Cours et exercices logique mr djeddi kamel

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Logique mel Djeddi a k Université d'Oum Elbouaghi Département de Mathématiques et Informatique Décembre 2014 E-mai:[email protected] https://www.djeddi-kamel.webs.com/apps/documents https://www.slideshare.net/djeddikamel

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Logique

mel Djeddi a k

Université d'Oum Elbouaghi

Département de Mathématiques et Informatique

Décembre 2014

E-mai:[email protected]

https://www.djeddi-kamel.webs.com/apps/documents

https://www.slideshare.net/djeddikamel

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1. I

Qu’est ce que la logique ?

Le mot «logique» provient du mot grec λoγoς (logos). qui signifie «parole, discours», et par

extension «rationalité», la logique est donc la science de la raison. Plus précisément, c’est

la science qui étudie les règles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet

de distinguer un raisonnement valide d’un raisonnement qui ne l’est pas.

La logique a ceci de particulier que l’on s’y intéresse aussi bien en mathématique pure

qu’en philosophie. La logique au sens général repose sur l’examen critique de la méthodologie

et de l’épistémologie. Pourtant, la logique au sens formel cherche à trouver de

règles générales des raisonnements en s’appuyant sur leur forme plutôt que

sur leur contenu.

2. logique Logique aristotélicienne

L’étude systématique de la logique formelle fut commencée par Aristote

(283-322 avant notre ère). Sa théorie (logique des termes) fut exposée dans

un traité intitulé Organon (instrument) par Andronicus de Rhodes. Selon

Aristote, la logique était un instrument du savoir, mais pas le savoir lui même. Elle devrait donner des

principes pour déterminer si un raisonnement

est vrai ou faux. Il est évident que l’analyse des raisonnements nécessite

l’emploi de mots, mais Aristote aperçus que la considération des mots (ou des

symboles) n’était importante que au niveau d’application.

Logique medievale La logique medieval (ou scholastique) est une continuation de la logique Aristotelicienne, developpee

en Europe medievale. Pendant cette periode, la logique medieval s’inspira des philosophie islamique. Gottfried Wihleim Leibniz (1646-1716) propose un projet revolutionnel pour symboliser la logique. Ce

projet consiste a chercher une “caracterisation universelle et artificielle” des raisonnements en les

symbolisant, et à établir des methodes automatisables de combiner ces symboles. Cependant, la

revolution scientifique pendant cette periode demande une profonde reforme de pensee sur le role de la

logique car la logique formelle devenait insuffisant comme un outil

de source de savoir.

Pendant le xviiième siecle apparaıt le calcul infinitesimal qui permet d’etablir

le calcul differentiel et le calcul integral. Le calcul infinitesimal demande la notion de la limite qui ne

pouvait etre definie que par une approche intuitive à l’epoque. Or les resultats obtenus par cette approche

etaient si puissants et importants que les mathematiques ont quitte la logique formelle pour utiliser des

outils intuitifs que la logique refuse.

Logique moderne (mathematique)

C’est le debut du xixième siecle que les mathematiciens commencaient a

etudier systematiquement la logique. L’apparition des paradoxes demandait

de resoudre les probeme de fondation des mathematiques.

De Morgan (1806-1976) et Boole (1815-1864) ont decouvert l’existence de structures

algebriques permettant de definir un “calcul de verite”. Mais cette theorie ne prend pas compte la

notion de variable.

Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel

2ième année Maths2014/2015

ntroduction

H istoire de la

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Frege publiait en 1879 le livre Begriffsschrift qui “librerait la logique d’une connexion

artificielle avec les mathematiques, tandis qu’en meme temps

il preparait une interrelation plus profonde entre ces deux sciences” (J. Van

Heijenoort).

En 1900, David Hilbert a propose dans sa liste de 23 problemes non resolus des

mathematiques la coherence de l’arithmetique comme le deuxieme probleme. Il a demande si la non-

contradiction des axiomes de l’arithmetique peut etre demontrer par des moyens finitistes.

