Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

1

1. Energija i snaga

1.1. Pojmovi

Sila je fizikalna veliina koja opisuje meudjelovanje tijela. Definira se kao umnoak mase tijela m i akceleracije a , koja je

posljedica djelovanja drugog tijela: F = ma .

Energija (grki: rad) u fizici je veliina koja karakterizira stanje (gibanje, poloaj, polja itd.) materije u nekom

sustavu tijela ili estica; u uem smislu sposobnost nekog sustava da vri rad. Energija postoji u mnogo oblika (vrsta

energije), koje se pretvaraju jedan u drugi (mehanika, potencijalna, elektrina, magnetska, svjetlosna, nuklearna, toplinska,

kemijska energija itd.). Jedan od osnovnih problema energetike jest pronai to povoljnije naine pretvaranja razliitih vrsta

energije (npr. kemijske energije, nuklearne, energije Sunevih zraka, valova na oceanima) u oblik koji se lako transportira i

lako pretvara u mehaniki rad, odnosno koristi za industrijske i druge procese, da bi se zadovoljio izvanredno brz porast

potreba za energijom.

Rad je fizikalna veliina koja opisuje djelovanje sile, definirana kao umnoak sile F i puta s u smjeru sile du kojeg se

obavlja rad: =b

a

dsFW

Snaga je fizikalna veliina koja opisuje brzinu obavljanja rada, definirana omjerom rada W i za to utroenog vremena t:

dt

dWP = .

1.2. Jedinice

Meunarodni sustav jedinica (SI) polazi od osnovnih jedinica metar (m), kilogram (kg), sekunda (s) itd.

Izvedena jedinica za silu je njutn (N, newton). To je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od jednog metra u

sekundi na kvadrat.

Veliine rad, koliina topline i energija imaju istu jedinicu dul (J, joule), definiranu radom sile od 1 N na putu od 1

m u smjeru djelovanja sile, dakle 1 J = 1 Nm. Za energiju se mogu upotrebljavati i sve jedinice izvedene iz umnoka jedinica

sile i puta ili iz umnoka jedinica snage i vremena, npr. njutnmetar (oznaka: Nm) ili vatsekunda (1 Ws = 1 J), kilovatsat (1

kWh = 3.6.106 J).

Za snagu se u SI sustavu koristi jedinica 1 vat (W, wat), a to je snaga koja u jedinici vremena izvri rad ili se koristi

energijom 1 J. Osim vata moe se upotrebljavati i jedinica za snagu voltamper, oznaka VA (1VA = 1 W).

Osnovne jedinice za energiju (J) i snagu (W) za praktinu su primjenu u energetici malene, pa se upotrebljavaju

dekadski viekratnici: kilo (k, 103), mega (M, 106), giga (G,109) i tera (T, 1012). Kako su jo uvijek u upotrebi neke jedinice,

kao npr. kWh (kilovatsat), cal (kalorija), tec (tona ekvivalentnog ugljena) , treba ih znati preraunati:

cal = 4.1868 J

tec = 7.106 kcal = 29.307 GJ

KS = 735.499 W.

1.3. Redovi veliina

Prosjena ljudska snaga 50 - 100 W [1].

U svijetu 1984. Pinst = 2000 GW.

Sunce daje prosjeno 1.35 kW/m2.

U Hrvatskoj 3000 kWh godinje po stanovniku.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

2

2. Razvoj proizvodnje elektrine energije

Razvoj potronje elektrine energije (a to je ujedno i razvoj proizvodnje) pokazuje stalan porast bilo da se promatra

cijeli svijet ili velika geografska podruja, bilo da se promatraju pojedine zemlje. Intenzitet potronje elektrine energije u

nekom sustavu moe se prikazati specifinom potronjom po stanovniku. Veliina elektroenergetskog sustava u pojedinim

zemljama moe se prikazati maksimalnom snagom elektrana i duljinom izgraenih visokonaponskih vodova. Struktura

proizvodnje elektrine energije po vrstama elektrana vrlo je razliita u pojedinim zemljama, to ovisi u prvom redu o

energetskom potencijalu vodnih snaga i o dosadanjem iskoritenju tog potencijala. I struktura potronje elektrine energije u

pojedinim zemljama je vrlo razliita. Dosadanji razvoj potronje elektrine energije pokazuje da se (gledajui svijet kao

cjelinu) udvostruuje svakih deset godina, tj. da potronja raste u prosjeku po godinjoj stopi od 7.2%. Ta se zakonitost vie

ili manje ostvaruje u svim zemljama. Treba napomenuti da dosada nije zapaena pojava zasienja, pa ni u zemljama s

velikom potronjom po stanovniku (Norveka, vedska, SAD), iako ima pojava nie stope porasta (vicarska, Austrija). U

prvoj fazi elektrifikacije normalno je da potronja elektrine energije polagano raste, a kasnije postie stopu porasta izmeu 7

i 10%. Vjerojatno treba u daljoj budunosti oekivati zasienje potronje.

2.1. Razvoj elektrifikacije i EES

2.1.1. Etape razvoja elektroenergetskih sustava

U svom razvoju od poetka elektrifikacije do dananjih dana, elektroenergetski sustavi su proli kroz nekoliko faza

razvoja. Poetak tog razvoja bio je 80-tih godina 19. stoljea s izgradnjom malih elektrana koje su na niskom istosmjernom

naponu (110-440 V), napajale vlastita potroaka podruja. Potronja se uglavnom sastojala od javne elektrine rasvjete,

domainstava i manjih industrijskih postrojenja. Mala snaga elektrana i koritenje istosmjerne struje niskog napona uvjetovali

su i kratke udaljenosti prijenosa, to je ograniavalo ujedinjavanje pojedinih izoliranih podruja i formiranje veih

elektroenergetskih sustava.

Nakon Teslinih pronalazaka viefaznog asinkronog motora i sustava trofaznih izmjeninih struja 1887. godine,

omoguene su vee udaljenosti prijenosa i okrupnjavanje snaga izvora elektrine energije, tako da prava povijest razvoja

elektroenergetskih sustava izmjenine struje upravo poinje s izgradnjom prve elektrane u Niagara Fallsu na rijeci Niagara, u

dravi New York, SAD 1897. godine.

Prva faza razvoja elektroenergetskih sustava izmjenine struje bila je slina ve postojeim sustavima istosmjerne

struje, tj. pojedine lokalne elektrane su napajale vlastita, izolirana potroaka podruja, ali su ona, zbog mogunosti

postizanja veih udaljenosti prijenosa s izmjeninim strujama visokog napona, bila znatno vea nego u sluaju izoliranih

potroakih podruja napajanih elektranama istosmjerne struje na niskom naponu.

U daljnjem razvoju sustava izmjeninih struja, zbog poveanja sigurnosti pogona i pouzdanosti isporuke elektrine

energije potroaima, dolazi do sinkronizacije susjednih, do tada izoliranih potroakih podruja, koja su u stalnom

paralelnom radu formirala elektroenergetske sustave. Ovi sustavi su u sluaju velikih gradova imali i vei broj ranije

izoliranih elektrana raznih snaga, tako da u ovoj drugoj fazi postupno dolazi da poveanja njihovih snaga (i snaga

proizvodnih jedinica). To povoljno utjee na smanjenje investicionih i eksploatacionih trokova, ime se postiu bolji

ekonomski efekti zbog okrupnjavanja elektroenergetskog sustava na veim geografskim teritorijima. U ovoj fazi se poinju

primjenjivati srednjevisoki naponi do 60 kV kao osnovni distributivni naponi.

Trea faza razvoja elektroenergetskih sustava zapravo predstavlja nastavak druge faze: susjedni lokalni

elektroenergetski sustavi se povezuju meusobno i stvaraju regionalne elektroenergetske sustave, koji pokrivaju teritorije

dijelova pojedinih drava. Efekti ovog povezivanja lokalnih u regionalne elektroenergetske sustave su, slino kao u drugoj

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

3

fazi razvoja, bili u daljnjem poboljavanju ekonomije i pouzdanosti pogona, a tehniki, u poveanju jedininih snaga

generatora i povienju napona za regionalne prijenosne sustave do nivoa 110 kV.

etvrtu fazu karakterizira meusobno povezivanje regionalnih elektroenergetskih sustava i stvaranje interkonekcija,

ili jedinstvenih sustava na nivou pojedinih drava. Pri tome su koriteni vii prijenosni naponi (reda 220-400 kV), koji su

omoguavali koritenje jeftinih hidroelektrana, obino udaljenih od centara potronje, tako da se u ovoj fazi stvaraju jake

nacionalne prijenosne mree, s nominalnim naponima do 400 kV. Jedinine snage i snage elektrana i dalje rastu, u skladu s

tehnolokim napretkom i ekonomskim zahtjevima izgradnje i eksploatacije sustava.

Razvoj elektroenergetskih sustava nije zaustavljen sa stvaranjem nacionalnih interkonekcija u etvrtoj fazi. Zbog

sezonskih i dnevnih neravnomjernosti dijagrama potronje uvijek se pojavljuju povremeni vikovi ili manjkovi energije pri

uravnoteivanju proizvodnje i potronje elektrine energije na nivou pojedinih drava. Logino je bilo da se susjedi kod kojih

se u odreenim periodima tijekom godine pojavljuju bilanne neuravnoteenosti suprotnog predznaka ponu meusobno

pomagati. Tako dolazi do stvaranja regionalnih meunarodnih interkonekcija povezivanjem i paralelnim radom

elektroenergetskih sustava susjednih zemalja, to karakterizira petu fazu razvoja elektroenergetskih sustava.

esta i posljednja faza se sastoji u povezivanju i paralelnom radu regionalnih meunarodnih interkonekcija u

kontinentalne interkonekcije, kao to su UCPTE i MIR u Europi, ili CANUSE u Americi.

UCPTE (sada UCTE) osnovana 1951. godine (osam drava). Pinst = 336 GW krajem 90-tih.

Tablica Pregled faza razvoja elektroenergetskih sustava

I faza svaka elektrana napaja vlastito podruje

II

faza

stvaranje lokalnih elektroenergetskih sustava sinkronizacijom susjednih elektrana na distributivnom naponu

III

faza

stvaranje regionalnih elektroenergetskih sustava povezivanjem susjednih lokalnih sustava na srednjevisokim

distributivnim naponima

IV

faza

stvaranje nacionalnih elektroenergetskih sustava povezivanjem svih energetskih regija unutar pojedinih drava i

formiranje jakih prijenosnih mrea visokog napona

V

faza

povezivanje elektroenergetskih sustava susjednih zemalja, radi meusobne ispomoi u okviru regionalnih

meudravnih interkonekcija

VI

faza

stvaranje kontinentalnih elektroenergetskih sustava povezivanjem postojeih regionalnih meudravnih

interkonekcija

Interkonekcije se po nainu rada dijele na sinkrone i asinkrone. Sinkrone interkonekcije se ostvaruju povezivanjem

elektroenergetskih sustava iste frekvencije, preko spojnih vodova visokih napona (VN; VVN; UVN) izmjenine struje. Takvi

sustavi nakon sinkronizacije rade sinkrono, istom frekvencijom.

Asinkrono povezivanje omoguava stvaranje interkonekcije u kojoj svaki povezani dio radi s vlastitom

frekvencijom, koja je neovisna o frekvenciji ostalih uesnika u interkonekciji. Obino se izvode pomou istosmjernih vodova

visokog napona, kada sustavi koji su povezani imaju razliite nazivne frekvencije (sluaj internog povezivanja nekih sustava

u Meksiku, Japanu i Brazilu, ili Saudijske Arabije sa susjednim zemljama Zaljeva, ili pri povezivanju otoka s kopnom gdje je

istosmjerni spojni vod jeftiniji od trofaznog izmjeninog (Velika Britanija Francuska, vedska Gotland), odnosno pri

meusobnom povezivanju velikih interkonekcija, koje se tehniki ne mogu povezati u sinkronu interkonekciju (vedska

Danska, Norveka Danska, Rusija Finska).

