Cours 3: Complétude. Grands théorèmes de la logique ... · Grands th eor emes de la logique....

Cours 3: Completude. Grands theoremes de lalogique. Incompletude de la logique du premier

ordre.

Olivier Bournez Ecole Polytechnique

[email protected] INF4231

Retour sur l’episode precedent

On a introduit le calcul des predicats :

I Syntaxe :

• Etant fixee une signature Σ = (C,F ,R),• On definit la notion de terme, terme clos, formule

atomique, formule, formule close sur cette signature.

I Semantique :

• Etant donnee une structure M de signature Σ de domaine M,• et pour une valuation v , on definit l’interpretation d’un

terme, d’une formule atomique et d’une formule pourcette valuation.

2



I Syntaxe :

• Etant fixee une signature Σ = (C,F ,R),

• On definit la notion de terme, terme clos, formuleatomique, formule, formule close sur cette signature.

I Semantique :



2



I Syntaxe :



I Semantique :



2



I Syntaxe :



I Semantique :

• Etant donnee une structure M de signature Σ de domaine M,

• et pour une valuation v , on definit l’interpretation d’unterme, d’une formule atomique et d’une formule pourcette valuation.

2



I Syntaxe :



I Semantique :



2

Pour une formule close F , la satisfaction de F dans lastructure M ne depend pas de la valuation v .

On dit alors que M est un modele de F , lorsque F estsatisfaite sur M.

3

Theories

Une theorie T est un ensemble de formules closes sur unesignature donnee. Les formules d’une theorie sont appelees desaxiomes de cette theorie.

Une structure M est un modele de la theorie T si M est unmodele de chacune des formules de la theorie.

Une theorie est dite consistante si elle possede un modele.

4

Au menu

Premiers exemples de theories du premier ordre

Un systeme de deduction pour le calcul des predicats

Exemples de theories du premier ordre

Grands theoremes du calcul des predicats

Quelques applications

5

Plus precisement

Premiers exemples de theories du premier ordreGrapheGroupesCorps

6

Graphe

Un graphe oriente peut se voir comme un modele de la theoriesans axiome sur la signature (∅, ∅, {R}).

Un graphe non-oriente peut se voir comme un modele de latheorie sur la meme signature avec l’unique axiome

∀x∀y (R(x , y)⇔ R(y , x)). (1)

7

Pour la signature (∅, ∅, {=,R}), la formule

∃x∀y(¬(x = y)⇒ R(x , y))

est satisfaite sur le premier et pas sur le second.

(Remarque : Sur cette signature comme sur la signatureΣ = (∅, ∅, {R}), il n’y a aucun terme).

8

On considere la signature ({a, b, c}, ∅, {R})

est un modele de R(a, b) ∧ R(b, c) ∧ R(a, c).

Attention :

aussi.

9

Plus precisement


10

Groupe

Un groupe est un modele egalitaire 1 de la theorie constitueedes deux formules :

∀x∀y∀z x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (2)

∃e∀x (x ∗ e = e ∗ x = x ∧ ∃y(x ∗ y = y ∗ x = e)) (3)

sur la signature Σ = (∅, {∗}, {=}), ou ∗ et = sont d’arite 2.

1. On impose a l’interpretation de = de correspondre a l’egalite.11

Plus precisement


12

CorpsUn corps commutatif est un modele egalitaire de la theorieconstituee des formules

∀x∀y∀z (x + (y + z) = (x + y) + z) (4)

∀x∀y(x + y = y + x) (5)

∀x(x + 0 = x) (6)

∀x∃y(x + y = 0) (7)

∀x∀y∀z x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z (8)

∀x∀y∀z ((x ∗ y) ∗ z) = (x ∗ (y ∗ z)) (9)

∀x∀y (x ∗ y = y ∗ x) (10)

∀x (x ∗ 1 = x) (11)

∀x∃y(x = 0 ∨ x ∗ y = 1) (12)

¬1 = 0 (13)

sur une signature avec deux symboles de constantes 0 et 1,deux symboles de fonctions + et ∗ d’arite 2, et le symbole derelation = d’arite 2.

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Corps de caracteristique p :

I On ajoute a la theorie precedente la formule Fp definie par1 + · · ·+ 1 = 0, ou 1 est repete p fois.

Corps de caracteristique 0 :

I On ajoute a la theorie precedente l’union des formules¬F2, · · · ,¬Fp pour p un nombre premier.

Corps algebriquement clos :

I Pour chaque entier n, on considere la formule Gn

∀x0∀x1 · · · ∀xn−1∃x(x0+x1∗x+x2∗x2+· · ·+xn−1∗xn−1+xn) = 0

ou xk est x ∗ · · · ∗ x avec x repete k fois.

I on ajoute a la theorie precedente l’union des formules Gn pourn ∈ N.

14

Exercice : corps reel clos

Un corps reel clos est un corps totalement ordonne F tel quetout element positif soit un carre et que tout polynome dedegre impair a coefficients dans F ait au moins une racinedans F.

I R est un corps reel clos.

Cela correspond a une theorie du calcul des predicats.

