Unité B Trigonométrie - edu.gov.mb.ca · · étendre les définitions des fonctions...

Unité BTrigonométrie

B-33

TRIGONOMÉTRIECette unité permet aux élèves d'approfondir leur compréhension de latrigonométrie et des solutions de triangles obliques.

Les notions sont :· une étude des caractéristiques des fonctions périodiques y = sin θ et y = cos θ et leurs transformations;

· un prolongement des fonctions sinus, cosinus et tangente de façon à inclure les quatre quadrants, 0o ≤ θ ≤ 360o ou [00, 360o];

· les applications des lois de sinus et de cosinus, y compris le cas ambigu;· la résolution d'équations trigonométriques linéaires.

Pratiques pédagogiques

En développant les notions trigonométriques, les enseignants pourraient trouverles pratiques et documents pédagogiques suivants, utiles pour l'apprentissage desélèves :

· étendre les définitions des fonctions trigonométriques aux angles entre 180o et 360o;

· utiliser des applications informatiques pour illustrer le cas ambigu au moment de la résolution de triangles à l'aide des lois de sinus et de cosinus;

· donner des problèmes où l’on a besoin de la trigonométrie pour trouver les solutions.

Matériel

· calculatrice à affichage graphique ou logiciel informatique· instruments de mesure pour les expériences, ex., règle, ruban, roue d'arpentage, instruments pour mesurer les angles

Durée

· 7 heures

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE 3 •• Trrigonométrrie

Résultat général

Résoudre des problèmesconcernant des triangles, ycompris ceux trouvés dans desapplications en 3D et en 2D.

Résultat(s) spécifique(s)

B-1a tracer la représentation graphique de y = sin θ et y = cos θ

B-44

· comprendre les caractéristiques d'une fonction périodique

Exemple

À l'aide d'un tableau de valeurs, tracer y = sin θ, [-360, 360]. Lavaleur θ est la variable indépendante et devrait êtrereprésentée graphiquement sur l'axe des x. Donnez les pointsd’intersection avec les axes ainsi que l'image. Vous pouvezvérifier votre représentation graphique à l'aide de la technologiegraphique.

Solution

Image :-1 ≤ y ≤ 1

Période : 360o

− suite

MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL SECONDAIRE 3 • Trrigonométrrie

RÉSULTATS D'APPRENTISSAGEPRESCRITS STRATÉGIES PÉDAGOGIQUES

x –360 –315 –270 –225 –180 –135 –90 –45 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y 0 0,707 1 0,707 0 –0,707 –1 –0,707 0 0,707 1 0,707 0 –0,707 –1 –0,707 0

θ

Communications Résolution CCoonnnneeccttiioonnss Raisonnement

Estimation et TTeecchhnnoollooggiieeCalcul Mental VViissuuaalliissaattiioonn

Étant donné que les élèves feront la représentation graphiquedes courbes sinusoïdes et cosinusoïdes, certains enseignantspourraient présenter l'approche du cercle unitaire pour latrigonométrie.

Discutez les points suivants :

Dans la réalité, un grand nombre de choses surviennent parcycle ou période, tel le printemps, l'été, l'automne et l'hiver. Àtoutes les douze heures, les aiguilles de l'horloge pointent endirection des mêmes numéros. Chaque intervalle de douzeheures est un cycle de l'horloge et douze heures représententla période de l'horloge. Les fonctions qui se comportent d'unefaçon semblable sont les fonctions périodiques. Les fonctionssinusoïdes et cosinusoïdes sont des exemples de fonctionspériodiques.

Suggérez aux élèves l'exemple suivant, puis discutez de sasolution. Trouvez les fonctions n'ayant qu'une période de 360o.

-270 -180 -90 90 180 270 360-360

Ressources imprimées

Mathématiques pré-calcul secondaire 3, Exercices cumulatifs et réponses

Mathématiques pré-calcul secondaire 3, Solutions des exercices cumulatifs

Mathématiques pré-calcul secondaire 3, Cours destiné à l’enseignement à distance− Module 2, Leçon 2

B-55

Calcul mental

La valeur sin-1 0,68 = 42,8o. Quelle est la valeur de sin 42,8o?