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

4

2.1.2. Tehnike i ekonomske prednosti okrupnjavanja elektroenergetskih sustava

Stvaranje elektroenergetskih sustava, od samog poetka tog procesa, bilo je povezano s neophodnou rjeenja niza

sloenih tehnikih i ekonomskih problema, vezanih za sigurnost, pouzdanost i ekonomiju pogona. Ekonomske prednosti rada

u velikim interkonekcijama su jako ubrzale njihov razvoj.

Glavne tehnike i ekonomske prednosti okrupnjavanja elektroenergetskih sustava mogu se svrstati u deset toaka.

1. Poveanje pouzdanosti isporuke elektrine energije potroaima. Ova prednost postie se kroz efekte meusobne

ispomoi sustava u paralelnom radu, koja je neophodna pri pojavi iznenadnih kvarova na proizvodnim agregatima,

nedostatka vode na hidroelektranama, ili goriva na termoelektranama u pojedinim sustavima. Razliitost oblika

dijagrama potronje, a posebno neistovremenost vrnih optereenja, omoguuju da se, osim ve spomenute havarijske

ispomoi, elektrina energija razmjenjuje i planski, ime se postiu uzajamno povoljni ekonomski efekti, posebno pri

pojavi vikova u hidroelektranama u nekom od sustava u zajednikom paralelnom radu. Poveanje pouzdanosti

pogona sustava naroito je vidljivo u prvim etapama razvoja elektroenergetskih sustava, pri objedinjavanju veeg

broja malih agregata u zajedniki sustav. Pouzdanost rada samih agregata i elektrana poveavala se s porastom

njihovih jedininih snaga i tehnikim usavravanjem konstrukcija, a pouzdanost elektroenergetskih sustava s

poveanjem njihove ukupne instalirane snage.

2. Poveanje jedininih snaga proizvodnih agregata. Doputena snaga najveeg proizvodnog agregata, u skladu sa

zahtjevima rezerve i minimuma neisporuene energije zbog nepredvienih zastoja, obino ne smije prijei 6-8%

ukupne instalirane snage u sustavu. To znai da se s poveanjem snage elektroenergetskog sustava, poveava i

dozvoljena jedinina snaga agregata, a time se smanjuju njihovi specifini investicioni trokovi i poboljavaju svi

drugi tehniko-ekonomski pokazatelji eksploatacije sustava.

3. Snienje trokova proizvodnje stvaranjem velikih elektroenergetskih sustava. U velikim interkonekcijama su

mogui: bolje iskoritenje najekonominijih elektrana, izbjegavanje preljeva na protonim hidroelektranama i

ekonominiji rad termoelektrana-toplana. Krajnji efekt je smanjenje specifinih cijena proizvedene energije.

4. Smanjenje regulacijske, havarijske, remontne i ukupne operativne rezerve. Za propisanu (ciljnu) pouzdanost

pogona elektroenergetskog sustava, neophodno je osigurati odgovarajue veliine raznih tipova rezervi proizvodnih

kapaciteta. Sve te rezerve se relativno smanjuju s poveanjem snage elektroenergetskog sustava. Direktna posljedica

je smanjenje investicijskih i eksploatacijskih trokova u velikim sustavima, odnosno ekonominiji rad nego u sluaju

sustava manje veliine.

5. Bolje iskoritenje akumulacijskih hidroelektrana i njihovo potiskivanje u podruje vrnog dijela dijagrama

optereenja. U povezanom radu moe se osigurati ravnomjernije optereenje termoelektrana i toplana u baznom

dijelu dijagrama optereenja (ime se postie bolje iskoritenje goriva), dok se akumulacijske hidroelektrane koriste u

promjenjivom (varijabilnom) dijelu dijagrama optereenja, za to su one konstruktivno pogodnije. Krajnji efekt je

ukupno poboljanje ekonominosti eksploatacije sustava.

6. Smanjenje vrnih snaga i poveanje faktora optereenja. Povezivanjem manjih elektroenergetskih sustava u vee

interkonekcije, relativno se smanjuje vrno optereenje u odnosu na aritmetiki zbroj maksimuma pojedinanih

sustava, a za istu ukupnu isporuenu energiju poveava se faktor optereenja sustava. Ova pojava je posljedica razlika

u obliku dijagrama optereenja pojedinih sustava, neistovremenosti i razne duljine trajanja njihovih maksimuma. I

ovo vodi k opem poboljanju ekonominosti eksploatacije elektroenergetskog sustava.

7. Olakavanje remonata. Prisutnost raznih tipova elektrana u velikim sustavima znatno olakava planiranje i

izvoenje remonata, kako zbog opeg relativnog smanjenja potrebne remontne rezerve, tako i zbog racionalnijeg

koritenja specijaliziranih remontnih ekipa, alata i pribora.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

5

8. Mogunost breg uklanjanja abnormalnih pogonskih stanja. U veim elektroenergetskim sustavima, zbog

razvijene prijenosne mree, mogue je uspjenije djelovati pri raznim pojavama abnormalnosti, ime se smanjuju

trajanja abnormalnih stanja i gubici zbog prekida napajanja potroaa. Jednostavnija je i primjena protuhavarijske

zatite i automatike sustava.

9. Ekonominija realizacija i efikasnije koritenje sustava za regulaciju frekvencije, snaga razmjene i napona.

Ovi, u osnovi sloeni sustavi automatizacije, ostvaruju se jeftinije i bolje koriste u veim nego u manjim sustavima,

to povoljno utjee na njihovu sigurnost i ekonominost.

10. Usklaivanje planova razvoja i blia tehnika suradnja. Suradnja izmeu strunjaka elektroprivrednih poduzea

sustava uesnika u interkonekciji, razmjena iskustva i konzultacije po raznim pitanjima od interesa, pogoduju brem

tehnikom napretku svih uesnika u interkonekciji, a usklaivanje planova razvoja do daljnjih novanih uteda u

izdacima za investicije i eksploataciju sustava.

Povezivanje elektroenergetskih sustava uzrokuje, s druge strane, ove potekoe: a) poveava se snaga kratkog spoja,

pogotovo ako su posrijedi spojni vodovi za prijenos velike snage (najvea poveanja snaga kratkog spoja pojavljuju se u

rasklopnim postrojenjima na krajevima spojnog voda), b) u spojnom vodu nastaju oscilacije snage koje mogu zbog djelovanja

regulatora frekvencije biti tolike da dovode do preoptereenja spojnog voda i do njegova isklapanja i uslijed toga do manjka

snage u sustavu koji u tom momentu preuzima energiju, c) pogorava se stabilnost povezanih sustava, pogotovo ako su im

spojni vodovi vee duljine i male prijenosne moi i d) kvar u jednom sustavu moe negativno utjecati na prilike u drugom

sustavu. Zbog toga se smatra da treba, kad se povezuju elektroenergetski sustavi, izgraditi kratke i snane spojne vodove,

ugraditi u svim elektranama brze regulatore broja okretaja i napona, te ugraditi na spojnim vodovima brze zatitne ureaje za

isklapanje kratkih spojeva.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

6

1884. Poetna elektrifikacija i prve istosmjerne elektrane u Hrvatskoj

1895. Prvi izmjenini elektroprivredni sustav (proizvodnja, prijenos i distribucija) HE Krka, ibenik. Dan putanja u pogon sustava (28. kolovoza) je Dan Hrvatske elektroprivrede

1906. Prvi trofazni vod 30 kV HE Manojlovac (na Krki), ibenik

1912. Izgraena HE Kraljevac na rijeci Cetini kraj Omia, tada meu najveima u Europi Prvi kombinirani izmjenini sustav HE-TE Kuzmica kraj Poege

1925. "Ante upuk i sin" iz ibenika meu osnivaima UNIPEDE (Meunarodne udruge proizvoaa i distributera elektrine energije)

1937. Osnivanje Banovinskog elektrinog poduzea (BEP)

1941. Osnivanje Dravnog elektrinog poduzea (DEP)

1943. Izgradnja prvog 110 kV dalekovoda Rakitje (Zagreb) - Brestanica (Slovenija)

1945. Osnivanje Elektrinog poduzea Hrvatske (ELPOH)

1954. Osnivanje Zajednice elektroprivrednih poduzea Hrvatske (ZEPH)

1957. Prvi sinkroni rad zapadnog i sredinjeg sustava putanjem u pogon voda 110 kV Zagreb - Jajce (BiH)

1961. Osnivanje Poslovnog udruenja poduzea za distribuciju elektrine energije Hrvatske (ELDIH)

1962. Prvi vod superponirane mree napona 220 kV HE Zakuac (Split) - Brinje - Mraclin (Zagreb)

1965. Osnivanje Udruene elektroprivrede Hrvatske

1967. Prvo daljinsko upravljanje u RS Lozovac iz TS Bilice (ibenik)

1974. Osnivanje Zajednice elektroprivrednih organizacija Hrvatske (ZEOH)

1977. Prva 400 kV TS Ernestinovo (Osijek); prvi vod 400 kV Ernestinovo - Mladost

1978. Sjeverna magistrala superponirane mree 400 kV Ernestinovo - Zagreb - Krko

1981. Poetak rada Nuklearne elektrane Krko

1985. Uvoenje Centra daljinskog upravljanja (CDU) Tumbri kod Zagreba

1990. Osnovano Javno poduzee Hrvatska elektroprivreda (HEP) za proizvodnju, prijenos, distribuciju elektrine energije i upravljanje elektroenergetskim sustavom

1991. HEP prekida sve poslovne odnose sa ZJE (JUGEL) Teka ratna razaranja elektroenergetskih objekata HEP primljen za stalnog lana UCPTE i SUDEL-a

1992. Puten u pogon 400 kV dalekovod TS Meline (Rijeka) - TS Tumbri (Zagreb)

1993. Miniranje brane Perua. Velika ogranienja u opskrbi elektrinom energijom u Dalmaciji. Instaliranje oko 120 MW dizelskih i plinskih elektrana.

1994. U pogonu nulta faza otone veze 110 kV TS Melina (Rijeka) - Krk - Rab - Pag - Zadar Hrvatska elektroprivreda postaje dioniko drutvo u vlasnitvu Republike Hrvatske

1995. Zavrena sanacija i dogradnja brane Perua

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

7

Nakon osloboenja popravljen DV 400 kV Melina - Obrovac - Konjsko Hrvatska elektroprivreda d.d. usklaena sa Zakonom o trgovakim drutvima

1996. S RWE Energie iz Essena osnovan TE Plomin d.o.o. HEP predstavio Izjavu o temeljnim naelima zatite okolia

1997. Podunavlje reintegrirano u hrvatski elektroenergetski sustav HEP dobio meunarodni investicijski kreditni rejting HEP dobio sindicirani meunarodni kredit u iznosu od 120 milijuna DEM

1998. Putena u pogon plinska elektrana (2x26 MW) na lokaciji EL-TO Zagreb

1999. U pogonu dvostruki DV 400 kV erjavinec / Tumbri (Zagreb) - Heviz, Maarska

2000. S komercijalnim radom poela TE Plomin 2 (210 MW)

2001. Dovrena izgradnja novog bloka TE-TO Zagreb (210 MW) HEP postao samostalni lan UCTE

2002. Zapoela izgradnja TS 400/220/110 kV erjavinec (Zagreb) i obnova TS 400/110 kV Ernestinovo (Osijek) Hrvatska elektroprivreda zapoela poslovati kao HEP grupa, stupio na snagu novi Tarifni sustav za usluge elektroenergetskih djelatnosti koje se obavljaju kao javne usluge .

