Table des matières

1 Ondes 31.1 Ondes mécaniques progressives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Ondes mécaniques progressives périodiques . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Périodicité temporelle : T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Périodicité spatiale : λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.4 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.5 Di�raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Modèle ondulatoire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Radioactivité 62.1 Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Les réactions nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Radioactivité α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Radioactivités β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Rayonnement γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Loi de décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Activité radioactive et datation . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Réactions nucléaires 93.1 Équivalence masse-énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Énergie de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Énergie de liaison par électron . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Fission et fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.1 Fission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Bilan énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.1 Énergie libérée par nucléon . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Condensateur et bobine 134.1 Dipôle RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.1.2 Charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.3 Décharge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.2 Dipôle RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.1 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

4.2.2 Réponse à un échelon de tension . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1 Allure du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3.2 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Mécanique 215.1 Rappel des lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 Première loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.1.2 Deuxième loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.1.3 Troisième loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 Chute d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2.1 Chute verticale libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2.2 Chute verticale dans un �uide . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2.3 Chute parabolique dans l'air . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3 Les systèmes oscillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3.1 Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3.2 Le pendule élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Satellites - planètes 256.1 Mouvement d'une planète et lois de Kepler . . . . . . . . . . . . 25

6.1.1 Les 3 lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.1.2 Mouvement d'une planète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

Chapitre 1

Ondes

1.1 Ondes mécaniques progressives

Def : c'est une perturbation dans un milieu matérielIl existe les ondes transversales et les ondes longitudinales.La vitesse d'une onde est appelée célérité, elle est constante dans un milieuhomogène. On la retrouve grâce à la relation :

v =d

∆tou τ =

SM

vavec SM = d

1.2 Ondes mécaniques progressives périodiques

1.2.1 Périodicité temporelle : T

Tous les points traversés par l'onde vibrent à la même fréquence que lasource. T est exprimé en s.

1.2.2 Périodicité spatiale : λ

λ est appelé longueur d'onde. C'est la la distance séparant deux pointsvibrant en phase. λ est exprimé en m.

1.2.3 Relations

λ = v · T = vF

, F la fréquence en Hz

1.2.4 Dispersion

Un milieu est un milieu dispersif si la célérité des ondes dépend de lafréquence f de la source.

3

1.2.5 Di�raction

Il y a di�raction d'une onde lorsque qu'elle traverse une ouverture dont lalargeur n est du même ordre de grandeur que λ à un facteur 10 près.

1.3 Modèle ondulatoire de la lumière

On retrouve les mêmes phénomènes qu'avec les ondes mécaniques. Il y adi�raction si le facteur est de l'ordre de 1000.

Phénomène de di�raction

Il existe une autre phénomène : le phénomène de réfraction, qui décompose lalumière en un prisme en fonction de la longueur d'onde.Formules :

� λ = c · T = cν→ longueur d'onde et fréquence

� n =c

v→ indice de réfraction

� n1 · sin(θ1) = n2 · sin(θ2) → loi de réfraction

4

Phénomène de réfraction

5

Chapitre 2

Radioactivité

2.1 Notions

Un noyau radioactif est un noyau instable dont la désintégration conduità un autre noyau plus stable avec émission de particules et de rayonnementradioactif.Les désintégrations de noyau sont :

� inéluctables� aléatoires� spontanées� indépendantes

AZX → A : nb de nucléons / Z : nb de protons (n�atomique)A1Z X et

A2Z X sont deux noyaux isotopes, car Z = Z,A1 6= A2

2.2 Les réactions nucléaires

Loi de Soddy : Il y a conservation du nombre de nucléons et du nombrede charges (p+) lors d'une réaction nucélaire.

2.2.1 Radioactivité αAZX −−→ A-4

Z-2Y + 42He

Les particules 42He sont appelées particules α.

2.2.2 Radioactivités β

β− : AZX −−→ A

Z+1Y + 0-1e

β+ : AZX −−→ A

Z-1Y + 01e

2.2.3 Rayonnement γ

C'est un rayonnement électromagnétique (comme la lumière), qui accompagneles trois types de radioactivité : α, β−, β+.NB : un photon a m = 0, q = 0, et e = hν (h = cste)

6

2.3 Stabilité

Les noyaux lourds sont souvent émetteurs α, les noyaux ayant trop de protonssont émetteurs β+, les noyaux ayant trop de neutrons sont émetteurs β−.