Choix multiples

1. La distance minimale de laquelle on doit déplacer la représentation graphique de y = cos θ vers la droite pour devenir la représentation graphique de y = sin θ est de

a) 45o

b) 90o

c) 180o

d) 360o

2. Évaluez 16cos270o

a) −16b) 0

1c)16

d) 1

3. Une équation représentant un déplacement vers le bas de deux unités de la représentation graphique de y = sin θ + 4 esta) y = 2 sin θ + 4b) y = −2 sin θ + 4c) y = sin θ + 2d) y = sin θ − 2


NOTESSTRATÉGIES D’ÉVALUATION

B-1a tracer la représentation graphique de y = sin θ et y = cos θ− suite

B-66

· comprendre les caractéristiques d'une fonction périodique (suite)

Exemple

Créez un tableau de valeurs pour y = cos θ, [-360, 360] et tracezle graphique. Donnez ses points d’intersection avec les axes etson image. Vous pouvez vérifier votre graphique à l'aide de lacalculatrice à affichage graphique.

Solution

Image :-1 ≤ y ≤ 1

Période : 360o

RRecherrche

Demandez aux élèves d'utiliser leurs graphiques pour rechercherles caractéristiques suivantes des représentations graphiques dey = sinθ et de y = cosθ.

1. Dans l'intervalle qui a servi à la représentation graphique dela fonction, le domaine était [−360, 360], mais sans cetterestriction, le domaine est ]−∞, ∞[ étant donné que les cyclesse reproduisent indéfiniment dans chaque direction.

2. L'image de chaque fonction est [−1, 1]

3. Chaque fonction est pérriodique, ce qui signifie que sa représentation graphique a un patron qui se répète indéfiniment. La plus petite portion répétitive est un cycle. La longueur horizontale du plus petit intervalle sur laquelle la représentation graphique se répète est la pérriode. La période est de 360o.

4. La valeur maximale de y = sin θ et y = cos θ survient au sommet d’une crête de la courbe.La valeur minimale de y = sin θ et de y = cos θ se produit au sommet d'un creux de la courbe.

5. Sur un intervalle de 0 à 360o, les représentations graphiques des fonctions sinusoïdes et cosinusoïdes de base comportent cinq points principaux : les trois points d’intersection avec les axes, le maximum et le minimum.

− suite



x –360 –315 –270 –225 –180 –135 –90 –45 0 45 90 135 180 225 270 315 360

y 1 0,707 0 –0,707 –1 –0,707 0 0,707 1 0,707 0 –0,707 –1 –0,707 0 0,707 1

θ



-270 -180 -90 90 180 270 360-360

B-77

Choix multiples

Identifiez le graphique qui représente le mieux y = sin θ dansl'intervalle 90o ≤ θ ≤ 270o.

a)

c)

Inscription au journal

Expliquez la relation entre la représentation graphique de y = sin θ et y = cos θ.



90 270

y

θ 90 270θ

y

90 270

y

θ90 270

y

θ

b)

d)

B-1a tracer la représentation graphique de y = sin θ ety = cos θ

− suite

B-88

· comprendre les caractéristiques d'une fonction périodique (suite)

RRecherrche - suite

· utiliser les représentations graphiques de y = sin θ et de y = cos θ pour explorer les transformations de ces fonctions

− suite



(0, 0) 1 (180˚, 0) (360˚, 0)-1

1 (90˚, 0) -1 1(270˚, 0)



Les élèves devraient faire le lien entre les transformations dereprésentations graphiques trigonométriques et lestransformations de fonctions quadratiques étudiées à l'unitéprécédente. Les transformations à examiner comprennent lesdéplacements horizontaux et les déplacements verticaux. Lesélèves approfondiront ces idées dans le cours Mathématiquespré-calcul secondaire 4. On encourage le recours à latechnologie pour explorer ce résultat.

Maximum Intersection x Minimum Intersection x Maximum

Intersection x Maximum Intersection x Minimum Intersection x

B-99

Problèmes

1. Représentez graphiquement les fonctions suivantes à l'aide d'une calculatrice à affichage graphique :a) y = 2 cos θb) y = sin x + 1c) y = cos (θ + 45o)d) y = sinxe) y = 2 sin (x + 90o) − 3

2. Donnez le(s) point(s) d’intersection avec l’axe des x de la fonction

y = sin θ − 1 dans l’intervalle [0o, 360o].