Motive par ce programme, nombreux resultats en logique sont obtenus pendant le debut du

xxième siecle parmi lequels on voudrais sousligner :

1) les axiomes de Peano pour l’arithmetique,

2) les axiomes de Zermelo completes par Skolem et Frænkel pour la theorie des ensemble,

3) theorie des modeles, theoreme de Lowenheim-Skolem,

4) formalisation des mathematiques proposee par Whitehead et Russell,

5) theoreme de completude du calcul des predicats demontre par Godel.

Malheuresement les deux theoremes d’incompletude de Godel montrait l’impossibilite de

realiser le programme de Hilbert.

Pendant les annee 30 du xxe siecle, l’approche algorithmique de la logique

a ete developpe par Turing, von Neumann, Church... etc. Du cote de la theorie

de demonstration, Gentzen a demontre la coherence de l’arithmetique de

Peano en utilisant une induction jusqu’a l’ordinal denombrable.

Concernant la theorie des ensemble, Paul Cohen a demontre l’independance

de l’hypothese du continu en utilisant la methode de forcing qui l’a permis

de gagner un medaille de Fields (considere comme le prix de Nobel pour les mathematiciens).

On a aussi decouvert le lien entre l’information et la logique par l’in- termediaire du

lambda-calcul (la correspondance de Curry-Howard).

Aujourd’hui, la logique mathematique est un domain tres actif, qui trouve

de plus en plus d’applications en informatique, en ingenierie, en linguistique

et bien sur, en philosophie.

Dans les chapitres suivants, on introduit systematiquement les notions

elementaires de la logique mathematique, notamment le calcul propostionnel

et le calcul des predicats.

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(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)x ∧ ¬x = 0 x ∨ ¬x = 1

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(S5) x ∗ 0 = 0(S6) x ∗ y′ = (x ∗ y + x)(Si) φ(0) → (∀x (φ(x) → φ(x′)) → ∀x φ(x))

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Page 7: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

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Université de Oum El Bouaghi

Matière : Logique mathématique 2ième

année Maths

Responsable : Mr Djeddi kamel 2014/2015

Les paradoxes Définir le paradoxe

Le paradoxe est une notion ambiguë en partie parce qu’elle repose étymologiquement sur une

définition très large issue du terme grec para-doxos qui signifie « contre l’option » . On peut

entendre par cette définition que le paradoxe fait référence à un énoncé ou à une croyance

contraire à ce que l’on attend ou à l’opinion reçue. Cette définition première recouvre

cependant des significations ayant trait à des situations très différents. Le paradoxe peut, en

effet, naitre d’un raisonnement parfaitement construit mais qui aboutit à des conclusions

erronées ou inadéquates, il peut également tenir d’un raisonnement ou comportement

illogique « contraire à l’opinion commune » mais qui amène cependant à résoudre le

problème ou à fournir la solution

1-Paradoxe de Russell (le problème de la notion de propriété ou d’ensemble)

Première version (Russell)

Appelons ‘prédicable’ la propriété qu’a une propriété de s’appliquer à elle-même. Par

exemple, la propriété abstraite est abstraite, donc prédicable.

Appelons ‘imprédicable’ la propriété de n’être pas prédicable. Ainsi rouge n’est pas rouge et

donc imprédicable. On remarque alors que, paradoxalement, la propriété imprédicable est

imprédicable ssi elle n’est pas imprédicable.

Deuxième version (Russell)

Soit R l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d’eux-mêmes.

Alors R est membre de R ssi R n’est pas membre de R. En notation ensembliste

ssi Troisième version (Gonseth)

Le catalogue de tous les catalogues doit se mentionner lui-même. La plupart des

autres catalogues ne se mentionnent pas eux-mêmes. Qu’en est-il du catalogue des catalogues

qui ne se mentionnent pas eux-mêmes ? Il a la propriété paradoxale de se mentionner lui-

même ssi il ne se mentionne pas lui-même.

Quatrième version (Russell)

Le seul barbier d’un village rase toutes les personnes du village qui ne se rasent

pas elles-mêmes. Qui rase le barbier ?