2003. HEP dobio nagradu za zatitu okolia kao drutvena tvrtka odgovorna za razvoj i unaprjeenje zatite okolia u Republici Hrvatskoj, Kombi kogeneracijsko postrojenje TE-TO u lipnju zapoelo komercijalni rad, utvrene naknade za koritenje prijenosne i distribucijske mree i od. 1. studenog kupci koji troe vie od 40 GWh godinje mogu birati svog dobavljaa elektrine energije, sve hidroelektrane HEP-a dobile "Zeleni certifikat" , zavrena obnova TS Ernestinovo i prateih dalekovoda

2004. U pogonu obnovljena TS 400/110 kV Ernestinovo (Osijek) U probni pogon putena TS 400/220/110 kV erjavinec (Zagreb) Iz sjedita HEP-a u Zagrebu upravljano rekonekcijom 1. i 2. zone UCTE-a (10. listopada) Na 1. Saboru zatite potroaa HEP dobio priznanje za zatitu potroaa Hrvatski sabor donio Zakon o izmjenama i dopunama Zakona o energiji, novi Zakon o tritu elektrine energije i Zakon o regulaciji energetskih djelatnosti (3. prosinca)

2005. Proglaena Godina zatite na radu u HEP-u Utemeljen HEP Operator prijenosnog sustava d.o.o. i Hrvatski operator trita energije d.o.o. (4. travnja) Zapoele pripreme za izgradnju HE Lee i Kombi kogeneracijskog bloka L u TE-TO Zagreb Putena u rad prva hrvatska komercijalna vjetroelektrana Ravna na Pagu Potpisan Ugovor o Energetskoj zajednici izmeu EU i skupine zemalja jugoistone Europe Potpisani ugovori o meusobnim odnosima izmeu vladajueg drutva HEP-a d.d. i ovisnih drutava (30. prosinca)

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

8

2.2. Elektrane u Hrvatskoj

Potronja je u 2004. godini podmirena proizvodnjom hidroelektrana (7.001 GWh), termoelektrana (4.069 GWh), nabavom iz TE Plomin d.o.o. (1.320 GWh) i NE Krko (2.606 GWh) i uvozom (1.110 GWh).

U travnju 2003. godine HEP je ponovno, nakon skoro pet godina, poeo preuzimati elektrinu energiju iz NE Krko. Oekivana godinja proizvodnja NE Krko za HEP je priblino 2,5 TWh elektrine energije.

Iste je godine poelo i preuzimanje elektrine energije od Elektroprivrede Bosne i Hercegovine temeljem ulaganja u TE Tuzla i TE Kakanj, koje je prekinuto 1993. godine. Tako e u est godina HEP preuzeti 5,220 GWh elektrine energije. Oekuje se rjeenje i za TE Obrenovac (Elektroprivreda Srbije) i TE Gacko (Elektroprivreda Republike Srpske)

Proizvodnja elektrine energije od 1. srpnja 2002. godine obavlja se u tvrtki HEP-Proizvodnja d.o.o. U Hrvatskoj je ukupno 2.079MW hidrokapaciteta rasporeenog u 25 hidroelektrana. Ukupno 1.373 MW kapaciteta (bez TE Plomin 2) je u osam termoelektrana koje kao pogonsko gorivo koriste loivo ulje, prirodni plin i ugljen. Neke od njih u spojenom procesu proizvode elektrinu i toplinsku energiju i ine okosnicu centraliziranog toplinskog sustava Zagreba i Osijeka.

HEP OPERATOR DISTRIBUCIJSKOG SUSTAV d.o.o.

U podruju visokog napona - 400, 220 i 110 kV u 2004. godini je bilo 141 rasklopnih postrojenja od 13.696 MVA u vlasnitvu Hrvatske elektroprivrede. Na visokonaponskoj razini ukupno je 6.962 kilometara vodova.

Stanje u Hrvatskoj 31.12.1989.

HE i PAHE 22 2025 MW

TE 7 1285 MW

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

9

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

10

Red.broj Trgovako drutvo Broj radnika %

1. HEP-Distribucija d.o.o. 10162 68,79

2. HEP-Proizvodnja d.o.o. 2399 16,24

3. CS Buko Blato d.o.o. 42 0,28

4. HEP-Prijenos d.o.o. 1208 8,18

5. HEP d.d. 425 2,88

6. HEP-Toplinarstvo d.o.o. 378 2,56

7. HEP Toplinarstvo - Sisak 4 0,03

8. HEP Plin d.o.o. 132 0,89

9. Hrvatski nezavisni operator sustava i trita d.o.o. 12 0,08

10. HEP-ESCO d.o.o. 10 0,07

Ukupno HEP GRUPA 14,772 100.0

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

11

U 2005. godini hidroelektrane HEP Proizvodnje d.o.o. proizvele su 6386 GWh, a termoelektrane 3694 GWh. HEP Proizvodnja d.o.o. ima ugovor o voenju i odravanju postrojenja TE Plomin 2, u kojem je proizvedeno 1458 GWh.

Hidroelektrane

Naziv Snaga, MW

1. HE Varadin 86

2. HE akovec 82

3. HE Dubrava 80

4. HE Rijeka 36

5. HE Vinodol 84

6. HE Senj 216

7. HE Gojak 48

8. HE Ozalj 5.2

9. RHE Velebit 286

10. HE ale 40.8

11. HE Kraljevac 68

12. HE Orlovac 237

13. HE Zakuac 476

14. HE Perua 41.6

15. HE na Krki 0.3

16. HE Dubrovnik 216

Termoelektrane

Naziv Snaga, MW

1. EL_TO Zagreb 87/300

2. TE_TO Osijek 92

3. KTE Jertovec 103

4. TE-TO Zagreb 337/400

5. TE Plomin 1 185

6. TE Rijeka 320

7. TE Sisak 420

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

12

3. Parametri i performanse primarne regulacije frekvencije

u otonom EES

Regulacijska energija samoregulacije i primarne regulacije frekvencije. Numeriki primjer. Principijelne sheme primarne

regulacije frekvencije. Postavna vrijednost i statizam proizvodnje. Odreivanje statizma regulacije prema uvjetima

stabilnosti i efikasnosti. Varijacije potronje i potrebna regulacijska rezerva.

3.1. Regulacijska energija samoregulacije i primarne regulacije frekvencije

Sl. 3.1. Snaga-frekvencija u otonom pogonu

FDFPFFPFP LL ++= )()()( 00

dF

dPD LL = 0FFF =

GGGGGGGG PRFPRPFPPFPF =+= 000 )()()(

G

GdP

dFR =

G

GR

FP

=

G

GGGGR

FPPPFP

=+= 00)(

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

13

DEFICIT

G

L

GLGLGL

RDDFD

RFFDPFPFPFPFP

1;P

/)()()()(

0

00

++=

=++=

> 0 usporavanje

P = 0 stacionarno stanje

< 0 ubrzavanje

Stacionarno stanje: deficit = 0

F = F; P(F) = P0 + D*F = 0 P0 = - D*F

D = DL + 1/RG regulacijska energija [MW/Hz = MWs]

F = - R * P0 R = 1/D statizam [Hz/MW]

Per unit (pu) sustav: x = X / XB; X = x . XB

PB = PN, FB = FN

DB[MW/Hz] = PB / FB = PN / F0;

Samoregulacija potronje: dL =p(f)/f = (PL/PB)/(F/FN) (PL/P)/(F/F)

d ln(PL)/d ln(F) (= elastinost potronje po frekvenciji) d ln(PL) = dL.d ln(F)

d dL.ln(F) = d ln( LdF ) ln(PL) = ln( L

dF ) + ln (k) PL = k

. Ld

F

RB = 1 / DB = F0 / PN

Pu statizam r = R / RB = (PN / F0) . R

r% = 100 . r = (100 . PN / F0) . R = 2 . PN

. R za F0 = 50 Hz,

%

21

2

%

r

P

RD

P

rR N

N

===

3.2. Numeriki primjer

Za PB = 2000 MW, F0 = 50 Hz

DB = 2000/50 = 40 MWs

Izvor: R.S. Rabinovi: Avtomatieskaja astotnaja razgruzka energosistem, Moskva, Energija, 1980, Tablice 1-

1,2, str. 31-32 (SSSR i inozemstvo).

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

14

Per unit (pu) samoregulacijska energija (sa i bez utjecaja pratee promjene napona).

Raspon 0.4 3.9

Najee vrijednosti (dnevni prosjeci za SAD u 1947.) 1.8 2.5

U procjenama raunati s dL = 2.

DL = dL . DB = 2

. 40 = 80 MWs

RB = 1 / DB = 1/ 40 = 0,025 Hz/MW

Pu statizam samoregulacije rL = 1/dL = , rL% = 100. rL = 50%

Statizam samoregulacije RL = rL. RB = 0.5

.0,025 = 0,0125 Hz/MW (= 1/DL = 1/80)

Statika greka frekvencije bez dodatne regulacije F = - RL.P0 = -P0 / 80 Hz

3.3. Principijelne sheme primarne regulacije frekvencije

Sl. 3.2. Principijelna shema primarne regulacije frekvencije u stacionarnom stanju

kP

FF

P

FF

P

F

dP

dF

DR

pa

pa

pa

pa

a

a =

=

=

===

00

0

1

Jednadba pravca koji prolazi kroz zadanu toku (x1 , y1 ): ( )11 xxkyy = , paFyx == 11 ;0

( ) aaaapa PRPRFF == 0

tj. jednadba pravca kroz toku (0 ,Fpa) s nagibom -Ra , ili

( ) apaa RFFP /)(0 = .

.

Statika snaga agregata Pa ovisi o frekvenciji sustava F po jednadbi pravca kroz toku (Fpa,0) s nagibom 1/Ra.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

15

Sl. 3.3.. Statizam primarne regulacije

Za PNa = 200 MW, ra% = 5%, F0 = 50 Hz, RF

Prr N

==

0

100100%

MWHzr

P

FR

N

a /0125.0100

5

200

50

100

%0 ===

Postavna vrijednost snage: Ppa = Pa(F0) = (Fpa F0)/Ra .

Ili : Fpa = F0 + Ppa.Ra .

Za Pa = 100 MW : Fpa = 50 + 100.0,0125 = 51.25 Hz .

Promjena bazne toke u toku (Ppa, F0): 011 ; FyPx pa == ; ( )11 xxkyy =

( )paaa PPRFF = 0

Sl. 3.4. Modificirana principijelna shema primarne regulacije frekvencije u stacionarnom stanju s baznom tokom (F0, Ppa)

(po formuli Pa - Ppa = -(F - F0)/Ra)

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

16

3.4. Postavna vrijednost i statizam proizvodnje

PG = a Pa a = 1,..,Na

=

==

==

==

=

a aGa a

pa

a

paG

G

G

a aa

paG

a

pa

a

paa

a

aG

RRR

FFPP

FR

PR

FPFP

FR

PFFR

PP

PP

11;

11)(

1)(

1

00

0

0

Za Pu. statizmi agregata ra = r :

rRF

Pr

PPFr

P

F

P

rRR

GN

G

a a

NaNNNa

aa aG

==

====

0

00

;111

Sl. 3.5. Statizam proizvodnje u p.u.

3.5. Odreivanje statizma regulacije prema uvjetima stabilnosti i efikasnosti

Stabilnost distribuirane primarne regulacije zahtijeva ogranienje pojaanja regulatora frekvencije po principijelnoj

shemi na Sl. 3.2. odnosno donju granicu statizma ra rmin .

Efikasnost: statika greka frekvencije bi trebala biti barem za red veliine manja od statike greke zbog

samoregulacije frekvencije uslijed ovisnosti potronje o frekvenciji.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

17

ra < rL/10

Za rL 0.5 izlazi ra < 0,05

UCPTE preporuke ra = 0,04 0,05

Numeriki primjer:

EE sustav s PN = 2000 MW , rL % = 50% , sadri:

5 agregata s PNa = 200 MW, ra% = 5%

10 agregata s PNa = 100 MW, ra% = 4%.

Izraunajte regulacijsku energiju D[MWs] sustava i relativni statizam r.