3. Donnez l'image de la fonction y = 3 cos x.

4. Soit la représentation graphique suivante, indiquez une fonction possible qui la décrit.

5. Quelles sont les valeurs maximales et minimales de y = 2 − sin θ ?

6. Déterminez les abscisses à l’origine pour la fonction y = 2 − sin θsur [−360o, 360o].



�

�

1

2

3

90˚–90˚ 180˚ 270˚ 360˚–360˚ –270˚ –180˚

–3

–2

–1

B-1a tracer la représentation graphique de y = sin θ et y = cos θ− suite

B-110

· utiliser les représentations graphiques de y = sin θ et de y = cos θ pour explorer les transformations de ces fonctions

Exemple 1

Tracez y = 2 sin θ + 1 pour 0o ≤ θ ≤ 360o.

Solution

Voici la représentation graphique de y = sin θ étirée verticalement en fonction d'un facteur de 2 et déplacée vers le haut d’une unité.

y = sin θ

y = 2 sin θ

y = 2 sin θ + 1

Exemple 2

Donnez l'image de y = 2 sin θ + 1.

Solution

{y ∈ ℜ−1 ≤ y ≤ 3} ou [−1, 3]





B-111

Problèmes

1. Faites correspondre l'équation au graphique.a) y = cos(θ + 180o)b) y = −2 + cos θc) y = −cos(θ + 180o)

i)

ii)

iii)

2. Identifiez le déplacement vertical, l'amplitude, la période, le déplacement horizontal, le domaine et l'image de chaque fonction. Reproduisez ensuite graphiquement la fonction. Décrivez les transformations.a) y = 4 sinθ b) f(x) = cosθ − 2c) g(x) = cos(θ + 45o) d) y = −3 sinθ + 1e) y = cos(θ − 30o) + 1 f) y = 2 sin(θ + 60o) − 1



−2

−3

−1

−1

-90 90 180 270

-90 90 180 270

-90 90 180 270

· examiner les angles entre 0o et 360o en position normale

Dans le cours Mathématiques pré-calcul secondaire 2, lesélèves ont étudié des angles entre 0o et 180o. Dans le coursMarthématiques pré-calcul secondaire 3, ils étudieront lesangles en position normale dans les quatre quadrants, c'est-à-dire de 0o à 360o.

Discutez des points suivants :Un angle est en position normale si :

· son premier côté, que l'on appelle côté initial est un rayon partant de l'origine le long de l'axe positif des x;

· son deuxième côté, que l'on appelle le côté terminal, est n'importe quel rayon partant de l'origine;

· l'angle est mesuré depuis le côté initial jusqu'au côté terminal dans le sens anti-horaire.

Quadrant IL'angle θ est en position normale. La mesure de l'angle θ se trouve entre 0o et 90o.

Quadrant IIL'angle θ est en position normale. La mesure de l'angle θ se trouve entre 90o et 180o.

− suite

B-1b étendre les définitions desfonctions trigonométriquesde façon à inclure tous lesquadrants

B-112



Communications Résolution CCoonnnneeccttiioonnss RRaaiissoonnnneemmeenntt

Estimation et TechnologieCalcul Mental VViissuuaalliissaattiioonn

Ressource imprimée


B-113

Calcul mentalb

1. La valeur de cos-1 = ?7

2. Quelles fonctions trigonométriques sont négatives dans le quadrant II?

3. Le bras terminal d'un angle θ traverse le point P(6, 8). Indiquez la valeur de sin θ, cos θ et de tan θ.

4. Déterminez la longueur de la droite joignant le point (0, 0) au point P(5, 12).

5. Si la longueur de la droite joignant le point (0,0) au point P(3, y) est 5, déterminez y.

6. Dans quels quadrants est-ce que sin θ < 0?

7. Dans quels quadrants est-ce que cos θ est > 0?

8. Quels sont les deux quadrants dans lesquels tan θ est négative?

9. Indiquez dans quel(s) quadrant(s) se trouve le point P(x, y) si :a) sin θ > 0b) cos θ > 0 et sin θ < 0



��

B-1b étendre les définitions desfonctions trigonométriquesde façon à inclure tous lesquadrants− suite

B-114


Quadrant IIIL'angle θ est en position normale. La mesure de l'angle θ est entre 180o et 270o.

