Loverde 2006
Produit de 3 + 2j et 4 - j
U1 = 3 + 2j et U2 = 4-j
|U1| = 3,6 et |U2| = 4,12 => | U1| x | U2| = 14,86
(3 + 2j)(4 – j) = 14 + 5j => module2 = 142 + 52 = 14,862
1= 33,7° et 2= -14° => = 19,65° = tan-1(5/14)
Christian Loverde 2006
Calcul de la somme
Somme: U1 = a + jb U2 = c + jdpartie réelle de la somme=somme des parties réelles => réelle(S) = a + cpartie imaginaire = somme des parties imaginaires => im(S) = b + dS = (a + c) + (b + d)j
Christian Loverde 2006
Somme de 3 + 2j et 4 - j
Exemple U1=3 + 2j et U2=4-j
Partie réelle de S = 3 + 4 = 7 Partie imaginaire de S = 2 – 1 = 1 Somme S = 7 + jModule de S = 7²+1² = 7,07
Christian Loverde 2006
Calcul du quotient
Quotient: U1 / U2
module du quotient = quotient des modules | U1 / U2| = | U1| / |U2|argument du quotient=arg numérateur – arg dénominateur = 1-2
Christian Loverde 2006
Quotient de 3 + 2j et 4 - j
U1=3 + 2j et U2=4-j|U1| = 3,6 et |U2| = 4,12
| U1| / | U2| = 0,87
1 = 33,7° et 2 = -14°
= 1-2 = 47,7°
Christian Loverde 2006
Circuit R-C
Le circuit Résolution
u1 u2
u
U = U1 + U2
U1 = 3
U2 = - 4jU = 3 – 4j
Tan = -4/3 => tan-1(-4/3) = - 53,13°
Christian Loverde 2006
Conclusion
Se dit-il sceptique!
Exercices d’application