Rjeenje:

21

==L

Lr

d

MWsF

P

F

PD N

B

B

B 4050

2000

0

====

MWsDdD BLL 80402 ===

MWHzD

RB

B /025.01

==

MWsrF

P

rF

P

RR a a

Na

a a

Na

a aG

1400004.0

10

05.0

540

1111

00

=

+====

MWsR

DDG

L 1408014000801

=+=+=

MWHzD

R /10102.714080

11 5===

35

10841.2025.0

10102.7

=

==BR

Rr

2841.0100% == rr

3.6. Varijacije potronje i potrebna regulacijska rezerva

Kolika je snaga potrebna za regulaciju frekvencije, odnosno kolike e se razlike snaga pojaviti izmeu ukupno potrebnog optereenja i zbroja optereenja elektrana koje rade prema zadanom voznom redu, ovisi o tonosti predvianja potranje, kvaliteti izraenog voznog reda i disciplini elektrana u odravanju toga voznog reda. Stoga, potrebna snaga za regulaciju frekvencije ovisi o kvaliteti upravljanja elektroenergetskim sustavom i ne moe se egzaktno odrediti, ali koristimo empirijsku relaciju za praktiki 100%-tnu sigurnost:

MaxR PP 3 .

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

18

4. Parametri i performanse sekundarne regulacije frekvencije i snage

razmjene

Principijelna shema sekundarne regulacije frekvencije i snage razmjene bazena. Poetne greke razmjene i regulacijski

zahtjev. Posebni sluaj za dva povezana EES-a. Potrebna snaga za regulaciju. Zahtjevi za performanse regulacije. Dodatak:

Korekcija stacionarnog regulacijskog zahtjeva. Zadaci za ponavljanje. Numeriki primjeri.

4.1. Principijelna shema sekundarne regulacije frekvencije i snage razmjene bazena

Sl. 4.1. Principijelna shema grupne sekundarne regulacije frekvencije i snage razmjene jednog bazena (Area)

Stacionarno stanje primarne regulacije frekvencije oko 10s nakon poremeaja.

Gubici uraunati u potronju: PGi = PLi + Ii; Ii razmjena (interchange).

Planirane razmjene ISi S-Scheduled .

i ISi = 0 jer se unose sa suprotnim predznacima.

Mjerenje razmjene na jednom kraju dalekovoda suma mjerenih razmjena jednaka 0.

Greke razmjene Ii = Ii - ISi .

Sekundarna regulacija frekvencije i snage razmjene: u redu veliine 1 min dovesti do F = 0 i Ii = 0. Mogue postii jer su

greke razmjena zavisne kroz jednakost sume nuli.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

19

4.2. Poetne greke razmjene i regulacijski zahtjev

Sl. 4.2. Regulacijske karakteristike

Za sinkronu interkonekciju:

I = P(F^) = 0

P0 + DF^ = 0 F^ = P0/D

gdje su:

P0 = i P0i = i (PLi(F0) - PG0i) = deficit snage interkonekcije s obzirom na potranju, na nominalnoj frekvenciji,

D =i Di = regulacijska energija interkonekcije,

P0i = PLi(F0) + ISi - PG0i = deficit snage i-tog sustava s obzirom na potranju (na nominalnoj frekvenciji)

Di = regulacijska energija i-tog sustava

Regulacijski bazen "i":

Neplanirana razmjena (greka razmjene)

Ii = Ii ISi = Pi(F^)

Pi(F^) = P0i + DiF^ = P0i Di

. P0/D

Regulacijska greka po "binomnoj formuli":

ACEi = Ii + Bi F^ = P0i +(Bi- Di)F

^ = P0i (Bi-Di). P0/D

Poetni regulacijski zahtjev:

ACEi = P0i + (Bi-Di). P0/D

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

20

4.3. Posebni sluaj za dva povezana EES-a

"Unutarnji" sustav 1 i "Vanjski" sustav 2

PG = PG1 + PG2, PL = PL1 + PL2

PG = PL I1 +I2 = 0.

Regulacijska energija interkonekcije : D = D1 + D2 .

Nominalni deficit samo u jednom sustavu npr. samo u prvom:

P02 = 0, tj. P0 = P01 + P02 = P01 .

Nominalni deficit snage interkonekcije P0 .

F = ravnoteno odstupanje frekvencije interkonekcije (deficit interkonekcije = 0).

Ravnoteno stanje:

P = P0 + DF = 0 F = P01/( D1 + D2) .

Greka razmjene drugog sustava:

I2 = P02 D2 F = 0 D2 F = D2 . P01/( D1 + D2) .

Poetni regulacijski zahtjev drugog sustava:

ACE2 = (D2 B2 )F = (D2 B2 ). P01 /( D1 + D2) = (B2 D2 )

. P01 /( D1 + D2) .

Greka razmjene prvog sustava:

I1 = - I2

= (D1 +D2 -D1). P01 /( D1 + D2) = (D1/( D1 + D2) 1)P01 .

Poetni regulacijski zahtjev prvog sustava:

ACE1 = I1 B1 F = I2 B1 F = D2 F B1F = ( B1+D2). P01/( D1 + D2).

Ukupni regulacijski zahtjev:

ACE1 ACE2 = ( B1+B2). P01/( D1 + D2).

Diskusija:

za B1 = D1 izlazi poeljno ACE1 = IN1, a za B2 = D2 izlazi ACE2 = 0. Bazen u kojem je konstanta B sekundarne

regulacije jednaka regulacijskoj energiji tog bazena ne dobiva regulacijski zahtjev zbog poremeaja izvan bazena. Udio

greke zbog odstupanja frekvencije se potpuno ponitava udjelom zbog odstupanja razmjene. U bazenu s poremeajem su

udjeli greaka zbog odstupanja frekvencije i odstupanja razmjene u ACE istog predznaka te se meusobno dopunjuju.

4.4. Potrebna snaga za regulaciju

Potrebna regulacijska rezerva proporcionalna je varijaciji potranje u intervalu samostalnog djelovanja regulacije. Za

normalnu raspodjelu varijacije rezerva je proporcionalna drugom korijenu ukupnog optereenja [2, 4]:

MaxR PP 3 .

Potrebna regulacijska rezerva je prosjeno samo 4% (u zemljama UCTE) od agregirane maksimalne snage.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

21

4.5. Zahtjevi za performanse regulacije

Glavna zadaa sekundarne regulacije je omoguavanje adekvatne regulacije dogovorene razmjene energije izmeu

povezanih partnera (EES). Ona takoer omoguuje da se, u sluaju ispada nekog agregata jednog regulacijskog bazena

(nakon zavretka prijelazne pojave primarne regulacije kad se upotrijebi primarna rezerva snage tog bazena), u roku od

nekoliko minuta neutralizira ispad i frekvencija povrati na svoju postavnu vrijednost.

Brzina regulacije bitno ovisi o tipu elektrane. Za akumulacijske hidroelektrane (koje se obino koriste za regulaciju

radne snage) brzina regulacije se kree od 0.5 do 2.5% nominalne snage agregata po sekundi. Za konvencionalne

termoelektrane to se kree od 1 do 15% po minuti. Za nuklearne elektrane u Francuskoj i Saveznoj republici Njemakoj

maksimalna brzina regulacije je priblino 5% po minuti.

4.6. Dodatak: korekcija stacionarnog regulacijskog zahtijeva

Dodatne formule

-a ACE + PBa - Pa = 0 a a = 1

Sumiranje po agregatima (elektranama) u sekundarnoj regulaciji

- ACE = PS - PBS; PS = a Pa, PBS = a PBa (2)

Stacionarni regulacijski zahtjev -ACE moe biti razliit od nule. Korekcije integralnim lanom u PI regulatoru i/ili

tercijarnom regulacijom.

Raun promjene regulacijskog zahtjeva -ACE nakon promjene bazne snage PBa uz nepromijenjenu frekvenciju (F = 0)

i zanemarenje promjene gubitaka:

= I + BF = I = (PG - PL - IS) = PG = PS (1.a)

- ACE = PS - PBS (2.a)

Zbroj (1.a) i (2.a) daje 2 PS - PBS = 0 (3)

Iz (1.a), (3) i (2) ACE = PS = 1/2 PBS = 1/2 PBa (4)

Primjena: izraunati PBa koji e ponititi stacionarni regulacijski zahtjev - ACE.

4.7. Zadaci za ponavljanje:

1) Izvesti formulu za deficit snage bazena u ovisnosti o frekvenciji sinkrone interkonekcije. 2) Izvesti formule za greku frekvencije, greku razmjene i regulacijske zahtjeve za opi sluaj deficita

potranje (P01, P02) u dva bazena. Provesti diskusiju. 1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) GGSLLGSL RFFPIFDFPFPIFPIFP /00 +++=+==

( ) ( ) FDPFRDFP GL +=++= 00 /1

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

22

4.8. Numeriki primjeri

EE Zadatak 1.1.

Dva su EES sustava u sinkronom paralelnom radu na nominalnoj frekvenciji 50 Hz . U prvom (unutarnjem) se dogodi ispad proizvodnje MW200 te se, nakon uspostavljanja kvazistacionarnog stanja po statizmu primarne regulacije zajednika frekvencija smanji za %5,0 . Regulacijski zahtjev prvog sustava se povea za MW180 uz konstantnu

sekundarne regulacije 1B MWs100= . Promjene gubitaka u mrei se zanemaruju. Izraunajte:

a) zajedniku regulacijsku energiju D [ ]MWs ; b) promjenu razmjene [ ]MW ; c) regulacijsku energiju D2 [ ]MWs drugog (vanjskog) sustava; d) regulacijsku energiju D1 [ ]MWs prvog (unutarnjeg) sustava; e) regulacijski zahtjev 2ACE drugog sustava ako je MWsB 7002 = .

010 200 PMWP == ; 002 =P ; HzF 500 = ; MWACE 180=

HzFp

Fp 25,050100

5,0

100%5,0 0 =

===

a)

MWHzD

R

MWsF

PDDD

/00125,0800

11

80025,0

200021

===

=

=

=+=

b)

MWI

MWFBACEI

FBIACE

155

155)25,0(100180

2

111

111

=

===

=

c)

MWsF

PD

MWPPPPPP

MWIPP

62025,0

155

155)45(200

45155200

22

102210

101

=

=

=

===+=

=+==

d)

F

PMWsDDD

DDD

====

+=

121

21

180620800

e)

MWFBIACE 20)25,0(700155222 ===

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

23

EE Zadatak 1.2.

Za dva EES u sinkronom paralelnom radu na Hz50 je poznato MWP N 12001 = ; MWP N 50002 = ; konstante

sekundarne regulacije MWsB 1001 = ; MWsB 6002 = , te se pretpostavlja jednakost relativnih statizama frekvencije. Ako se, nakon ispada proizvodnje MW200 u drugom sustavu, uspostavi kvazistatiko stanje primarne regulacije na frekvenciji nioj za %5,0 od nominalne vrijednosti izraunajte:

a) relativne statizme rrr == 21 ;

b) regulacijske energije [ ]MWsDD 21 , oba sustava nakon ispada; c) poetne regulacijske zahtjeve 1ACE i 2ACE u sekundarnoj regulaciji frekvencije i snage razmjene.

P0 = P02 = 200 MW F0 = 50 Hz

a) HzFp

F 25,050100

5,0

100 0=

==

21

2101 11800

25,0

200

RRDDMWs

F

PD +=+==

=

=

MWHzP

FR

N

B /041666.01200

50

1

01 ===

MWHzP

FR

N

B /01.05000

50

2

02 ===

24.05000

1200

2

1

1

0

2

0

2

1 ====N

N

N

N

B

B

P

P

P

F

P

F

R

R

21 rr =

2

2

1

1

BB R

R

R

R=

221

2

1

24.01

RRR

R

R B

B =

( ) 800124.01124.0

222

=+=+RRR

MWHzR /1055.1800

24.1 32

==

MWHzR

R /10458.624.0

1055.1

24.03

32

1

=

==

155.0041666.0

10458.6 3

1

11 =

==

BR

Rr

155.001.0

1055.1 3

2

21 =

==

BR

Rr

b) MWsR

D 84.1541

11 == MWs

RD 16.645

1

22 ==

c) MWPD

DBPACE 71.13200

800

84.15410000

11011 =

+=

+=

MWPD

DBPACE 71.188200

800

16.6456002000

22022 =

+=

+=

( ) 1111011 71.3825.084.1540 IIIFDPI S =====

( ) 2222022 71.3825.016.645200 IIIFDPI S =====

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

24

EE Zadatak 1.3.

