Cours et exercices logique mr djeddi kamel
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Logique
mel Djeddi a k
Université d'Oum Elbouaghi
Département de Mathématiques et Informatique
Décembre 2014
E-mai:[email protected]
https://www.djeddi-kamel.webs.com/apps/documents
https://www.slideshare.net/djeddikamel
1. I
Qu’est ce que la logique ?
Le mot «logique» provient du mot grec λoγoς (logos). qui signifie «parole, discours», et par
extension «rationalité», la logique est donc la science de la raison. Plus précisément, c’est
la science qui étudie les règles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet
de distinguer un raisonnement valide d’un raisonnement qui ne l’est pas.
La logique a ceci de particulier que l’on s’y intéresse aussi bien en mathématique pure
qu’en philosophie. La logique au sens général repose sur l’examen critique de la méthodologie
et de l’épistémologie. Pourtant, la logique au sens formel cherche à trouver de
règles générales des raisonnements en s’appuyant sur leur forme plutôt que
sur leur contenu.
2. logique Logique aristotélicienne
L’étude systématique de la logique formelle fut commencée par Aristote
(283-322 avant notre ère). Sa théorie (logique des termes) fut exposée dans
un traité intitulé Organon (instrument) par Andronicus de Rhodes. Selon
Aristote, la logique était un instrument du savoir, mais pas le savoir lui même. Elle devrait donner des
principes pour déterminer si un raisonnement
est vrai ou faux. Il est évident que l’analyse des raisonnements nécessite
l’emploi de mots, mais Aristote aperçus que la considération des mots (ou des
symboles) n’était importante que au niveau d’application.
Logique medievale La logique medieval (ou scholastique) est une continuation de la logique Aristotelicienne, developpee
en Europe medievale. Pendant cette periode, la logique medieval s’inspira des philosophie islamique. Gottfried Wihleim Leibniz (1646-1716) propose un projet revolutionnel pour symboliser la logique. Ce
projet consiste a chercher une “caracterisation universelle et artificielle” des raisonnements en les
symbolisant, et à établir des methodes automatisables de combiner ces symboles. Cependant, la
revolution scientifique pendant cette periode demande une profonde reforme de pensee sur le role de la
logique car la logique formelle devenait insuffisant comme un outil
de source de savoir.
Pendant le xviiième siecle apparaıt le calcul infinitesimal qui permet d’etablir
le calcul differentiel et le calcul integral. Le calcul infinitesimal demande la notion de la limite qui ne
pouvait etre definie que par une approche intuitive à l’epoque. Or les resultats obtenus par cette approche
etaient si puissants et importants que les mathematiques ont quitte la logique formelle pour utiliser des
outils intuitifs que la logique refuse.
Logique moderne (mathematique)
C’est le debut du xixième siecle que les mathematiciens commencaient a
etudier systematiquement la logique. L’apparition des paradoxes demandait
de resoudre les probeme de fondation des mathematiques.
De Morgan (1806-1976) et Boole (1815-1864) ont decouvert l’existence de structures
algebriques permettant de definir un “calcul de verite”. Mais cette theorie ne prend pas compte la
notion de variable.
Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel
2ième année Maths2014/2015
ntroduction
H istoire de la
1
Frege publiait en 1879 le livre Begriffsschrift qui “librerait la logique d’une connexion
artificielle avec les mathematiques, tandis qu’en meme temps
il preparait une interrelation plus profonde entre ces deux sciences” (J. Van
Heijenoort).
En 1900, David Hilbert a propose dans sa liste de 23 problemes non resolus des
mathematiques la coherence de l’arithmetique comme le deuxieme probleme. Il a demande si la non-
contradiction des axiomes de l’arithmetique peut etre demontrer par des moyens finitistes.
Motive par ce programme, nombreux resultats en logique sont obtenus pendant le debut du
xxième siecle parmi lequels on voudrais sousligner :
1) les axiomes de Peano pour l’arithmetique,
2) les axiomes de Zermelo completes par Skolem et Frænkel pour la theorie des ensemble,
3) theorie des modeles, theoreme de Lowenheim-Skolem,
4) formalisation des mathematiques proposee par Whitehead et Russell,
5) theoreme de completude du calcul des predicats demontre par Godel.
Malheuresement les deux theoremes d’incompletude de Godel montrait l’impossibilite de
realiser le programme de Hilbert.
