EE av 2006

of 77 /77
Elektroenergetika – auditorne vježbe 2006 1 1. Energija i snaga 1.1. Pojmovi Sila je fizikalna veličina koja opisuje međudjelovanje tijela. Definira se kao umnožak mase tijela m i akceleracije a , koja je posljedica djelovanja drugog tijela: F = ma . Energija (grčki: ένέργεια – rad) u fizici je veličina koja karakterizira stanje (gibanje, položaj, polja itd.) materije u nekom sustavu tijela ili čestica; u užem smislu sposobnost nekog sustava da vrši rad. Energija postoji u mnogo oblika (vrsta energije), koje se pretvaraju jedan u drugi (mehanička, potencijalna, električna, magnetska, svjetlosna, nuklearna, toplinska, kemijska energija itd.). Jedan od osnovnih problema energetike jest pronaći što povoljnije načine pretvaranja različitih vrsta energije (npr. kemijske energije, nuklearne, energije Sunčevih zraka, valova na oceanima) u oblik koji se lako transportira i lako pretvara u mehanički rad, odnosno koristi za industrijske i druge procese, da bi se zadovoljio izvanredno brz porast potreba za energijom. Rad je fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile, definirana kao umnožak sile F i puta s u smjeru sile duž kojeg se obavlja rad: = b a ds F W Snaga je fizikalna veličina koja opisuje brzinu obavljanja rada, definirana omjerom rada W i za to utrošenog vremena t: dt dW P = . 1.2. Jedinice Međunarodni sustav jedinica (SI) polazi od osnovnih jedinica metar (m), kilogram (kg), sekunda (s) itd. Izvedena jedinica za silu je njutn (N, newton). To je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od jednog metra u sekundi na kvadrat. Veličine rad, količina topline i energija imaju istu jedinicu džul (J, joule), definiranu radom sile od 1 N na putu od 1 m u smjeru djelovanja sile, dakle 1 J = 1 Nm. Za energiju se mogu upotrebljavati i sve jedinice izvedene iz umnoška jedinica sile i puta ili iz umnoška jedinica snage i vremena, npr. njutnmetar (oznaka: Nm) ili vatsekunda (1 Ws = 1 J), kilovatsat (1 kWh = 3.6 . 10 6 J). Za snagu se u SI sustavu koristi jedinica 1 vat (W, wat), a to je snaga koja u jedinici vremena izvrši rad ili se koristi energijom 1 J. Osim vata može se upotrebljavati i jedinica za snagu voltamper, oznaka VA (1VA = 1 W). Osnovne jedinice za energiju (J) i snagu (W) za praktičnu su primjenu u energetici malene, pa se upotrebljavaju dekadski višekratnici: kilo (k, 10 3 ), mega (M, 10 6 ), giga (G,10 9 ) i tera (T, 10 12 ). Kako su još uvijek u upotrebi neke jedinice, kao npr. kWh (kilovatsat), cal (kalorija), tec (tona ekvivalentnog ugljena) , treba ih znati preračunati: cal = 4.1868 J tec = 7 . 10 6 kcal = 29.307 GJ KS = 735.499 W. 1.3. Redovi veličina Prosječna ljudska snaga 50 - 100 W [1]. U svijetu 1984. P inst = 2000 GW. Sunce daje prosječno 1.35 kW/m 2 . U Hrvatskoj 3000 kWh godišnje po stanovniku.

Embed Size (px)

description

elektroenergetika

Transcript of EE av 2006

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    1

    1. Energija i snaga

    1.1. Pojmovi

    Sila je fizikalna veliina koja opisuje meudjelovanje tijela. Definira se kao umnoak mase tijela m i akceleracije a , koja je

    posljedica djelovanja drugog tijela: F = ma .

    Energija (grki: rad) u fizici je veliina koja karakterizira stanje (gibanje, poloaj, polja itd.) materije u nekom

    sustavu tijela ili estica; u uem smislu sposobnost nekog sustava da vri rad. Energija postoji u mnogo oblika (vrsta

    energije), koje se pretvaraju jedan u drugi (mehanika, potencijalna, elektrina, magnetska, svjetlosna, nuklearna, toplinska,

    kemijska energija itd.). Jedan od osnovnih problema energetike jest pronai to povoljnije naine pretvaranja razliitih vrsta

    energije (npr. kemijske energije, nuklearne, energije Sunevih zraka, valova na oceanima) u oblik koji se lako transportira i

    lako pretvara u mehaniki rad, odnosno koristi za industrijske i druge procese, da bi se zadovoljio izvanredno brz porast

    potreba za energijom.

    Rad je fizikalna veliina koja opisuje djelovanje sile, definirana kao umnoak sile F i puta s u smjeru sile du kojeg se

    obavlja rad: =b

    a

    dsFW

    Snaga je fizikalna veliina koja opisuje brzinu obavljanja rada, definirana omjerom rada W i za to utroenog vremena t:

    dt

    dWP = .

    1.2. Jedinice

    Meunarodni sustav jedinica (SI) polazi od osnovnih jedinica metar (m), kilogram (kg), sekunda (s) itd.

    Izvedena jedinica za silu je njutn (N, newton). To je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od jednog metra u

    sekundi na kvadrat.

    Veliine rad, koliina topline i energija imaju istu jedinicu dul (J, joule), definiranu radom sile od 1 N na putu od 1

    m u smjeru djelovanja sile, dakle 1 J = 1 Nm. Za energiju se mogu upotrebljavati i sve jedinice izvedene iz umnoka jedinica

    sile i puta ili iz umnoka jedinica snage i vremena, npr. njutnmetar (oznaka: Nm) ili vatsekunda (1 Ws = 1 J), kilovatsat (1

    kWh = 3.6.106 J).

    Za snagu se u SI sustavu koristi jedinica 1 vat (W, wat), a to je snaga koja u jedinici vremena izvri rad ili se koristi

    energijom 1 J. Osim vata moe se upotrebljavati i jedinica za snagu voltamper, oznaka VA (1VA = 1 W).

    Osnovne jedinice za energiju (J) i snagu (W) za praktinu su primjenu u energetici malene, pa se upotrebljavaju

    dekadski viekratnici: kilo (k, 103), mega (M, 106), giga (G,109) i tera (T, 1012). Kako su jo uvijek u upotrebi neke jedinice,

    kao npr. kWh (kilovatsat), cal (kalorija), tec (tona ekvivalentnog ugljena) , treba ih znati preraunati:

    cal = 4.1868 J

    tec = 7.106 kcal = 29.307 GJ

    KS = 735.499 W.

    1.3. Redovi veliina

    Prosjena ljudska snaga 50 - 100 W [1].

    U svijetu 1984. Pinst = 2000 GW.

    Sunce daje prosjeno 1.35 kW/m2.

    U Hrvatskoj 3000 kWh godinje po stanovniku.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    2

    2. Razvoj proizvodnje elektrine energije

    Razvoj potronje elektrine energije (a to je ujedno i razvoj proizvodnje) pokazuje stalan porast bilo da se promatra

    cijeli svijet ili velika geografska podruja, bilo da se promatraju pojedine zemlje. Intenzitet potronje elektrine energije u

    nekom sustavu moe se prikazati specifinom potronjom po stanovniku. Veliina elektroenergetskog sustava u pojedinim

    zemljama moe se prikazati maksimalnom snagom elektrana i duljinom izgraenih visokonaponskih vodova. Struktura

    proizvodnje elektrine energije po vrstama elektrana vrlo je razliita u pojedinim zemljama, to ovisi u prvom redu o

    energetskom potencijalu vodnih snaga i o dosadanjem iskoritenju tog potencijala. I struktura potronje elektrine energije u

    pojedinim zemljama je vrlo razliita. Dosadanji razvoj potronje elektrine energije pokazuje da se (gledajui svijet kao

    cjelinu) udvostruuje svakih deset godina, tj. da potronja raste u prosjeku po godinjoj stopi od 7.2%. Ta se zakonitost vie

    ili manje ostvaruje u svim zemljama. Treba napomenuti da dosada nije zapaena pojava zasienja, pa ni u zemljama s

    velikom potronjom po stanovniku (Norveka, vedska, SAD), iako ima pojava nie stope porasta (vicarska, Austrija). U

    prvoj fazi elektrifikacije normalno je da potronja elektrine energije polagano raste, a kasnije postie stopu porasta izmeu 7

    i 10%. Vjerojatno treba u daljoj budunosti oekivati zasienje potronje.

    2.1. Razvoj elektrifikacije i EES

    2.1.1. Etape razvoja elektroenergetskih sustava

    U svom razvoju od poetka elektrifikacije do dananjih dana, elektroenergetski sustavi su proli kroz nekoliko faza

    razvoja. Poetak tog razvoja bio je 80-tih godina 19. stoljea s izgradnjom malih elektrana koje su na niskom istosmjernom

    naponu (110-440 V), napajale vlastita potroaka podruja. Potronja se uglavnom sastojala od javne elektrine rasvjete,

    domainstava i manjih industrijskih postrojenja. Mala snaga elektrana i koritenje istosmjerne struje niskog napona uvjetovali

    su i kratke udaljenosti prijenosa, to je ograniavalo ujedinjavanje pojedinih izoliranih podruja i formiranje veih

    elektroenergetskih sustava.

    Nakon Teslinih pronalazaka viefaznog asinkronog motora i sustava trofaznih izmjeninih struja 1887. godine,

    omoguene su vee udaljenosti prijenosa i okrupnjavanje snaga izvora elektrine energije, tako da prava povijest razvoja

    elektroenergetskih sustava izmjenine struje upravo poinje s izgradnjom prve elektrane u Niagara Fallsu na rijeci Niagara, u

    dravi New York, SAD 1897. godine.

    Prva faza razvoja elektroenergetskih sustava izmjenine struje bila je slina ve postojeim sustavima istosmjerne

    struje, tj. pojedine lokalne elektrane su napajale vlastita, izolirana potroaka podruja, ali su ona, zbog mogunosti

    postizanja veih udaljenosti prijenosa s izmjeninim strujama visokog napona, bila znatno vea nego u sluaju izoliranih

    potroakih podruja napajanih elektranama istosmjerne struje na niskom naponu.

    U daljnjem razvoju sustava izmjeninih struja, zbog poveanja sigurnosti pogona i pouzdanosti isporuke elektrine

    energije potroaima, dolazi do sinkronizacije susjednih, do tada izoliranih potroakih podruja, koja su u stalnom

    paralelnom radu formirala elektroenergetske sustave. Ovi sustavi su u sluaju velikih gradova imali i vei broj ranije

    izoliranih elektrana raznih snaga, tako da u ovoj drugoj fazi postupno dolazi da poveanja njihovih snaga (i snaga

    proizvodnih jedinica). To povoljno utjee na smanjenje investicionih i eksploatacionih trokova, ime se postiu bolji

    ekonomski efekti zbog okrupnjavanja elektroenergetskog sustava na veim geografskim teritorijima. U ovoj fazi se poinju

    primjenjivati srednjevisoki naponi do 60 kV kao osnovni distributivni naponi.

    Trea faza razvoja elektroenergetskih sustava zapravo predstavlja nastavak druge faze: susjedni lokalni

    elektroenergetski sustavi se povezuju meusobno i stvaraju regionalne elektroenergetske sustave, koji pokrivaju teritorije

    dijelova pojedinih drava. Efekti ovog povezivanja lokalnih u regionalne elektroenergetske sustave su, slino kao u drugoj

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    3

    fazi razvoja, bili u daljnjem poboljavanju ekonomije i pouzdanosti pogona, a tehniki, u poveanju jedininih snaga

    generatora i povienju napona za regionalne prijenosne sustave do nivoa 110 kV.

    etvrtu fazu karakterizira meusobno povezivanje regionalnih elektroenergetskih sustava i stvaranje interkonekcija,

    ili jedinstvenih sustava na nivou pojedinih drava. Pri tome su koriteni vii prijenosni naponi (reda 220-400 kV), koji su

    omoguavali koritenje jeftinih hidroelektrana, obino udaljenih od centara potronje, tako da se u ovoj fazi stvaraju jake

    nacionalne prijenosne mree, s nominalnim naponima do 400 kV. Jedinine snage i snage elektrana i dalje rastu, u skladu s

    tehnolokim napretkom i ekonomskim zahtjevima izgradnje i eksploatacije sustava.

    Razvoj elektroenergetskih sustava nije zaustavljen sa stvaranjem nacionalnih interkonekcija u etvrtoj fazi. Zbog

    sezonskih i dnevnih neravnomjernosti dijagrama potronje uvijek se pojavljuju povremeni vikovi ili manjkovi energije pri

    uravnoteivanju proizvodnje i potronje elektrine energije na nivou pojedinih drava. Logino je bilo da se susjedi kod kojih

    se u odreenim periodima tijekom godine pojavljuju bilanne neuravnoteenosti suprotnog predznaka ponu meusobno

    pomagati. Tako dolazi do stvaranja regionalnih meunarodnih interkonekcija povezivanjem i paralelnim radom

    elektroenergetskih sustava susjednih zemalja, to karakterizira petu fazu razvoja elektroenergetskih sustava.

    esta i posljednja faza se sastoji u povezivanju i paralelnom radu regionalnih meunarodnih interkonekcija u

    kontinentalne interkonekcije, kao to su UCPTE i MIR u Europi, ili CANUSE u Americi.