2-Paradoxe du coiffeur (barbershop paradox)

un paralogisme présenté par Lewis Carroll dans une nouvelle intitulée A Logical Paradox,

parue dans l'édition de juillet 1894 de la revue Mind. Ce paradoxe illustre la difficulté

d'appréhender l'implication logique.

Présentation du paradoxe

Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la

boutique : Allen, Brown et Carr ; mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la

boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le

salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi

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Page 9: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

qu'Allen est un homme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de

Brown.

Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter : Carr est nécessairement présent à la

boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Jim en demande la démonstration et

Oncle Joe la lui donne comme suit, grâce à un pseudo raisonnement par l'absurde.

Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à

l'intérieur de la boutique : il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte.

Cependant, nous avons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est

dehors, les deux phrases suivantes « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si

Allen est sorti alors Brown est sorti » seraient toutes deux vraies en même temps.

Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal : ces deux déductions semblent incompatibles.

C'est donc, selon l'histoire, que notre hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc

logiquement être présent.

Fausseté du raisonnement

Bien évidemment ce raisonnement est faux : il est, pour exemple, tout à fait compatible avec

les hypothèses que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti.

Cela se démontre aisément en calcul propositionnel par de simples tables de vérité.

3-Le paradoxe du menteur (le problème de la notion de vérité)

Première version

Épiménide le Crétois dit que les crétois sont des menteurs. Or, Épiménide est

crétois. Donc s’il dit vrai, il ment. S’il ment, alors les crétois ne sont pas des menteurs, et donc

il dit vrai. Cette forme du paradoxe contient une erreur de raisonnement qui disparaît dans les

versions suivantes.

Deuxième version

La seule phrase dite par Paul le 1 janvier 2000 à 1 heure est :

‘Le 1 janvier 2000 à 1 heure, Paul ment.’

Cette phrase est vraie ssi elle ne l’est pas.

Troisième version (Tarski)

La phrase ‘il pleut’ est vraie ssi il pleut. En général, on a :

“ est vraie ssi “.

Lorsqu’on remplace les blancs par un énoncé.

Donc, en particulier, ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie’ est vraie ssi

la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Mais ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas

vraie’ est précisément la phrase écrite à la page 17.

On en déduit la conséquence paradoxale que la phrase écrite à la page 17 est

vraie ssi la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie.

Quatrième version

Appelons ‘Sophie’ la phrase ‘Sophie n’est pas vraie’. Alors, Sophie est vraie ssi

Sophie n’est pas vraie.

La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie.

Cinquième version (« Card paradox » de Philip Jourdain)

On lit sur les deux faces d’une feuille de papier les inscriptions suivantes :

–Recto–

La phrase écrite au verso

n’est pas vraie.

–Verso–

La phrase écrite au recto

est vraie.

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Page 10: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

4-Le paradoxe de Richard

Je vais définir un ensemble de nombres, que je nommerai l’ensemble , à l'aide des

considérations suivantes:

Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de l'alphabet français, en

rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, puis à la suite les arrangements trois à

trois, rangés par ordre alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces

arrangements peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements

avec répétition.

Quel que soit l’entier , tout arrangement des vingt-six lettres à se trouvera dans ce

tableau, et, comme tout ce qui peut s'écrire avec un nombre fini de mots est un arrangement

de lettres, tout ce qui peut s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d'indiquer le

mode de formation.

La définition d'un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec des lettres, certains de ces

arrangements seront des définitions de nombres. Biffons de nos arrangements tous ceux qui

ne sont pas des définitions de nombres.

Soit le premier nombre défini par un arrangement, le second, le troisième, etc.

On a ainsi, rangé dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à l'aide d'un nombre fini

de mots.

Donc : Tous les nombres qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots forment un

ensemble dénombrable.

Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre n'appartenant pas à cet

ensemble.

((Soit , la è décimale du è nombre de l'ensemble ; formons un nombre ayant zéro

pour partie entière et pour è décimale , si n'est égale ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le

cas contraire.))

Ce nombre n'appartient pas à l'ensemble . S'il était le è nombre de l'ensemble , son

è chiffre serait le è chiffre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas.

Je nomme le groupe de lettres entre guillemets.