Sekundarnu regulaciju frekvencije i snage razmjene EES-a obavljaju dvije elektrane sa zadanim postavnim

vrijednostima baznih snaga: MWPb 801 = ; 3

2;

3

1;150 212 === MWPb . U stacionarnom stanju

uspostavi se regulacijski zahtjev MWACE 80= na nominalnoj frekvenciji. Treba: a) nacrtati principijelnu shemu sekundarne regulacije s unesenim zadanim vrijednostima i izraunatim vrijednostima

snaga elektrana; b) izraunati promjene baznih snaga elektrana u omjeru koeficijenta uea u regulaciji tako da se statiki regulacijski

zahtjev dovede na 0 uz nepromijenjenu frekvenciju sustava i zanemarenje promjene gubitaka; c) unijeti rezultate iz b) u novu principijelnu shemu kao pod a).

a)

MWP

P

PACEP

PPACE

B

B

6.106

808031

1

1

111

111

=

+=

+=

=

MWP

P

PACEP B

3.203

1508032

2

2

222

=

+=

+=

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

25

MWP

P

PPPP

S

S

a

aS

310

3.2036.106

21

=

+=

+==

15080230

80310

+==

=

+=

=

MWP

P

ACEPP

PPACE

BS

BS

SBS

BSS

b)

1111

111 0

PACEPP

PPACE

b

b

=+=

=+

2222

222 0

PACEPP

PPACE

b

b

=+=

=+

2121

0

bb

BSS

BSS

PPPP

PP

PPACE

+=+

=

=

MWP

MWP

MWPPIPP

IFBIACEa

b

b

SGSLG

3.53803

2

6.26803

1

80)(

)1(

2

1

==

==

====

==+=

MWPPP

MWPPP

bbb

bbb

3.2033.53150

6.1066.2680

22'2

11'1

=+=+=

=+=+=

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

26

5. Linearne funkcije od vie realnih varijabli (matrini raun)

Linearne funkcije iz R u R . Vektorski prostori nad poljem skalara R. Sustavi linearnih jednadbi od vie varijabli. Linearne,

bilinearne i kvadratne forme.

Sustav od dvije linearne jednadbe

Treba rijeiti sustav jednadbi [10]:

=+

=+

dycx

byax

Pomnoimo prvu jednadbu s d, a drugu s b i zbrojimo:

( ) +=+=+

bdycx

dbyax

( ) bdcbadxbdcbxadx

=

=

Ako je ad-bc 0 , onda je:

cbad

bdx

=

.

Uvrstimo li tako dobiveni x u bilo koju jednadbu, i izraunamo y, dobit emo:

cbad

cay

=

.

Vidi se da je u oba sluaja u nazivniku isti broj, dobiven na odreeni nain iz koeficijenata uz nepoznanice. Taj broj se

zapisuje ovako:

bcaddc

ba=

i zove se determinanta 2. reda. U brojnicima se nalaze brojevi koji su dobiveni na slian nain, ali koritenjem lanova s

desne strane jednakosti, pa ako uvedemo oznake:

c

aD

d

bD

dc

baD yx === ,, ,

onda rjeenje gornjeg sustava moemo zapisati ovako:

D

Dy

D

Dx

yx == , .

Ovo pravilo za raunanje nepoznanica x, y zove se Cramerovo pravilo. Ono se moe primijeniti samo ako je D 0.

Primjer: 2.008.01.0

3.002.025.0

=+

=+

yx

yx

0018.002.01.008.025.008.01.0

02.025.0===D ,

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

27

02.002.02.008.03.008.02.0

02.03.0===xD ,

02.03.01.02.025.02.01.0

3.025.0===yD .

Dobivamo: yD

Dx x ==== 111.1

018.0

02.0.

Sustav od tri linearne jednadbe

Slino razmatranje moemo provesti kada treba rijeiti sustav:

=++

=++

=++

zcycxc

zbybxb

zayaxa

321

321

321

(a) .

Ako je 0123213312132231321 ++ cbacbacbacbacbacba ,

onda se rjeenje sustava moe napisati slino onome kod sustava s dvije jednadbe. U tu svrhu definiramo broj:

123213312132231321

321

321

321

cbacbacbacbacbacba

ccc

bbb

aaa

D ++==

koji se zove determinanta 3. reda. Ona se moe izraunati pomou determinanti 2. reda na sljedei nain (Laplaceov

razvoj determinante po prvom redu):

21

213

31

312

32

321

321

321

321

cc

bba

cc

bba

cc

bba

ccc

bbb

aaa

+= .

Pravilo je sljedee: elementi nekog retka (stupca) mnoe se sa subdeterminantama, koje nastaju tako da se prekrii redak i

stupac u kojem se nalazi dotini element. Osim toga elementu se mijenja predznak, ako se nalazi na neparnom mjestu u

determinanti. Neparnost mjesta se odreuje tako da se zbroje redni brojevi retka i stupca u kojem se nalazi element .

Koristei determinante 3. reda, rjeenje sustava (a) je dano formulama:

D

Dz

D

Dy

D

Dx z

yx === ,, ,

gdje je:

21

21

21

31

31

31

32

32

32

,,

cc

bb

aa

D

cc

bb

aa

D

cc

bb

aa

D zyx === .

Ovo pravilo za raunanje nepoznanica x, y, z i u ovom se sluaju zove Cramerovo pravilo, a daje rjeenje ako je 0D .

Primjer: za sustav

3473

10532

322

=++

=++

=++

zyx

zyx

zyx

dobivamo 173

322

43

522

47

531

473

532

221

=+==D .

Na slian nain dobivamo Dx = 3, Dy = -2, Dz = 2, pa je rjeenje x = 3, y = -2, z = 2.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

28

Svojstva determinanti

1. Ako su svi elementi nekog retka ili stupca nule, onda je determinanta jednaka nuli.

2. Ako su ispod ili iznad glavne dijagonale nule, onda je determinanta jednaka produktu brojeva na glavnoj dijagonali.

(Glavna je dijagonala ona koja ide iz lijevog gornjeg do desnog donjeg kuta.)

3. Ako dva stupca ili dva retka zamijene mjesta, onda determinanta mijenja predznak.

4. Ako su dva stupca ili dva retka jednaka, onda je determinanta jednaka nuli.

5. Ako nekom stupcu ili retku dodamo neki drugi stupac ili redak pomnoen brojem, onda se determinanta ne mijenja.

6. Determinanta se mnoi brojem tako da se neki redak ili stupac pomnoi tim brojem.

Matrice i determinante

Pojam matrice

Shemu brojeva:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

....

.

.

.

.

.

.

....

...

21

22221

11211

zovemo pravokutnom matricom tipa (m, n) ili jednostavno matricom tipa (m, n). Ako je m = n , onda kaemo da je A

kvadratna matrica reda n. Elementi ai1 , ai2 , ..., ain ine i-ti redak, dok a1j , a2j , ..., amj ine j-ti stupac; dakle aij je element

matrice, koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu.

S Mmn oznaavamo skup svih matrica tipa (m, n). Ako je m = n , onda se pie Mn umjesto Mnn .

Matricu emo krae zapisivati ovako: A = [aij] . Matrica je realna ako su svi elementi aij realni.

Operacije s matricama

Jednakost matrica. Za dvije matrice A = [aij] i B = [bij] istog tipa kaemo da su jednake ako je aij = bij, za svaki i, j.

Zbrajanje matrica. Zbrajati moemo samo matrice istog tipa. Neka su A = [aij] i B = [bij] matrice istog tipa (m, n).

Zbroj A + B je matrica takoer tipa (m, n), takva da je A + B = [aij + bij ] .

Primjer: zbrojite matrice

=

=

87

65

43

21BiA .

=

++

++=

+

1210

86

8473

6251

87

65

43

21.

Mnoenje matrice brojem. Umnoak matrice A = [aij] i broja je matrica A = [ aij] istog tipa kao i A.

Primjer: izraunajte 3A-2B .

=

=

45

67

82437233

62235213

87

652

43

213

Ove operacije imaju sljedea svojstva:

1. (A + B) + C = A + (B + C) ,

2. A + B = B + A ,

3. (A + B) = A + B ,

4. ( + )A = A + A ,

5. ( )A = (A)

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

29

Osim toga postoji nul matrica 0 takva da je A +0 = 0 + A , za bilo koju matricu A istog tipa. To je matrica iji su svi

elementi jednaki nuli. Takoer, za bilo koju matricu A postoji matrica A istog tipa takva, da je A + (-A) = (-A) + A = 0 . To

je matrica [-aij] .

Mnoenje matrica. Matrica A = [aij] tipa (m, n) i matrica B = [blk] tipa (p, q) se mogu mnoiti tim redom samo ako

je n = p , tj. ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice. U tom sluaju moemo indeks l zamijeniti s j

pa je A = [aij] i B = [bjk] . Produkt AB je matrica tipa (m, q) , tj. matrica ima redaka toliko, koliko redaka ima prva matrica, a

stupaca toliko, koliko stupaca ima druga matrica. Formula u skraenom zapisu glasi:

[ ]

==

=

n

j

jkijik bacAB1

.

Primjer: izraunajte AB ako je

=

=

136

451

23

01BiA .

( ) ( )( ) ( )

=

+++

+++=

10219

451

124332536213

104130516011AB .

Mnoenje matrica ima sljedea svojstva:

1. (AB)C = A(BC) ,

2. (A + B)C =AC + BC ,

3. A(B + C) = AB + AC ,

4. Postoji takva kvadratna matrica I , odgovarajueg reda, da je IA = A , i takoer postoji takva kvadratna matrica I ,

odgovarajueg reda, da je AI = A , za bilo koju matricu A .

Matrica I zove se jedinina matrica. Njezini elementi su aii = 1, za svaki i , te aij = 0 , za ji . Jedinine matrice

drugog, treeg i etvrtog reda su redom:

1000

0100

0010

0001

,

100

010

001

,10

01 .

Transponiranje. Neka je A = [aij] tipa (m, n). Matrica AT = B = [bji] tipa (n, m), koja se dobije kad reci postanu

stupci, a stupci reci, tj. bji = aij , zove se transponirana matrica matrice A.

Primjer:

=

=642

531,

65

43

21T

AA .

O jednakosti matrice i njoj transponirane se moe, prema tome, govoriti samo ako je n = m , tj. ako je matrica

kvadratna.

Transponiranje se prema operacijama s matricama odnosi ovako:

1. (A + B)T = AT + BT ,

2. (A)T = AT ,

3. (AB)T = BTAT .

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

30

5.1. Linearne funkcije iz R u R

R je polje1 [7,8] realnih brojeva.

Linearna funkcija RR: y = f(x) = a . x = a x .

Svojstvo linearnosti f(x1 + x2) = f(x1 )+ f(x2) (linearna funkcija komutira s linearnom kombinacijom).

Sa z = g(y) = c . y moe se napraviti sloena funkcija (kompozicija): z = gf(x) = g(f(x))

(supstitucija y = f(x) u g(y) ) = c . a . x .

Vektorske operacije na linearnim funkcijama:

f(x) + g(x) = (a+c). x

zadovoljavaju aksiome operacija nad vektorima.

Dvostrani inverz linearne funkcije y = f(x) = a . x je linearna funkcija x = f -1(y) = c. y koja zadovoljava:

f(f -1(y)) = y (uvjet za desni inverz),

f -1(f(x)) = x (uvjet za lijevi inverz)

tj.

a. c = c. a = 1 ,

to je ispunjeno za

c = 1/a = a -1, a 0 .