    UCPTE (sada UCTE) osnovana 1951. godine (osam drava). Pinst = 336 GW krajem 90-tih.

    Tablica Pregled faza razvoja elektroenergetskih sustava

    I faza svaka elektrana napaja vlastito podruje

    II

    faza

    stvaranje lokalnih elektroenergetskih sustava sinkronizacijom susjednih elektrana na distributivnom naponu

    III

    faza

    stvaranje regionalnih elektroenergetskih sustava povezivanjem susjednih lokalnih sustava na srednjevisokim

    distributivnim naponima

    IV

    faza

    stvaranje nacionalnih elektroenergetskih sustava povezivanjem svih energetskih regija unutar pojedinih drava i

    formiranje jakih prijenosnih mrea visokog napona

    V

    faza

    povezivanje elektroenergetskih sustava susjednih zemalja, radi meusobne ispomoi u okviru regionalnih

    meudravnih interkonekcija

    VI

    faza

    stvaranje kontinentalnih elektroenergetskih sustava povezivanjem postojeih regionalnih meudravnih

    interkonekcija

    Interkonekcije se po nainu rada dijele na sinkrone i asinkrone. Sinkrone interkonekcije se ostvaruju povezivanjem

    elektroenergetskih sustava iste frekvencije, preko spojnih vodova visokih napona (VN; VVN; UVN) izmjenine struje. Takvi

    sustavi nakon sinkronizacije rade sinkrono, istom frekvencijom.

    Asinkrono povezivanje omoguava stvaranje interkonekcije u kojoj svaki povezani dio radi s vlastitom

    frekvencijom, koja je neovisna o frekvenciji ostalih uesnika u interkonekciji. Obino se izvode pomou istosmjernih vodova

    visokog napona, kada sustavi koji su povezani imaju razliite nazivne frekvencije (sluaj internog povezivanja nekih sustava

    u Meksiku, Japanu i Brazilu, ili Saudijske Arabije sa susjednim zemljama Zaljeva, ili pri povezivanju otoka s kopnom gdje je

    istosmjerni spojni vod jeftiniji od trofaznog izmjeninog (Velika Britanija Francuska, vedska Gotland), odnosno pri

    meusobnom povezivanju velikih interkonekcija, koje se tehniki ne mogu povezati u sinkronu interkonekciju (vedska

    Danska, Norveka Danska, Rusija Finska).

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    4

    2.1.2. Tehnike i ekonomske prednosti okrupnjavanja elektroenergetskih sustava

    Stvaranje elektroenergetskih sustava, od samog poetka tog procesa, bilo je povezano s neophodnou rjeenja niza

    sloenih tehnikih i ekonomskih problema, vezanih za sigurnost, pouzdanost i ekonomiju pogona. Ekonomske prednosti rada

    u velikim interkonekcijama su jako ubrzale njihov razvoj.

    Glavne tehnike i ekonomske prednosti okrupnjavanja elektroenergetskih sustava mogu se svrstati u deset toaka.

    1. Poveanje pouzdanosti isporuke elektrine energije potroaima. Ova prednost postie se kroz efekte meusobne

    ispomoi sustava u paralelnom radu, koja je neophodna pri pojavi iznenadnih kvarova na proizvodnim agregatima,

    nedostatka vode na hidroelektranama, ili goriva na termoelektranama u pojedinim sustavima. Razliitost oblika

    dijagrama potronje, a posebno neistovremenost vrnih optereenja, omoguuju da se, osim ve spomenute havarijske

    ispomoi, elektrina energija razmjenjuje i planski, ime se postiu uzajamno povoljni ekonomski efekti, posebno pri

    pojavi vikova u hidroelektranama u nekom od sustava u zajednikom paralelnom radu. Poveanje pouzdanosti

    pogona sustava naroito je vidljivo u prvim etapama razvoja elektroenergetskih sustava, pri objedinjavanju veeg

    broja malih agregata u zajedniki sustav. Pouzdanost rada samih agregata i elektrana poveavala se s porastom

    njihovih jedininih snaga i tehnikim usavravanjem konstrukcija, a pouzdanost elektroenergetskih sustava s

    poveanjem njihove ukupne instalirane snage.

    2. Poveanje jedininih snaga proizvodnih agregata. Doputena snaga najveeg proizvodnog agregata, u skladu sa

    zahtjevima rezerve i minimuma neisporuene energije zbog nepredvienih zastoja, obino ne smije prijei 6-8%

    ukupne instalirane snage u sustavu. To znai da se s poveanjem snage elektroenergetskog sustava, poveava i

    dozvoljena jedinina snaga agregata, a time se smanjuju njihovi specifini investicioni trokovi i poboljavaju svi

    drugi tehniko-ekonomski pokazatelji eksploatacije sustava.

    3. Snienje trokova proizvodnje stvaranjem velikih elektroenergetskih sustava. U velikim interkonekcijama su

    mogui: bolje iskoritenje najekonominijih elektrana, izbjegavanje preljeva na protonim hidroelektranama i

    ekonominiji rad termoelektrana-toplana. Krajnji efekt je smanjenje specifinih cijena proizvedene energije.

    4. Smanjenje regulacijske, havarijske, remontne i ukupne operativne rezerve. Za propisanu (ciljnu) pouzdanost

    pogona elektroenergetskog sustava, neophodno je osigurati odgovarajue veliine raznih tipova rezervi proizvodnih

    kapaciteta. Sve te rezerve se relativno smanjuju s poveanjem snage elektroenergetskog sustava. Direktna posljedica

    je smanjenje investicijskih i eksploatacijskih trokova u velikim sustavima, odnosno ekonominiji rad nego u sluaju

    sustava manje veliine.

    5. Bolje iskoritenje akumulacijskih hidroelektrana i njihovo potiskivanje u podruje vrnog dijela dijagrama

    optereenja. U povezanom radu moe se osigurati ravnomjernije optereenje termoelektrana i toplana u baznom

    dijelu dijagrama optereenja (ime se postie bolje iskoritenje goriva), dok se akumulacijske hidroelektrane koriste u

    promjenjivom (varijabilnom) dijelu dijagrama optereenja, za to su one konstruktivno pogodnije. Krajnji efekt je

    ukupno poboljanje ekonominosti eksploatacije sustava.

    6. Smanjenje vrnih snaga i poveanje faktora optereenja. Povezivanjem manjih elektroenergetskih sustava u vee

    interkonekcije, relativno se smanjuje vrno optereenje u odnosu na aritmetiki zbroj maksimuma pojedinanih

    sustava, a za istu ukupnu isporuenu energiju poveava se faktor optereenja sustava. Ova pojava je posljedica razlika

    u obliku dijagrama optereenja pojedinih sustava, neistovremenosti i razne duljine trajanja njihovih maksimuma. I

    ovo vodi k opem poboljanju ekonominosti eksploatacije elektroenergetskog sustava.

    7. Olakavanje remonata. Prisutnost raznih tipova elektrana u velikim sustavima znatno olakava planiranje i

    izvoenje remonata, kako zbog opeg relativnog smanjenja potrebne remontne rezerve, tako i zbog racionalnijeg

    koritenja specijaliziranih remontnih ekipa, alata i pribora.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    5

    8. Mogunost breg uklanjanja abnormalnih pogonskih stanja. U veim elektroenergetskim sustavima, zbog

    razvijene prijenosne mree, mogue je uspjenije djelovati pri raznim pojavama abnormalnosti, ime se smanjuju

    trajanja abnormalnih stanja i gubici zbog prekida napajanja potroaa. Jednostavnija je i primjena protuhavarijske

    zatite i automatike sustava.

    9. Ekonominija realizacija i efikasnije koritenje sustava za regulaciju frekvencije, snaga razmjene i napona.

    Ovi, u osnovi sloeni sustavi automatizacije, ostvaruju se jeftinije i bolje koriste u veim nego u manjim sustavima,

    to povoljno utjee na njihovu sigurnost i ekonominost.

    10. Usklaivanje planova razvoja i blia tehnika suradnja. Suradnja izmeu strunjaka elektroprivrednih poduzea

    sustava uesnika u interkonekciji, razmjena iskustva i konzultacije po raznim pitanjima od interesa, pogoduju brem

    tehnikom napretku svih uesnika u interkonekciji, a usklaivanje planova razvoja do daljnjih novanih uteda u

    izdacima za investicije i eksploataciju sustava.

    Povezivanje elektroenergetskih sustava uzrokuje, s druge strane, ove potekoe: a) poveava se snaga kratkog spoja,

    pogotovo ako su posrijedi spojni vodovi za prijenos velike snage (najvea poveanja snaga kratkog spoja pojavljuju se u

    rasklopnim postrojenjima na krajevima spojnog voda), b) u spojnom vodu nastaju oscilacije snage koje mogu zbog djelovanja

    regulatora frekvencije biti tolike da dovode do preoptereenja spojnog voda i do njegova isklapanja i uslijed toga do manjka

    snage u sustavu koji u tom momentu preuzima energiju, c) pogorava se stabilnost povezanih sustava, pogotovo ako su im

    spojni vodovi vee duljine i male prijenosne moi i d) kvar u jednom sustavu moe negativno utjecati na prilike u drugom

    sustavu. Zbog toga se smatra da treba, kad se povezuju elektroenergetski sustavi, izgraditi kratke i snane spojne vodove,

    ugraditi u svim elektranama brze regulatore broja okretaja i napona, te ugraditi na spojnim vodovima brze zatitne ureaje za

    isklapanje kratkih spojeva.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    6

    1884. Poetna elektrifikacija i prve istosmjerne elektrane u Hrvatskoj

    1895. Prvi izmjenini elektroprivredni sustav (proizvodnja, prijenos i distribucija) HE Krka, ibenik. Dan putanja u pogon sustava (28. kolovoza) je Dan Hrvatske elektroprivrede

    1906. Prvi trofazni vod 30 kV HE Manojlovac (na Krki), ibenik

    1912. Izgraena HE Kraljevac na rijeci Cetini kraj Omia, tada meu najveima u Europi Prvi kombinirani izmjenini sustav HE-TE Kuzmica kraj Poege

    1925. "Ante upuk i sin" iz ibenika meu osnivaima UNIPEDE (Meunarodne udruge proizvoaa i distributera elektrine energije)

    1937. Osnivanje Banovinskog elektrinog poduzea (BEP)

    1941. Osnivanje Dravnog elektrinog poduzea (DEP)

    1943. Izgradnja prvog 110 kV dalekovoda Rakitje (Zagreb) - Brestanica (Slovenija)

    1945. Osnivanje Elektrinog poduzea Hrvatske (ELPOH)

    1954. Osnivanje Zajednice elektroprivrednih poduzea Hrvatske (ZEPH)

    1957. Prvi sinkroni rad zapadnog i sredinjeg sustava putanjem u pogon voda 110 kV Zagreb - Jajce (BiH)

    1961. Osnivanje Poslovnog udruenja poduzea za distribuciju elektrine energije Hrvatske (ELDIH)

    1962. Prvi vod superponirane mree napona 220 kV HE Zakuac (Split) - Brinje - Mraclin (Zagreb)

    1965. Osnivanje Udruene elektroprivrede Hrvatske

    1967. Prvo daljinsko upravljanje u RS Lozovac iz TS Bilice (ibenik)

    1974. Osnivanje Zajednice elektroprivrednih organizacija Hrvatske (ZEOH)

    1977. Prva 400 kV TS Ernestinovo (Osijek); prvi vod 400 kV Ernestinovo - Mladost

    1978. Sjeverna magistrala superponirane mree 400 kV Ernestinovo - Zagreb - Krko

    1981. Poetak rada Nuklearne elektrane Krko

    1985. Uvoenje Centra daljinskog upravljanja (CDU) Tumbri kod Zagreba

    1990. Osnovano Javno poduzee Hrvatska elektroprivreda (HEP) za proizvodnju, prijenos, distribuciju elektrine energije i upravljanje elektroenergetskim sustavom

    1991. HEP prekida sve poslovne odnose sa ZJE (JUGEL) Teka ratna razaranja elektroenergetskih objekata HEP primljen za stalnog lana UCPTE i SUDEL-a

    1992. Puten u pogon 400 kV dalekovod TS Meline (Rijeka) - TS Tumbri (Zagreb)

    1993. Miniranje brane Perua. Velika ogranienja u opskrbi elektrinom energijom u Dalmaciji. Instaliranje oko 120 MW dizelskih i plinskih elektrana.