Pendant les annee 30 du xxe siecle, l’approche algorithmique de la logique
a ete developpe par Turing, von Neumann, Church... etc. Du cote de la theorie
de demonstration, Gentzen a demontre la coherence de l’arithmetique de
Peano en utilisant une induction jusqu’a l’ordinal denombrable.
Concernant la theorie des ensemble, Paul Cohen a demontre l’independance
de l’hypothese du continu en utilisant la methode de forcing qui l’a permis
de gagner un medaille de Fields (considere comme le prix de Nobel pour les mathematiciens).
On a aussi decouvert le lien entre l’information et la logique par l’in- termediaire du
lambda-calcul (la correspondance de Curry-Howard).
Aujourd’hui, la logique mathematique est un domain tres actif, qui trouve
de plus en plus d’applications en informatique, en ingenierie, en linguistique
et bien sur, en philosophie.
Dans les chapitres suivants, on introduit systematiquement les notions
elementaires de la logique mathematique, notamment le calcul propostionnel
et le calcul des predicats.
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(x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z)x ∧ ¬x = 0 x ∨ ¬x = 1
2
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3
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(S1) ¬(0 = x′)(S2) x′ = y′ → x = y(S3) x + 0 = x(S4) x + y′ = (x + y)′
(S5) x ∗ 0 = 0(S6) x ∗ y′ = (x ∗ y + x)(Si) φ(0) → (∀x (φ(x) → φ(x′)) → ∀x φ(x))
/(Si) ��� � �(���� � ������. φ ��� �� ������ ����� ��� !� �� �� ��� ,� ����� ��� �������� � �� � � ���������� I ����. � ����"�� ��� �$� �� ���� ���� !� � ���� ��������!��3�
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4
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Université de Oum El Bouaghi
Matière : Logique mathématique 2ième
année Maths
Responsable : Mr Djeddi kamel 2014/2015
Les paradoxes Définir le paradoxe
Le paradoxe est une notion ambiguë en partie parce qu’elle repose étymologiquement sur une
définition très large issue du terme grec para-doxos qui signifie « contre l’option » . On peut
entendre par cette définition que le paradoxe fait référence à un énoncé ou à une croyance
contraire à ce que l’on attend ou à l’opinion reçue. Cette définition première recouvre
cependant des significations ayant trait à des situations très différents. Le paradoxe peut, en
effet, naitre d’un raisonnement parfaitement construit mais qui aboutit à des conclusions
erronées ou inadéquates, il peut également tenir d’un raisonnement ou comportement
illogique « contraire à l’opinion commune » mais qui amène cependant à résoudre le
problème ou à fournir la solution
1-Paradoxe de Russell (le problème de la notion de propriété ou d’ensemble)
Première version (Russell)
Appelons ‘prédicable’ la propriété qu’a une propriété de s’appliquer à elle-même. Par
exemple, la propriété abstraite est abstraite, donc prédicable.
Appelons ‘imprédicable’ la propriété de n’être pas prédicable. Ainsi rouge n’est pas rouge et
donc imprédicable. On remarque alors que, paradoxalement, la propriété imprédicable est
imprédicable ssi elle n’est pas imprédicable.
Deuxième version (Russell)
Soit R l’ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas membres d’eux-mêmes.
Alors R est membre de R ssi R n’est pas membre de R. En notation ensembliste
ssi Troisième version (Gonseth)
Le catalogue de tous les catalogues doit se mentionner lui-même. La plupart des
autres catalogues ne se mentionnent pas eux-mêmes. Qu’en est-il du catalogue des catalogues
qui ne se mentionnent pas eux-mêmes ? Il a la propriété paradoxale de se mentionner lui-
même ssi il ne se mentionne pas lui-même.
Quatrième version (Russell)
Le seul barbier d’un village rase toutes les personnes du village qui ne se rasent
pas elles-mêmes. Qui rase le barbier ?
2-Paradoxe du coiffeur (barbershop paradox)
un paralogisme présenté par Lewis Carroll dans une nouvelle intitulée A Logical Paradox,
parue dans l'édition de juillet 1894 de la revue Mind. Ce paradoxe illustre la difficulté
d'appréhender l'implication logique.