Le nombre est défini par les mots du groupe , c'est-à-dire par un nombre fini de mots ; il

devrait donc appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas.

Telle est la contradiction.

Notons, tout d'abord un fait généralement négligé, qui est que J. Richard oublie l'espace pour

construire ses phrases. Les générations de lecteurs auront corrigé par eux-mêmes, ou, plus

certainement, ce problème leur a paru tellement évident, une fois posé, que le texte

proprement dit ne servait que d'étincelle, son détail concret importait peu et seul comptait le

schéma général.

Le procédé de démonstration, découvert par Cantor au siècle dernier, est nommé

« diagonalisation » ou procédé diagonal.

J. Richard poursuit son exposé en disant que cette contradiction n'est qu'apparente : dans la

mesure ou le groupe n'a pas de sens avant que soit défini, il devrait donc, selon lui, être

biffé.

Nous reviendrons sur ce type de solution

8

Page 11: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

Soit une propriété s'appliquant à des mots et soit le nom de cette propriété dans le langage

.

Nous définissons alors « hétérologique dans » de la façon suivante:

(1) Définition.: est hétérologique dans si et seulement si n'a pas la propriété dans .

Ainsi le mot français « monosyllabique, » par exemple, a quatre syllabes et donc n'est pas

monosyllabique.

Donc « monosyllabique, » en français, est hétérologique. Par contre, le mot « français » est

lui-même français et donc n'est pas hétérologique en français.

En vertu de cette définition la propriété nominale présumée a reçu le nom « hétérologique »

en français. Cependant, pour éviter toute confusion entre le nom et le concept, je désignerai le

mot « hétérologique » par la lettre . Substituons maintenant à dans la définition (1) ci-

dessus la propriété

d'hétérologie elle-même. Alors nous devons substituer à n et nous obtenons:

(2) est hétérologique en français si et seulement si n'est pas hétérologique en français.

C'est une contradiction manifeste.

Théorème (Théorème de Löwenheim-Skolem)

Si une théorie a un modèle, alors elle a un modèle (dont l’univers est) fini ou dénombrable.

Démonstration

Si une théorie a un modèle, elle est consistante, par le théorème de validité.

Il suffit alors de remarquer que le modèle invoqué dans la démonstration du théorème de

Henkin a pour univers un ensemble de termes et est donc fini ou dénombrable.

7-Le paradoxe de Skolem.

D’après ce théorème, aucune théorie consistante ne peut contraindre ses modèles à être plus

que dénombrables. Cependant il existe des théories consistantes qui disent que l’univers est

infini non dénombrable. Donc, par le théorème de Löwenheim-Skolem, ces théories du non

dénombrable ont un modèle dénombrable.

Ce paradoxe a été extrait de son contexte logico-mathématique par Hilary Putnam (dans

Models and Reality), qui — sous la forme des cerveaux dans une cuve (dans Reason, Truth

and History) — en a fait l’argument majeur en faveur de son réalisme interne.

Théorème (Théorème de compacité)

Si toute partie finie d’une théorie a un modèle, alors elle a également un modèle.

Démonstration

En raison du théorème de Henkin, il suffit de montrer que la théorie est consistante, si toute

partie finie est consistante. Cela est évident, par la définition de consistance

9

5-Le paradoxe de Grelling

Page 12: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

Constituants de la logique des propositions

A. Le Langage Un langage propositionnel est défini par :

Définition : un alphabet : un ensemble de symboles des propositions

Définition : (Négation) Enoncé non Notation : .

0 1

1 0

Définition : (Conjonction) Enoncé et Notation :

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

ours :

------------------------------------------------------------------------------------ C

Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel

2ième année Maths2014/2015

Logique propositionnelle

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Page 13: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

Définition : (Disjonction) Enoncé ou Notation :

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

Définition : (Implication) Enoncé implique , Notation :

est vrai signifie qu’il est exclu que soit vrai

sans que ne le soit.

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

Définition : (Equivalence) Enoncé Equivalant (ou bien si et seulement si) ,

Notation :

est vrai signifie est vrai.