    1994. U pogonu nulta faza otone veze 110 kV TS Melina (Rijeka) - Krk - Rab - Pag - Zadar Hrvatska elektroprivreda postaje dioniko drutvo u vlasnitvu Republike Hrvatske

    1995. Zavrena sanacija i dogradnja brane Perua

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    7

    Nakon osloboenja popravljen DV 400 kV Melina - Obrovac - Konjsko Hrvatska elektroprivreda d.d. usklaena sa Zakonom o trgovakim drutvima

    1996. S RWE Energie iz Essena osnovan TE Plomin d.o.o. HEP predstavio Izjavu o temeljnim naelima zatite okolia

    1997. Podunavlje reintegrirano u hrvatski elektroenergetski sustav HEP dobio meunarodni investicijski kreditni rejting HEP dobio sindicirani meunarodni kredit u iznosu od 120 milijuna DEM

    1998. Putena u pogon plinska elektrana (2x26 MW) na lokaciji EL-TO Zagreb

    1999. U pogonu dvostruki DV 400 kV erjavinec / Tumbri (Zagreb) - Heviz, Maarska

    2000. S komercijalnim radom poela TE Plomin 2 (210 MW)

    2001. Dovrena izgradnja novog bloka TE-TO Zagreb (210 MW) HEP postao samostalni lan UCTE

    2002. Zapoela izgradnja TS 400/220/110 kV erjavinec (Zagreb) i obnova TS 400/110 kV Ernestinovo (Osijek) Hrvatska elektroprivreda zapoela poslovati kao HEP grupa, stupio na snagu novi Tarifni sustav za usluge elektroenergetskih djelatnosti koje se obavljaju kao javne usluge .

    2003. HEP dobio nagradu za zatitu okolia kao drutvena tvrtka odgovorna za razvoj i unaprjeenje zatite okolia u Republici Hrvatskoj, Kombi kogeneracijsko postrojenje TE-TO u lipnju zapoelo komercijalni rad, utvrene naknade za koritenje prijenosne i distribucijske mree i od. 1. studenog kupci koji troe vie od 40 GWh godinje mogu birati svog dobavljaa elektrine energije, sve hidroelektrane HEP-a dobile "Zeleni certifikat" , zavrena obnova TS Ernestinovo i prateih dalekovoda

    2004. U pogonu obnovljena TS 400/110 kV Ernestinovo (Osijek) U probni pogon putena TS 400/220/110 kV erjavinec (Zagreb) Iz sjedita HEP-a u Zagrebu upravljano rekonekcijom 1. i 2. zone UCTE-a (10. listopada) Na 1. Saboru zatite potroaa HEP dobio priznanje za zatitu potroaa Hrvatski sabor donio Zakon o izmjenama i dopunama Zakona o energiji, novi Zakon o tritu elektrine energije i Zakon o regulaciji energetskih djelatnosti (3. prosinca)

    2005. Proglaena Godina zatite na radu u HEP-u Utemeljen HEP Operator prijenosnog sustava d.o.o. i Hrvatski operator trita energije d.o.o. (4. travnja) Zapoele pripreme za izgradnju HE Lee i Kombi kogeneracijskog bloka L u TE-TO Zagreb Putena u rad prva hrvatska komercijalna vjetroelektrana Ravna na Pagu Potpisan Ugovor o Energetskoj zajednici izmeu EU i skupine zemalja jugoistone Europe Potpisani ugovori o meusobnim odnosima izmeu vladajueg drutva HEP-a d.d. i ovisnih drutava (30. prosinca)

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    8

    2.2. Elektrane u Hrvatskoj

    Potronja je u 2004. godini podmirena proizvodnjom hidroelektrana (7.001 GWh), termoelektrana (4.069 GWh), nabavom iz TE Plomin d.o.o. (1.320 GWh) i NE Krko (2.606 GWh) i uvozom (1.110 GWh).

    U travnju 2003. godine HEP je ponovno, nakon skoro pet godina, poeo preuzimati elektrinu energiju iz NE Krko. Oekivana godinja proizvodnja NE Krko za HEP je priblino 2,5 TWh elektrine energije.

    Iste je godine poelo i preuzimanje elektrine energije od Elektroprivrede Bosne i Hercegovine temeljem ulaganja u TE Tuzla i TE Kakanj, koje je prekinuto 1993. godine. Tako e u est godina HEP preuzeti 5,220 GWh elektrine energije. Oekuje se rjeenje i za TE Obrenovac (Elektroprivreda Srbije) i TE Gacko (Elektroprivreda Republike Srpske)

    Proizvodnja elektrine energije od 1. srpnja 2002. godine obavlja se u tvrtki HEP-Proizvodnja d.o.o. U Hrvatskoj je ukupno 2.079MW hidrokapaciteta rasporeenog u 25 hidroelektrana. Ukupno 1.373 MW kapaciteta (bez TE Plomin 2) je u osam termoelektrana koje kao pogonsko gorivo koriste loivo ulje, prirodni plin i ugljen. Neke od njih u spojenom procesu proizvode elektrinu i toplinsku energiju i ine okosnicu centraliziranog toplinskog sustava Zagreba i Osijeka.

    HEP OPERATOR DISTRIBUCIJSKOG SUSTAV d.o.o.

    U podruju visokog napona - 400, 220 i 110 kV u 2004. godini je bilo 141 rasklopnih postrojenja od 13.696 MVA u vlasnitvu Hrvatske elektroprivrede. Na visokonaponskoj razini ukupno je 6.962 kilometara vodova.

    Stanje u Hrvatskoj 31.12.1989.

    HE i PAHE 22 2025 MW

    TE 7 1285 MW

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    9

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    10

    Red.broj Trgovako drutvo Broj radnika %

    1. HEP-Distribucija d.o.o. 10162 68,79

    2. HEP-Proizvodnja d.o.o. 2399 16,24

    3. CS Buko Blato d.o.o. 42 0,28

    4. HEP-Prijenos d.o.o. 1208 8,18

    5. HEP d.d. 425 2,88

    6. HEP-Toplinarstvo d.o.o. 378 2,56

    7. HEP Toplinarstvo - Sisak 4 0,03

    8. HEP Plin d.o.o. 132 0,89

    9. Hrvatski nezavisni operator sustava i trita d.o.o. 12 0,08

    10. HEP-ESCO d.o.o. 10 0,07

    Ukupno HEP GRUPA 14,772 100.0

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    11

    U 2005. godini hidroelektrane HEP Proizvodnje d.o.o. proizvele su 6386 GWh, a termoelektrane 3694 GWh. HEP Proizvodnja d.o.o. ima ugovor o voenju i odravanju postrojenja TE Plomin 2, u kojem je proizvedeno 1458 GWh.

    Hidroelektrane

    Naziv Snaga, MW

    1. HE Varadin 86

    2. HE akovec 82

    3. HE Dubrava 80

    4. HE Rijeka 36

    5. HE Vinodol 84

    6. HE Senj 216

    7. HE Gojak 48

    8. HE Ozalj 5.2

    9. RHE Velebit 286

    10. HE ale 40.8

    11. HE Kraljevac 68

    12. HE Orlovac 237

    13. HE Zakuac 476

    14. HE Perua 41.6

    15. HE na Krki 0.3

    16. HE Dubrovnik 216

    Termoelektrane

    Naziv Snaga, MW

    1. EL_TO Zagreb 87/300

    2. TE_TO Osijek 92

    3. KTE Jertovec 103

    4. TE-TO Zagreb 337/400

    5. TE Plomin 1 185

    6. TE Rijeka 320

    7. TE Sisak 420

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    12

    3. Parametri i performanse primarne regulacije frekvencije

    u otonom EES

    Regulacijska energija samoregulacije i primarne regulacije frekvencije. Numeriki primjer. Principijelne sheme primarne

    regulacije frekvencije. Postavna vrijednost i statizam proizvodnje. Odreivanje statizma regulacije prema uvjetima

    stabilnosti i efikasnosti. Varijacije potronje i potrebna regulacijska rezerva.

    3.1. Regulacijska energija samoregulacije i primarne regulacije frekvencije

    Sl. 3.1. Snaga-frekvencija u otonom pogonu

    FDFPFFPFP LL ++= )()()( 00

    dF

    dPD LL = 0FFF =

    GGGGGGGG PRFPRPFPPFPF =+= 000 )()()(

    G

    GdP

    dFR =

    G

    GR

    FP

    =

    G

    GGGGR

    FPPPFP

    =+= 00)(

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    13

    DEFICIT

    G

    L

    GLGLGL

    RDDFD

    RFFDPFPFPFPFP

    1;P

    /)()()()(

    0

    00

    ++=

    =++=

    > 0 usporavanje

    P = 0 stacionarno stanje

    < 0 ubrzavanje

    Stacionarno stanje: deficit = 0

    F = F; P(F) = P0 + D*F = 0 P0 = - D*F

    D = DL + 1/RG regulacijska energija [MW/Hz = MWs]

    F = - R * P0 R = 1/D statizam [Hz/MW]

    Per unit (pu) sustav: x = X / XB; X = x . XB

    PB = PN, FB = FN

    DB[MW/Hz] = PB / FB = PN / F0;

    Samoregulacija potronje: dL =p(f)/f = (PL/PB)/(F/FN) (PL/P)/(F/F)

    d ln(PL)/d ln(F) (= elastinost potronje po frekvenciji) d ln(PL) = dL.d ln(F)

    d dL.ln(F) = d ln( LdF ) ln(PL) = ln( L

    dF ) + ln (k) PL = k

    . Ld

    F

    RB = 1 / DB = F0 / PN

    Pu statizam r = R / RB = (PN / F0) . R

    r% = 100 . r = (100 . PN / F0) . R = 2 . PN

    . R za F0 = 50 Hz,

    %

    21

    2

    %

    r

    P

    RD

    P

    rR N

    N

    ===

    3.2. Numeriki primjer

    Za PB = 2000 MW, F0 = 50 Hz

    DB = 2000/50 = 40 MWs

    Izvor: R.S. Rabinovi: Avtomatieskaja astotnaja razgruzka energosistem, Moskva, Energija, 1980, Tablice 1-

    1,2, str. 31-32 (SSSR i inozemstvo).

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    14

    Per unit (pu) samoregulacijska energija (sa i bez utjecaja pratee promjene napona).

    Raspon 0.4 3.9

    Najee vrijednosti (dnevni prosjeci za SAD u 1947.) 1.8 2.5

    U procjenama raunati s dL = 2.

    DL = dL . DB = 2

    . 40 = 80 MWs

    RB = 1 / DB = 1/ 40 = 0,025 Hz/MW

    Pu statizam samoregulacije rL = 1/dL = , rL% = 100. rL = 50%

    Statizam samoregulacije RL = rL. RB = 0.5

    .0,025 = 0,0125 Hz/MW (= 1/DL = 1/80)

    Statika greka frekvencije bez dodatne regulacije F = - RL.P0 = -P0 / 80 Hz

    3.3. Principijelne sheme primarne regulacije frekvencije

    Sl. 3.2. Principijelna shema primarne regulacije frekvencije u stacionarnom stanju

    kP

    FF

    P

    FF

    P

    F

    dP

    dF

    DR

    pa

    pa

    pa

    pa

    a

    a =

    =

    =

    ===

    00

    0

    1

    Jednadba pravca koji prolazi kroz zadanu toku (x1 , y1 ): ( )11 xxkyy = , paFyx == 11 ;0

    ( ) aaaapa PRPRFF == 0

    tj. jednadba pravca kroz toku (0 ,Fpa) s nagibom -Ra , ili

    ( ) apaa RFFP /)(0 = .

    .

    Statika snaga agregata Pa ovisi o frekvenciji sustava F po jednadbi pravca kroz toku (Fpa,0) s nagibom 1/Ra.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    15

    Sl. 3.3.. Statizam primarne regulacije

    Za PNa = 200 MW, ra% = 5%, F0 = 50 Hz, RF

    Prr N

    ==

    0

    100100%

    MWHzr

    P

    FR

    N

    a /0125.0100

    5

    200

    50

    100

    %0 ===

    Postavna vrijednost snage: Ppa = Pa(F0) = (Fpa F0)/Ra .

    Ili : Fpa = F0 + Ppa.Ra .

    Za Pa = 100 MW : Fpa = 50 + 100.0,0125 = 51.25 Hz .

    Promjena bazne toke u toku (Ppa, F0): 011 ; FyPx pa == ; ( )11 xxkyy =

    ( )paaa PPRFF = 0

    Sl. 3.4. Modificirana principijelna shema primarne regulacije frekvencije u stacionarnom stanju s baznom tokom (F0, Ppa)

    (po formuli Pa - Ppa = -(F - F0)/Ra)

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    16

    3.4. Postavna vrijednost i statizam proizvodnje

    PG = a Pa a = 1,..,Na

    =

    ==

    ==

    ==

    =

    a aGa a

    pa

    a

    paG

    G

    G

    a aa

    paG

    a

    pa

    a

    paa

    a

    aG

    RRR

    FFPP

    FR

    PR

    FPFP

    FR

    PFFR

    PP

    PP

    11;

    11)(

    1)(

    1

    00

    0

    0

    Za Pu. statizmi agregata ra = r :

    rRF

    Pr

    PPFr

    P

    F

    P

    rRR

    GN

    G

    a a

    NaNNNa

    aa aG

    ==

    ====

    0

    00

    ;111

    Sl. 3.5. Statizam proizvodnje u p.u.