Quadrant IVL'angle θ est en position normale. La mesure de l'angle θ est entre 270o et 360o.

Nous définirons les fonctions trigonométriques par rapport aux coordonnées de n'importe quel point P(x, y) sur le côté terminal d'un angle en position standard.Si l'angle θ est en position normale et P(x, y) est un point sur le côté terminal de l'angle θ, alors, en vertu du théorème du Pythagore

− suite



x

y

θ

P (x, y)

r y

x

2 2r x y= +



B-115

Calcul mental

Déterminez le sin 270o, cos 270o et tan 270o.



�

�

��∞

��

B-1b étendre les définitions desfonctions trigonométriquesde façon à inclure tous lesquadrants− suite

B-116


La valeur r est le rrayon vecteurr et sa longueur est toujourspositive.

Si P(x, y) est n'importe quel point sur le bras terminal d'unangle en position normale, alors

coordonnée − y ysin θ = =

rayon vecteur rcoordonnée − x x

cos θ = = rayon vecteur rcoordonnée − y y

tan θ = =coordonnée − x x

· établir que chaque fonction trigonométrique est positive dans deux quadrants et négative dans les deux autres

Les élèves devraient faire le lien entre les signes descoordonnées de x et de y dans chaque quadrant avec lesdéfinitions ci-dessus afin de déterminer à quel endroit chaquefonction est négative et à quel endroit chaque fonction estpositive.

Résumé

− suite





Quadrant II

sinθ +cosθ −tanθ −

Quadrant I

sinθ +cosθ +tanθ +

Quadrant III

sinθ −cosθ −tanθ +

Quadrant IV

sinθ −cosθ +tanθ −

B-117

Inscriptions au journal

1. Complétez le tableau suivant avec les signes de chaque fonction.

Discutez des patrons que vous constatez.

2. Quelles fonctions trigonométriques sont positives dans le Quadrant I?



sin θ +ve

cos θ

tan θ

sin θ +ve

cos θ

tan θ

tan θ

cos θ

sin θ –ve

tan θ

cos θ

sin θ –ve

B-1b étendre les définitions desfonctions trigonométriquesde façon à inclure tous lesquadrants − suite

B-118

· établir que chaque fonction trigonométrique est positive dans deux des quadrants et négative dans les deux autres (suite)

Exemple

P(x, y) est un point sur le côté terminal d'un angle θ en positionnormale. Déterminez sin θ, cos θ et tan θ pour les pointssuivants. Faites un graphique.a) (−5, 12)b) (−4, −3)

Solution

a)

b)



�

�

�

�

�

θ

( ) ( )

2 2

2 2

5, 12

5 12

25 144

169

13

x y

r x y

r

r

rr

= − =

= +

= − +

= +

==

( ) ( )

2 2

2 2

4, 3

4 3

16 9

25

5

x y

r x y

r

r

rr

= − = −

= +

= − + −

= +

==

�

�

(-4, -3)



12sin ,

135

cos ,1312

tan5

θ

θ

θ

∴ =

−=

=−

3sin ,

54

cos ,5

3tan

4

θ

θ

θ

−∴ =

−=

=

(- 5, 12)

B-119

Choix multiples

1. Si tan θ > 0 et cos θ < 0, alors θ doit se terminer dans le :a) quadrant Ib) quadrant IIc) quadrant IIId) quadrant IV

2. Si tan θ et sin θ sont tous les deux négatifs, alors θ doit se terminer dans :a) 00 < θ < 90o

b) 90o < θ < 180o

c) 180o < θ < 270o

d) 270o < θ < 360o

3. Si tan θ < 0, cos θ > 0 et [0o, 360o], alors θ doit se terminer dans :a) [0o, 90o]b) [90o, 180o]c) [180o, 270o]d) [270o, 360o]



· comprendre le concept d'un angle auxiliaire ou de référence

Pour représenter le concept de l'angle de référence, demandezaux élèves de reproduire graphiquement y = sinθ à l'aide de la technologie graphique. Demandez auxélèves de tracer le graphique et de remplir le tableau ci-dessous.

Demandez aux élèves de discuter des résultats.

Pour résoudre des équations trigonométriques dans lesquellesles angles sont entre 0o et 360o, on a recours au concept del'angle auxiliaire ou de référence.