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

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Page 14: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

. ¬0 est équivalente à 1

. ¬1 est équivalente à 0

. Les lois de Morgan :

– ¬(p^q) est équivalente à ¬p˅¬q

– ¬(p˅q) est équivalente à ¬p^¬q

7. 0 et l’élément absorbant de la conjonction : 0^p est équivalente à 0

8. 1 est l’élément absorbant de la disjonction : 1˅p est équivalente à 1

9. idempotence de la disjonction : p˅p est équivalente à p

10. idempotence de la conjonction : p^p est équivalente à p

Notion de modèle:

Terminologie : à partir de ces deux notions on pourra déduire les types des formules:

Frmule Satisfaisable ou Contingente : formule vraie pour au moins une valuation (c.à.d. Elle au

moins un modèle).

Formule Insatisfaisable ou Contradiction : formule fausse pour toute valuation (c.à.d. qui n’a pas

de modèle).

Tautologie : formule vraie pour toute valuation. On note |= ϕ pour dire que ϕ est une tautologie.

Examinez la table suivante :

p q (p q) ¬q (p ^ ¬q) (p→q)^ (p ^ ¬q) (q ˅¬q)

0

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

12

Modèle On appelle modèle une interprétation pour laquelle une formule est vraie. Par exemple h= faux= vrai= fauxi est un modèle de

(→ (∧ )).est une formule consistante. prédicats

Page 15: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

On remarque que la formule « (q ˅ ¬q) » est vraie dans toutes les situations. De telles formules, qui

vont elles aussi être utilisées pour les démonstrations, sont appelées des tautologies.

De même, il existe des formules fausses dans toute situation, qu’on appellera contradictions (la

formule « (p→q)^ (p ^ ¬q) »).

Les formules, dont la valeur de vérité dépend de la situation qui ne sont ni des tautologies ni des

contradictions, seront dites contingentes. Selon notre exemple, on peut noter : |= (q ˅ ¬q). Pour

l'abréviation, on nomme la formule (q ˅ ¬q) par et on écrit |= φ .

Manipulation de formules

table de vérité bien que pouvant être syntaxiquement différentes.

Définition : Les formules ϕ et ψ sont équivalentes noté ψ ≡ ϕ ssi Mod(ψ) = Mod(ψ).

ϕ. Informellement, deux propositions logiques A et B sont

équivalentes logiquement ssi elles ont la même valeur de vérité pour toute valuattion.

Exemple : ˅q)

Remarque : Remplacer une sous-formule ψ d’une formule ϕ par une formule équivalente ψ′ donne une

formule notée ϕ[ψ ← ψ′].

Cette substitution préserve les modèles, i.e. Mod(ϕ) = Mod(ϕ[ψ ← ψ′]).

p (p p)

p ¬p ˅ q

13

Les formules équivalentes sont des formules indistinguables par la sémantique, i.e. elles ont la même

¬¬p p

¬(p ˅ ¬p ˄ ¬q

¬(p ˄ ¬p ˅ ¬q

p ˅ (q ˄ p ˅ q) ˄ (p ˅ r)

(p ˅ q) ˄ r ˄ r ) ˅ (q ˄ r )

p → q ≡ ¬p ˅ q

q devient q)^ (q

q devient

q)

q)

r) (

(p

|= ¬(¬p ^ ¬q) (p

La définition équivaut à |= ψ

Page 16: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

érie 1 : Logique propositionnelle

------------------------------------------------------------------------------------ S

Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel

2ième année Maths2014/2015

Questions

2- Démontrer, sans tables de vérité ⇔ (p ⇔ q) ≡ q Soit V la constante "vrai" et F la constante "faux", vérifier également (sans tables de vérité)

⇒ F ≡ ¬p • V ⇒ p ≡ p

Exercice 2

Exercice

Exercice

Soit la formule P dé�nie comme (p⇒(q⇒r))⇒(r ∨ ¬p).1. Donner la table de vérité de la formule P .

2. Dire si la formule est valide, satis�able, insatis�able ?

3. La formule P a-t-elle un modèle ? si oui lequel ?

4. Donner la forme normale conjonctive et la forme normale disjonctive de la formule P .

Donné le table de vérité de

Montrer que

1.

est une tautologie

Exercice 1

3.

