Comment calculer les décimales du nombre π ? C'est à Archimède ( 287 av. JC - 212 av. JC) que l’on doit les premiers calculs méthodiques ( c'est-à-

dire sous forme d’algorithme, sous forme de répétitions ) des décimales de ce nombre π . Cette méthode ( dite d’Archimède ) consiste à calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle en augmentant le nombre de côtés.

Circonférence d’un cercle de rayon 0,5 :

π 0,5π2 =××

A partir de ce cercle, Archimède l’a encadré entre un polygone régulier inscrit ( intérieur au cercle ) et un polygone régulier circonscrit ( extérieur au cercle ), ces deux polygones ayant même nombre de côtés . Il a commencé avec des hexagones inscrits et circonscrits ( 6 côtés ) , puis à partir de ces hexagones, en partageant chaque arc de cercle en deux, il a obtenu des dodécagones ( 12 côtés), puis des polygones à 24, 48, et 96 côtés.

Le périmètre du cercle ( ici π ) était donc encadré entre le périmètre du polygone inscrit ( intérieur )et le périmètre du polygone circonscrit ( extérieur ).

extérieur Polygoneintérieur Polygone Périmètreπ Périmètre ≤≤

Alors qu’Archimède n’avait pas de machine pour faire les calculs, nous allons, à l’aide d’un tableur

tenter de retrouver une valeur approchée de π, en n’utilisant que les polygones inscrits ( intérieurs )

THEME :

POLYGONES REGULIERS

ARCHIMEDE SIMPLIFIE ET TABLEUR

Le rayon de 0,5 est utilisé pour avoir une circonférence « intéressante » : π Mais il est possible de prendre toute autre valeur. Si le rayon est 1, la circonférence est π 2 et tout encadrement de ce nombre permet aisément d’avoir, en divisant ici par 2, un encadrement de π .

Exercice 1: Longueur d’un côté

Considérons un polygone ABCDEF à 6 côtés ( hexagone ) inscrit dans un cercle de centre O et de rayon R ( nous prendrons un peu

plus tard R = 0,5 )

Traçons sur un côté ( [AB] par exemple ) la médiatrice. Passant par O, elle coupe le segment [AB] en son milieu ( et perpendiculairement ) en H et l’arc de cercle en M.

1) Montrer que OH = 4

AB²-R²

2)Calculer HM. 3) En utilisant le triangle HMA, rectangle en H, montrer que :

AM = 4

AB²-R² 2R2R² −

Ce résultat donne, en fonction de la longueur du côté (AB) d’un polygone, la longueur du côté (AM) d’un polygone ayant deux fois plus de côtés.

Exercice 2: Calcul d’une valeur approchée de π : Considérons un hexagone ( 6 côtés ) dans un cercle de rayon R = 0,5 . La longueur du côté d’un hexagone de diamètre R est R , donc le côté [AB] de l’hexagone mesure 0,5..

�1) Nombre de côtés : Dans le tableur, créons trois colonnes :

• Nombre de côtés • Longueur du côté • Périmètre du polygone.

Dans la première colonne, nous commencerons avec un nombre de côtés égal à 6 ( hexagone )( Cellule A3 ) Puis nous doublerons à chaque nouvelle ligne ce nombre de côtés. Inscrivons donc, dans la cellule A4 : 2*A3, puis validons.

Pour généraliser cette formule, tirons ( croix noire ) sur le coin inférieur droit de la cellule A4 vers le bas sur un certain nombre de cellules.

2) Longueur d’un côté : Dans la cellule B3, inscrivons la longueur du côté du polygone choisi ( ici 0,5 ). Pour un polygone à deux fois plus de côtés ( 12 = 2 x 6 ), le côté AM est donné par la formule déterminée dans l’exercice 1 :

AM = 4

AB²-R² 2R2R² − =

4AB²

-0,5² 0,5 20,5² 2 ×−×

Rentrons la formule dans la cellule B4 ( la valeur de AB étant donné par la cellule B3)

=RACINE(2*0,5*0,5 -2*0,5 *RACINE(0,5*0,5 - B3*B3/4))

Puis, comme précédemment, en tirant sur le coin inférieur droit de cette cellule, nous recopions dans les cellules situées en

dessous, cette formule.

3) Périmètre du polygone régulier : Il suffit de multiplier la longueur d’un côté par le nombre de côtés, A3*B3

Puis, encore une fois, en tirant sur le coin inférieur droit, recopiez dans les cellules suivantes.

Il est possible d’améliorer cette présentation rapide, en ajoutant, par exemple, la différence entre la valeur réelle de la circonférence du cercle et le périmètre du polygone utilisé.

Il était certainement plus simple d’utiliser des formules trigonométriques pour déterminer les longueurs des côtés d’un polygone régulier, mais les tableurs n’utilisent pas les degrés, mais les radians !

CORRECTION EXER

R²= OH²

R²

OH²

2)Calcul de HM : H est un point du segment [OM] Donc OM = OH + HM

HM = OM – OH = R -

3)Calcul de AM : Dans le triangle AHM rectangle en HNous avons, d’après le théorème de Pythagore

AM² = HM² + AH²

AM² = (R - 4

AB²-R² )² + (

AM² = ( R² - 2R4

AB²-R² +

AM² = R² - 2R4

AB²-R² + R²

AM² = 2R² - 2R4

AB²-R²

EUREKA

CORRECTION EXERCICE 1 :

1) Calcul de OH : La droite (OH) est la médiatrice du segment [AB], donc � ( OH) est perpendiculaire à (AB) triangle rectangle en H

� H est le milieu de [AB] et donc AH =

Dans le triangle AHO rectangle en HNous avons, d’après le théorème de Pythagore

OA² = OH² + AH²

R²= OH² + (2

AB)²

R²= OH² + 2²

AB²

R²= OH² + 4

AB²

R²- 4

AB² = OH²

OH²= R²- 4

AB² et par suite OH = R²

4AB²

-R²

angle en H après le théorème de Pythagore :

2AB

)²

+ 4

AB² -R² ) +

4AB²

4AB²

-R² + 4

AB²

AM = 4

AB²-R² R 2R² 2 −

EUREKA

La droite (OH) est la médiatrice du segment [AB], donc OH) est perpendiculaire à (AB) et par suite AHO est un

H est le milieu de [AB] et donc AH = 2

AB

angle en H après le théorème de Pythagore :

4AB²

-R²