Angle de référence : il s'agit de l'angle aigu formé entre le brasterminal de l'angle et l'axe des x le plus près.

Discutez du point suivant :

Dans chacun des schémas ci-dessous. L'angle de référence estde 30o.

Quadrant I Quadrant II

− suite


B-220





θ sin θ

15˚

165˚

195˚

345˚

75˚

105˚

255˚

285˚

B-221

Problème

−12Si sin θ = et tan θ > 0, déterminez la (les) valeur(s) de θ

13lorsque 0o ≤ θ ≤ 360o. Arrondissez votre réponse au dixième degréprès.




B-222

· comprendre le concept d'un angle auxiliaire ou de référence (suite)

Quadrant III Quadrant IV

Discutez des points suivants avec les élèves :· Pouvez-vous déterminer comment on trouve l'angle de référence dans chaque quadrant?

· Dans le quadrant I, l'angle est toujours aigu de sorte que les angles θr et θ sont le même angle.

· Dans le quadrant II, θr = 180o − θ (degrés).

· Dans le quadrant III, θr = 180o + θ (degrés)

− suite





B-223

Calcul mental

1. Indiquez les mesures des angles dans les quadrants III et IV qui ont un angle de référence de 25o.

2. Trouvez l'angle de référence de :a) 162o

b) 321o

c) 37o

d) 0o

3. Si l'angle de référence θr est 65o, nommez un angle θ si θ n'est pas dans le quadrant I.

4. Trouvez trois angles θ qui ont un angle de référence de 20o.




B-224

· comprendre le concept d'un angle auxiliaire ou de référence (suite)

· Dans le quadrant IV, θr = 360o − θ (degrés)

Résumé

Si θ se termine dans le quadrant I : θ = θrSi θ se termine dans le quadrant II : θ = 180o − θrSi θ se termine dans le quadrant III : θ = 180o + θrSi θ se termine dans le quadrant IV : θ = 360o − θr

Exemple 1

Tracez l'angle, puis déterminez son angle de référence poura) 98o b) 352o

Solution

a) b)

Angle de référence : Angle de référence :180o − 98o = 82o 360o − 352o = 8o

Exemple 2

Sans l'aide d'une calculatrice, décidez si l'équation est vraie oufausse. Ensuite, à l'aide d'une calculatrice, vérifiez votredécision et reformulez l'énoncé original pour qu'il soit vrai.a) sin 160o = sin 20o b) cos 187o = cos 7o

Solutiona) Vraib) Faux. cos 187o = − cos 7o





B-225


1. Expliquez ce qui survient au concept d’angle de référencelorsque le bras terminal de l'angle coïncide avec un axe.

2. Expliquez pourquoi sin 210o = sin 330o. Expliquez pourquoi sin 30o = −sin 210o.



B-1c résoudre des équations trigonométriques 0o ≤ θ ≤ 360o

B-226



· résoudre des équations trigonométriques de forme linéaire

Exemple 1

Trouvez les valeurs de θ dans l’intervalle 0o ≤ θ ≤ 360o pour lesfonctions trigonométriques suivantes. Exprimez les réponses àune décimale.a) sin θ = 0,78615b) cos θ = −0,43214c) sin θ = 1,28728

Solution

a) sin θ = 0,78615Dans le quadrant I :θ = 51,83o

Dans le quadrant II : θ = 180o − 51,83o = 128,17o

∴ {51,8o, 128,2o}

b) cos θ = −0,43214Dans le quadrant I :θ = 64,3966o

cos θ < 0 dans les quadrants II et IIIDans le quadrant II : θ = 180o − 64,3966o = 115,6034o

Dans le quadrant III : θ = 180o + 64,3966o = 244,3966o

∴{115,6o, 244,4o}

c) sin θ = 1,28728Aucune solution étant donné que sin θ > 1.(Demandez aux élèves de faire le lien entre ceci et l'image de la fonction sinusoïdale.)


Estimation et TTeecchhnnoollooggiieeCalcul Mental Visualisation

Résoudre une équation trigonométrique signifie qu'il fautdéterminer les valeurs de l'angle inconnu qui satisfont àl'équation. Le domaine est 0o ≤ θ ≤ 360o, sauf indicationcontraire.On devrait faire des liens avec la résolution de triangles à l'aidedes lois de sinus et de cosinus. Toutes les équations devraientêtre résolues à l'aide d'une calculatrice. On ne devrait pasmémoriser les valeurs exactes à ce moment-ci. Cet aspect seratraité dans Mathématiques pré-calcul secondaire 4.