4.

, que : p

Enigme. Trois collègues, Ahmed, Ali et Mostafa déjeunent ensemble chaque jour ouvrable. Lesaffirmations suivantes sont vraies:1. Si Ahmed commande un dessert, Ali en commande un aussi.2. Chaque jour, soit Ali, soit Mostafa, mais pas les deux, commandent un dessert.3. Ahmed ou Mostafa, ou les deux, commandent chaque jour un dessert.4. Si Mostafa commande un dessert, Ahmed fait de même.

1. Exprimer les données du problème comme des formules propositionnelles2. Que peut-on en déduire sur qui commande un dessert?3. Pouvait-on arriver à la même conclusion en supprimant l'une des quatre affirmations?

• p

14

Page 17: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

1. Introduction : limite de la logique des propositions

L’une des limites les plus importantes de la logique des propositions est qu’elle ne peut pas analyser

certaines propositions. Dans l'exemple 1 la logique des propositions permet de voir la première

proposition comme formée au moyen de plusieurs propositions.

Par contre dans l'exemple 2, il y a quatre propositions qui sont toutes différentes

Exemple 1 :

Si Mohammed est malade, il ne sort pas P-->¬Q

Mohammed est malade P ------------------------ ----------

Mohammed ne sort pas ¬Q

Si un homme est malade, il ne sort pas P-->¬Q

Mohammed est malade R

------------------------ ---------

Mohammed ne sort pas ¬Q'

La logique des prédicats vient pour pallier ces limites.

2 Structure

Pour écrire un énoncé en logique du premier ordre, nous allons utiliserun ensemble de symboles plus riche qu’en logique des propositions. On sedonne :

– un ensemble (dénombrable) de constantes {a, b, c, . . .} ;– un ensemble (dénombrable) de variables {x, y, z, . . .} ;– un ensemble (dénombrable) de fonctions {f, g, h, . . .} ;– un ensemble (dénombrable) de prédicats, ou relations {P,Q, . . .} ;– des connecteurs logiques, {¬,∧,∨,→, . . .}, ainsi que les parenthèses

‘(’ et ‘)’ ;– les quantificateurs universel ∀ et existentiel ∃ (voir plus loin).

Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel

2ième année Maths2014/2015

ours:C ------------------------------------------------------------------------------------ prédicats Logique d'orde 1 et des

Exemple 2 :

15

Page 18: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

2.1. Termes

Un terme est une expression logique qui renvoie à un objet. Les cons-tantes, comme «Mostafa» ou « sociologie », ainsi que les variables, sontdes termes. Un terme composé est construit à l’aide d’une fonction, parexemple « père(Mostafa) » ou « cours(IA) ».

2..2 Formules

Une formule en logique des prédicats se construit similairement à uneformule en logique des propositions. En fait un prédicat va jouer un rôleanalogue à une proposition. On doit en plus prendre en compte les quanti-fications :

1. P (x1, . . . , xn) est une formule atomique ;

2. t1 = t2 est une formule atomique4 ;

3. si F est une formule, alors ¬F est une formule ;

4. si F et G sont des formules, alors (F ∧G), (F ∨G), (F → G), etc. sont des formules ;

5. si F est une formule et x une variable, alors ∀x.F et ∃x.F sont desformules.

Exemple 3 :

propositionnel pour représenter "Mohammed Est Ami De Ahme une relation qui

porte sur deux arguments

· ami s'appelle un prédicat · x et y sont des variables.

quelconques x et y, ce que l’on note ami(x, y).

Prédicats

Considérons tout d’abord des phrases qui ont clairement une structure sujet/prédicat

Omar est un homme Socrate est mortel . H(O) . M(s)

Si on met que H désigne être un homme et O = omar

· ·

Quantificateurs

t s'écrire "x E(x), mais aussi rien n’est mortel, Par exemple tout est mortel, qui pourrai

qu’on pourrait écrire "x ¬E(x).

