BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT - · PDF fileberegning av spenninger generelt ......

Styrkeberegning grunnlag (lectures notes)

Henning Johansen © side 1

α

σ tanα=E=σ/ε hvor:

E = Elastisitetsmodul σ = spenning ε = tøyning ∆L/L

F1

F3 F2 mg Tegn skisse.

Spenning - tøyning ved strekkprøving.

ε

BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT Ved konstruksjon – hvilke spenninger blir konstruksjonen utsatt for? Tegn skisse Fastlegg kreftene - ytre krefter - tyngdekrefter - dynamiske krefter (eks. sentripetalkrefter) Beregn spenningene - forutsetter at Hooke's lov gjelder

- Gjør forenklinger hvor uregelmessighet i spenningene - Benytter tilnærmede løsninger

(standarder, eks. NS - bygger på erfaringer) - Benytter overslagsberegninger

Velg materiale Fastlegg dimensjonene - Ta hensyn til belastningstypen - statisk - dynamisk

- Vær nøye med den konstruktive utformingen



FORHOLDET MELLOM KONSTRUKTIV UTFORMING, SPENNINGER OG FASTHET • En konstruksjons styrke er i mye bestemt av dens geometriske form. • Ytre krefter i bare en retning kan gi krefter også i andre retninger. • Ett opprinnelig seigt materiale kan ved belastning da oppføre seg som et sprøtt materiale.

Prøvestaver med samme tverrsnittareal, men med forskjellig form på tverrsnittet

og utsatt for strekkbelastning.

To glatte prøvestaver med og uten inndreid spor utsatt for statisk og dynamisk

belastning. Prøvestavene har samme minste diameter, d. Figuren viser at konstruksjonsdetaljer med inndreide spor (kjerver) gir:

- FASTHETSØKNING når utsatt for STATISK BELASTNING og - FASTHETSREDUKSJON når utsatt for DYNAMISK BELASTNING



3-akset spenningstilstand i bunnen av en kjerv. Prøvestav kun utsatt for enakset ytre

spenningstilstand.

Spenning - forlengelse diagram for forskjellige prøvestaver av bløtt stål.

Alle prøvestavene har samme minste diameter, d = 10mm.



F

F

σ=FA

snittflate A

vilkårlig element

Betrakter et vilkårlig element i detalj.

σα=σ når α=900

σα=0 når α=00

τα=1/2σ = τmaks når α=450 τα=0 når α=00

SPENNINGSANALYSE En-akset spenningstilstand

Detalj utsatt for kun strekkspenning, σ Vi betrakter en vilkårlig flate AC På flaten virker spenningene σα og τα Setter t = tykkelse av element Summerer krefter i σα og τα retning:

( ) ( )

α⋅σ=σ

α⋅α⋅σ=α⋅σ=σ

=α⋅σ−⋅σ

=Σ

α

α

α

σα

2sin

sinsinsinACBC

0sintBCtAC

0F

( ) ( )

α⋅σ=τ

α⋅α⋅σ=α⋅σ=τ

=α⋅σ−⋅τ

=Σ

α

α

α

τα

2sin21

cossincosACBC

0costBCtAC

0F

A

C B

α τα

σα

σ



trykk p vilkårlig element

p

τxy = τyx Betrakter et vilkårlig element i detalj.

To-akset spenningstilstand Eks. trykkbeholder Detalj utsatt for strekkspenning, σx og σy og skjærspenning Vi betrakter en vilkårlig flate AC På flaten virker spenningene σα og τα Setter arealplan AC = 1 ⇒ AB = 1⋅cosα og BC = 1⋅sinα Summerer krefter i σα og τα retning:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ατ+ασ−σ+σ+σ=σ⇒

=αα⋅τ−αα⋅τ−

αα⋅σ−αα⋅σ−⋅σ

=Σ

α

α

σα

2sin2cos21

21

0cossin1sincos1

sinsin1coscos11

0F

yxyx

yx

( ) ( )( ) ( )