Ressource imprimée


B-227


1. Comment les équations 2x − 1 = 0 et 2 sin θ −1 = 0 sont-ellessemblables? Comment sont-elles différentes?

2. Jean était en train de résoudre une équation trigonométrique qui a donné pour résultat : sin θ = 2. Lorsque Jean a entré l'information dans sa calculatrice, sa calculatrice lui a donné le message « ERREUR ». Pourquoi?



B-1c résoudre des équationstrigonométriques 0o ≤ θ ≤ 360o

B-228

· résoudre des équations trigonométriques de forme linéaire (suite)

Exemple 2

Résoudre :2 sin θ − 1 = 0

Solution

2 sin θ = 11

sin θ = 2

1Angle de référence = sin-1

2Angle de référence = 30o

Étant donné que sin θ > 0, θ est dans les quadrants I ou IIθ = 30o dans le quadrant Iou θ = 150o dans le quadrant IIRRemarrque : À l'aide de la technologie graphique, demandez auxélèves de reproduire graphiquement y = 2 sin θ − 1 et de trouverles zéros de la fonction entre 0o et 360o.

Exemple 3

Déterminez la solution pour chacune des équationstrigonométriques suivantes dans l’intervalle 0o ≤ θ ≤ 360o.a) −3 sin θ = 2b) 5 cos θ − 2 = 0

tanθc) −1 = 0

6

Solution

a) −3 sin θ = 2−2

sinθ = 3

Dans le quadrant I : θ = 41,8o

sin θ < 0 dans les quadrants III et IVDans le quadrant III : θ = 180o + 41,8o = 121,8o

Dans le quadrant IV : θ = 360o − 41,8o = 318,2o

∴{121,8o, 318,2o}

− suite





B-229



B-1c résoudre des équationstrigonométriques 0o ≤ θ ≤ 360o

B-2 résoudre des problèmesfaisant intervenir destriangles de cas ambigus.

B-330

· résoudre des équations trigonométriques de forme linéaire (suite)

Exemple 3 - ssuite

Solution - suite

b) 5 cos θ − 2 = 0 5 cos θ = 2

2cos θ =

5Dans le quadrant I :θ = 66,4o

Dans le quadrant IV : θ = 360o − 66,4o = 293,6o

∴ {66,4o, 293,6o}

c) tan θ−1 = 0

6tan θ − 6 = 0

tan θ = 6Dans le quadrant I : θ = 80,5o

Dans le quadrant III :θ = 180o + 80,5o = 260,5o

∴{80,5o, 260,5o}

· résoudre des problèmes de triangle avec cas ambigu

− suite





Communications RRééssoolluuttiioonn CCoonnnneeccttiioonnss RRaaiissoonnnneemmeenntt

Estimation et TTeecchhnnoollooggiiee Calcul Mental Visualisation

Les élèves résoudront d'autres équations trigonométriquesdans la prochaine unité lorsqu'il sera question deséquations quadratiques.

Dans le cours Mathématiques pré-calcul secondaire 2, lesélèves ont résolu des triangles y inclus la loi de sinus sans lecas ambigu. Les élèves pourraient revoir les autres méthodesavant d'apprendre à résoudre le cas ambigu.Discutez des points suivants avec les élèves :Lorsque vous résolvez un triangle alors que vous avez CCA(deux côtés et un angle opposé à l'un des côtés), le cas ambiguse produit lorsque l'angle est opposé au plus petit des deuxcôtés. Lorsque l'angle donné est opposé au plus grand des deuxcôtés donnés, il n'y a pas d'ambiguïté.

Ressource imprimée


B-331



B-2 résoudre des problèmesfaisant intervenir destriangles de cas ambigu.

B-332



· résoudre des problèmes faisant intervenir des triangles de cas ambigu

RRecherrche

Demandez aux élèves de dessiner chacun des triangles suivants.On peut le faire sur papier ou à l'aide de la technologie.

Une fois que les triangles sont dessinés, les élèves devraientrésoudre chaque triangle en mesurant et en utilisant la loi desinus.