Un autre quantificateur qu’on appelle quantificateur existentiel. On le note $,

représenter assez naturellement une phrase comme il a des choses mortels :

$ x E(x) “Il existe x tel que E(x)”.

,(FÛ G)

et il

permet de

16

Page 19: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

Liens entre ∀ et ∃ On a les lois de Morgan pour les quantificateurs :

¬∀x.F ≡ ∃x.¬F

¬∃x.F ≡ ∀x.¬F

∀x.F ≡ ¬∃x.¬F

∃x.F ≡ ¬∀x.¬F

Remarque On traduit couramment certaines expressions en logique dupremier ordre :

– « Tous les A sont B. » : ∀x.(A(x) → B(x))– « Seuls les A sont B. » : ∀x.(B(x) → A(x))– « Aucun A n’est B. » : ∀x.(A(x) → ¬B(x))– « Quelques A sont B. » : ∃x.(A(x) ∧ B(x))

Carre d’Aristote (1) L’introduction d’un quantificateur permet d’exprimer diversespropositions que nous appellerons quantifiees. Par exemple tout est ephemere, qui pourraits’ecrire ∀xE(x), mais aussi rien n’est ephemere, qu’on pourrait ecrire ∀x¬E(x).

La tradition fregeenne introduit un second quantificateur, qui n’est pas a proprementparler indispensable (il est definissable au moyen de l’universel), qu’on appelle quantifica-

teur existentiel. On le note ∃, et il permet de representer assez naturellement une phrasecomme il a des choses ephemeres : ∃xE(x) “Il existe x tel que E(x)”.

La relation entre les deux quantificateurs est assez facile a voir si on considere, parexemple, que rien n’est ephemere (∀x¬E(x)) peut aussi se dire il n’existe pas de choseephemere (¬∃xE(x)). Cette equivalence est souvent illustree sous la forme du fameuxcarre d’opposition (qui remonte a Aristote), qui permet de faire apparaıtre clairement lesinterpretations des quantificateurs (cf. figure.1).

Tout est ephemere

∀xE(x) ¬∃x¬E(x)

Rien n’est ephemere

∀x¬E(x) ¬∃xE(x)

Certaines choses

sont ephemeres

∃xE(x) ¬∀x¬E(x)

Certaines choses

ne sont pas ephemeres

∃x¬E(x) ¬∀xE(x)

��

��

��

��

��

��

���@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@-

-

contradictoire contradictoire

contr

aire

subco

ntr

aire

subalterne

subalterne

Fig.

Ce carre d’opposition, tres utile pour representer de facon synthetique l’interpretation

des quantificateurs et leurs relations, permet aussi de definir en passant les notions decontrariete et de contradiction, souvent improprement confondues.

.1 – Carre d’Aristote, quantification non restreinte

17

Page 20: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

Carre d’Aristote (2) On peut proposer maintenant une nouvelle version du carred’Aristote, avec des phrases quantificationnelles dans lesquels on distingue une restrictionet une portee : voir figure.2.

Tous les profs sont gentils

∀x(P (x) → G(x))¬∃x(P (x) ∧ ¬G(x))

Aucun prof n’est gentil

∀x(P (x) → ¬G(x))¬∃x(P (x) ∧ G(x))

Certains profs sont gentils

∃x(P (x) ∧ G(x))¬∀x(P (x) ∧ ¬G(x))

Il y a des profs pas gentils

∃x(P (x) ∧ ¬G(x))¬∀x(P (x) ∧ G(x))

��

��

��

��

��

��

���@

@@

@@

@@

@@

@@

@@

@@-

-

contradictoire contradictoire

contr

aire

subco

ntr

aire

subalterne

subalterne

Fig. .2 – Carre d’Aristote, quantification restreinte

Le rapport entre les formules universelles et existentielles quand elles sont quantifieespeut maintenant etre etudie.

Definition 1

(i) Si A est un nom de predicat du vocabulaire de L, et chacun des t1...tn uneconstante ou une variable du vocabulaire de L, alors A(t1, ..., tn) est une formule.