Présentation du paradoxe
Oncle Joe et Oncle Jim vont chez le coiffeur. Trois coiffeurs vivent et travaillent dans la
boutique : Allen, Brown et Carr ; mais ils ne sont pas toujours présents tous les trois dans la
boutique. Carr est un bon barbier, et Oncle Jim tient à être coiffé par celui-ci. Il sait que le
salon de coiffure est ouvert, et que donc un des trois au moins est présent. Il sait aussi
6
qu'Allen est un homme très nerveux qui ne peut quitter la boutique sans être accompagné de
Brown.
Oncle Joe lui explique qu'il n'a pas à s'inquiéter : Carr est nécessairement présent à la
boutique, et ceci peut être prouvé par la logique. Oncle Jim en demande la démonstration et
Oncle Joe la lui donne comme suit, grâce à un pseudo raisonnement par l'absurde.
Supposons que Carr soit sorti. Dans ce cas, si Allen est aussi sorti, Brown est forcément à
l'intérieur de la boutique : il doit y avoir en effet quelqu'un pour que celle-ci soit ouverte.
Cependant, nous avons que quand Allen sort, il prend Brown avec lui. Si donc Carr est
dehors, les deux phrases suivantes « si Allen est sorti alors Brown est à l'intérieur » et « si
Allen est sorti alors Brown est sorti » seraient toutes deux vraies en même temps.
Oncle Joe remarque que cela semble paradoxal : ces deux déductions semblent incompatibles.
C'est donc, selon l'histoire, que notre hypothèse de départ est fausse et Carr doit donc
logiquement être présent.
Fausseté du raisonnement
Bien évidemment ce raisonnement est faux : il est, pour exemple, tout à fait compatible avec
les hypothèses que Allen et Brown soient tous deux dans la boutique et que Carr soit sorti.
Cela se démontre aisément en calcul propositionnel par de simples tables de vérité.
3-Le paradoxe du menteur (le problème de la notion de vérité)
Première version
Épiménide le Crétois dit que les crétois sont des menteurs. Or, Épiménide est
crétois. Donc s’il dit vrai, il ment. S’il ment, alors les crétois ne sont pas des menteurs, et donc
il dit vrai. Cette forme du paradoxe contient une erreur de raisonnement qui disparaît dans les
versions suivantes.
Deuxième version
La seule phrase dite par Paul le 1 janvier 2000 à 1 heure est :
‘Le 1 janvier 2000 à 1 heure, Paul ment.’
Cette phrase est vraie ssi elle ne l’est pas.
Troisième version (Tarski)
La phrase ‘il pleut’ est vraie ssi il pleut. En général, on a :
“ est vraie ssi “.
Lorsqu’on remplace les blancs par un énoncé.
Donc, en particulier, ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie’ est vraie ssi
la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie. Mais ‘La phrase écrite à la page 17 n’est pas
vraie’ est précisément la phrase écrite à la page 17.
On en déduit la conséquence paradoxale que la phrase écrite à la page 17 est
vraie ssi la phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie.
Quatrième version
Appelons ‘Sophie’ la phrase ‘Sophie n’est pas vraie’. Alors, Sophie est vraie ssi
Sophie n’est pas vraie.
La phrase écrite à la page 17 n’est pas vraie.
Cinquième version (« Card paradox » de Philip Jourdain)
On lit sur les deux faces d’une feuille de papier les inscriptions suivantes :
–Recto–
La phrase écrite au verso
n’est pas vraie.
–Verso–
La phrase écrite au recto
est vraie.
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4-Le paradoxe de Richard
Je vais définir un ensemble de nombres, que je nommerai l’ensemble , à l'aide des
considérations suivantes:
Ecrivons tous les arrangements deux à deux des vingt-six lettres de l'alphabet français, en
rangeant ces arrangements par ordre alphabétique, puis à la suite les arrangements trois à
trois, rangés par ordre alphabétique, puis, à la suite, ceux quatre à quatre, etc. Ces
arrangements peuvent contenir la même lettre répétée plusieurs fois, ce sont des arrangements
avec répétition.
Quel que soit l’entier , tout arrangement des vingt-six lettres à se trouvera dans ce
tableau, et, comme tout ce qui peut s'écrire avec un nombre fini de mots est un arrangement
de lettres, tout ce qui peut s'écrire se trouvera dans le tableau dont nous venons d'indiquer le
mode de formation.