15

Au menu






16

Un systeme de deduction

Il nous faut definir une notion de demonstration

I c’est-a-dire T ` F .

Nous choisissons de considerer une notion basee sur la notionde preuve a la Frege et Hilbert.

17

Regle de generalisation

Par rapport au calcul propositionnel, on n’utilise plusseulement la regle de modus ponens, mais aussi une regle degeneralisation :

I si F est une formule et x une variable, la regle degeneralisation deduit ∀xF de F .

F∀xF

Regle troublante ?

I non, c’est ce que l’on fait dans le raisonnement courantregulierement :

• si on arrive a prouver F (x) sans hypothese particuliere sur x ,alors on saura que ∀xF (x).

18

Axiomes logiques

Les axiomes logiques du calcul des predicats sont :

1. toutes les instances des tautologies du calcul propositionnel ;

2. les axiomes des quantificateurs, c’est-a-dire

2.1 les formules de la forme (∃xF ⇔ ¬∀x¬F ), ou F est uneformule quelconque et x une variable quelconque ;

2.2 les formules de la forme (∀x(F ⇒ G)⇒ (F ⇒ ∀xG)) ou F etG sont des formules quelconques et x une variable qui n’a pasd’occurrence libre dans F ;

2.3 les formules de la forme (∀xF ⇒ F (t/x)) ou F est uneformule, t un terme et aucune occurrence libre de x dans F nese trouve dans le champ d’un quantificateur liant une variablede t, ou F (t/x) designe la substitution de x par t.

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Preuve par modus ponens et generalisation

Soit T une theorie et F une formule.

Une preuve de F a partir de T est une suite finieF1,F2, · · · ,Fn de formules telle que

I Fn est egale a F ,I et pour tout i ,

• ou bien Fi est dans T ,• ou bien Fi est un axiome logique,• ou bien Fi s’obtient par modus ponens a partir de deux

formules Fj ,Fk avec j < i et k < i ,• ou bien Fi s’obtient a partir d’un formule Fj avec j < i par

generalisation.

Et on note T ` F dans ce cas.

20

Theoreme de completude

Ce systeme de deduction est valide et complet.

I Rappel : T ` F pour “F se prouve a partir de T ” dans cesysteme.

I Notons : T |= F pour “tout modele de T est un modele de F .”

C’est-a-dire :

Theoreme de Validite : Soit T une theorie. Soit F une formuleclose.Si T ` F alors T |= F .

Theoreme de Completude. Soit T une theorie. Soit F uneformule close.Si T |= F alors T ` F .

21

Autre facon de comprendre ce qu’on obtient :

prouvabilite et consequence (semantique) sont les memesnotions.

T ` F si et seulement si T |= F .

22

Autre facon de le comprendre :

F est prouvable ssi F est vraie dans tous les modeles

F est prouvable a partir des axiomes T ssi F est vraie danstous les modeles de T .

23

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24

Plus precisement

Exemples de theories du premier ordreArithmetique de Peano : premiere tentativeArithmetique de Peano

25

Axiomes de l’arithmetique

Considerons une signature constituee du symbole de constante0, d’une fonction unaire s, et de deux fonctions binaires + et∗, et de la relation binaire =.

On souhaite que (N,=, s,+, ∗, 0) en soit un modele.

26

1iere tentative

On considere les axiomes

∀x ¬s(x) = 0 (14)

∀x∀y (s(x) = s(y)⇒ x = y) (15)

∀x (x = 0 ∨ ∃y s(y) = x) (16)

∀x 0 + x = x (17)

∀x s(x) + y = s(x + y) (18)

∀x 0 ∗ x = 0 (19)

∀x s(x) ∗ y = x ∗ y + y (20)

27

Consequence/Non-consequence

Rappel : une formule F est dite une consequence d’unensemble de formules T si tout modele de la theorie T est unmodele de F .

I se note : T |= F

Comment se persuader qu’une formule close n’est pas uneconsequence de T ?

I en exhibant un modele de T qui n’est pas un modele de F .

28

Faits

Pour chaque entier n et m, la formule

sn(0) + sm(0) = sn+m(0),

est une consequence des axiomes precedents, ou sn(0) ests(s(· · · s(0))) avec s repete n fois.

Mais∀x∀y x + y = y + x

n’est pas une consequence de ces axiomes.

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Un modele ou l’addition n’est pas commutative

Soit X un ensemble avec au moins deux elements.

On considere la structure M dont l’ensemble de base est

M = N ∪ (X × Z),

et ou les symboles s,+, ∗,= sont interpretes par les conditionssuivantes :

I = est interprete par l’egalite. s,+, ∗ etendent les fonctionscorrespondantes sur N ;

I pour a = (x , n) :• s(a) = (x , n + 1) ;• a + m = m + a = (x , n + m) ;• a ∗m = (x , n ∗m) si m 6= 0, et (x , n) ∗ 0 = 0 ;• m ∗ a = (x ,m ∗ n) ;

I pour a = (x , n) et b = (y ,m) :• (x , n) + (y ,m) = (x , n + m) ;• (x , n) ∗ (y ,m) = (x , n ∗m).

Ce modele est un modele des axiomes precedents.