    3.5. Odreivanje statizma regulacije prema uvjetima stabilnosti i efikasnosti

    Stabilnost distribuirane primarne regulacije zahtijeva ogranienje pojaanja regulatora frekvencije po principijelnoj

    shemi na Sl. 3.2. odnosno donju granicu statizma ra rmin .

    Efikasnost: statika greka frekvencije bi trebala biti barem za red veliine manja od statike greke zbog

    samoregulacije frekvencije uslijed ovisnosti potronje o frekvenciji.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    17

    ra < rL/10

    Za rL 0.5 izlazi ra < 0,05

    UCPTE preporuke ra = 0,04 0,05

    Numeriki primjer:

    EE sustav s PN = 2000 MW , rL % = 50% , sadri:

    5 agregata s PNa = 200 MW, ra% = 5%

    10 agregata s PNa = 100 MW, ra% = 4%.

    Izraunajte regulacijsku energiju D[MWs] sustava i relativni statizam r.

    Rjeenje:

    21

    ==L

    Lr

    d

    MWsF

    P

    F

    PD N

    B

    B

    B 4050

    2000

    0

    ====

    MWsDdD BLL 80402 ===

    MWHzD

    RB

    B /025.01

    ==

    MWsrF

    P

    rF

    P

    RR a a

    Na

    a a

    Na

    a aG

    1400004.0

    10

    05.0

    540

    1111

    00

    =

    +====

    MWsR

    DDG

    L 1408014000801

    =+=+=

    MWHzD

    R /10102.714080

    11 5===

    35

    10841.2025.0

    10102.7

    =

    ==BR

    Rr

    2841.0100% == rr

    3.6. Varijacije potronje i potrebna regulacijska rezerva

    Kolika je snaga potrebna za regulaciju frekvencije, odnosno kolike e se razlike snaga pojaviti izmeu ukupno potrebnog optereenja i zbroja optereenja elektrana koje rade prema zadanom voznom redu, ovisi o tonosti predvianja potranje, kvaliteti izraenog voznog reda i disciplini elektrana u odravanju toga voznog reda. Stoga, potrebna snaga za regulaciju frekvencije ovisi o kvaliteti upravljanja elektroenergetskim sustavom i ne moe se egzaktno odrediti, ali koristimo empirijsku relaciju za praktiki 100%-tnu sigurnost:

    MaxR PP 3 .

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    18

    4. Parametri i performanse sekundarne regulacije frekvencije i snage

    razmjene

    Principijelna shema sekundarne regulacije frekvencije i snage razmjene bazena. Poetne greke razmjene i regulacijski

    zahtjev. Posebni sluaj za dva povezana EES-a. Potrebna snaga za regulaciju. Zahtjevi za performanse regulacije. Dodatak:

    Korekcija stacionarnog regulacijskog zahtjeva. Zadaci za ponavljanje. Numeriki primjeri.

    4.1. Principijelna shema sekundarne regulacije frekvencije i snage razmjene bazena

    Sl. 4.1. Principijelna shema grupne sekundarne regulacije frekvencije i snage razmjene jednog bazena (Area)

    Stacionarno stanje primarne regulacije frekvencije oko 10s nakon poremeaja.

    Gubici uraunati u potronju: PGi = PLi + Ii; Ii razmjena (interchange).

    Planirane razmjene ISi S-Scheduled .

    i ISi = 0 jer se unose sa suprotnim predznacima.

    Mjerenje razmjene na jednom kraju dalekovoda suma mjerenih razmjena jednaka 0.

    Greke razmjene Ii = Ii - ISi .

    Sekundarna regulacija frekvencije i snage razmjene: u redu veliine 1 min dovesti do F = 0 i Ii = 0. Mogue postii jer su

    greke razmjena zavisne kroz jednakost sume nuli.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    19

    4.2. Poetne greke razmjene i regulacijski zahtjev

    Sl. 4.2. Regulacijske karakteristike

    Za sinkronu interkonekciju:

    I = P(F^) = 0

    P0 + DF^ = 0 F^ = P0/D

    gdje su:

    P0 = i P0i = i (PLi(F0) - PG0i) = deficit snage interkonekcije s obzirom na potranju, na nominalnoj frekvenciji,

    D =i Di = regulacijska energija interkonekcije,

    P0i = PLi(F0) + ISi - PG0i = deficit snage i-tog sustava s obzirom na potranju (na nominalnoj frekvenciji)

    Di = regulacijska energija i-tog sustava

    Regulacijski bazen "i":

    Neplanirana razmjena (greka razmjene)

    Ii = Ii ISi = Pi(F^)

    Pi(F^) = P0i + DiF^ = P0i Di

    . P0/D

    Regulacijska greka po "binomnoj formuli":

    ACEi = Ii + Bi F^ = P0i +(Bi- Di)F

    ^ = P0i (Bi-Di). P0/D

    Poetni regulacijski zahtjev:

    ACEi = P0i + (Bi-Di). P0/D

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    20

    4.3. Posebni sluaj za dva povezana EES-a

    "Unutarnji" sustav 1 i "Vanjski" sustav 2

    PG = PG1 + PG2, PL = PL1 + PL2

    PG = PL I1 +I2 = 0.

    Regulacijska energija interkonekcije : D = D1 + D2 .

    Nominalni deficit samo u jednom sustavu npr. samo u prvom:

    P02 = 0, tj. P0 = P01 + P02 = P01 .

    Nominalni deficit snage interkonekcije P0 .

    F = ravnoteno odstupanje frekvencije interkonekcije (deficit interkonekcije = 0).

    Ravnoteno stanje:

    P = P0 + DF = 0 F = P01/( D1 + D2) .

    Greka razmjene drugog sustava:

    I2 = P02 D2 F = 0 D2 F = D2 . P01/( D1 + D2) .

    Poetni regulacijski zahtjev drugog sustava:

    ACE2 = (D2 B2 )F = (D2 B2 ). P01 /( D1 + D2) = (B2 D2 )

    . P01 /( D1 + D2) .

    Greka razmjene prvog sustava:

    I1 = - I2

    = (D1 +D2 -D1). P01 /( D1 + D2) = (D1/( D1 + D2) 1)P01 .

    Poetni regulacijski zahtjev prvog sustava:

    ACE1 = I1 B1 F = I2 B1 F = D2 F B1F = ( B1+D2). P01/( D1 + D2).

    Ukupni regulacijski zahtjev:

    ACE1 ACE2 = ( B1+B2). P01/( D1 + D2).

    Diskusija:

    za B1 = D1 izlazi poeljno ACE1 = IN1, a za B2 = D2 izlazi ACE2 = 0. Bazen u kojem je konstanta B sekundarne

    regulacije jednaka regulacijskoj energiji tog bazena ne dobiva regulacijski zahtjev zbog poremeaja izvan bazena. Udio

    greke zbog odstupanja frekvencije se potpuno ponitava udjelom zbog odstupanja razmjene. U bazenu s poremeajem su

    udjeli greaka zbog odstupanja frekvencije i odstupanja razmjene u ACE istog predznaka te se meusobno dopunjuju.

    4.4. Potrebna snaga za regulaciju

    Potrebna regulacijska rezerva proporcionalna je varijaciji potranje u intervalu samostalnog djelovanja regulacije. Za

    normalnu raspodjelu varijacije rezerva je proporcionalna drugom korijenu ukupnog optereenja [2, 4]:

    MaxR PP 3 .

    Potrebna regulacijska rezerva je prosjeno samo 4% (u zemljama UCTE) od agregirane maksimalne snage.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    21

    4.5. Zahtjevi za performanse regulacije

    Glavna zadaa sekundarne regulacije je omoguavanje adekvatne regulacije dogovorene razmjene energije izmeu

    povezanih partnera (EES). Ona takoer omoguuje da se, u sluaju ispada nekog agregata jednog regulacijskog bazena

    (nakon zavretka prijelazne pojave primarne regulacije kad se upotrijebi primarna rezerva snage tog bazena), u roku od

    nekoliko minuta neutralizira ispad i frekvencija povrati na svoju postavnu vrijednost.

    Brzina regulacije bitno ovisi o tipu elektrane. Za akumulacijske hidroelektrane (koje se obino koriste za regulaciju

    radne snage) brzina regulacije se kree od 0.5 do 2.5% nominalne snage agregata po sekundi. Za konvencionalne

    termoelektrane to se kree od 1 do 15% po minuti. Za nuklearne elektrane u Francuskoj i Saveznoj republici Njemakoj

    maksimalna brzina regulacije je priblino 5% po minuti.

    4.6. Dodatak: korekcija stacionarnog regulacijskog zahtijeva

    Dodatne formule

    -a ACE + PBa - Pa = 0 a a = 1

    Sumiranje po agregatima (elektranama) u sekundarnoj regulaciji

    - ACE = PS - PBS; PS = a Pa, PBS = a PBa (2)

    Stacionarni regulacijski zahtjev -ACE moe biti razliit od nule. Korekcije integralnim lanom u PI regulatoru i/ili

    tercijarnom regulacijom.

    Raun promjene regulacijskog zahtjeva -ACE nakon promjene bazne snage PBa uz nepromijenjenu frekvenciju (F = 0)

    i zanemarenje promjene gubitaka:

    = I + BF = I = (PG - PL - IS) = PG = PS (1.a)

    - ACE = PS - PBS (2.a)

    Zbroj (1.a) i (2.a) daje 2 PS - PBS = 0 (3)

    Iz (1.a), (3) i (2) ACE = PS = 1/2 PBS = 1/2 PBa (4)

    Primjena: izraunati PBa koji e ponititi stacionarni regulacijski zahtjev - ACE.

    4.7. Zadaci za ponavljanje:

    1) Izvesti formulu za deficit snage bazena u ovisnosti o frekvenciji sinkrone interkonekcije. 2) Izvesti formule za greku frekvencije, greku razmjene i regulacijske zahtjeve za opi sluaj deficita

    potranje (P01, P02) u dva bazena. Provesti diskusiju. 1)

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) GGSLLGSL RFFPIFDFPFPIFPIFP /00 +++=+==

    ( ) ( ) FDPFRDFP GL +=++= 00 /1

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    22

    4.8. Numeriki primjeri

    EE Zadatak 1.1.

    Dva su EES sustava u sinkronom paralelnom radu na nominalnoj frekvenciji 50 Hz . U prvom (unutarnjem) se dogodi ispad proizvodnje MW200 te se, nakon uspostavljanja kvazistacionarnog stanja po statizmu primarne regulacije zajednika frekvencija smanji za %5,0 . Regulacijski zahtjev prvog sustava se povea za MW180 uz konstantnu

    sekundarne regulacije 1B MWs100= . Promjene gubitaka u mrei se zanemaruju. Izraunajte:

    a) zajedniku regulacijsku energiju D [ ]MWs ; b) promjenu razmjene [ ]MW ; c) regulacijsku energiju D2 [ ]MWs drugog (vanjskog) sustava; d) regulacijsku energiju D1 [ ]MWs prvog (unutarnjeg) sustava; e) regulacijski zahtjev 2ACE drugog sustava ako je MWsB 7002 = .

    010 200 PMWP == ; 002 =P ; HzF 500 = ; MWACE 180=

    HzFp

    Fp 25,050100

    5,0

    100%5,0 0 =

    ===

    a)

    MWHzD

    R

    MWsF

    PDDD

    /00125,0800

    11

    80025,0

    200021

    ===

    =

    =

    =+=

    b)

    MWI

    MWFBACEI

    FBIACE

    155

    155)25,0(100180

    2

    111

    111

    =

    ===

    =

    c)

    MWsF

    PD

    MWPPPPPP

    MWIPP

    62025,0

    155

    155)45(200

    45155200

    22

    102210

    101

    =

    =

    =

    ===+=

    =+==

    d)

    F

    PMWsDDD

    DDD

    ====

    +=

    121

    21

    180620800

    e)

    MWFBIACE 20)25,0(700155222 ===

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    23

    EE Zadatak 1.2.

    Za dva EES u sinkronom paralelnom radu na Hz50 je poznato MWP N 12001 = ; MWP N 50002 = ; konstante

    sekundarne regulacije MWsB 1001 = ; MWsB 6002 = , te se pretpostavlja jednakost relativnih statizama frekvencije. Ako se, nakon ispada proizvodnje MW200 u drugom sustavu, uspostavi kvazistatiko stanje primarne regulacije na frekvenciji nioj za %5,0 od nominalne vrijednosti izraunajte:

    a) relativne statizme rrr == 21 ;

    b) regulacijske energije [ ]MWsDD 21 , oba sustava nakon ispada; c) poetne regulacijske zahtjeve 1ACE i 2ACE u sekundarnoj regulaciji frekvencije i snage razmjene.