2.4 Décroissance

2.4.1 Loi de décroissance

� N(t) = N0 · e−λt → loi de décroissance radioactive λ est la constanteradioactive d'un noyau. C'est la probabilité de désintégration, en s−1.

� N(t+ t1/2) =N(t)

2

� t1/2 =ln 2

λ

2.4.2 Activité radioactive et datation

L'activité A d'une source est égale au nombre moyen de désintégration parseconde, elle est exprimée en Becquerels (Bq).

7

� A = −dndt→ c'est la dérivée de N en fonction de t.

� A = λ ·N⇔ A(t) = A0 · e−λt

⇔ t =t1/2ln 2· ln A0

A→ datation

⇔ t = −λ−1 · ln NN0

8

Chapitre 3

Réactions nucléaires

3.1 Équivalence masse-énergie

Un système au repose de masse m possède une énergie E telle que : E = mc2

⇔ ∆E = ∆mc2On notera :

� ∆m < 0, ∆E < 0 : le système perd de l'énergie, le milieu extérieur engagne

� ∆m > 0, ∆E > 0 : le système gagne de l'énergie, le milieu extérieur lacède

3.1.1 Énergie de liaison

C'est l'énergie nécessaire pour briser un noyau au repos et libérer ses nucléons.On a :

El = |∆m| · c2 .

NB : Expérimentalement, on constate que :Z ·mp + (A− Z) ·mn > mA

ZX

⇔ Z ·mp + (A− Z) ·mn −mAZX

= défaut de masse = |∆m| > O

3.1.2 Énergie de liaison par électron

Pour comparer la stabilité des noyaux entre eux, on évalue l'énergie de liaison

par nucléon, c'est-à-dire :ElA. Un noyau est d'autant plus stable que

ElA

est

élevée.

9

Les noyaux dont le rapport est élevé sont instables, les noyaux légers fusionnent,les noyaux lourds �ssionnent. On obtient la courbe suivante, la courbe d'Aston :

3.2 Fission et fusion

3.2.1 Fission

Un noyau lourd donne naissance à deux noyaux plus légers sous l'e�et d'unchoc avec un neutron lent 10n.

Ex : 10n + 2235U→9438 Sr +10054 Xe + 2 ·10 n

Condition : neutron lent et noyau �scible (235U,239 Pu).

Conséquences : réaction en chaîne, les neutrons produisent d'autres �ssions,etc ... La réaction peut être entrenue (absorbtion des neutrons lents) ou nonavec risque d'explosion nuclaire (comme Tchernobyl).

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3.2.2 Fusion

Deux noyaux légers s'assemblent au cours d'un choc pour former un noyaulourd.

Ex :21H +

31H → 42He + 10n

Deuterium Tritium Hélium

Condition : le milieu doit être porté à de très hautes température (∼ 108�K).

NB : c'est ce qu'ils se passe dans les étoiles, et c'est la réaction utilisée dansla bombe H (amorcé par une bombe A à �ssion).

3.3 Bilan énergétique

Il y a toujours conservation de l'énergie, de ce fait :

Elibérée + ∆E = 0 ⇔ Elibérée = −∆E = 0

11

3.3.1 Énergie libérée par nucléon

� Fusion : Elibérée/électron ' 3.5 MeV/nucleon� Fission : Elibérée/électron ' 0.85 MeV/nucleon� Radioactivité α : Elibérée/électron ' 0.0219 MeV/nucleonOn remarque évidemment que la �ssion est de loin la plus énergétique.

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Chapitre 4

Condensateur et bobine

4.1 Dipôle RC

Un condensateur est un composant électronique ou électrique élémentaire,constitué de deux armatures conductrices (appelées � électrodes �) en in�uencetotale et séparées par un isolant polarisable (ou � diélectrique �). Sa propriétéprincipale est de pouvoir stocker des charges électriques opposées sur ses armature.