La définition d'un nombre se faisant avec des mots, et ceux-ci avec des lettres, certains de ces
arrangements seront des définitions de nombres. Biffons de nos arrangements tous ceux qui
ne sont pas des définitions de nombres.
Soit le premier nombre défini par un arrangement, le second, le troisième, etc.
On a ainsi, rangé dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à l'aide d'un nombre fini
de mots.
Donc : Tous les nombres qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots forment un
ensemble dénombrable.
Voici maintenant où est la contradiction. On peut former un nombre n'appartenant pas à cet
ensemble.
((Soit , la è décimale du è nombre de l'ensemble ; formons un nombre ayant zéro
pour partie entière et pour è décimale , si n'est égale ni à 8 ni à 9, et l'unité dans le
cas contraire.))
Ce nombre n'appartient pas à l'ensemble . S'il était le è nombre de l'ensemble , son
è chiffre serait le è chiffre décimal de ce nombre, ce qui n'est pas.
Je nomme le groupe de lettres entre guillemets.
Le nombre est défini par les mots du groupe , c'est-à-dire par un nombre fini de mots ; il
devrait donc appartenir à l'ensemble E. Or, on a vu qu'il n'y appartient pas.
Telle est la contradiction.
Notons, tout d'abord un fait généralement négligé, qui est que J. Richard oublie l'espace pour
construire ses phrases. Les générations de lecteurs auront corrigé par eux-mêmes, ou, plus
certainement, ce problème leur a paru tellement évident, une fois posé, que le texte
proprement dit ne servait que d'étincelle, son détail concret importait peu et seul comptait le
schéma général.
Le procédé de démonstration, découvert par Cantor au siècle dernier, est nommé
« diagonalisation » ou procédé diagonal.
J. Richard poursuit son exposé en disant que cette contradiction n'est qu'apparente : dans la
mesure ou le groupe n'a pas de sens avant que soit défini, il devrait donc, selon lui, être
biffé.
Nous reviendrons sur ce type de solution
8
Soit une propriété s'appliquant à des mots et soit le nom de cette propriété dans le langage
.
Nous définissons alors « hétérologique dans » de la façon suivante:
(1) Définition.: est hétérologique dans si et seulement si n'a pas la propriété dans .
Ainsi le mot français « monosyllabique, » par exemple, a quatre syllabes et donc n'est pas
monosyllabique.
Donc « monosyllabique, » en français, est hétérologique. Par contre, le mot « français » est
lui-même français et donc n'est pas hétérologique en français.
En vertu de cette définition la propriété nominale présumée a reçu le nom « hétérologique »
en français. Cependant, pour éviter toute confusion entre le nom et le concept, je désignerai le
mot « hétérologique » par la lettre . Substituons maintenant à dans la définition (1) ci-
dessus la propriété
d'hétérologie elle-même. Alors nous devons substituer à n et nous obtenons:
(2) est hétérologique en français si et seulement si n'est pas hétérologique en français.
C'est une contradiction manifeste.
Théorème (Théorème de Löwenheim-Skolem)
Si une théorie a un modèle, alors elle a un modèle (dont l’univers est) fini ou dénombrable.
Démonstration
Si une théorie a un modèle, elle est consistante, par le théorème de validité.
Il suffit alors de remarquer que le modèle invoqué dans la démonstration du théorème de
Henkin a pour univers un ensemble de termes et est donc fini ou dénombrable.
7-Le paradoxe de Skolem.
D’après ce théorème, aucune théorie consistante ne peut contraindre ses modèles à être plus
que dénombrables. Cependant il existe des théories consistantes qui disent que l’univers est
infini non dénombrable. Donc, par le théorème de Löwenheim-Skolem, ces théories du non
dénombrable ont un modèle dénombrable.
Ce paradoxe a été extrait de son contexte logico-mathématique par Hilary Putnam (dans
Models and Reality), qui — sous la forme des cerveaux dans une cuve (dans Reason, Truth
and History) — en a fait l’argument majeur en faveur de son réalisme interne.
Théorème (Théorème de compacité)
Si toute partie finie d’une théorie a un modèle, alors elle a également un modèle.