    P0 = P02 = 200 MW F0 = 50 Hz

    a) HzFp

    F 25,050100

    5,0

    100 0=

    ==

    21

    2101 11800

    25,0

    200

    RRDDMWs

    F

    PD +=+==

    =

    =

    MWHzP

    FR

    N

    B /041666.01200

    50

    1

    01 ===

    MWHzP

    FR

    N

    B /01.05000

    50

    2

    02 ===

    24.05000

    1200

    2

    1

    1

    0

    2

    0

    2

    1 ====N

    N

    N

    N

    B

    B

    P

    P

    P

    F

    P

    F

    R

    R

    21 rr =

    2

    2

    1

    1

    BB R

    R

    R

    R=

    221

    2

    1

    24.01

    RRR

    R

    R B

    B =

    ( ) 800124.01124.0

    222

    =+=+RRR

    MWHzR /1055.1800

    24.1 32

    ==

    MWHzR

    R /10458.624.0

    1055.1

    24.03

    32

    1

    =

    ==

    155.0041666.0

    10458.6 3

    1

    11 =

    ==

    BR

    Rr

    155.001.0

    1055.1 3

    2

    21 =

    ==

    BR

    Rr

    b) MWsR

    D 84.1541

    11 == MWs

    RD 16.645

    1

    22 ==

    c) MWPD

    DBPACE 71.13200

    800

    84.15410000

    11011 =

    +=

    +=

    MWPD

    DBPACE 71.188200

    800

    16.6456002000

    22022 =

    +=

    +=

    ( ) 1111011 71.3825.084.1540 IIIFDPI S =====

    ( ) 2222022 71.3825.016.645200 IIIFDPI S =====

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    24

    EE Zadatak 1.3.

    Sekundarnu regulaciju frekvencije i snage razmjene EES-a obavljaju dvije elektrane sa zadanim postavnim

    vrijednostima baznih snaga: MWPb 801 = ; 3

    2;

    3

    1;150 212 === MWPb . U stacionarnom stanju

    uspostavi se regulacijski zahtjev MWACE 80= na nominalnoj frekvenciji. Treba: a) nacrtati principijelnu shemu sekundarne regulacije s unesenim zadanim vrijednostima i izraunatim vrijednostima

    snaga elektrana; b) izraunati promjene baznih snaga elektrana u omjeru koeficijenta uea u regulaciji tako da se statiki regulacijski

    zahtjev dovede na 0 uz nepromijenjenu frekvenciju sustava i zanemarenje promjene gubitaka; c) unijeti rezultate iz b) u novu principijelnu shemu kao pod a).

    a)

    MWP

    P

    PACEP

    PPACE

    B

    B

    6.106

    808031

    1

    1

    111

    111

    =

    +=

    +=

    =

    MWP

    P

    PACEP B

    3.203

    1508032

    2

    2

    222

    =

    +=

    +=

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    25

    MWP

    P

    PPPP

    S

    S

    a

    aS

    310

    3.2036.106

    21

    =

    +=

    +==

    15080230

    80310

    +==

    =

    +=

    =

    MWP

    P

    ACEPP

    PPACE

    BS

    BS

    SBS

    BSS

    b)

    1111

    111 0

    PACEPP

    PPACE

    b

    b

    =+=

    =+

    2222

    222 0

    PACEPP

    PPACE

    b

    b

    =+=

    =+

    2121

    0

    bb

    BSS

    BSS

    PPPP

    PP

    PPACE

    +=+

    =

    =

    MWP

    MWP

    MWPPIPP

    IFBIACEa

    b

    b

    SGSLG

    3.53803

    2

    6.26803

    1

    80)(

    )1(

    2

    1

    ==

    ==

    ====

    ==+=

    MWPPP

    MWPPP

    bbb

    bbb

    3.2033.53150

    6.1066.2680

    22'2

    11'1

    =+=+=

    =+=+=

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    26

    5. Linearne funkcije od vie realnih varijabli (matrini raun)

    Linearne funkcije iz R u R . Vektorski prostori nad poljem skalara R. Sustavi linearnih jednadbi od vie varijabli. Linearne,

    bilinearne i kvadratne forme.

    Sustav od dvije linearne jednadbe

    Treba rijeiti sustav jednadbi [10]:

    =+

    =+

    dycx

    byax

    Pomnoimo prvu jednadbu s d, a drugu s b i zbrojimo:

    ( ) +=+=+

    bdycx

    dbyax

    ( ) bdcbadxbdcbxadx

    =

    =

    Ako je ad-bc 0 , onda je:

    cbad

    bdx

    =

    .

    Uvrstimo li tako dobiveni x u bilo koju jednadbu, i izraunamo y, dobit emo:

    cbad

    cay

    =

    .

    Vidi se da je u oba sluaja u nazivniku isti broj, dobiven na odreeni nain iz koeficijenata uz nepoznanice. Taj broj se

    zapisuje ovako:

    bcaddc

    ba=

    i zove se determinanta 2. reda. U brojnicima se nalaze brojevi koji su dobiveni na slian nain, ali koritenjem lanova s

    desne strane jednakosti, pa ako uvedemo oznake:

    c

    aD

    d

    bD

    dc

    baD yx === ,, ,

    onda rjeenje gornjeg sustava moemo zapisati ovako:

    D

    Dy

    D

    Dx

    yx == , .

    Ovo pravilo za raunanje nepoznanica x, y zove se Cramerovo pravilo. Ono se moe primijeniti samo ako je D 0.

    Primjer: 2.008.01.0

    3.002.025.0

    =+

    =+

    yx

    yx

    0018.002.01.008.025.008.01.0

    02.025.0===D ,

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    27

    02.002.02.008.03.008.02.0

    02.03.0===xD ,

    02.03.01.02.025.02.01.0

    3.025.0===yD .

    Dobivamo: yD

    Dx x ==== 111.1

    018.0

    02.0.

    Sustav od tri linearne jednadbe

    Slino razmatranje moemo provesti kada treba rijeiti sustav:

    =++

    =++

    =++

    zcycxc

    zbybxb

    zayaxa

    321

    321

    321

    (a) .

    Ako je 0123213312132231321 ++ cbacbacbacbacbacba ,

    onda se rjeenje sustava moe napisati slino onome kod sustava s dvije jednadbe. U tu svrhu definiramo broj:

    123213312132231321

    321

    321

    321

    cbacbacbacbacbacba

    ccc

    bbb

    aaa

    D ++==

    koji se zove determinanta 3. reda. Ona se moe izraunati pomou determinanti 2. reda na sljedei nain (Laplaceov

    razvoj determinante po prvom redu):

    21

    213

    31

    312

    32

    321

    321

    321

    321

    cc

    bba

    cc

    bba

    cc

    bba

    ccc

    bbb

    aaa

    += .

    Pravilo je sljedee: elementi nekog retka (stupca) mnoe se sa subdeterminantama, koje nastaju tako da se prekrii redak i

    stupac u kojem se nalazi dotini element. Osim toga elementu se mijenja predznak, ako se nalazi na neparnom mjestu u

    determinanti. Neparnost mjesta se odreuje tako da se zbroje redni brojevi retka i stupca u kojem se nalazi element .

    Koristei determinante 3. reda, rjeenje sustava (a) je dano formulama:

    D

    Dz

    D

    Dy

    D

    Dx z

    yx === ,, ,

    gdje je:

    21

    21

    21

    31

    31

    31

    32

    32

    32

    ,,

    cc

    bb

    aa

    D

    cc

    bb

    aa

    D

    cc

    bb

    aa

    D zyx === .

    Ovo pravilo za raunanje nepoznanica x, y, z i u ovom se sluaju zove Cramerovo pravilo, a daje rjeenje ako je 0D .

    Primjer: za sustav

    3473

    10532

    322

    =++

    =++

    =++

    zyx

    zyx

    zyx

    dobivamo 173

    322

    43

    522

    47

    531

    473

    532

    221

    =+==D .

    Na slian nain dobivamo Dx = 3, Dy = -2, Dz = 2, pa je rjeenje x = 3, y = -2, z = 2.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    28

    Svojstva determinanti

    1. Ako su svi elementi nekog retka ili stupca nule, onda je determinanta jednaka nuli.

    2. Ako su ispod ili iznad glavne dijagonale nule, onda je determinanta jednaka produktu brojeva na glavnoj dijagonali.

    (Glavna je dijagonala ona koja ide iz lijevog gornjeg do desnog donjeg kuta.)

    3. Ako dva stupca ili dva retka zamijene mjesta, onda determinanta mijenja predznak.

    4. Ako su dva stupca ili dva retka jednaka, onda je determinanta jednaka nuli.

    5. Ako nekom stupcu ili retku dodamo neki drugi stupac ili redak pomnoen brojem, onda se determinanta ne mijenja.

    6. Determinanta se mnoi brojem tako da se neki redak ili stupac pomnoi tim brojem.

    Matrice i determinante

    Pojam matrice

    Shemu brojeva:

    =

    mnmm

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    ....

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ....

    ...

    21

    22221

    11211

    zovemo pravokutnom matricom tipa (m, n) ili jednostavno matricom tipa (m, n). Ako je m = n , onda kaemo da je A

    kvadratna matrica reda n. Elementi ai1 , ai2 , ..., ain ine i-ti redak, dok a1j , a2j , ..., amj ine j-ti stupac; dakle aij je element

    matrice, koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu.

    S Mmn oznaavamo skup svih matrica tipa (m, n). Ako je m = n , onda se pie Mn umjesto Mnn .

    Matricu emo krae zapisivati ovako: A = [aij] . Matrica je realna ako su svi elementi aij realni.

    Operacije s matricama

    Jednakost matrica. Za dvije matrice A = [aij] i B = [bij] istog tipa kaemo da su jednake ako je aij = bij, za svaki i, j.

    Zbrajanje matrica. Zbrajati moemo samo matrice istog tipa. Neka su A = [aij] i B = [bij] matrice istog tipa (m, n).

    Zbroj A + B je matrica takoer tipa (m, n), takva da je A + B = [aij + bij ] .

    Primjer: zbrojite matrice

    =

    =

    87

    65

    43

    21BiA .

    =

    ++

    ++=

    +

    1210

    86

    8473

    6251

    87

    65

    43

    21.

    Mnoenje matrice brojem. Umnoak matrice A = [aij] i broja je matrica A = [ aij] istog tipa kao i A.

    Primjer: izraunajte 3A-2B .

    =

    =

    45

    67

    82437233

    62235213

    87

    652

    43

    213

    Ove operacije imaju sljedea svojstva:

    1. (A + B) + C = A + (B + C) ,

    2. A + B = B + A ,

    3. (A + B) = A + B ,

    4. ( + )A = A + A ,

    5. ( )A = (A)

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    29

    Osim toga postoji nul matrica 0 takva da je A +0 = 0 + A , za bilo koju matricu A istog tipa. To je matrica iji su svi

    elementi jednaki nuli. Takoer, za bilo koju matricu A postoji matrica A istog tipa takva, da je A + (-A) = (-A) + A = 0 . To

    je matrica [-aij] .

    Mnoenje matrica. Matrica A = [aij] tipa (m, n) i matrica B = [blk] tipa (p, q) se mogu mnoiti tim redom samo ako

    je n = p , tj. ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice. U tom sluaju moemo indeks l zamijeniti s j

    pa je A = [aij] i B = [bjk] . Produkt AB je matrica tipa (m, q) , tj. matrica ima redaka toliko, koliko redaka ima prva matrica, a

    stupaca toliko, koliko stupaca ima druga matrica. Formula u skraenom zapisu glasi:

    [ ]

    ==

    =

    n

    j

    jkijik bacAB1

    .

    Primjer: izraunajte AB ako je

    =

    =

    136

    451

    23

    01BiA .

    ( ) ( )( ) ( )

    =

    +++

    +++=

    10219

    451

    124332536213

    104130516011AB .

    Mnoenje matrica ima sljedea svojstva:

    1. (AB)C = A(BC) ,

    2. (A + B)C =AC + BC ,

    3. A(B + C) = AB + AC ,

    4. Postoji takva kvadratna matrica I , odgovarajueg reda, da je IA = A , i takoer postoji takva kvadratna matrica I ,

    odgovarajueg reda, da je AI = A , za bilo koju matricu A .

    Matrica I zove se jedinina matrica. Njezini elementi su aii = 1, za svaki i , te aij = 0 , za ji . Jedinine matrice

    drugog, treeg i etvrtog reda su redom:

    1000

    0100

    0010

    0001

    ,

    100

    010

    001

    ,10

    01 .

    Transponiranje. Neka je A = [aij] tipa (m, n). Matrica AT = B = [bji] tipa (n, m), koja se dobije kad reci postanu

    stupci, a stupci reci, tj. bji = aij , zove se transponirana matrica matrice A.

    Primjer:

    =

    =642

    531,

    65

    43

    21T

    AA .