AB

4.1.1 Formules

� q = Cu ou qA = Cuc

u la tension en V

q la charge en C

C la capacité en C · V −1 ⇔ F (Farad)

� i = Cducdt

� E =1

2Cu2 avec E l'énergie emmagasinée en J

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4.1.2 Charge

Par convention, i > 0 et

Équation di�érentielle Selon la loi d'additivité des tensions dans un circuiten série :

E − ur − uc = 0⇔ E = RCducdt

+ uc

Les solutions de l'équation di�érentielle sont du type :uc(t) = ke

− tRC + E, après recherche, et avec τ = RC, on obtient :

uc = E(1− e−t/τ )

Cas Particuliers� t = τ : u = 0.63E → 63% de la charge� t = 5τ : u = 0.99E → 99 % de la charge, c'est le régime asymptotique

Constante de temps τ C'est une mesure qui s'exprime en s.

14

Évolution de i : i =Ee−

t/τ

R⇔ i = Imaxe−

t/τ

i décroît au cours du temps

15

4.1.3 Décharge

Par convention, i < 0 et

Équation di�érentielle Selon la loi d'additivité des tensions dans un circuiten série :

ur + uc = 0⇔ uc + CRdudt

Les solutions de l'équation di�érentielle sont du type :uc(t) = ke

−t/RC + E, après recherche, et avec τ = RC, on obtient :

uc = Ee−t/τ

Cas Particuliers� t = τ : u = 0.37E →� t = 5τ : u = 0.99E → 99 % de la décharge, c'est le régime asymptotique

Constante de temps τ C'est une mesure qui s'exprime en s. On la retrouvede la même manière qu'auparavant.

Évolution de i : i = −Imaxe−t/τ . i croît au cours du temps, |i| décroît.

4.2 Dipôle RL

Une bobine est constituée d'un enroulement serré de �ls conducteurs autourd'un isolant. Cet enroulement a une résistance de faible valeur r.

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4.2.1 Formules

Soient uL, uR, uRL les tensions aux bornes de la bobine, de la résistance etdu dipôle RL.

� uL = Ldidt

� uRL = Ldidt

+ ri

� Ebobine =1

2Li2

4.2.2 Réponse à un échelon de tension

17

Échelon de tension :

Annulation de la tension :

18

4.3 Circuit RLC

1 : charge2 : décharge

4.3.1 Allure du courant

La tension aux bornes du condensateur oscille. Les énergies respectives ducondensateur et de la bobine oscillent, la somme décroît à cause de la

dissipation par e�et Joule dans la résistance.

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Dans un circuit �idéal�, nous aurions plutôt ceci :

4.3.2 Formules

� Etotale =1

2Cu2 +

1

2Li2

� uc = um cos (w0t+ ϕ) avec :

w0 =1√LC

: pulsation propre en s−1

um : amplitude en V

ϕ : phase à l'origine des dates

� T0 = 2π√LC avec T0 la période des oscillations

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Chapitre 5

Mécanique

5.1 Rappel des lois de Newton

5.1.1 Première loi de Newton

Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures sur un objetest nulle, alors l'objet poursuit un mouvement rectiligne uniforme (M.R.U.) :∑−−→

Fext = 0

5.1.2 Deuxième loi de Newton

La somme des forces s'appliquant à un objet de massem est égale au produitde la masse par l'accélération. C'est le principe fondamental de la dynamiqueen translation. ∑−−→

Fext = m−→a

5.1.3 Troisième loi de Newton

Ou loi des actions réciproques. A et B étant deux corps en intéraction,−−→FA/B

et−−→FB/A qui décrivent l'intéraction sont directement opposées :

−→F A/B = −

−→F B/A

5.2 Chute d'un solide

5.2.1 Chute verticale libre

Vecteur position ~OM−−→OM = x

−→i + y

−→j + z

−→k

−−→OM

xyz

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OM =√x2 + y2 + z2

Vecteur vitesse ~v

−→v =d−−→OM

dt= vx

−→i + vy

−→j + vz

−→k

−→v

vx =

dxdt

= ẋ

vy =dydt

= ẏ

vz =dzdt

= ż

et v =√vx2 + vy2 + vz2 > 0

Vecteur accélération ~a

−→a = d−→vdt

=d

dt

(d−−→OM

dt

)=d2−−→OM

dt2−→a = ax

−→i + ay

−→j + az

−→k

−→a

ax =

dvxdt

= ẍ

ay =dvydt

= ÿ

az =dvzdt

= z̈

Résumé

Dans le cas d'une chute verticale libre, on a :

−−→OM

(0

1/2gt2 + v0,yt+ y0

)⇐⇒ −→v

(0

gt+ v0,y

)⇐⇒ −→a

(0g

)En considérant y0 la position et v0,y la vitesse initiale.