Démonstration
En raison du théorème de Henkin, il suffit de montrer que la théorie est consistante, si toute
partie finie est consistante. Cela est évident, par la définition de consistance
9
5-Le paradoxe de Grelling
Constituants de la logique des propositions
A. Le Langage Un langage propositionnel est défini par :
Définition : un alphabet : un ensemble de symboles des propositions
Définition : (Négation) Enoncé non Notation : .
0 1
1 0
Définition : (Conjonction) Enoncé et Notation :
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
ours :
------------------------------------------------------------------------------------ C
Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel
2ième année Maths2014/2015
Logique propositionnelle
10
Définition : (Disjonction) Enoncé ou Notation :
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Définition : (Implication) Enoncé implique , Notation :
est vrai signifie qu’il est exclu que soit vrai
sans que ne le soit.
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
Définition : (Equivalence) Enoncé Equivalant (ou bien si et seulement si) ,
Notation :
est vrai signifie est vrai.
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
11
. ¬0 est équivalente à 1
. ¬1 est équivalente à 0
. Les lois de Morgan :
– ¬(p^q) est équivalente à ¬p˅¬q
– ¬(p˅q) est équivalente à ¬p^¬q
7. 0 et l’élément absorbant de la conjonction : 0^p est équivalente à 0
8. 1 est l’élément absorbant de la disjonction : 1˅p est équivalente à 1
9. idempotence de la disjonction : p˅p est équivalente à p
10. idempotence de la conjonction : p^p est équivalente à p
Notion de modèle:
Terminologie : à partir de ces deux notions on pourra déduire les types des formules:
Frmule Satisfaisable ou Contingente : formule vraie pour au moins une valuation (c.à.d. Elle au
moins un modèle).
Formule Insatisfaisable ou Contradiction : formule fausse pour toute valuation (c.à.d. qui n’a pas
de modèle).
Tautologie : formule vraie pour toute valuation. On note |= ϕ pour dire que ϕ est une tautologie.
Examinez la table suivante :
p q (p q) ¬q (p ^ ¬q) (p→q)^ (p ^ ¬q) (q ˅¬q)
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
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Modèle On appelle modèle une interprétation pour laquelle une formule est vraie. Par exemple h= faux= vrai= fauxi est un modèle de
(→ (∧ )).est une formule consistante. prédicats
On remarque que la formule « (q ˅ ¬q) » est vraie dans toutes les situations. De telles formules, qui
vont elles aussi être utilisées pour les démonstrations, sont appelées des tautologies.
De même, il existe des formules fausses dans toute situation, qu’on appellera contradictions (la
formule « (p→q)^ (p ^ ¬q) »).
Les formules, dont la valeur de vérité dépend de la situation qui ne sont ni des tautologies ni des
contradictions, seront dites contingentes. Selon notre exemple, on peut noter : |= (q ˅ ¬q). Pour
l'abréviation, on nomme la formule (q ˅ ¬q) par et on écrit |= φ .
Manipulation de formules
table de vérité bien que pouvant être syntaxiquement différentes.
Définition : Les formules ϕ et ψ sont équivalentes noté ψ ≡ ϕ ssi Mod(ψ) = Mod(ψ).
ϕ. Informellement, deux propositions logiques A et B sont
équivalentes logiquement ssi elles ont la même valeur de vérité pour toute valuattion.
Exemple : ˅q)
Remarque : Remplacer une sous-formule ψ d’une formule ϕ par une formule équivalente ψ′ donne une
formule notée ϕ[ψ ← ψ′].
Cette substitution préserve les modèles, i.e. Mod(ϕ) = Mod(ϕ[ψ ← ψ′]).
p (p p)
p ¬p ˅ q
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Les formules équivalentes sont des formules indistinguables par la sémantique, i.e. elles ont la même
¬¬p p
¬(p ˅ ¬p ˄ ¬q
¬(p ˄ ¬p ˅ ¬q
p ˅ (q ˄ p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
(p ˅ q) ˄ r ˄ r ) ˅ (q ˄ r )
p → q ≡ ¬p ˅ q
q devient q)^ (q
q devient
q)
q)
r) (
(p
|= ¬(¬p ^ ¬q) (p
La définition équivaut à |= ψ
•
•
•
•
•
•
•
•
érie 1 : Logique propositionnelle
------------------------------------------------------------------------------------ S
Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel
2ième année Maths2014/2015
Questions
2- Démontrer, sans tables de vérité ⇔ (p ⇔ q) ≡ q Soit V la constante "vrai" et F la constante "faux", vérifier également (sans tables de vérité)
⇒ F ≡ ¬p • V ⇒ p ≡ p
Exercice 2
Exercice
Exercice
Soit la formule P dé�nie comme (p⇒(q⇒r))⇒(r ∨ ¬p).1. Donner la table de vérité de la formule P .