    O jednakosti matrice i njoj transponirane se moe, prema tome, govoriti samo ako je n = m , tj. ako je matrica

    kvadratna.

    Transponiranje se prema operacijama s matricama odnosi ovako:

    1. (A + B)T = AT + BT ,

    2. (A)T = AT ,

    3. (AB)T = BTAT .

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    30

    5.1. Linearne funkcije iz R u R

    R je polje1 [7,8] realnih brojeva.

    Linearna funkcija RR: y = f(x) = a . x = a x .

    Svojstvo linearnosti f(x1 + x2) = f(x1 )+ f(x2) (linearna funkcija komutira s linearnom kombinacijom).

    Sa z = g(y) = c . y moe se napraviti sloena funkcija (kompozicija): z = gf(x) = g(f(x))

    (supstitucija y = f(x) u g(y) ) = c . a . x .

    Vektorske operacije na linearnim funkcijama:

    f(x) + g(x) = (a+c). x

    zadovoljavaju aksiome operacija nad vektorima.

    Dvostrani inverz linearne funkcije y = f(x) = a . x je linearna funkcija x = f -1(y) = c. y koja zadovoljava:

    f(f -1(y)) = y (uvjet za desni inverz),

    f -1(f(x)) = x (uvjet za lijevi inverz)

    tj.

    a. c = c. a = 1 ,

    to je ispunjeno za

    c = 1/a = a -1, a 0 .

    Inverzna funkcija f -1(y) = a -1. y daje rjeenje linearne jednadbe:

    f(x) = a. x = b , (1)

    x = f -1(b) = a -1. b = b/a, a 0 .

    5.2. Vektorski prostori 2 nad poljem skalara R

    Vektorski (linearni) prostor V nad poljem skalara R je skup vektora x, a, b, e s operacijama zbrajanja vektora

    +: V V V i mnoenja sa skalarom *:RV V. Gdje ima smisla za te operacije vrijede zakoni komutativnosti,

    asocijativnosti i distributivnosti. Skalarna jedinica 1 je neutralni element za mnoenje vektora sa skalarom:

    1. a = a .

    S obzirom na zbrajanje vektora vektorski prostor je komutativna (Abel-ova) grupa: postoji neutralni element nul

    vektor 0 sa svojstvima:

    a + 0 = a, 0 + a = a, 0. a = 0 ,

    a za svaki vektor a vektorski prostor sadri suprotni vektor a sa svojstvima:

    a = -1. a, a +( a) = (1 + (-1)) a = 0. a = 0 .

    Oduzimanje vektora je pribrajanje suprotnog:

    1 Svaki skup P koji ima bar dva elementa i na kojem su definirane algebarske operacije zbrajanje i mnoenje s u [8]

    navedenih devet svojstava zove se polje. 2 U [8] je definiran pojam vektorskog prostora nad poljem skalara, gdje su navedena svojstva zbrajanja i mnoenja koja

    moraju biti zadovoljena.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    31

    a b = a +( b) .

    S navedenim svojstvima operacija mogu se stvarati linearne kombinacije vektora:

    ii . ia .

    Linearne funkcije (operatori) A: V1 V2 iz linearnog prostora V1 u linearni prostor V2 su morfizmi [8] vektorskih prostora

    A (i i ia) = ii A (

    ia) ,

    tj. linearna funkcija (operator) i operacija stvaranja linearne kombinacije vektora komutiraju.

    Skup vektora {ia} je linearno zavisan ako postoji nulta linearna kombinacija:

    ii ia = 0 ,

    s bar jednim koeficijentom 0 , npr. k . Tada se ka moe prikazati kao linearna kombinacija ostalih vektora linearno

    zavisnog skupa:

    ka = -ii / k ia , k i .

    U suprotnom sluaju skup vektora {ai} je linearno nezavisan. Maksimalni nezavisni skup vektora {ei} se naziva

    baza vektorskog prostora. Vektorski prostor s bazom od konanog broja n vektora naziva se konano-dimenzionalni ili n-

    dimenzionalni vektorski prostor. Svaki vektor a vektorskog prostora se moe izjednaiti s jednoznanom linearnom

    kombinacijom nad vektorima baze:

    a = i ai ei . (2)

    Niz skalara ai su koordinate vektora a u bazi ei. Vektorski prostor V je direktna suma

    3 jednodimenzionalnih

    vektorskih prostora ei, R nad baznim vektorima:

    V = i ei .

    Openito, vektorski prostor V je direktna suma svojih potprostora Vi:

    V = i Vi ,

    ako se svaki vektor x V moe prikazati kao linearna kombinacija vektora iz potprostora Vi , a presjek bilo koja dva

    potprostora sadri samo nul vektor 0. Potprostor vektorskog prostora je linearnim kombinacijama zatvoreni podskup.

    Postoji sustavni princip konstrukcije vektorskih prostora VDV kao skupa funkcija VDV = {f: D V} iz neke domene

    D u neki vektorski prostor V, zatvorenog na linearne kombinacije. Za f , g VDV slijedi prirodna definicija vektorskih

    operacija:

    (f + g)(x) = f (x) + g(x) ,

    (. f )( x) =. f (x) ,

    to je ekvivalentno sljedeoj definiciji linearne kombinacije vektora kf :

    (kk kf) (x) =kk

    kf(x) .

    Konano dimenzionalni vektorski prostori se praktiki generiraju na dva naina od:

    -svih funkcija f = VIR iz konane domene I indeksa u R1 ili polje skalara R: VI = {f: IR};

    -linearnih funkcija (operatora) A OV1V2 V1 V2 iz konano-dimenzionalnog vektorskog prostora V1 u konano-

    dimenzionalni vektorski prostor V2 kao vektorima iz prostora: OV1V2 = { A: V1 V2 }.

    3 Npr. R2 = RR

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    32

    5.2.1. Vektorski prostori realnih funkcija iz konane domene

    Prostor svih funkcija f = VIR iz konane domene I indeksa u R1 ili polje skalara R je konano-dimenzionalan s

    dimenzijom n = k(I) (kardinalni broj ili potencija skupa I). Kanonsku 4 bazu prostora ine funkcije kf definirane s

    kf(i) = k1i = k i (Kronecker-ov simbol 5). (3)

    Praktinu korist pruaju dva tipa ureenja indeksnog skupa I.

    5.2.2. Aritmetiki vektorski prostori

    Ureenje indeksnog skupa I = In {1,2, n} rezultira u n-dimenzionalnom aritmetikom vektorskom prostoru

    Vn ili prostoru realnih funkcija iz Kartezijeva produkta Rn = RRR s elementima (n-torkama)

    (a1, a2, ,an) . (4)

    Ponovna definicija vektorskih operacija:

    (a1, a2, ,an) + (b1, b2, ,bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ,an+ bn) ,

    . (a1, a2, ,an) = (. a1,

    . a2, , . an)

    je ekvivalentno sljedeoj definiciji linearne kombinacije vektora (ia1, ia2, ,

    ian):

    ii(ia1,

    ia2, ,ian) =(ii

    ia1, ii ia2, ,ii

    ian) .

    Uvoenjem baze konano-dimenzionalnog vektorskog prostora koordinate vektora ( 2 ) postaju elementi

    aritmetikog vektorskog prostora. Tako su svi n-dimenzionalni vektorski prostori ekvivalentni n-dimenzionalnom

    aritmetikom vektorskom prostoru i prema tome meusobno ekvivalentni.

    5.2.3. Prostori realnih matrica

    Prostor realnih matrica Mn m s n redaka i m stupaca je specijalni sluaj prostora VI.

    I = Im n Im In = {1,2, m}{1,2, n} (Kartezijev produkt) ija dimenzija je m. n . Uloga ovog prostora je realizacija

    linearnih funkcija Rn Rm kao operatora matrinog mnoenja vektora iz Rn. Za vektore [A] M m n su pogodne sljedee

    oznake:

    [A] = [i a j] =

    n

    mm

    n

    aa

    a

    aa

    aaaa

    1

    13

    22

    12

    13

    12

    11

    1

    OMM

    L

    L

    . (5)

    Transponirana matrica [AT] se dobije zamjenom redaka i stupaca matrice [A]:

    4 gr. kanon: pravilo, propis 5 ij = 0 za ji i 11 = 22 = .. = nn = 1

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    33

    [A] T = [j a i] =

    n

    m

    n

    m

    aa

    a

    aa

    aaaa

    1

    31

    22

    21

    113

    12

    11

    OMM

    L

    L

    .

    5.2.4. Linearni prostori konano-dimenzionalnih operatora

    Drugi opi princip konstrukcije vektorskih prostora proizlazi iz zatvorenosti skupa LVnVm linearnih funkcija

    (operatora) A: Vn Vm iz n-dimenzionalnog vektorskog prostora Vn u m-dimenzionalni vektorski prostor Vm s obzirom na

    linearne kombinacije. Prostor LV1V2 ima dimenziju n. m s induciranom bazom jEk definiranom s:

    jEk(ei) = fk j1i ,

    gdje je {ei} n-dimenzionalna baza prostora Vn , a {fk} je m-dimenzionalna baza prostora Vm. U toj bazi operator A ima

    koordinate ka j , tj.:

    A = j k jEk

    ka j .

    Upadljivo je da se te koordinate poklapaju s elementima matrice [A] iz (mata). Nadalje:

    A(ei) = k fk

    ka i ,

    to znai da su elementi i-tog stupca matrice jednaki koordinatama slike baznog vektora {ei}u bazi {fk} kodomene. Vektor x

    iz domene s koordinatama u bazi {ei} tj:

    x = i ei ix ,

    prelazi u:

    y = A(x) = k fk ky ,

    s koordinatama

    ky = i ka i

    ix (6)

    u bazi {fk}.

    Potpunija slika ekvivalentnosti linearnih operatora s matricama dobije se razmatranjem koordinata preslikanih

    vektora kompozicijom linearnih operatora: A: Vn Vm, B: Vm Vp, C: Vp Vq ili linearnih supstitucija

    z = B(y) = B(A(x)) = BA(x) = k gl lz = G(x) ,

    u = C(z) = C(B(A(x))) = CBA(x) = l hj ju = H(x) ,

    gdje operatori B i C imaju koordinate analogne koordinatama operatora A u bazi jEk svrstane u matrice [B] = [lbk] odnosno

    [C] = [jcl] analogno matrici [A] operatora A. Provedba supstitucija daje koordinate { lz} vektora BA(x) u bazi {gl} odnosno

    koordinate { ju} vektora CBA(x) u bazi {hj}:

    lz = k i lbk

    ka i ix = i

    lg i ix , (6a)

    ju = l k i jcl

    lbk ka i

    ix= i jhi

    ix . (6b)

    Pored pravokutnih matrica [A], [B], [C] koje sadre koordinate operatora A, B i C u induciranim bazama, matrini

    raun ukljuuje jednostupane matrice

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    34

    [x =

    x

    x

    x

    n

    M

    2

    1

    , [y =

    y

    y

    y

    m

    M

    2

    1

    , [z =

    z

    z

    z

    p

    M

    2

    1

    , [u =

    u

    u

    u

    q

    M

    2

    1

    , (7)

    koje sadre koordinate vektora x, y, z i u u bazama { ei}, { fk},{ gl} i{ hj}.

    Djelovanje linearnog operatora na vektor u koordinatama se svodi na konstrukciju linearnih funkcija od koordinata

    argumenta s koeficijentima koji su koordinate operatora, podudarnu s definicijom lijevog mnoenja jednostupane matrice

    koordinata argumenta s matricom koordinata operatora:

    [y = [A][x, ky = i ka i

    ix; [z = [G][x, lz = i lg i

    ix; [u = [H][x, ju = i jhi

    ix , (8)

    gdje se matrice [G] odnosno [H] koordinata operatora G = BA odnosno H = CBA dobiju iz provedbe kompozicija

    operatora odnosno linearnih supstitucija kao mnoenja matrica operatora u kompoziciji:

    [z = [B][y, [z = [B][A] [x = [G][x, [u = [C][z, [u = [C][B][A] [x = [H] [x ,

    tj.

    [G] = [B][A], lg i= lB][Ai = k

    lbk ka i , (8a)

    [H] = [C][B][A], jhi = jC][B][Ai = l k

    jcl lbk

    ka i . (8b)

    Pravilo (8) mnoenja matrice koordinata operatora s jednostupanom matricom koordinata vektora potpada pod pravilo (8a)

    mnoenja matrica koordinata operatora u kompoziciji zahvaljujui smjetaju koordinata vektora u jednostupanu matricu a ne

    u jednorednu kao to bi sugerirala konstrukcija aritmetikog vektorskog prostora (avp). Podudarnost se moe obrazloiti

    injenicom to se vektor v V moe interpretirati kao linearna funkcija RV:

    v V: t R t. v V .