( ) ατ−ασ−σ=τ⇒

=αα⋅τ+αα⋅τ−

αα⋅σ−αα⋅σ+⋅τ

=Σ

α

α

τα

2cos2sin21

0sinsin1coscos1

cossin1sincos11

0F

yx

yx

τxy

τyx σy

σx

σy

σy

σx σx

τyx

τxy τ

A

C

α τα

σα

B y

x



Hovedplan er plan hvor τα = 0 Ligning :

( )

( )

( )yx

yx

yx

σσ

τα

σσ

ταα

ατασστα

−=

−=

=−−=

212tan

212cos

2sin

02cos2sin21

gir 2 løsninger av 2α: 2α og 2α + 1800

α = α1 α = α1 + 900

Hovedplan er 2 plan rettvinklet på hverandre uten skjærspenninger

2α

( )yx σσ −21

τ

σy

σx

τ

α τα = 0

900



Hovedspenninger er normalspenninger (strekk eller trykk) som opptrer på hovedplanene. Ligning :

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) 22yxyx

22yx

22yx

yx

yxyx

yxyx

421

21

4214

21

21

21

21

2sin2cos21

21

τ+σ−σ±σ+σ=σ

τ+σ−σ

τ±⋅τ+

τ+σ−σ

σ−σ±⋅σ−σ+σ+σ=σ

α⋅τ+ασ−σ+σ+σ=σ

α

α

α

= maksimum og minimum verdiene av normalspenningen Hovedspenningene:

⇒ ( ) ( ) 22.maks 4

21

21 τσσσσσ +−++= yxyx

⇒ ( ) ( ) 22.min 4

21

21 τσσσσσ +−−+= yxyx

Pytagoras gir:

( ) 22 421 τσσ +− yx

2α

( )yx σσ −21

τ

σy

σx

τ

α τα = 0

900

σmaks.

σmin.



AB og BC er hovedplan hvor τ = 0 Setter arealplan AC = 1

AB = 1⋅cosα BC = 1⋅sinα

B

τ

τ

τα = τmaks når 2α = 900, α = 450, dvs. på plan 450 i forhold til hovedplanene.

Maksimum skjærspenning Vi betrakter element A-B-C som inneholder hovedplanene i opprinnelig element: Summerer krefter i τα retning, 0F =Σ

ατ :

( ) ( )

( ) ασ−σ=τ

=α⋅α⋅⋅σ−α⋅α⋅⋅σ+τ

α

α

2sin21

0cossin1sincos1

minmaks

minmaks

( )minmaksmaks 21

σ−σ=τ

Maksimum skjærspenning:

⇒ ( ) 22yxmaks 4

21

τ+σ−σ=τ

σmin

σmaks.

A

C

α τα

σ

(fra og )

σy

σy

σx

σx.

σmin

σmaks. B

α (α)

τα σα

C

A



τ

τ

Element med element som viser hovedspenningene, σmin og σmaks samt maksimal skjærspenning τmaks. Mohr’s spenningssirkel En grafisk løsning av ligningene:

( )

( )

( ) R21

R21

sirkeliradiusR2

421

yx.min

yx.maks

22

yx22yx.maks

−σ+σ=σ

+σ+σ=σ

==τ+

σ−σ=τ+σ−σ=τ

σy, τ

σx, τ τ

σ R

τmaks

σy

σx σx

σmin. σmaks.

τmaks

τ=0

450 (α)

σmaks

σmin.

Hovedplan

σy



σ +(strekk)

σ -(trykk)

C

D

2 1

A

B

( ) 22 421 τσσ +− yx

( )yx σσ −21

τ

( )yx σσ +21

.minσ

.maksσ

xσ

yσ

.maksτ

α

α2

-τ

R

( ) 22 421 τσσ +− yx

τ

+τ



METODE for løsning, hvordan tegne Mohr’s spenningssirkel: Tegn først aksekors med σ på x-aksen og τ på y-aksen 1) Hvis σx, σy og τ er kjent (vanligvis):

- Avsett punkt A (σx, τ) og B (σy, τ) - Slå en sirkel med AB som diameter - Les av σmaks. (pkt. 1) og σmin. (pkt. 2) og τmaks.