(ii) Si ϕ est une formule dans L, alors ¬ϕ l’est aussi.(iii) Si ϕ et ψ sont des formules dans L, alors (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), et (ϕ ↔ ψ)

sont des formules de L.(iv) Si ϕ est une formule et x une variable, alors ∀xϕ et ∃xϕ sont des formules de L.(v) Rien d’autre n’est une formule

On peut, comme precedemment, (1) laisser tomber les parentheses externes, (2) decom-poser une formule de maniere unique en un arbre, toutes les sous-formules d’une formuleapparaissant dans l’arbre.

Definition 2

Si ∀xψ est une sous-formule de ϕ, alors ψ est appele la portee de cette occurrence duquantificateur ∀x dans ϕ. Meme definition pour ∃x.

Exemple : ∃y(∀z(∃wA(z,w) → A(y, z)) ∧A(x, y)) Il faut distinguer les differentes occur-rences d’un quantificateur : (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)).

Portée d'un quantificateur

Dans les formules ("x A) et ($x A), A est appelé la portée du quantificateur.

18

Page 21: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

Definition 3

(a) Une occurrence d’une variable x dans la formule φ (qui n’est pas une partied’un quantificateur) est dite libre si cette occurrence de x ne tombe pas dansla portee d’un quantificateur ∀x ou ∃x apparaissant dans φ.

(b) Si ∀xψ (ou ∃xψ) est une sous-formule de φ et x est libre dans ψ, alors cetteoccurrence de x est dite liee par le quantificateur ∀x (ou ∃x).

Consequence : toute variable est soit libre, soit liee par un quantificateur (et un seul).

Noter que dans ∀x(A(x) ∧ ∃xB(x)) les deux occurrences de xficateurs differents. Pour eviter les confusions, on renommera les variables (muettes).

Noter aussi que dans ∀xA(y), le quantificateur ne lie aucune variable.

Une phrase est une formule sans variable libre.

∀xA(y) n’est pas une phrase, par exemple.

Une formule avec des variables libres est appelee fonction propositionnelle :P (x) → G(x) est une fonction de l’ensemble des constantes vers les propositions.Notation : [j/x](P (x) → G(x)) a les memes conditions de verites que P (j) → G(j)(N.B. : on ne remplace que les occurrences libres : [c/x](∀xA(x, x)) reste inchange).

Une occurrence d'une variable est libre si elle n'est dans la portée d'aucun quantificateur.

Sinon elle est liée.

Exemples :

Dans "y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) la première occurrence de x est libre,

tandis que la deuxième occurrence est liée. L'occurrence de y est liée.

· Formule fermée, formule ouverte

Une formule est fermée (ou close) si elle ne contient pas de variables libres. Sinon elle est

ouverte.

Exemples :

La formule A = "y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) est ouverte, car il y a une

occurrence de variable libre.

La formule B = "x "y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) est fermée (c'est la

fermeture universelle de A).

La formule $x $y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) est également fermée (c'est la

fermeture existentielle de A).

Definition 4

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Page 22: Cours et exercices  logique mr djeddi kamel

La formule sous forme prénexe est équivalente logiquement à la formule initiale. Les formules

suivantes sont en forme prénexe :

Ø ("x F) º ($x (ØF)) et Ø ($x F) º ("x (ØF))

Pour se faire, on emploie les équivalences suivantes :

· Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de la quantification

existentielle sur la disjonction :Pour toutes formules F et G et pour toute variable x, on a :

· (("x F) Ù ("x G)) º ("x(F Ù G))

· (($x F) Ú ($x G)) º ($x (F Ú G))

· considérons x une variable qui n’apparaisse pas dans G, nous avons les équivalence

suivantes:

· (("x F) Ù G) º ("x(F Ù G))

· (($x F) Ù G) º ($x (F Ù G))

· (("x F) Ú G) º ("x(F Ú G))

· (($x F) Ú G) º ($x (F Ú G))

· (("x F) à G) º($x(F à G))

· (($x F) -> G) º ("x (F à G))

· (G à ("x F)) º ("x (G à F))

· (G à ($x F)) º ($x (G à F))

Exemple: (("x($y F(x,y))) ) ®("x($y G(x,y)))) devient successivement:

20