2. Dire si la formule est valide, satis�able, insatis�able ?
3. La formule P a-t-elle un modèle ? si oui lequel ?
4. Donner la forme normale conjonctive et la forme normale disjonctive de la formule P .
Donné le table de vérité de
Montrer que
1.
est une tautologie
Exercice 1
3.
4.
, que : p
Enigme. Trois collègues, Ahmed, Ali et Mostafa déjeunent ensemble chaque jour ouvrable. Lesaffirmations suivantes sont vraies:1. Si Ahmed commande un dessert, Ali en commande un aussi.2. Chaque jour, soit Ali, soit Mostafa, mais pas les deux, commandent un dessert.3. Ahmed ou Mostafa, ou les deux, commandent chaque jour un dessert.4. Si Mostafa commande un dessert, Ahmed fait de même.
1. Exprimer les données du problème comme des formules propositionnelles2. Que peut-on en déduire sur qui commande un dessert?3. Pouvait-on arriver à la même conclusion en supprimant l'une des quatre affirmations?
• p
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1. Introduction : limite de la logique des propositions
L’une des limites les plus importantes de la logique des propositions est qu’elle ne peut pas analyser
certaines propositions. Dans l'exemple 1 la logique des propositions permet de voir la première
proposition comme formée au moyen de plusieurs propositions.
Par contre dans l'exemple 2, il y a quatre propositions qui sont toutes différentes
Exemple 1 :
Si Mohammed est malade, il ne sort pas P-->¬Q
Mohammed est malade P ------------------------ ----------
Mohammed ne sort pas ¬Q
Si un homme est malade, il ne sort pas P-->¬Q
Mohammed est malade R
------------------------ ---------
Mohammed ne sort pas ¬Q'
La logique des prédicats vient pour pallier ces limites.
2 Structure
Pour écrire un énoncé en logique du premier ordre, nous allons utiliserun ensemble de symboles plus riche qu’en logique des propositions. On sedonne :
– un ensemble (dénombrable) de constantes {a, b, c, . . .} ;– un ensemble (dénombrable) de variables {x, y, z, . . .} ;– un ensemble (dénombrable) de fonctions {f, g, h, . . .} ;– un ensemble (dénombrable) de prédicats, ou relations {P,Q, . . .} ;– des connecteurs logiques, {¬,∧,∨,→, . . .}, ainsi que les parenthèses
‘(’ et ‘)’ ;– les quantificateurs universel ∀ et existentiel ∃ (voir plus loin).
Matière : Logique mathématiqueResponsable : Mr Djeddi kamel
2ième année Maths2014/2015
ours:C ------------------------------------------------------------------------------------ prédicats Logique d'orde 1 et des
Exemple 2 :
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2.1. Termes
Un terme est une expression logique qui renvoie à un objet. Les cons-tantes, comme «Mostafa» ou « sociologie », ainsi que les variables, sontdes termes. Un terme composé est construit à l’aide d’une fonction, parexemple « père(Mostafa) » ou « cours(IA) ».
2..2 Formules
Une formule en logique des prédicats se construit similairement à uneformule en logique des propositions. En fait un prédicat va jouer un rôleanalogue à une proposition. On doit en plus prendre en compte les quanti-fications :
1. P (x1, . . . , xn) est une formule atomique ;
2. t1 = t2 est une formule atomique4 ;
3. si F est une formule, alors ¬F est une formule ;
4. si F et G sont des formules, alors (F ∧G), (F ∨G), (F → G), etc. sont des formules ;
5. si F est une formule et x une variable, alors ∀x.F et ∃x.F sont desformules.
Exemple 3 :
propositionnel pour représenter "Mohammed Est Ami De Ahme une relation qui
porte sur deux arguments
· ami s'appelle un prédicat · x et y sont des variables.
quelconques x et y, ce que l’on note ami(x, y).