Mål vinkel 2α eller α 2) Hvis σmaks.og σmin. er kjent:

- Avsett σmaks og σmin. (pkt. 1 og 2) - Slå en sirkel gjennom pkt. 1 og 2 - Beregn 2α. Tegn AB

2 1

A

B

τmaks.

τ

σ

σmin.

σmaks.

2α α

(σy,τ)

(σx,τ)

τ

τ

σy

σx

R



α

ε

σ

tanα=E=σ/ε (Hooke’s lov)

TVERRKONTRAKSJON VED STREKK OG TRYKK Flat stav

Enhetsforlengelse:

0

01

0 lll

ll −=

∆=ε

Tverrkontraksjon :

0

01

0 bbb

bb −=

∆

For elastisk deformasjon gjelder: µ==∆

∆

.konst

ll

bb

0

0

hvor µ = Poissons tall

Tverrkontraksjon Ebb

0

σµ=ε⋅µ=

∆

For elastiske materialer gjelder Hooke's lov.

∆l

b0

P, σ

b1

l0 l1

Flat stav utsatt for strekk.

Spenning - forlengelse diagram for sirkulær prøvestav i bløtt stål.



Kube med sider = 1

Enhetsvolumøkning = 0VV∆

0

01

0 VVV

VV −=

∆

( )( )( )111

111111VV

0 ⋅⋅⋅⋅−µε−µε−ε+

=∆

( ) ( )µ−σ

=µ−ε≈∆ 21

E21

VV

0

hvor µ = Poissons tall

µ = 0,5 for gummi 00=

∆VV

µ = 1/8 - 1/12 for betong

µ ≈ 0 for kork ε≈∆

0VV

µ = 0,3 for konstruksjonsstål µ = 0,2 for støpejern

1 1-µε

σ

σ

1+ε 1

1-µε

1

Kube med sider = 1.



ε

σ

EEVW

221

21 2σσσεσ =⋅=⋅=

FORMENDRINGSARBEID Kraften øker jevnt fra 0 - P Formendringsarbeidet pr. volumenhet, W/V

lE

AlE

PlPlPW ⋅⋅⋅

=⋅⋅=⋅⋅=∆⋅=σσσε

2222

VE

W ⋅=2

2σ

EVW

2

2σ=

Formendringsarbeidet er lik arealet under kurven i spenning – forlengelsesdiagrammet i det elastiske området.

P

l0 l1

Spenning - forlengelse diagram for sirkulær prøvestav i bløtt stål.

Stav utsatt for jevnt økende last.



AF

=σ

σ

450

Eσε =

σ

d0 450

d0

d0

τmaks.=σ/2

σF brud

BRUDDHYPOTESER Strekkprøvestav med en-akset spenningstilstand gir et oversiktlig spenningsbilde.

SPRØ MATERIALER

støpejern, glass, stein, betong Slitebrudd, grovkornet, ingen tverrkontraksjon

FULLSTENDIG SEIGE MATERIALER Glidebrudd i et plan hvor τ = τmaks (α=450)

SEIGE MATERIALER (vanligvis)

Kombinert brudd finkornet, tverrkontraksjon

Prøvestav utsatt for strekk.



Flerakset spenningstilstand gir et uoversiktlig spenningsbilde, vanskelig å bestemme hvilke spenninger som fører til flyting eller brudd. En konstruksjonsdel er vanligvis påkjent av spenninger som opptrer samtidig i flere retninger (strekk, trykk, vridning, bøyning, skjær) FORENKLER, innfører JEVNFØRENDE SPENNING, σj : Spenningstilstanden omgjøres til en TENKT ENAKSET NORMALSPENNING som påkjenner materialet like sterkt. σj kan sammenlignes med materialets flytegrense, σF og bruddgrense, σB Det finnes flere forskjellige SPENNINGSHYPOTESER: HOVEDSPENNINGSHYPOTESEN

Materialet ødelegges når maks. hovedspenning når σF eller σB. Passer bra for sprø materialer, for eksempel støpejern.