Cas 1 : ∆ ABC avec ∠ C = 100o, b = 10, c = 8 (aucun triangle)

Cas 2 : ∆ ABC avec ∠ C = 30o, b = 10, c = 4 (aucun triangle)

Cas 3 : ∆ ABC avec ∠ C = 30o, b = 10, c = 5 (un triangle)

Cas 4 : ∆ ABC avec ∠ C = 30o, b = 10, c = 6 (deux triangles)

Cas 5 : ∆ ABC avec ∠ C = 30o, b = 10, c = 12 (un triangle)

− suite

�

��

� � �

� � ��

��

�

��

� � ��

�

�

��

� � ��

�

��

�

� � ��

�

� � ��

�

�

��



B-333


1. Combien de triangles ∆ ABC ont A = 36o, b = 11 et a = 13?2. En résolvant un triangle de cas ambigu, sin θ = 2,4. Qu'est-ce

que cela signifie?

Problèmes

1. Un arpenteur géologique veut dresser la carte de formations rocheuses. Il commence au point A et progresse en direction S 55o W jusqu'au point B, puis en direction S 40o E jusqu'au point C, et enfin de retour au point A. Le point C est à 7, 8 km directement au sud du point A. Donnez la valeur approximative de a) la longueur de la route de l'arpenteurb) la superficie du terrain ainsi délimité.

2. Le monticule du lanceur sur un terrain de softball est à 15,2 m du marbre et la distance entre les buts est de 19,8 m. À quelle distance du premier but se trouve le monticule du lanceur?

3. Déterminez la longueur de AC.



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α

B-2 résoudre des problèmesfaisant intervenir destriangles de cas ambigu − suite

B-334

· résoudre des problèmes faisant intervenir des triangles de cas ambigus (suite)

RRecherrche - ssuite

Un résumé suit. Les élèves ne devraient pas mémoriser les cas,mais devraient comprendre pourquoi on dit que ce sont des casambigus.





La loi de sinus ou la loi de cosinus peut être utilisée pourrésoudre des questions. Si la loi de cosinus est utilisée, vousaurez besoin de la formule quadratique.

a bSi on utilise la loi de sinus, = , alors :

sin A sin Bb sin A

Si a, ∠ A, et b sont donnés, sin B = ab sin A

Si > 1 , il n'y a aucune solution étant donné qu'il n'y a

a pas de triangle.b sin A

Si = 1, et ∠ B = 90o, on obtient un triangle rectanglea

b sin ASi < 1 et a > b, il y a un triangle.

ab sin A

Si < 1 et a < b, deux triangles sont alors possibles.a

Rappelez-vous que c'est vrai lorsque a, b et ∠ A sont donnés etque a < b.

− suite

Multimédia

B-335

Problèmes

1. Une droite AB de 11 cm de longueur est dessinée de façon à former un angle de 44o avec une droite horizontale AE. On dessine un cercle dont le centre est B et dont le rayon mesure 9 cm. Le cercle traverse la droite horizontale aux points C et D. Calculez la longueur de la corde CD.

2. Un véhicule de reconnaissance avance vers l’est en ligne droite. Il observe une batterie ennemie dans la direction N 56o E et à 5280 m de distance. On sait que la batterie est dotée de mortiers ayant une portée efficace de 3 500 m. Combien plus loin est-ce que le véhicule doit avancer avant d'être à portée de la batterie et quelle longueur de la route est couverte par la batterie?

Choix multiples

1. Deux triangles différents ABC sont possibles sia) a = 3, b = 4m, c = 5mb) ∠A = 36o, ∠B = 45o, c = 5mc) ∠A = 36o, a = 10m, c = 12md) a = 10m, ∠B = 50o, c = 10m

2. Le nombre de triangles ABC possibles lorsque a = 4, b = 7 et ∠ A = 30o est dea) 0b) 1c) 2d) 3

3. Soit ∆ ABC, lequel des ensembles d'information suivants, représente le cas ambigu avec deux triangles possibles :a) a = 3, b = 4, c = 5b) ∠A = 50o, ∠B = 70o, a = 6c) ∠C = 90o, b = 5, a = 12d) a = 3, b = 4, ∠A = 40o




B-336

· résoudre des problèmes faisant intervenir des triangles de cas ambigu (suite)

RRecherrche - suite

Expliquez aux élèves que lorsqu'ils résolvent un triangle, ilsdevraient faire un dessin minutieux de l'information etdéterminer les autres côtés et angles si possible. S'ils peuventtrouver deux triangles qui répondent aux renseignementsfournis, inclure les deux solutions. S'il n'y a aucune solution,expliquez pourquoi.