5.2.2 Chute verticale dans un �uide

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Trois forces s'appliquent au mobile :� le poids P = m · g� la poussée d'Archimède F = ρfluide · Vimmergé · g

� les frottements f = k · vn avec k le facteur géométrique.� faible vitesse (quelques cm/s), n = 1, f = k · v� grande vitesse (plusieurs m/s), n = 2, f = k · v2

On distingue deux régimes :� le régime transitoire (v augmente) et on a :

−→P +

−→f +

−→F = m · −→a

� le régime permanent (v est constante) et on a :−→P +

−→f +

−→F =

−→0

5.2.3 Chute parabolique dans l'air

Condition initiales

Position :−−→OG0

(00

)Vitesse : −→v0

(v0 · cosαv0 · sinα

)Équations

−→a(

0−g

)⇐⇒ −→v

(v0 · cosα

−gt+ v0 · sinα

)⇐⇒

−−→OM

(v0 · cosα · t

−1/2gt2 + v0 · sinα · t

)Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il su�t d'éliminer t entre x et y.

5.3 Les systèmes oscillants

5.3.1 Le pendule simple

Soient :� θ l'abscisse angulaire� θm l'amplitude, c'est la valeur max de |θ|� T la période en seconde et f =

1

Tla fréquence en hertz

Isochronisme : La période d'un pendule ne dépend pas de l'amplitude. C'estl'isochronisme des oscillations.

In�uence de la masse : La période ne dépend pas de la masse suspendue.

In�uence de l : La période dépend de la longueur l.

T0 = 2π

√l

g

Avec l la longueur et g la gravité.

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5.3.2 Le pendule élastique

C'est une masse accrochée à un ressort qui oscille verticalement.

Isochronisme : La période d'un pendule ne dépend pas de l'amplitude. C'estl'isochronisme des oscillations.

In�uence de la masse : La période dépend de la masse suspendue.

T0 = 2π

√m

k

Avec k la constante de raideur du ressort et m la masse.

x(t) = xm · cos (ω0t+ ϕ)

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Chapitre 6

Satellites - planètes

6.1 Mouvement d'une planète et lois de Kepler

6.1.1 Les 3 lois de Kepler

Loi des orbites :

Dans un référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'une planète estune ellipse dont le centre du soleil est un de ses foyers.De manière approximative, on admettra que les planètes ont des trajectoiresquasi circulaires, donc le centre est le soleil.

Loi des aires :

Sur ∆t constant, l'aire dé�nie par le soleil et les deux positions de la planèteest constant.

Loi des périodes :

Le rapportT 2

a3= constante , avec T la période de révolution et a le demi

grand axe (rayon).NB : cette constante est la même pour toutes les planètes.

6.1.2 Mouvement d'une planète

La trajectoire d'une planète est un MCU (mouvement circulaire uniforme).L'accélération est centripète et radiale.

a =v2

r

La vitesse ne dépend pas de la masse de la planète, mais de son rayon :

vp =

√G ·msR

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La période de révolution est la durée nécessaire à une planète pour e�ectuer untour complet autour de son soleil :

T = 2π

√r3

G ·ms

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OndesOndes mécaniques progressivesOndes mécaniques progressives périodiquesPériodicité temporelle : T Périodicité spatiale : RelationsDispersionDiffraction

Modèle ondulatoire de la lumière

RadioactivitéNotionsLes réactions nucléairesRadioactivité Radioactivités Rayonnement

StabilitéDécroissanceLoi de décroissanceActivité radioactive et datation

Réactions nucléairesÉquivalence masse-énergieÉnergie de liaisonÉnergie de liaison par électron

Fission et fusionFissionFusion

Bilan énergétiqueÉnergie libérée par nucléon

Condensateur et bobineDipôle RCFormulesChargeDécharge

Dipôle RLFormulesRéponse à un échelon de tension

Circuit RLCAllure du courantFormules

MécaniqueRappel des lois de NewtonPremière loi de NewtonDeuxième loi de NewtonTroisième loi de Newton

Chute d'un solideChute verticale libreChute verticale dans un fluideChute parabolique dans l'air

Les systèmes oscillantsLe pendule simpleLe pendule élastique

Satellites - planètesMouvement d'une planète et lois de KeplerLes 3 lois de KeplerMouvement d'une planète