    Zadatak: Kako se izraava vektor aritmetikog prostora (a1, a2, ,an) pomou jednostupane matrice koordinata u

    kanonskoj bazi (3) ? Isto pitanje rijeiti za linearni operator izmeu vektorskih prostora Rn i R

    m. Prema odgovorima napraviti

    redefiniciju aritmetikog vektorskog prostora kao prostora jednostupanih matrica.

    U daljnjem e se uzimati da je aritmetiki vektorski prostor Rn konstruiran od jednostupanih matrica (vektor-

    stupaca). Tada matrice postaju operatori s matrinim mnoenjem kao kompozicijom.

    Pravilo (8b) je izneseno da se pokae kako je asocijativnost mnoenja matrica posljedica kategorijalne

    asocijativnosti kompozicije funkcija.

    Matrice linearnih operatora postaju blone matrice (blok-matrice[9]) kada se prostori domene i kodomene rastave

    na direktne sume vektorskih potprostora.

    5.2.5. Funkcionali 6

    Za Vn = V, Vm = R operatori y:VR se zovu funkcionali, a spadaju u dualni vektorski prostor V .

    Temeljni primjer: koordinatni funkcionali za bazu {ei} vektorskog prostora V su linearne funkcije { ke} definirane s

    6 [9] str. 147: funkcija s vektorskog prostora Vn u vektorski prostor Vm F : VnVm zove se linearan operator ako je

    F (x + y) = F (x) + F (y) za sve skalare , iz polja R i za sve vektore x, y Vn . Ako je m = 1, onda je V1 = R, pa se

    umjesto linearni operator govori linearni funkcional.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    35

    ke (x) = kx ,

    gdje su { ia} koordinate vektora a u bazi { ei}:

    x = i ei ix = i ei

    ie (x) ,

    tj. operator i ei ie je jedinini:

    i ei ie = 1 .

    Uzimajui za argumente vektore baze ei izlazi

    ke (ei) = k1i

    Kae se da je { ke} baza prostora V funkcionala VR dualna bazi {ei} vektorskog prostora V.

    Za konano dimenzionalne prostore dimenzija prostora V je jednaka dimenziji prostora V , a dualni prostor V

    prostora V je opet V, baza {ei} dualna bazi { ke} je {ei}.

    Ako se koordinate funkcionala:

    y = i y k kf

    u bazi {kf} sloe u jednorednu matricu

    y] = [y1 y2 ym] ,

    tada se primjena funkcionala y na vektor x svodi na jedini element 11 matrice dobiven matrinim mnoenjem jednoredne

    matrice y] s jednostupanom matricom [x koordinata vektora x :

    y (x) = i yi ix= y][x

    Za linearni operator: VnVm i koordinate y] funkcionala y u bazi {kf} prostora Vm primjena y na A(x) se izraava

    produktom matrica koordinata

    y (A(x)) = i k y k kai

    ix = y][A][x

    Operatoru A se moe pridruiti transponirani operator AT: Vm Vn sljedeom definicijom:

    y (A(x)) = AT(y)(x) .

    Naziv transponirani je opravdan time to je matrica [AT] koordinata operatora AT u induciranoj bazi jednaka transponiranoj

    matrici [A] T koordinata operatora A jer iz:

    AT(y)(x) = y][A][x

    slijedi da je:

    AT(y)] = y][A] = ( [A]T [y)T .

    5.2.6. Koordinatni operatori

    Opravdano je linearni operator koji izomorfno prevodi vektore x prostora V u vektor stupac [x koordinata u bazi {ei}

    prostora V zvati koordinatnim operatorom E (induciranim bazom {ei}):

    [x = E(x) .

    Konstrukcija koordinatnog operatora se ostvaruje preko koordinatnih funkcionala odnosno dualne baze { ie} jer je:

    kx = ke (x) ,

    odakle

    [x = [e(x) ,

    tj. koordinatni operator je jednostupana matrica ije komponente su koordinatni funkcionali:

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    36

    E = [e =

    nM21 . Dualni koordinatni operator E daje koordinatni vektor redak y] funkcionala y u dualnoj bazi { ke}:

    y] = E (y) .

    Za konano-dimenzionalne prostore

    E = [e1 e2 en] .

    5.2.7. Algebra linearnih operatora i kvadratne matrice

    Linearni operatori A, B, : Vn Vn na konano-dimenzionom prostoru se mogu neogranieno komponirati, ili,

    njihove nn koordinatne kvadratne matrice [A], [B], mogu se meusobno bezuvjetno asocijativno mnoiti. Kvadratne nn

    matrice kao vektori s asocijativnim mnoenjem ine algebru.

    Neutralnom elementu 1 kompozicije operatora odgovara jedinina matrica [1] s graom:

    [1] =

    100

    010

    001

    K

    MOMM

    K

    K

    =

    ]1

    ]1

    ]12

    1

    n

    M = [ [11 [12 [1n ],

    i 1 k = i k

    i svojstvima

    [1][x = [x, y][1] = y], [1] [A] = [A], [A] [1] = [A]. (9)

    Surjektivni operator A s A(Vn) = Vn je ujedno injektivan, tj. bijektivan, to znai da za njega postoji lijevi i desni inverz A-1:

    A-1A = A A-1 = 1 .

    Odgovarajua koordinatna matrica [A] je regularna tj. ima lijevi i desni multiplikativni inverz (inverznu matricu) [A-1] :

    [A-1] [A] = [A] [A-1] = [1] . (10)

    Determinanta regularne matrice det[A] je razliita od nule. U suprotnom sluaju:

    det[A] = 0

    matrica je singularna. Do inverza se teorijski moe doi preko Laplace-ova razvoja determinante. Praktiki se inverz matrice

    [A] odreuje rjeavanjem viestrukog sustava linearnih jednadbi iji koeficijenti nepoznanica ine matricu [A] , a desna

    strana je jedinina matrica [1].

    5.3. Sustav linearnih jednadbi od vie realnih varijabli

    Sustav od m simultanih linearnih jednadbi s n nepoznanica oblika:

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    37

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    bxaxaxa

    mn

    n

    mmm

    n

    n

    n

    n

    =++

    =++

    =++

    L

    LLLLLLLLLLLL

    L

    L

    22

    11

    2222

    211

    2

    1122

    111

    1

    (11)

    sadri: skup nepoznanica {ix} iz jedne jednostupane matrice (vektor-stupca) ((7)), koeficijente {iak} svrstane u mn matricu

    [A] prema (5) i poznate vrijednosti {ib} na desnoj strani (RHS - right hand side) koje e biti svrstane u m-dimenzionalni

    vektor-stupac [b :

    [b = [1b 2b mb]T

    Tada se sustav (11) moe zapisati kao jedna linearna matrina jednadba

    [A][x = [b (11a)

    u kojoj je na lijevoj strani m-dimenzionalni vektor-stupac produkta ulanenih matrica [A] i [x koji pokomponentno treba biti

    jednak RHS vektoru [b .

    Za kvadratni sustav od n jednadbi s n nepoznanica i regularnom matricom koeficijenata [A], (koja ima inverz [A-1]),

    rjeenje jednadbe (11a) dobiva se po uzoru rjeavanja skalarne linearne jednadbe (1) postavom:

    [x = [C] [b ,

    uz (11a) izlazi:

    [A] [C] [x = [x ,

    to znai da je matrica [C] desni inverz od matrice [A] tj.:

    [x = [A-1] [b .

    Do istog rezultata se dolazi mnoei jednadbu (11A) s lijevim inverzom [A-1] matrice [A] :

    [A-1] [A] [x = [A-1] [b ,

    nakon ega iz (10) i (9) izlazi

    [1][x = [A-1] [b, [x = [A-1] [b .

    Rjeenju [x sustava (11) se moe dati prikladno geometrijsko tumaenje. Interpretacija matrice [A] kao

    jednoredne blone matrice iji blokovi su vektori stupci [ai:

    [A] = [[a1 [a2 [an ]

    daje sustavu linearnih jednadbi (11) ili (11A) jo jedan oblik:

    i [ai ix = [b

    po kojem je vektor stupac desne strane [b linearna kombinacija vektor-stupaca [ai matrice [A] s koeficijentima jednakim

    varijablama rjeenja ix. Kad je matrica [A] regularna, njeni vektor-stupci ine bazu vektorskog prostora, a traeno rjeenje tj.

    varijable ix su koordinate vektora [b u toj bazi. Tada reci ka] inverzne matrice [A-1] ine dualnu (biortogonalnu) bazu

    funkcionala:

    ka][ai = i k .

    Skalarno mnoenje (s lijeva) vektorske jednadbe (GLE) funkcionalom ka] daje k-tu komponentu rjeenja kao

    projekciju zadanog vektora desne strane [b na biort ka] :

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    38

    kx = ka][b . (12)

    U dobro poznatom sluaju ortonormirane7 baze, komponenta vektora na pravcu orta je jednaka skalarnom produktu

    vektora s istim ortom. Tada su baza i biortogonalna baza identine, to znai da je:

    [A-1] = [AT], [AT][A] = [A] [AT] = [1].

    odnosno vektori redaka i vektori stupaca su normirani na 1 i meusobno ortogonalni po Euklid-skom skalarnom produktu.

    5.4. Linearne, bilinearne i kvadratne forme

    Linearna forma je linearni funkcional nad Rn (n-dimenzionalnim euklidskim prostorom):

    c]: Rn R; [x c][x = i ci ix .

    Formu c] ini jednoredna matrica (vektor-redak) koordinata ci kao to vektor [x aritmetikog prostora ini jednostupana

    matrica (vektor-stupac) koordinata ix .

    Bilinearna forma [B]: Rm RnR je definirana s:

    (y], [x) y] [B] [x = i k yi iBk

    kx .

    Bilinearna forma je linearna po svakom od argumenata, a jednaka je linearnoj formi na tenzorskom produktu Rm Rn.

    Kvadratna forma B]]: RnR nastaje od bilinearne kad su oba argumenta ista:

    [x B]] [x [x = i k B i k kx ix .

    Koordinate kvadratne forme B i k ine simetrinu matricu B i k = B k i .

    7 Kod ortonormirane baze vektorskog prostora Vn , bazu ine jedinini vektori , meusobno okomiti. Kanonska baza je

    primjer ortonormirane baze [9].

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    39

    6. Funkcije realnih varijabli

    Parametarske karakteristike. Realne funkcije od jedne realne varijable. Realne funkcije od dvije realne varijable. Realne

    funkcije i diferencijalni raun funkcija od vie nezavisnih varijabli: parcijalne derivacije, gradijent, usmjerena derivacija,

    totalni diferencijal. Vektorske realne funkcije (Rn Rm).

    6.1. Parametarske karakteristike

    6.2. Realne funkcije od jedne realne varijable

    R = polje realnih brojeva

    Realna funkcija od realnog argumenta RR: x y = f(x)

    Definicije realne funkcije:

    analitika; npr.: y = f(x) = x/(0.8 x2 + x + 0.2)

    u Matlab-u

    RuR

    eta1m = Inline function:

    eta1m(x) = x ./ (0.8 * x .^2 + x + 0.2)

    eta1tab =

    0.2000 0.4630

    0.3000 0.5245

    0.4000 0.5495

    0.5000 0.5556

    0.6000 0.5515

    0.7000 0.5418

    0.8000 0.5291

    0.9000 0.5149

    1.0000 0.5000

    eta =t/(4/5*t^2+t+1/5)

    diffeta = 1/(4/5*t^2+t+1/5)-t/(4/5*t^2+t+1/5)^2*(8/5*t+1)

    a = 0.3912

    tay = 8325/20449+8000/20449*x

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    40

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.46

    0.48

    0.5

    0.52

    0.54

    0.56

    0.58

    0.6

    0.62

    dx

    dy

    Dey

    x = pu

    x ./ (0.8 * x .2 + x + 0.2)

    Sl. 6.1.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    41

    6.3. Realne funkcije od dvije realne varijable

    peaks

    [x,y,z] = peaks;

    z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

    - 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

    - 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)

    Sl. 6.2.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    42

    % Mesh Plot of Peaks

    meshc(z);

    Sl. 6.3.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    43

    contour(x,y,z,20,'k')

    hold on

    pcolor(x,y,z)

    shading interp

    Sl. 6.4.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    44

    x2 = [0.2: 0.1: 1];

    [X, Y] = meshgrid(x2);

    Z = eta1m(X) .* eta1m(Y);

    [C, H] = contour(X, Y, Z); clabel(C,H), colorbar

    title('skoljkasti (konturni) dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)')

    0.22

    0.23

    0.24

    0.25

    0.26

    0.27

    0.28

    0.29

    0.3

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1skoljkasti (konturni) dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)

    0.23

    0.24

    0.240.24

    0.25

    0.25 0.25

    0.26

    0.26

    0.26

    0.26

    0.26

    0.260.