Inverzna funkcija f -1(y) = a -1. y daje rjeenje linearne jednadbe:

f(x) = a. x = b , (1)

x = f -1(b) = a -1. b = b/a, a 0 .

5.2. Vektorski prostori 2 nad poljem skalara R

Vektorski (linearni) prostor V nad poljem skalara R je skup vektora x, a, b, e s operacijama zbrajanja vektora

+: V V V i mnoenja sa skalarom *:RV V. Gdje ima smisla za te operacije vrijede zakoni komutativnosti,

asocijativnosti i distributivnosti. Skalarna jedinica 1 je neutralni element za mnoenje vektora sa skalarom:

1. a = a .

S obzirom na zbrajanje vektora vektorski prostor je komutativna (Abel-ova) grupa: postoji neutralni element nul

vektor 0 sa svojstvima:

a + 0 = a, 0 + a = a, 0. a = 0 ,

a za svaki vektor a vektorski prostor sadri suprotni vektor a sa svojstvima:

a = -1. a, a +( a) = (1 + (-1)) a = 0. a = 0 .

Oduzimanje vektora je pribrajanje suprotnog:

1 Svaki skup P koji ima bar dva elementa i na kojem su definirane algebarske operacije zbrajanje i mnoenje s u [8]

navedenih devet svojstava zove se polje. 2 U [8] je definiran pojam vektorskog prostora nad poljem skalara, gdje su navedena svojstva zbrajanja i mnoenja koja

moraju biti zadovoljena.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

31

a b = a +( b) .

S navedenim svojstvima operacija mogu se stvarati linearne kombinacije vektora:

ii . ia .

Linearne funkcije (operatori) A: V1 V2 iz linearnog prostora V1 u linearni prostor V2 su morfizmi [8] vektorskih prostora

A (i i ia) = ii A (

ia) ,

tj. linearna funkcija (operator) i operacija stvaranja linearne kombinacije vektora komutiraju.

Skup vektora {ia} je linearno zavisan ako postoji nulta linearna kombinacija:

ii ia = 0 ,

s bar jednim koeficijentom 0 , npr. k . Tada se ka moe prikazati kao linearna kombinacija ostalih vektora linearno

zavisnog skupa:

ka = -ii / k ia , k i .

U suprotnom sluaju skup vektora {ai} je linearno nezavisan. Maksimalni nezavisni skup vektora {ei} se naziva

baza vektorskog prostora. Vektorski prostor s bazom od konanog broja n vektora naziva se konano-dimenzionalni ili n-

dimenzionalni vektorski prostor. Svaki vektor a vektorskog prostora se moe izjednaiti s jednoznanom linearnom

kombinacijom nad vektorima baze:

a = i ai ei . (2)

Niz skalara ai su koordinate vektora a u bazi ei. Vektorski prostor V je direktna suma

3 jednodimenzionalnih

vektorskih prostora ei, R nad baznim vektorima:

V = i ei .

Openito, vektorski prostor V je direktna suma svojih potprostora Vi:

V = i Vi ,

ako se svaki vektor x V moe prikazati kao linearna kombinacija vektora iz potprostora Vi , a presjek bilo koja dva

potprostora sadri samo nul vektor 0. Potprostor vektorskog prostora je linearnim kombinacijama zatvoreni podskup.

Postoji sustavni princip konstrukcije vektorskih prostora VDV kao skupa funkcija VDV = {f: D V} iz neke domene

D u neki vektorski prostor V, zatvorenog na linearne kombinacije. Za f , g VDV slijedi prirodna definicija vektorskih

operacija:

(f + g)(x) = f (x) + g(x) ,

(. f )( x) =. f (x) ,

to je ekvivalentno sljedeoj definiciji linearne kombinacije vektora kf :

(kk kf) (x) =kk

kf(x) .

Konano dimenzionalni vektorski prostori se praktiki generiraju na dva naina od:

-svih funkcija f = VIR iz konane domene I indeksa u R1 ili polje skalara R: VI = {f: IR};

-linearnih funkcija (operatora) A OV1V2 V1 V2 iz konano-dimenzionalnog vektorskog prostora V1 u konano-

dimenzionalni vektorski prostor V2 kao vektorima iz prostora: OV1V2 = { A: V1 V2 }.

3 Npr. R2 = RR

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

32

5.2.1. Vektorski prostori realnih funkcija iz konane domene

Prostor svih funkcija f = VIR iz konane domene I indeksa u R1 ili polje skalara R je konano-dimenzionalan s

dimenzijom n = k(I) (kardinalni broj ili potencija skupa I). Kanonsku 4 bazu prostora ine funkcije kf definirane s

kf(i) = k1i = k i (Kronecker-ov simbol 5). (3)

Praktinu korist pruaju dva tipa ureenja indeksnog skupa I.

5.2.2. Aritmetiki vektorski prostori

Ureenje indeksnog skupa I = In {1,2, n} rezultira u n-dimenzionalnom aritmetikom vektorskom prostoru

Vn ili prostoru realnih funkcija iz Kartezijeva produkta Rn = RRR s elementima (n-torkama)

(a1, a2, ,an) . (4)

Ponovna definicija vektorskih operacija:

(a1, a2, ,an) + (b1, b2, ,bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ,an+ bn) ,

. (a1, a2, ,an) = (. a1,

. a2, , . an)

je ekvivalentno sljedeoj definiciji linearne kombinacije vektora (ia1, ia2, ,

ian):

ii(ia1,

ia2, ,ian) =(ii

ia1, ii ia2, ,ii

ian) .

Uvoenjem baze konano-dimenzionalnog vektorskog prostora koordinate vektora ( 2 ) postaju elementi

aritmetikog vektorskog prostora. Tako su svi n-dimenzionalni vektorski prostori ekvivalentni n-dimenzionalnom

aritmetikom vektorskom prostoru i prema tome meusobno ekvivalentni.

5.2.3. Prostori realnih matrica

Prostor realnih matrica Mn m s n redaka i m stupaca je specijalni sluaj prostora VI.

I = Im n Im In = {1,2, m}{1,2, n} (Kartezijev produkt) ija dimenzija je m. n . Uloga ovog prostora je realizacija

linearnih funkcija Rn Rm kao operatora matrinog mnoenja vektora iz Rn. Za vektore [A] M m n su pogodne sljedee

oznake:

[A] = [i a j] =

n

mm

n

aa

a

aa

aaaa

1

13

22

12

13

12

11

1

OMM

L

L

. (5)

Transponirana matrica [AT] se dobije zamjenom redaka i stupaca matrice [A]:

4 gr. kanon: pravilo, propis 5 ij = 0 za ji i 11 = 22 = .. = nn = 1

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

33

[A] T = [j a i] =

n

m

n

m

aa

a

aa

aaaa

1

31

22

21

113

12

11

OMM

L

L

.

5.2.4. Linearni prostori konano-dimenzionalnih operatora

Drugi opi princip konstrukcije vektorskih prostora proizlazi iz zatvorenosti skupa LVnVm linearnih funkcija

(operatora) A: Vn Vm iz n-dimenzionalnog vektorskog prostora Vn u m-dimenzionalni vektorski prostor Vm s obzirom na

linearne kombinacije. Prostor LV1V2 ima dimenziju n. m s induciranom bazom jEk definiranom s:

jEk(ei) = fk j1i ,

gdje je {ei} n-dimenzionalna baza prostora Vn , a {fk} je m-dimenzionalna baza prostora Vm. U toj bazi operator A ima

koordinate ka j , tj.:

A = j k jEk

ka j .

Upadljivo je da se te koordinate poklapaju s elementima matrice [A] iz (mata). Nadalje:

A(ei) = k fk

ka i ,

to znai da su elementi i-tog stupca matrice jednaki koordinatama slike baznog vektora {ei}u bazi {fk} kodomene. Vektor x

iz domene s koordinatama u bazi {ei} tj:

x = i ei ix ,

prelazi u:

y = A(x) = k fk ky ,

s koordinatama

ky = i ka i

ix (6)

u bazi {fk}.

Potpunija slika ekvivalentnosti linearnih operatora s matricama dobije se razmatranjem koordinata preslikanih

vektora kompozicijom linearnih operatora: A: Vn Vm, B: Vm Vp, C: Vp Vq ili linearnih supstitucija

z = B(y) = B(A(x)) = BA(x) = k gl lz = G(x) ,

u = C(z) = C(B(A(x))) = CBA(x) = l hj ju = H(x) ,

gdje operatori B i C imaju koordinate analogne koordinatama operatora A u bazi jEk svrstane u matrice [B] = [lbk] odnosno

[C] = [jcl] analogno matrici [A] operatora A. Provedba supstitucija daje koordinate { lz} vektora BA(x) u bazi {gl} odnosno

koordinate { ju} vektora CBA(x) u bazi {hj}:

lz = k i lbk

ka i ix = i

lg i ix , (6a)

ju = l k i jcl

lbk ka i

ix= i jhi

ix . (6b)

Pored pravokutnih matrica [A], [B], [C] koje sadre koordinate operatora A, B i C u induciranim bazama, matrini

raun ukljuuje jednostupane matrice

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

34

[x =

x

x

x

n

M

2

1

, [y =

y

y

y

m

M

2

1

, [z =

z

z

z

p

M

2

1

, [u =

u

u

u

q

M

2

1

, (7)

koje sadre koordinate vektora x, y, z i u u bazama { ei}, { fk},{ gl} i{ hj}.

Djelovanje linearnog operatora na vektor u koordinatama se svodi na konstrukciju linearnih funkcija od koordinata

argumenta s koeficijentima koji su koordinate operatora, podudarnu s definicijom lijevog mnoenja jednostupane matrice

koordinata argumenta s matricom koordinata operatora:

[y = [A][x, ky = i ka i

ix; [z = [G][x, lz = i lg i

ix; [u = [H][x, ju = i jhi

ix , (8)

gdje se matrice [G] odnosno [H] koordinata operatora G = BA odnosno H = CBA dobiju iz provedbe kompozicija

operatora odnosno linearnih supstitucija kao mnoenja matrica operatora u kompoziciji:

[z = [B][y, [z = [B][A] [x = [G][x, [u = [C][z, [u = [C][B][A] [x = [H] [x ,

tj.

[G] = [B][A], lg i= lB][Ai = k

lbk ka i , (8a)

[H] = [C][B][A], jhi = jC][B][Ai = l k

jcl lbk

ka i . (8b)

Pravilo (8) mnoenja matrice koordinata operatora s jednostupanom matricom koordinata vektora potpada pod pravilo (8a)

mnoenja matrica koordinata operatora u kompoziciji zahvaljujui smjetaju koordinata vektora u jednostupanu matricu a ne

u jednorednu kao to bi sugerirala konstrukcija aritmetikog vektorskog prostora (avp). Podudarnost se moe obrazloiti

injenicom to se vektor v V moe interpretirati kao linearna funkcija RV:

v V: t R t. v V .

Zadatak: Kako se izraava vektor aritmetikog prostora (a1, a2, ,an) pomou jednostupane matrice koordinata u

kanonskoj bazi (3) ? Isto pitanje rijeiti za linearni operator izmeu vektorskih prostora Rn i R

m. Prema odgovorima napraviti

redefiniciju aritmetikog vektorskog prostora kao prostora jednostupanih matrica.

U daljnjem e se uzimati da je aritmetiki vektorski prostor Rn konstruiran od jednostupanih matrica (vektor-

stupaca). Tada matrice postaju operatori s matrinim mnoenjem kao kompozicijom.

Pravilo (8b) je izneseno da se pokae kako je asocijativnost mnoenja matrica posljedica kategorijalne

asocijativnosti kompozicije funkcija.

Matrice linearnih operatora postaju blone matrice (blok-matrice[9]) kada se prostori domene i kodomene rastave

na direktne sume vektorskih potprostora.