Prédicats
Considérons tout d’abord des phrases qui ont clairement une structure sujet/prédicat
Omar est un homme Socrate est mortel . H(O) . M(s)
Si on met que H désigne être un homme et O = omar
· ·
Quantificateurs
t s'écrire "x E(x), mais aussi rien n’est mortel, Par exemple tout est mortel, qui pourrai
qu’on pourrait écrire "x ¬E(x).
Un autre quantificateur qu’on appelle quantificateur existentiel. On le note $,
représenter assez naturellement une phrase comme il a des choses mortels :
$ x E(x) “Il existe x tel que E(x)”.
,(FÛ G)
et il
permet de
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Liens entre ∀ et ∃ On a les lois de Morgan pour les quantificateurs :
¬∀x.F ≡ ∃x.¬F
¬∃x.F ≡ ∀x.¬F
∀x.F ≡ ¬∃x.¬F
∃x.F ≡ ¬∀x.¬F
Remarque On traduit couramment certaines expressions en logique dupremier ordre :
– « Tous les A sont B. » : ∀x.(A(x) → B(x))– « Seuls les A sont B. » : ∀x.(B(x) → A(x))– « Aucun A n’est B. » : ∀x.(A(x) → ¬B(x))– « Quelques A sont B. » : ∃x.(A(x) ∧ B(x))
Carre d’Aristote (1) L’introduction d’un quantificateur permet d’exprimer diversespropositions que nous appellerons quantifiees. Par exemple tout est ephemere, qui pourraits’ecrire ∀xE(x), mais aussi rien n’est ephemere, qu’on pourrait ecrire ∀x¬E(x).
La tradition fregeenne introduit un second quantificateur, qui n’est pas a proprementparler indispensable (il est definissable au moyen de l’universel), qu’on appelle quantifica-
teur existentiel. On le note ∃, et il permet de representer assez naturellement une phrasecomme il a des choses ephemeres : ∃xE(x) “Il existe x tel que E(x)”.
La relation entre les deux quantificateurs est assez facile a voir si on considere, parexemple, que rien n’est ephemere (∀x¬E(x)) peut aussi se dire il n’existe pas de choseephemere (¬∃xE(x)). Cette equivalence est souvent illustree sous la forme du fameuxcarre d’opposition (qui remonte a Aristote), qui permet de faire apparaıtre clairement lesinterpretations des quantificateurs (cf. figure.1).
Tout est ephemere
∀xE(x) ¬∃x¬E(x)
Rien n’est ephemere
∀x¬E(x) ¬∃xE(x)
Certaines choses
sont ephemeres
∃xE(x) ¬∀x¬E(x)
Certaines choses
ne sont pas ephemeres
∃x¬E(x) ¬∀xE(x)
��
��
��
��
��
��
���@
@@
@@
@@
@@
@@
@@
@@-
-
contradictoire contradictoire
contr
aire
subco
ntr
aire
subalterne
subalterne
Fig.
Ce carre d’opposition, tres utile pour representer de facon synthetique l’interpretation
des quantificateurs et leurs relations, permet aussi de definir en passant les notions decontrariete et de contradiction, souvent improprement confondues.
.1 – Carre d’Aristote, quantification non restreinte
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Carre d’Aristote (2) On peut proposer maintenant une nouvelle version du carred’Aristote, avec des phrases quantificationnelles dans lesquels on distingue une restrictionet une portee : voir figure.2.
Tous les profs sont gentils
∀x(P (x) → G(x))¬∃x(P (x) ∧ ¬G(x))
Aucun prof n’est gentil
∀x(P (x) → ¬G(x))¬∃x(P (x) ∧ G(x))
Certains profs sont gentils
∃x(P (x) ∧ G(x))¬∀x(P (x) ∧ ¬G(x))
Il y a des profs pas gentils
∃x(P (x) ∧ ¬G(x))¬∀x(P (x) ∧ G(x))
��
��
��
��
��
��
���@
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@@-
-
contradictoire contradictoire
contr
aire
subco
ntr
aire
subalterne
subalterne
Fig. .2 – Carre d’Aristote, quantification restreinte
Le rapport entre les formules universelles et existentielles quand elles sont quantifieespeut maintenant etre etudie.
Definition 1
(i) Si A est un nom de predicat du vocabulaire de L, et chacun des t1...tn uneconstante ou une variable du vocabulaire de L, alors A(t1, ..., tn) est une formule.