( ) ( ) 22yxyx.maks 4

21

21

τ+σ−σ+σ+σ=σ

SKJÆRSPENNINGSHYPOTESEN Passer forholdsvis bra for seige materialer, f.eks. konstruksjonstål.

( ) 22yxmaks 4

21

τ+σ−σ=τ

DEVIASJONSHYPOTESEN (formendringshypotesen) Formendringsarbeidet p.g.a. skjærspenningene (deviasjonsarbeidet) må holdes under det arbeidet som tilføres en strekkprøvestav ved flyting eller brudd. Denne er mye brukt.

.min.maks2

.min2

.maksj σ⋅σ−σ+σ=σ

2yx

2y

2xj 3τ+σ⋅σ−σ+σ=σ



KJERVVIRKNING Typer kjerver:

plate med: rund stang med: hull rundkjerv avtrapping hull rundt spor avtrapping gjenger

- Nominell (teoretisk) spenning σnom og τnom i bunn av kjerv:

2nom dF4

AF

π==σ 3

b

x

bnom d

M32WM

π==σ 3

v

p

vnom d

M16WM

π==τ

- Maksimal normalspenning: σmaks.= α·σn - Maksimal skjærspenning: τmaks. = α·τn hvor: σn og τn = nominell spenning α = formfaktor (α tar bare hensyn til formen og forutsetter at materialet er fullkomment elastisk. α tar ikke hensyn til materialet)



Formfaktor α bestemmes: • Teoretisk - f.eks. elementanalyser (Finite Elements, FEM) • Eksperimentelt - tøyningsmålinger

- fotoelastiske målinger Eksempel på fotoelastisk måling. Bøyebelastet aksel med avtrapping. - spenningsopptisk modell er laget i et spesielt plastmateriale - belyses med polarisert lys - kraftlinjene fremkommer som fargede isokromlinjer i materialet - de forskjellige farger og tettheten av linjene forteller om spenningenes størrelse Langs en isokromlinje : σ1 - σ2 = konstant · n

hvor n isokromlinjens ordningstall Ved kanten (P og Q) gjelder: σ2 = 0

⇒ Hovedspenningen σ1 er proporsjonal med n i punkt Q : σn ≈ konstant · 6,4 (fra fig.) i punkt P : σn ≈ konstant · 9

Spenningsoptisk modell.

4,14,6

9≈≈α



Formfaktor α Eksempel. Aksling med avtrapping utsatt for strekk F, bøying Mb og vridning Mv:



Kjervfaktor β β tar også hensyn til materialtype. (Formfaktor α tar bare hensyn til formen) Maksimal spenning kan skrives som σmaks.= β·σn hvor: β = kjervfaktor = 1 + η (α-1)

η = kjervfølsomhetsfaktor som er materialavhengig

Bestemmelse av η:

ρ+

=ηA1

1 (Neuber, Kuhn)

hvor: A = elementradie (materialkonstant) ρ = kjervradie

Kjervfølsomhetsfaktor,η.

Materiale η Anmerkning seige materialer ≈ 0 lokal flyting i materialet grått støpejern ≈ 0 inneholder grafittflak som gir indre kjerver –

ytre kjerver gir liten virkning herdet og anløpt stål ≈ 0,15 herdet stål uten anløping

≈ 0,25

fjærstål, herdet ≈ 1,0

Kjervfølsomhetsfaktorer,η, for noen materialer.



MATERIALENES FASTHETSEGENSKAPER Statisk belastning

• De fleste materialprøver er utført som statiske prøver: - med langsomt økende last - ved konstant temperatur (200C) - i et normalt innemiljø - over et kort tidsintervall

• I en virkelig konstruksjonsdel arbeider materialene vanligvis under helt andre forhold:

- med varierende belastning - ved lave og / eller høye temperaturer - i et fuktig / kystmiljø - etc.