5.2.5. Funkcionali 6

Za Vn = V, Vm = R operatori y:VR se zovu funkcionali, a spadaju u dualni vektorski prostor V .

Temeljni primjer: koordinatni funkcionali za bazu {ei} vektorskog prostora V su linearne funkcije { ke} definirane s

6 [9] str. 147: funkcija s vektorskog prostora Vn u vektorski prostor Vm F : VnVm zove se linearan operator ako je

F (x + y) = F (x) + F (y) za sve skalare , iz polja R i za sve vektore x, y Vn . Ako je m = 1, onda je V1 = R, pa se

umjesto linearni operator govori linearni funkcional.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

35

ke (x) = kx ,

gdje su { ia} koordinate vektora a u bazi { ei}:

x = i ei ix = i ei

ie (x) ,

tj. operator i ei ie je jedinini:

i ei ie = 1 .

Uzimajui za argumente vektore baze ei izlazi

ke (ei) = k1i

Kae se da je { ke} baza prostora V funkcionala VR dualna bazi {ei} vektorskog prostora V.

Za konano dimenzionalne prostore dimenzija prostora V je jednaka dimenziji prostora V , a dualni prostor V

prostora V je opet V, baza {ei} dualna bazi { ke} je {ei}.

Ako se koordinate funkcionala:

y = i y k kf

u bazi {kf} sloe u jednorednu matricu

y] = [y1 y2 ym] ,

tada se primjena funkcionala y na vektor x svodi na jedini element 11 matrice dobiven matrinim mnoenjem jednoredne

matrice y] s jednostupanom matricom [x koordinata vektora x :

y (x) = i yi ix= y][x

Za linearni operator: VnVm i koordinate y] funkcionala y u bazi {kf} prostora Vm primjena y na A(x) se izraava

produktom matrica koordinata

y (A(x)) = i k y k kai

ix = y][A][x

Operatoru A se moe pridruiti transponirani operator AT: Vm Vn sljedeom definicijom:

y (A(x)) = AT(y)(x) .

Naziv transponirani je opravdan time to je matrica [AT] koordinata operatora AT u induciranoj bazi jednaka transponiranoj

matrici [A] T koordinata operatora A jer iz:

AT(y)(x) = y][A][x

slijedi da je:

AT(y)] = y][A] = ( [A]T [y)T .

5.2.6. Koordinatni operatori

Opravdano je linearni operator koji izomorfno prevodi vektore x prostora V u vektor stupac [x koordinata u bazi {ei}

prostora V zvati koordinatnim operatorom E (induciranim bazom {ei}):

[x = E(x) .

Konstrukcija koordinatnog operatora se ostvaruje preko koordinatnih funkcionala odnosno dualne baze { ie} jer je:

kx = ke (x) ,

odakle

[x = [e(x) ,

tj. koordinatni operator je jednostupana matrica ije komponente su koordinatni funkcionali:

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

36

E = [e =

nM21 . Dualni koordinatni operator E daje koordinatni vektor redak y] funkcionala y u dualnoj bazi { ke}:

y] = E (y) .

Za konano-dimenzionalne prostore

E = [e1 e2 en] .

5.2.7. Algebra linearnih operatora i kvadratne matrice

Linearni operatori A, B, : Vn Vn na konano-dimenzionom prostoru se mogu neogranieno komponirati, ili,

njihove nn koordinatne kvadratne matrice [A], [B], mogu se meusobno bezuvjetno asocijativno mnoiti. Kvadratne nn

matrice kao vektori s asocijativnim mnoenjem ine algebru.

Neutralnom elementu 1 kompozicije operatora odgovara jedinina matrica [1] s graom:

[1] =

100

010

001

K

MOMM

K

K

=

]1

]1

]12

1

n

M = [ [11 [12 [1n ],

i 1 k = i k

i svojstvima

[1][x = [x, y][1] = y], [1] [A] = [A], [A] [1] = [A]. (9)

Surjektivni operator A s A(Vn) = Vn je ujedno injektivan, tj. bijektivan, to znai da za njega postoji lijevi i desni inverz A-1:

A-1A = A A-1 = 1 .

Odgovarajua koordinatna matrica [A] je regularna tj. ima lijevi i desni multiplikativni inverz (inverznu matricu) [A-1] :

[A-1] [A] = [A] [A-1] = [1] . (10)

Determinanta regularne matrice det[A] je razliita od nule. U suprotnom sluaju:

det[A] = 0

matrica je singularna. Do inverza se teorijski moe doi preko Laplace-ova razvoja determinante. Praktiki se inverz matrice

[A] odreuje rjeavanjem viestrukog sustava linearnih jednadbi iji koeficijenti nepoznanica ine matricu [A] , a desna

strana je jedinina matrica [1].

5.3. Sustav linearnih jednadbi od vie realnih varijabli

Sustav od m simultanih linearnih jednadbi s n nepoznanica oblika:

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

37

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

mn

n

mmm

n

n

n

n

=++

=++

=++

L

LLLLLLLLLLLL

L

L

22

11

2222

211

2

1122

111

1

(11)

sadri: skup nepoznanica {ix} iz jedne jednostupane matrice (vektor-stupca) ((7)), koeficijente {iak} svrstane u mn matricu

[A] prema (5) i poznate vrijednosti {ib} na desnoj strani (RHS - right hand side) koje e biti svrstane u m-dimenzionalni

vektor-stupac [b :

[b = [1b 2b mb]T

Tada se sustav (11) moe zapisati kao jedna linearna matrina jednadba

[A][x = [b (11a)

u kojoj je na lijevoj strani m-dimenzionalni vektor-stupac produkta ulanenih matrica [A] i [x koji pokomponentno treba biti

jednak RHS vektoru [b .

Za kvadratni sustav od n jednadbi s n nepoznanica i regularnom matricom koeficijenata [A], (koja ima inverz [A-1]),

rjeenje jednadbe (11a) dobiva se po uzoru rjeavanja skalarne linearne jednadbe (1) postavom:

[x = [C] [b ,

uz (11a) izlazi:

[A] [C] [x = [x ,

to znai da je matrica [C] desni inverz od matrice [A] tj.:

[x = [A-1] [b .

Do istog rezultata se dolazi mnoei jednadbu (11A) s lijevim inverzom [A-1] matrice [A] :

[A-1] [A] [x = [A-1] [b ,

nakon ega iz (10) i (9) izlazi

[1][x = [A-1] [b, [x = [A-1] [b .

Rjeenju [x sustava (11) se moe dati prikladno geometrijsko tumaenje. Interpretacija matrice [A] kao

jednoredne blone matrice iji blokovi su vektori stupci [ai:

[A] = [[a1 [a2 [an ]

daje sustavu linearnih jednadbi (11) ili (11A) jo jedan oblik:

i [ai ix = [b

po kojem je vektor stupac desne strane [b linearna kombinacija vektor-stupaca [ai matrice [A] s koeficijentima jednakim

varijablama rjeenja ix. Kad je matrica [A] regularna, njeni vektor-stupci ine bazu vektorskog prostora, a traeno rjeenje tj.

varijable ix su koordinate vektora [b u toj bazi. Tada reci ka] inverzne matrice [A-1] ine dualnu (biortogonalnu) bazu

funkcionala:

ka][ai = i k .

Skalarno mnoenje (s lijeva) vektorske jednadbe (GLE) funkcionalom ka] daje k-tu komponentu rjeenja kao

projekciju zadanog vektora desne strane [b na biort ka] :

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

38

kx = ka][b . (12)

U dobro poznatom sluaju ortonormirane7 baze, komponenta vektora na pravcu orta je jednaka skalarnom produktu

vektora s istim ortom. Tada su baza i biortogonalna baza identine, to znai da je:

[A-1] = [AT], [AT][A] = [A] [AT] = [1].

odnosno vektori redaka i vektori stupaca su normirani na 1 i meusobno ortogonalni po Euklid-skom skalarnom produktu.

5.4. Linearne, bilinearne i kvadratne forme

Linearna forma je linearni funkcional nad Rn (n-dimenzionalnim euklidskim prostorom):

c]: Rn R; [x c][x = i ci ix .

Formu c] ini jednoredna matrica (vektor-redak) koordinata ci kao to vektor [x aritmetikog prostora ini jednostupana

matrica (vektor-stupac) koordinata ix .

Bilinearna forma [B]: Rm RnR je definirana s:

(y], [x) y] [B] [x = i k yi iBk

kx .

Bilinearna forma je linearna po svakom od argumenata, a jednaka je linearnoj formi na tenzorskom produktu Rm Rn.

Kvadratna forma B]]: RnR nastaje od bilinearne kad su oba argumenta ista:

[x B]] [x [x = i k B i k kx ix .

Koordinate kvadratne forme B i k ine simetrinu matricu B i k = B k i .

7 Kod ortonormirane baze vektorskog prostora Vn , bazu ine jedinini vektori , meusobno okomiti. Kanonska baza je

primjer ortonormirane baze [9].

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

39

6. Funkcije realnih varijabli

Parametarske karakteristike. Realne funkcije od jedne realne varijable. Realne funkcije od dvije realne varijable. Realne

funkcije i diferencijalni raun funkcija od vie nezavisnih varijabli: parcijalne derivacije, gradijent, usmjerena derivacija,

totalni diferencijal. Vektorske realne funkcije (Rn Rm).

6.1. Parametarske karakteristike

6.2. Realne funkcije od jedne realne varijable

R = polje realnih brojeva

Realna funkcija od realnog argumenta RR: x y = f(x)

Definicije realne funkcije:

analitika; npr.: y = f(x) = x/(0.8 x2 + x + 0.2)

u Matlab-u

RuR

eta1m = Inline function:

eta1m(x) = x ./ (0.8 * x .^2 + x + 0.2)

eta1tab =

0.2000 0.4630

0.3000 0.5245

0.4000 0.5495

0.5000 0.5556

0.6000 0.5515

0.7000 0.5418

0.8000 0.5291

0.9000 0.5149

1.0000 0.5000

eta =t/(4/5*t^2+t+1/5)

diffeta = 1/(4/5*t^2+t+1/5)-t/(4/5*t^2+t+1/5)^2*(8/5*t+1)

a = 0.3912

tay = 8325/20449+8000/20449*x

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

40

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

dx

dy

Dey

x = pu

x ./ (0.8 * x .2 + x + 0.2)

Sl. 6.1.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

41

6.3. Realne funkcije od dvije realne varijable

peaks

[x,y,z] = peaks;

z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) ...

- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) ...

- 1/3*exp(-(x+1).^2 - y.^2)

Sl. 6.2.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

42

% Mesh Plot of Peaks

meshc(z);

Sl. 6.3.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

43

contour(x,y,z,20,'k')

hold on

pcolor(x,y,z)

shading interp

Sl. 6.4.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

44

x2 = [0.2: 0.1: 1];

[X, Y] = meshgrid(x2);

Z = eta1m(X) .* eta1m(Y);

[C, H] = contour(X, Y, Z); clabel(C,H), colorbar

title('skoljkasti (konturni) dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)')

0.22

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

0.3

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1skoljkasti (konturni) dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)

0.23

0.24

0.240.24

0.25

0.25 0.25

0.26

0.26

0.26

0.26

0.26

0.260.

27

0.27

0.27

0.27

0.27

0.27

0.27

0.28

0.28

0.28

0 .2 8

0.28

0.28

0.28

0.28

0.29

0.29

0.29

0.29

0.29

0.29

0.3

0.3

0.3

0.3

Sl. 6.5.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

45

plot(x2, Z), colorbar,

title('parametarski dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)')

10

20

30

40

50

60

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0.26

0.27

0.28

0.29

0.3

0.31parametarski dijagram funkcije eta1m(X) .* eta1m(Y)

Sl. 6.6.