Exemple

Cas où il n'y a aucune solutionDans ∆ ABC, a = 2, b = 6, ∠ A = 30o. Résolvez le triangle.

Solution

Faites un dessin. À partir de cette figure, il semble qu'aucuntriangle n'est formé.

Utilisez la loi de sinus pour vérifier ceci :

2 6=sin 30o sin B

6 sin 30o

sin B = 2

sin B = 1,5

Étant donné que sin B > 1, il n'y a aucune solution possiblepuisque sin B doit être dans l'image −1 ≤ sin B ≤ 1. Parconséquent, il n'y a aucun triangle.

− suite



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Une fois que la formule quadratique aura été présentée àl'Unité C : Algèbre, les élèves pourront résoudre cettequestion à l'aide de la loi des cosinus.

B-337

Problème

Un golfeur effectue deux coups roulés pour caler sa balle dans letrou. Au premier coup roulé, la balle franchit 10,2 m dans ladirection nord-ouest, et au deuxième, la balle franchit 3,7 m endirection plein nord et tombe dans le trou. À quelle distance etdans quelle direction est-ce que le golfeur aurait dû viser sonpremier coup roulé pour caler la balle dans le trou en un seulcoup? (Supposez que le sol est de niveau.)

Calcul mental

1. Deux angles d'un triangle mesurent 15o et 35o. Quelle est la mesure du troisième angle?

2. Dans le triangle isocèle ∆ DEF, l'angle D à la base mesure 40o. Quelles sont les mesures des deux autres angles?




B-338


Exemple 1

Cas à une solution, CCA

Dans le ∆ ABC, a = 3, b = 6 et ∠ A = 30o. Résolvez le trianglerectangle.

Solution

3 6=

sin 30o sin B

6 sin 30o

sin B =3

sin B = 1B = sin-11B = 90o

∠ C = 180o − (90o + 30o)= 60o

3 c=

sin 30o sin 60o

3 sin 60o

c = sin 30o

= 5,20

Étant donné que ∠ B = 90o, un seul triangle est possible.

− suite




Estimation et TTeecchhnnoollooggiieeCalcul mental Visualisation

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B-339




B-440


Exemple 2

Cas à une solution, CCADans le ∆ ABC, a = 4, b = 3 et ∠ A = 30o. Résolvez le triangle.

Solution

4 3=sin 30o sin B

3 sin 30o

sin B =4

sin B = 0,375B = sin-10,375B = 22,02o

Il y a deux angles entre 0o et 180o dont le sinus est 0,375.∴B1 = 22,02o et B2 = 180o - 22,02o = 157,98o

Lorsque B1 = 22,02o

∠ C = 180 − (30o + 33,02)o

∠ C = 127,98o

4 c=

sin 30o sin 127,98o

4 sin 127, 98o

c = sin 30o

c = 6,31Lorsque B2 = 157,98o

∠ C = 180o − (30o + 157,98o)= −7,98o

∴ Il n'y a pas un deuxième triangle.

− suite



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B-441




B-442


Exemple 3

Cas à deux solutions, CCADans le ∆ ABC, a = 3, b = 4 et ∠ A = 30o. Résolvez le triangle.

Solution

Deux triangles sont possibles.

a b=

sin A sin B3 4=

sin 30o sin B

sin B = 0,6B = sin-10,6B = 41,81o

Il y a deux angles entre 0o et 180o dont le sinus est 0,6.B1 = 41,81o et B2 = 180o − 41,81o = 138,19o

Lorsque B1 = 41,81o

∠ C = 180o − (41,81o + 30o) = 108,19o

3 c=

sin 30o sin 108,19o

3 sin 108,19o

c = sin 30o

c = 5,70

− suite





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B-443




B-444


Exemple 3 - ssuite

Solution - suite

Lorsque B2 = 138,19o

∠ C = 180o − (138,19o + 30o) = 11,81o

3 c=

sin 30o sin 11,81o

3 sin 11,81o

c = sin 30o

c = 1,23





B-445



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