(ii) Si ϕ est une formule dans L, alors ¬ϕ l’est aussi.(iii) Si ϕ et ψ sont des formules dans L, alors (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), et (ϕ ↔ ψ)
sont des formules de L.(iv) Si ϕ est une formule et x une variable, alors ∀xϕ et ∃xϕ sont des formules de L.(v) Rien d’autre n’est une formule
On peut, comme precedemment, (1) laisser tomber les parentheses externes, (2) decom-poser une formule de maniere unique en un arbre, toutes les sous-formules d’une formuleapparaissant dans l’arbre.
Definition 2
Si ∀xψ est une sous-formule de ϕ, alors ψ est appele la portee de cette occurrence duquantificateur ∀x dans ϕ. Meme definition pour ∃x.
Exemple : ∃y(∀z(∃wA(z,w) → A(y, z)) ∧A(x, y)) Il faut distinguer les differentes occur-rences d’un quantificateur : (∃xA(x) ∧ ∃xB(x)).
Portée d'un quantificateur
Dans les formules ("x A) et ($x A), A est appelé la portée du quantificateur.
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Definition 3
(a) Une occurrence d’une variable x dans la formule φ (qui n’est pas une partied’un quantificateur) est dite libre si cette occurrence de x ne tombe pas dansla portee d’un quantificateur ∀x ou ∃x apparaissant dans φ.
(b) Si ∀xψ (ou ∃xψ) est une sous-formule de φ et x est libre dans ψ, alors cetteoccurrence de x est dite liee par le quantificateur ∀x (ou ∃x).
Consequence : toute variable est soit libre, soit liee par un quantificateur (et un seul).
Noter que dans ∀x(A(x) ∧ ∃xB(x)) les deux occurrences de xficateurs differents. Pour eviter les confusions, on renommera les variables (muettes).
Noter aussi que dans ∀xA(y), le quantificateur ne lie aucune variable.
Une phrase est une formule sans variable libre.
∀xA(y) n’est pas une phrase, par exemple.
Une formule avec des variables libres est appelee fonction propositionnelle :P (x) → G(x) est une fonction de l’ensemble des constantes vers les propositions.Notation : [j/x](P (x) → G(x)) a les memes conditions de verites que P (j) → G(j)(N.B. : on ne remplace que les occurrences libres : [c/x](∀xA(x, x)) reste inchange).
Une occurrence d'une variable est libre si elle n'est dans la portée d'aucun quantificateur.
Sinon elle est liée.
Exemples :
Dans "y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) la première occurrence de x est libre,
tandis que la deuxième occurrence est liée. L'occurrence de y est liée.
· Formule fermée, formule ouverte
Une formule est fermée (ou close) si elle ne contient pas de variables libres. Sinon elle est
ouverte.
Exemples :
La formule A = "y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) est ouverte, car il y a une
occurrence de variable libre.
La formule B = "x "y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) est fermée (c'est la
fermeture universelle de A).
La formule $x $y ((p(x) v $x p(x)) & q(y)) est également fermée (c'est la
fermeture existentielle de A).
Definition 4
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La formule sous forme prénexe est équivalente logiquement à la formule initiale. Les formules
suivantes sont en forme prénexe :
Ø ("x F) º ($x (ØF)) et Ø ($x F) º ("x (ØF))
Pour se faire, on emploie les équivalences suivantes :
· Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de la quantification
existentielle sur la disjonction :Pour toutes formules F et G et pour toute variable x, on a :
· (("x F) Ù ("x G)) º ("x(F Ù G))
· (($x F) Ú ($x G)) º ($x (F Ú G))
· considérons x une variable qui n’apparaisse pas dans G, nous avons les équivalence
suivantes:
· (("x F) Ù G) º ("x(F Ù G))
· (($x F) Ù G) º ($x (F Ù G))
· (("x F) Ú G) º ("x(F Ú G))
· (($x F) Ú G) º ($x (F Ú G))
· (("x F) à G) º($x(F à G))
· (($x F) -> G) º ("x (F à G))
· (G à ("x F)) º ("x (G à F))
· (G à ($x F)) º ($x (G à F))
Exemple: (("x($y F(x,y))) ) ®("x($y G(x,y)))) devient successivement:
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