Material-

type Flyte-grense

(N/mm2)

Strekk-fasthet

(N/mm2)

Forleng-else (%)

E-modul

(N/mm2)

Hardhet

(HB)

Kommentarer

S235 235 363-441 18-25 206000 100-210 Varmvalset

S275 275 412-490 16-22 206000 100-210 konstruksjonsstål, S355 355 510-608 16-22 206000 100-210 sveisbart

NiMo4 460 690-830 15 - 210-225 Seigherdingsstål, seigherdet

Cr-Ni-stål 190 490-690 45 200000 200 Rustfritt stål, rør, plater

SjG 40 - 400 0,4-0,9 127000 180 Grått støpejern, maskin- og motorgods

Mekaniske egenskaper.



Dynamisk belastning

- Konstruksjonsdel utsatt for varierende belastning, varierende spenninger. - Varierende spenninger over lang tid kan gi utmattingsbrudd ved lavere spenninger enn ved samme tilfelle i statisk

belastning. - Utmattingsfastheten er lavere enn den statiske fastheten målt ved vanlig materialprøving.

a) tannhjul b) aksel

Typiske utmattingsbrudd.

- Utmattingsbruddet brer seg i konsentriske sirkler over tid, og er derfor utsatt for korrosjon. - Restbruddet er plastisk uten korrosjonsangrep.



Utmattingstesting

Utmattingstesting.

a) roterende bøying som viser spenningsvariasjonen over prøvestavens tverrsnitt b) roterende bøying i sylindrisk prøvestav

c) varierende aksiell strekk eller trykk



Spenningsvariasjoner ved utmattingsprøving. Eksempel, prøvestav utsatt for varierende strekk / trykk:

Spenningsvariasjoner.

+σ = strekk spenning, -σ = trykk spenning og N = antall lastvariasjoner. σmaks = maksimal spenning, σmin = minimal spenning, σm = midlere spenning, σa = amplitude spenning.

a symmetrisk vekslende σmaks = σmin b utsvingende strekk σmin = 0 σm = ½ · σmaks c pulserende strekk d utsvingende trykk σmaks = 0 σm = ½ · σmin e pulserende trykk



UTMATTINGSDIAGRAM Eksempel: Al-legering 2024 T36 - analyse: Al + 4,5% Cu, 1,5% Mg, 0,6% Mn - tilstand (T36):Varmutherdet og hardbearbeidet - bruddfasthet: σb = 530N/mm2 - flytegrense: σ0,2 = 385N/mm2 Utmattingstest overført til Wöhlerdiagram: ved forskjellige middelspenninger σm:

Utmattingsdiagrammer, Wöhlerdiagrammer.

Verdiene ved N=107 lastveksler overføres fra Wöhlerdiagrammet til Smith diagram: - tegn aksekors σm - σmax - trekk strek-punkt-linje i 450 gjennom origo - denne linjen representerer σm hvor σa avsettes oppover og nedover - de øverst punktene representerer σmax og de nederste σmin

Konstruksjon av Smith diagram.



- det trekkes en kurve gjennom σmax-punktene og en gjennom σmin-punktene - kurvene avsluttes ved flytegrensen σ0,2= 385N/mm2 som vist - materialet kan ha varierende spenninger σ = σm ± σa som ligger innenfor kurvene for σmax og σmin - dette Smith diagrammet gjelder kun for dette materialet, denne legeringen

Ferdig Smith diagram.



Forenklet utmattingsdiagram Ulike belastningstilfeller: Gitt: - utmattingsgrense ved symmetrisk vekslende

belastning, σu - utmattingsgrense ved utsvingende strekk, σup - flytegrense, σs (=σF)

Forholdet µ=

σσ

maks

min

σu σup σs (=σF) σm=0, σa=σu, µ=-1 σmin=0, σm=σa=1/2σup, µ =0 σmaks=σs (=σF)

Forenklet utmattingsdiagram.



variasjon av amplitude σa med negative midtspenninger (eksempler):

bløtt stål stål og andre metaller støpejern

σa som for positive σm σa konstant eller øker negativt σa øker kraftig

Amplitudens σa variasjon med negative midtspenninger. Figuren viser at støperjern tåler større spenningsvariasjoner i trykk enn i strekk.