6.4. Realne funkcije i diferencijalni raun funkcija od vie nezavisnih varijabli

Funkcije Rn R: z = f(x), x = [x1, x2, xn]'

Parcijalne derivacije, gradijent i usmjerena derivacija funkcije

Vektor-redak f/x zvan gradijent sastoji se od parcijalnih derivacija f/xi:

]/,/,/[/ 21 nxfxfxfxf = L

h

xxxxxxfxxhxxxxfxf niiiniii

h

i

),,,,,(),,,,,(/ 11211121

0lim

LLLL ++

+=

Parcijalne derivacije z/x, z/y funkcije z = f(x,y) dviju varijabli su derivacije krivulja na presjeku plohe zadane

funkcijom z = f(x,y) i vertikalne ravnine paralelne x-z odnosno y-z ravnini.

Gradijent [z/x, z/y] funkcije z = f(x,y) dviju varijabli je vektor okomit na linije (konture) istog nivoa.

Derivacija z/a usmjerena po vektoru a je definirana s

h

xfahxfaf

h

)()(/ lim

0

+=

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

46

Parcijalna derivacija f/xi je usmjerena derivacija po vektoru i1. Obrnuto, usmjerena derivacija se izraava pomou

parcijalnih derivacija, odnosno skalarnim produktom gradijenta i vektora a:

axfaxfaf iii

][/*// ==

Usmjerena derivacija z/a funkcije z = f(x,y) dviju varijabli je derivacija krivulje na presjeku plohe zadane

funkcijom z = f(x,y) i vertikalne ravnine koja sadri vektor a.

Totalni diferencijal

dxxfdxxfdf iii

][// ==

je linearni lan Taylor-ova razvoja funkcije f(x + x ) po dx = x u toki x. Totalni diferencijal je jednak usmjerenoj

derivaciji po vektoru dx.

6.5. Vektorske realne funkcije (Rn Rm)

Funkcije Rn Rm: z = f(x), x = [x1, x2, xn]', z = [z1, z2, zm]'

Gradijent xf / = xf /[ ]

=

==

nmmm

n

n

m

n

xfxfxf

xfxfxf

xfxfxf

xf

xf

xf

xfxfxfxf

///

///

///

/

/

/

]/,/,/[/

21

22212

12111

2

1

21

L

MOMM

L

L

L

Naziva se Jacobi-an(a).

Totalni diferencijal

dxxfdxxffd iii

][/[/ ==

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

47

7. Primjena diferencijalnog rauna funkcija od vie realnih varijabli

Nuni uvjet ekstrema glatke realne funkcije od vie realnih varijabli, Newtonova iterativna metoda rjeavanja sustava glatkih

nelinearnih jednadbi, Vezani ekstremi i Lagrangeova metoda rjeavanja:

Model vezanih ekstrema s vezama (ogranienjima) u obliku jednadbi, Lagrange-ovi multiplikatori i Lagrange-ova

funkcija, Nuni uvjeti vezanog ekstrema, Formule osjetljivosti na parametre veza, Primjer optimalne raspodjele

optereenja u paralelnom spoju, Usporedba s metodom kaznenih funkcija, Ogranienja (veze) izraene jednadbama i

nejednadbama (matematiko programiranje).

7.1. Nuni uvjet ekstrema glatke realne funkcije od vie realnih varijabli

Nuni uvjet ekstrema (kritina toka) kriterijske funkcije Rn R: z = f(x), x = [x1, x2, xN]'

je ponitenje gradijenta tj. vektor-retka f/x ili parcijalnih derivacija f/xi :

f/xi := 0, i = 1...N (1)

tj.

f/x := 0, (1a)

Time su u kritinoj toci ponitene sve usmjerene derivacije i totalni diferencijal.

Argumentacija se oslanja na sluaj realne funkcije od jedne realne varijable.

Uvjet se sastoji od n (ne)linearnih jednadbi s N nepoznanica.

7.2. Newtonova iterativna metoda rjeavanja sustava glatkih nelinearnih jednadbi

Treba nai rjeenje sustava od n obinih jednadbi +

f(x) = b (2)

po n-dimenzionalnom vektoru x nepoznanica sa zadanim N-dimenzionalnom vektorom b desne strane (RHS).

Newton-ova iterativna metoda rjeavanja sustava glatkih nelinearnih jednadbi koristi Taylor-ov razvoj prvog reda

(linearizaciju) funkcije f(x) u poznatoj (poetnoj ili naenoj) toci x(k):

f(x) = f(x(k) + x ) f(x(k)) + xf / x

Gradijent xf / je Jakobijan(a) xf /[ ] u toci x(k). Sustav nelinearnih jednadbi (2) prelazi u linearizirani sustav

jednadbi

xf /[ ] x = r(k) (3)

po korekciji x gdje je

r(k) = b - f(x(k))

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

48

vektor reziduala (greki rjeenja) za ex = ex(k).

Nakon rjeenja linearnog sustava (3) po ex rauna se korigirano rjeenje

x(k+1) = x(k+1) + x

Smatra se da postupak konvergira ako je

|r(k+1)|2 = |b - f(x(k+1))| < |r(k)|2

gdje |r|2 oznaava srednjekvadratnu normu vektora r.

Postupak je gotov (iskonvergirao) ako je

|r(k+1)| < tol

gdje je

|r| = maxi (ri)

ebievljeva norma vektora r. a tol je tolerancija netonosti rjeenja jednadbi. Pretpostavlja se da su jednadbe pogodno

normirane da bi 2-norma (Euklidska) i norma bile prikladne za testiranje konvergencije.

7.3. Vezani ekstremi i Lagrangeova metoda rjeavanja

7.3.1. Model vezanih ekstrema s vezama (ogranienjima) u obliku jednadbi

Treba nai minimum kriterijske funkcije Rn R:

z = f(x), x = [x1, x2, xN]' (4)

uz ogranienja u obliku J jednadbi:

gj (x) := bj, j = 1...J N (5a)

tj.

g (x) := b, g (): Rn RJ, b RJ (5b)

"Primitivni" nain:

U kriterijskoj funkciji f(x) eliminirati J nepoznanica (baznih varijabli) koje se "mogu" izraziti preko preostalih N-J

nepoznanica (nebaznih varijabli) iz ogranienja tipa jednadbi (5). Preostaje da se odredi ekstrem po nezavisnim

(nevezanim) nebaznim varijablama sloene funkcije u kojoj se javlja djelomina inverzija sustava (ne)linearnih jednadbi (5)

i ponovo iz (5) pronau bazne varijable.

7.3.2. Lagrangeovi multiplikatori i Lagrangeova funkcija

Porijeklo iz mehanike (dinamika sustava s holonomnim vezama).

Lagrangeova funkcija vezanog ekstrema (4,5):

L(x) = f(x) + j j (bj - gj (x)) = f(x) +][(b - g (x)) (6)

U Lagrangeovoj funkciji se nalazi dodatnih J varijabli j Lagrangeovih multiplikatora, koje se u mehanici javljaju kao sile

reakcije u holonomnim vezama. Pomou Lagrangeovih multiplikatora se "osloboene" veze zamjenjuju silama reakcija koje

te veze proizvode na mehanikom sustavu tijekom njegova gibanja.

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

49

7.3.3. Nuni uvjeti vezanog ekstrema

Nalaze se kritine toke Lagrange-ove funkcije kao kriterijske funkcije bez ograniena po oba niza varijabli [x i ]:

L/xi:= f/xi: - j j gj (x)/xi: = 0, i = 1,..N (7a)

L(x)/j = (bj - gj (x)) = 0 j = 1,..J (7b)

Uvjet kritinosti (7b) po multiplikatorima je ekvivalentan jednadbama ogranienja (5a) vezanog ekstrema. Uvjeti (7a) u

obliku

f/x:= j j gj (x)/x: (7a1)

pokazuju da se (ne)nulti gradijent kriterijske funkcije u kritinoj toci nalazi u prostoru okomitom na tangencijalni prostor

ogranienja.

7.3.4. Formule osjetljivosti na parametre veza

Za rjeenje sustava (7a,b) x^, ^ se moe pronai ne samo kritina vrijednost kriterijske funkcije:

f^ = f(x^) , (8a)

nego i njene derivacije po parametrima ogranienja b u (5a) tj. osjetljivost optimalnog rjeenja na parametre bez ponavljanja

rauna kritine toke:

f^(b)/bj = L/bj = j (8b)

to izlazi primjenom (7a1):

f^(b)/bj = f(x^)/x^ x^/bj = j j gj (x)/x:^ x^/bj = j j gj(x^(b))/bj

i deriviranja jednadbi ogranienja (5a) po parametru bk ogranienja

gk (x)/ bj := k1j .

Indirektno formula osjetljivosti (8b) izlazi iz (6) s:

L^(x^(b),^(b),b )/bj = L/x^ x^(b)/bj + L/^ ^(b)/bj +L/bj = j

i

(k k (bk - gk (x^(b))))/bj = k k/bj(bk - gk(x^(b))) +k k (bk - gk(x^(b)))/bj = 0 .

7.3.5. Primjer optimalne raspodjele optereenja u paralelnom spoju

Varijable P1, P2 PN su snage agregata.

Kriterijska funkcija je potroak resursa:

R(P1, P2 PN) = R1(P1) + R2(P2) + .RN(PN) = n Rn(Pn)

Ogranienje (uvjet) je sumarna snaga agregata P:

P1 + P2 + + PN = P ili n Pn = P

Zadatak je nai optimalnu raspodjelu:

P^1(P), P^2 (P)P

^N(P); R

^(P) = R(P^1(P), P^2 (P)P

^N(P)) ,

iz

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

50

R^(P) = min R(P1, P2 PN) uz uvjet nPn = P .

Rjeavanje Lagrangeovom metodom:

Lagrangeova funkcija:

L = n Rn(Pn) + (P - nPn )

Jednadbe za kritinu toku:

L/Pi:= dRi(Pi) = 0, tj.

dRn(Pn) = ., n = 1, n

Uloga multiplikatora se prepoznaje u osjetljivosti minimalnog potroka (diferencijalnom potroku):

R^(P)/P = L/P =

Kod kritine (optimalne) raspodjele resursa svi diferencijalni potroci su jednaki rezultantnom diferencijalnom potroku koji

se poklapa s multiplikatorom .

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

51

8. i 9. Primjena funkcija jedne realne varijable

Praksa u MATLAB-u: komandni prozor, crtanje krivulja i regresija, pseudoinverzija i regresija, Gaussov normalni sustav

jednadbi i pseudoinverzija, diferencijalna, specifina i eta karakteristika.

Primjer regresije napravljen pomou Excel-a

8.1. Komandni prozor

%help

%help plot

Startati demo iz komandnog prozora

Matrices

Basic Matrix opperations

Prouiti demo prikaze

8.2. Crtanje krivulja i regresija

type DijagramRegresije

%skripta za dijagram regresije

syms p

clf

sfr = 0.4 * p^2 + p + 0.1

ezplot(sfr, [0.2 1.2])

%fr = '0.4*p^2 + p + 0.1'

%fplot(fr, [0 1.2])

hold on

vp = [0.2: 0.2: 1.2]

er = [-0.04 -0.05 0.05 -0.03 0.03 0.02]

r = subs(sfr, 'p', vp)

rmj = r + er

plot(vp, rmj, 'go')

regr = polyfit(vp, rmj, 2)

rest = polyval(regr, vp)

plot(vp, rest, 'r:', 'LineWidth', 2)

xlabel('p.u.')

Elektroenergetika auditorne vjebe 2006

52

title('Stvarno, mjereno i regresija')

legend('stvarno', 'mjereno', 'regresija',2)

hold off

DijagramRegresije

sfr = 2/5*p^2+p+1/10

vp = 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000

er = -0.0400 -0.0500 0.0500 -0.0300 0.0300 0.0200

r = 0.3160 0.5640 0.8440 1.1560 1.5000 1.8760

rmj = 0.2760 0.5140 0.8940 1.1260 1.5300 1.8960

regr = 0.3286 1.1657 0.0240

rest = 0.2703 0.5429 0.8417 1.166