    27

    0.27

    0.27

    0.27

    0.27

    0.27

    0.27

    0.28

    0.28

    0.28

    0 .2 8

    0.28

    0.28

    0.28

    0.28

    0.29

    0.29

    0.29

    0.29

    0.29

    0.29

    0.3

    0.3

    0.3

    0.3

    Sl. 6.5.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    45

    plot(x2, Z), colorbar,

    title('parametarski dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)')

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.21

    0.22

    0.23

    0.24

    0.25

    0.26

    0.27

    0.28

    0.29

    0.3

    0.31parametarski dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)

    Sl. 6.6.

    6.4. Realne funkcije i diferencijalni raun funkcija od vie nezavisnih varijabli

    Funkcije Rn R: z = f(x), x = [x1, x2, xn]'

    Parcijalne derivacije, gradijent i usmjerena derivacija funkcije

    Vektor-redak f/x zvan gradijent sastoji se od parcijalnih derivacija f/xi:

    ]/,/,/[/ 21 nxfxfxfxf = L

    h

    xxxxxxfxxhxxxxfxf niiiniii

    h

    i

    ),,,,,(),,,,,(/ 11211121

    0lim

    LLLL ++

    +=

    Parcijalne derivacije z/x, z/y funkcije z = f(x,y) dviju varijabli su derivacije krivulja na presjeku plohe zadane

    funkcijom z = f(x,y) i vertikalne ravnine paralelne x-z odnosno y-z ravnini.

    Gradijent [z/x, z/y] funkcije z = f(x,y) dviju varijabli je vektor okomit na linije (konture) istog nivoa.

    Derivacija z/a usmjerena po vektoru a je definirana s

    h

    xfahxfaf

    h

    )()(/ lim

    0

    +=

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    46

    Parcijalna derivacija f/xi je usmjerena derivacija po vektoru i1. Obrnuto, usmjerena derivacija se izraava pomou

    parcijalnih derivacija, odnosno skalarnim produktom gradijenta i vektora a:

    axfaxfaf iii

    ][/*// ==

    Usmjerena derivacija z/a funkcije z = f(x,y) dviju varijabli je derivacija krivulje na presjeku plohe zadane

    funkcijom z = f(x,y) i vertikalne ravnine koja sadri vektor a.

    Totalni diferencijal

    dxxfdxxfdf iii

    ][// ==

    je linearni lan Taylor-ova razvoja funkcije f(x + x ) po dx = x u toki x. Totalni diferencijal je jednak usmjerenoj

    derivaciji po vektoru dx.

    6.5. Vektorske realne funkcije (Rn Rm)

    Funkcije Rn Rm: z = f(x), x = [x1, x2, xn]', z = [z1, z2, zm]'

    Gradijent xf / = xf /[ ]

    =

    ==

    nmmm

    n

    n

    m

    n

    xfxfxf

    xfxfxf

    xfxfxf

    xf

    xf

    xf

    xfxfxfxf

    ///

    ///

    ///

    /

    /

    /

    ]/,/,/[/

    21

    22212

    12111

    2

    1

    21

    L

    MOMM

    L

    L

    L

    Naziva se Jacobi-an(a).

    Totalni diferencijal

    dxxfdxxffd iii

    ][/[/ ==

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    47

    7. Primjena diferencijalnog rauna funkcija od vie realnih varijabli

    Nuni uvjet ekstrema glatke realne funkcije od vie realnih varijabli, Newtonova iterativna metoda rjeavanja sustava glatkih

    nelinearnih jednadbi, Vezani ekstremi i Lagrangeova metoda rjeavanja:

    Model vezanih ekstrema s vezama (ogranienjima) u obliku jednadbi, Lagrange-ovi multiplikatori i Lagrange-ova

    funkcija, Nuni uvjeti vezanog ekstrema, Formule osjetljivosti na parametre veza, Primjer optimalne raspodjele

    optereenja u paralelnom spoju, Usporedba s metodom kaznenih funkcija, Ogranienja (veze) izraene jednadbama i

    nejednadbama (matematiko programiranje).

    7.1. Nuni uvjet ekstrema glatke realne funkcije od vie realnih varijabli

    Nuni uvjet ekstrema (kritina toka) kriterijske funkcije Rn R: z = f(x), x = [x1, x2, xN]'

    je ponitenje gradijenta tj. vektor-retka f/x ili parcijalnih derivacija f/xi :

    f/xi := 0, i = 1...N (1)

    tj.

    f/x := 0, (1a)

    Time su u kritinoj toci ponitene sve usmjerene derivacije i totalni diferencijal.

    Argumentacija se oslanja na sluaj realne funkcije od jedne realne varijable.

    Uvjet se sastoji od n (ne)linearnih jednadbi s N nepoznanica.

    7.2. Newtonova iterativna metoda rjeavanja sustava glatkih nelinearnih jednadbi

    Treba nai rjeenje sustava od n obinih jednadbi +

    f(x) = b (2)

    po n-dimenzionalnom vektoru x nepoznanica sa zadanim N-dimenzionalnom vektorom b desne strane (RHS).

    Newton-ova iterativna metoda rjeavanja sustava glatkih nelinearnih jednadbi koristi Taylor-ov razvoj prvog reda

    (linearizaciju) funkcije f(x) u poznatoj (poetnoj ili naenoj) toci x(k):

    f(x) = f(x(k) + x ) f(x(k)) + xf / x

    Gradijent xf / je Jakobijan(a) xf /[ ] u toci x(k). Sustav nelinearnih jednadbi (2) prelazi u linearizirani sustav

    jednadbi

    xf /[ ] x = r(k) (3)

    po korekciji x gdje je

    r(k) = b - f(x(k))

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    48

    vektor reziduala (greki rjeenja) za ex = ex(k).

    Nakon rjeenja linearnog sustava (3) po ex rauna se korigirano rjeenje

    x(k+1) = x(k+1) + x

    Smatra se da postupak konvergira ako je

    |r(k+1)|2 = |b - f(x(k+1))| < |r(k)|2

    gdje |r|2 oznaava srednjekvadratnu normu vektora r.

    Postupak je gotov (iskonvergirao) ako je

    |r(k+1)| < tol

    gdje je

    |r| = maxi (ri)

    ebievljeva norma vektora r. a tol je tolerancija netonosti rjeenja jednadbi. Pretpostavlja se da su jednadbe pogodno

    normirane da bi 2-norma (Euklidska) i norma bile prikladne za testiranje konvergencije.

    7.3. Vezani ekstremi i Lagrangeova metoda rjeavanja

    7.3.1. Model vezanih ekstrema s vezama (ogranienjima) u obliku jednadbi

    Treba nai minimum kriterijske funkcije Rn R:

    z = f(x), x = [x1, x2, xN]' (4)

    uz ogranienja u obliku J jednadbi:

    gj (x) := bj, j = 1...J N (5a)

    tj.

    g (x) := b, g (): Rn RJ, b RJ (5b)

    "Primitivni" nain:

    U kriterijskoj funkciji f(x) eliminirati J nepoznanica (baznih varijabli) koje se "mogu" izraziti preko preostalih N-J

    nepoznanica (nebaznih varijabli) iz ogranienja tipa jednadbi (5). Preostaje da se odredi ekstrem po nezavisnim

    (nevezanim) nebaznim varijablama sloene funkcije u kojoj se javlja djelomina inverzija sustava (ne)linearnih jednadbi (5)

    i ponovo iz (5) pronau bazne varijable.

    7.3.2. Lagrangeovi multiplikatori i Lagrangeova funkcija

    Porijeklo iz mehanike (dinamika sustava s holonomnim vezama).

    Lagrangeova funkcija vezanog ekstrema (4,5):

    L(x) = f(x) + j j (bj - gj (x)) = f(x) +][(b - g (x)) (6)

    U Lagrangeovoj funkciji se nalazi dodatnih J varijabli j Lagrangeovih multiplikatora, koje se u mehanici javljaju kao sile

    reakcije u holonomnim vezama. Pomou Lagrangeovih multiplikatora se "osloboene" veze zamjenjuju silama reakcija koje

    te veze proizvode na mehanikom sustavu tijekom njegova gibanja.

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    49

    7.3.3. Nuni uvjeti vezanog ekstrema

    Nalaze se kritine toke Lagrange-ove funkcije kao kriterijske funkcije bez ograniena po oba niza varijabli [x i ]:

    L/xi:= f/xi: - j j gj (x)/xi: = 0, i = 1,..N (7a)

    L(x)/j = (bj - gj (x)) = 0 j = 1,..J (7b)

    Uvjet kritinosti (7b) po multiplikatorima je ekvivalentan jednadbama ogranienja (5a) vezanog ekstrema. Uvjeti (7a) u

    obliku

    f/x:= j j gj (x)/x: (7a1)

    pokazuju da se (ne)nulti gradijent kriterijske funkcije u kritinoj toci nalazi u prostoru okomitom na tangencijalni prostor

    ogranienja.

    7.3.4. Formule osjetljivosti na parametre veza

    Za rjeenje sustava (7a,b) x^, ^ se moe pronai ne samo kritina vrijednost kriterijske funkcije:

    f^ = f(x^) , (8a)

    nego i njene derivacije po parametrima ogranienja b u (5a) tj. osjetljivost optimalnog rjeenja na parametre bez ponavljanja

    rauna kritine toke:

    f^(b)/bj = L/bj = j (8b)

    to izlazi primjenom (7a1):

    f^(b)/bj = f(x^)/x^ x^/bj = j j gj (x)/x:^ x^/bj = j j gj(x^(b))/bj

    i deriviranja jednadbi ogranienja (5a) po parametru bk ogranienja

    gk (x)/ bj := k1j .

    Indirektno formula osjetljivosti (8b) izlazi iz (6) s:

    L^(x^(b),^(b),b )/bj = L/x^ x^(b)/bj + L/^ ^(b)/bj +L/bj = j

    i

    (k k (bk - gk (x^(b))))/bj = k k/bj(bk - gk(x^(b))) +k k (bk - gk(x^(b)))/bj = 0 .

    7.3.5. Primjer optimalne raspodjele optereenja u paralelnom spoju

    Varijable P1, P2 PN su snage agregata.

    Kriterijska funkcija je potroak resursa:

    R(P1, P2 PN) = R1(P1) + R2(P2) + .RN(PN) = n Rn(Pn)

    Ogranienje (uvjet) je sumarna snaga agregata P:

    P1 + P2 + + PN = P ili n Pn = P

    Zadatak je nai optimalnu raspodjelu:

    P^1(P), P^2 (P)P

    ^N(P); R

    ^(P) = R(P^1(P), P^2 (P)P

    ^N(P)) ,

    iz

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    50

    R^(P) = min R(P1, P2 PN) uz uvjet nPn = P .

    Rjeavanje Lagrangeovom metodom:

    Lagrangeova funkcija:

    L = n Rn(Pn) + (P - nPn )

    Jednadbe za kritinu toku:

    L/Pi:= dRi(Pi) = 0, tj.

    dRn(Pn) = ., n = 1, n

    Uloga multiplikatora se prepoznaje u osjetljivosti minimalnog potroka (diferencijalnom potroku):

    R^(P)/P = L/P =

    Kod kritine (optimalne) raspodjele resursa svi diferencijalni potroci su jednaki rezultantnom diferencijalnom potroku koji

    se poklapa s multiplikatorom .

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    51

    8. i 9. Primjena funkcija jedne realne varijable

    Praksa u MATLAB-u: komandni prozor, crtanje krivulja i regresija, pseudoinverzija i regresija, Gaussov normalni sustav

    jednadbi i pseudoinverzija, diferencijalna, specifina i eta karakteristika.

    Primjer regresije napravljen pomou Excel-a

    8.1. Komandni prozor

    %help

    %help plot

    Startati demo iz komandnog prozora

    Matrices

    Basic Matrix opperations

    Prouiti demo prikaze

    8.2. Crtanje krivulja i regresija

    type DijagramRegresije

    %skripta za dijagram regresije

    syms p

    clf

    sfr = 0.4 * p^2 + p + 0.1

    ezplot(sfr, [0.2 1.2])

    %fr = '0.4*p^2 + p + 0.1'

    %fplot(fr, [0 1.2])

    hold on

    vp = [0.2: 0.2: 1.2]

    er = [-0.04 -0.05 0.05 -0.03 0.03 0.02]

    r = subs(sfr, 'p', vp)

    rmj = r + er

    plot(vp, rmj, 'go')

    regr = polyfit(vp, rmj, 2)

    rest = polyval(regr, vp)

    plot(vp, rest, 'r:', 'LineWidth', 2)

    xlabel('p.u.')

  • Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

    52

    title('Stvarno, mjereno i regresija')

    legend('stvarno', 'mjereno', 'regresija',2)

    hold off

    DijagramRegresije

    sfr = 2/5*p^2+p+1/10

    vp = 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000

    er = -0.0400 -0.0500 0.0500 -0.0300 0.0300 0.0200

    r = 0.3160 0.5640 0.8440 1.1560 1.5000 1.8760

    rmj = 0.2760 0.5140 0.8940 1.1260 1.5300 1.8960

    regr = 0.3286 1.1657 0.0240

    rest = 0.2703 0.5429 0.8417 1.166