Utmattingsdiagram for ulike typer belastning For stål 1550-01:

Belastning Statisk Utmattingsgrense (N/mm2) strekkspenning

(N/mm2) sym.

vekslende µ=-1

utsvingende

µ=0 strekk / trykk σs=270 σu=±180 σup=160±160

bøyning σsb=360 σub=±240 σubp=210±210 vridning τsv=190 τuv=±140 τuvp=140±140

Utmattingsgrense ved vekslende bøying σub og vekslende strekk / trykk σu:

Statistisk teori: Mindre volum er utsatt for σb maks enn for σmaks

Utmattingsdiagram for ulike typer belastning.



VOLUM- OG OVERFLATEEFFEKT

Dimensjonsfaktor 110a

aDd ≤

σσ

=λ⋅δ=χ

hvor: δ = Geometrisk dimensjonsfaktor:

- σ (τ) avtar langsommere i overflateskiktet, - større volum inneholder flere svakhetstilfeller ⇒ lavere utmattingsfasthet

λ = Teknologiskisk dimensjonsfaktor:

Nedsmiing, valsereduksjon, mm. ⇒ forbedrer fasthetsegenskapene

Geometrisk dim. faktor δ: Teknologiskisk dim.faktor λ: Dimensjonsfaktor χd = δλ:

Dimensjonsfaktor. (D* = valsediameter)



Overflatefaktor 1)flatepolert(a

)flaterå(a ≤σ

σ=χ

−

−

Overflatefaktor.

Overflatefaktor,

1)flatepolert(a

)flaterå(a ≤σ

σ=χ

−

−



ANVENDELSE AV UTMATTINGSDIAGRAM Eksempel. Utmattingsdiagram for bøying.

Smith diagram for bøyebelastning.



Redusert utmattingsdiagram

adaredusertσ⋅χ⋅χ=σ

eller

aaredusertσ⋅χ⋅λ⋅δ=σ

hvor: - χd = Dimensjonsfaktor - δ = Geometrisk dimensjonsfaktor - λ = Teknologiskisk dimensjonsfaktor - χ = Overflatefaktor

Redusert Smith diagram.



Opptredende (virkelig) spenning i aktuelt tilfelle: Nominell spenning:

am σ±σ=σ Regner: - Middelspenningen σm som statisk - Amplitudespenningen σa som dynamisk ⇒ Opptredende spenning:

am σ⋅β±σ⋅α=σ

( )( ) am 11 σ⋅−αη+±σ⋅α=σ

hvor: - α = Formfaktor - β = Kjervfaktor - η = Kjervfølsomhetsfaktor

Opptredende spenning innlagt i Redusert Smith diagram.

α⋅σm



Sikkerhetsfaktorer. A, a, M, m, AM og

am refererer til lengder i figurene.

Sikkerhetsfaktorer n

Sikkerhet med hensyn på:

amplitude aAna = = største amplitude σA / virkelig amplitude β·σa ved virkelig middelspenning α·σm (σm= konst.)

midtspenning mMn m = = største middelspenning σM med virkelig ampl. β·σa / virkelig middelspenning α·σm (σa= konst.)

amplitude og midtspenning amAMnam = = største ampl. σA ved beste kombinasjon σa og σm / virkelig ampl. β·σa ved virkelig middelsp. α·σm (σmin /σmaks = konst.)

α⋅σm

α⋅σm

α⋅σm

α⋅σm

reduserte utmattingsdiagram

BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT - · PDF fileberegning av spenninger generelt ......

Documents

Transcript of BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT - · PDF fileberegning av spenninger generelt ......