L’addition n’y est pas commutative.30

Plus precisement

Exemples de theories du premier ordreArithmetique de Peano : premiere tentativeArithmetique de Peano

31

Idee des axiomes de Peano

ajouter une famille (un schema) d’axiomes pour permettre lespreuves par recurrence.

cette fois l’addition sera bien necessairement commutative, i.e.

∀x∀y x + y = y + x

sera bien toujours satisfaite.

I et on capture en pratique toutes les proprietes del’arithmetique.

32

Axiomes de Peano

Les axiomes de l’arithmetique de Peano sont :

I les axiomes precedent

+ ceux de l’egalite ;

I et l’ensemble de toutes les formules de la forme

∀x1 · · · ∀xn((

F (0, x1, · · · , xn)∧∀x0 (F (x0, x1, · · · , xn)⇒ F (s(x0), x1, · · · , xn))

)⇒ ∀x0F (x0, x1, · · · , xn)

)ou n est n’importe quel entier et F (x0, · · · , xn) est n’importequelle formule de variables libres x0, · · · , xn.

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Axiomes de Peano

Les axiomes de l’arithmetique de Peano sont :

I les axiomes precedent + ceux de l’egalite ;I et l’ensemble de toutes les formules de la forme

∀x1 · · · ∀xn((

F (0, x1, · · · , xn)∧∀x0 (F (x0, x1, · · · , xn)⇒ F (s(x0), x1, · · · , xn))

)⇒ ∀x0F (x0, x1, · · · , xn)

)ou n est n’importe quel entier et F (x0, · · · , xn) est n’importequelle formule de variables libres x0, · · · , xn.

33

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34

Plus precisement

Grands theoremes du calcul des predicatsTheoreme de completudeTheoreme de compaciteTheoreme d’incompletude

35

Retour sur l’enonce

On peut construire un (des) systeme(s) de preuve valide(s) etcomplet(s) :

I Notons : T ` F pour “F se prouve a partir de T ” dans cesysteme.

I Notons : T |= F pour “tout modele de T est un modele de F .”

C’est-a-dire :

Theoreme de Validite : Soit T une theorie. Soit F une formuleclose.Si T ` F alors T |= F .

Theoreme de Completude. Soit T une theorie. Soit F uneformule close.Si T |= F alors T ` F .

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Autre facon de comprendre ce qu’on obtient :

prouvabilite et consequence semantique sont les memesnotions.

T ` F si et seulement si T |= F .

37

Autre facon de le comprendre :

F est prouvable ssi F est vraie dans tous les modeles

F prouvable a partir des axiomes T ssi F est vraie dans tousles modeles de T .

38

Autres formulations equivalentes du theoreme decompletude

Une theorie T est dite coherente s’il n’existe pas de formule Ftelle que T ` F et T ` ¬F .

3 formulations equivalentes du theoreme de Completude.

1. Si T |= F alors T ` F .

2. Si F n’est pas prouvable a partir de T alors T ∪ {¬F} possedeun modele.

3. Si T est coherente, alors T possede un modele.

Equivalences :I Entre 1. et 2. trivial (contrapose).I 2. implique 3. : trivial.I 3. implique 2. :

• soit F non prouvable dans T .• T ∪ {¬F} est coherente.• T ∪ {¬F} possede donc un modele M.

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Effet de bord 2

Theoreme de Lowenheim-Skolem.

I Si T une theorie sur une signature denombrable possede unmodele, alors elle possede un modele dont l’ensemble de baseest denombrable.

2. De la preuve du theoreme de completude.40

Plus precisement


41

Effet de bord 3

Theoreme de Compacite.

I Soit T une theorie.

I T possede un modele si et seulement si toute partie finie de Tpossede un modele.

3. De la nature de ce que l’on appelle une preuve :du fait qu’une preuve fait intervenir un nombre fini de formules.

42

Plus precisement


43

On note Th(N) l’ensemble des formules closes F qui sontvraies sur les entiers.

Theoreme d’incompletude.

I Il existe des formules closes de Th(N) qui ne sont pasprouvables, a partir des axiomes de Peano, ou de touteaxiomatisation “raisonnable”4 des entiers.

Second theoreme d’incompletude.

I La coherence de l’arithmetique (ou sa negation) est unexemple de telle formule.

4. Formellement, “recursivement enumerable” : voir suite du cours.44

Au menu






45

Entiers non-standards

Il y a d’autres modeles que N des axiomes de Peano.

I il existe des modeles non-standards de l’arithmetique.

46

Corps reels clos

Application du theoreme de Lowenheim-Skolem :

I il existe des corps reels clos denombrables.

• (exemple : les reels algebriques Q ∩ R).

47

Entiers non-standards

Il y a d’autres modeles que N des axiomes de Peano :

I considerons un nouveau symbole de constante c.

I considerons T defini comme l’union des axiomes de Peano etdes formules ¬c = sn(0), pour n un entier.

I Tout sous-ensemble fini de T admet un modele, car il estinclus dans l’union des axiomes de Peano et des formules¬c = sn(0) pour 1 ≤ n ≤ N pour un certain entier N :

• il suffit d’interpreter c par N + 1.

I Donc T admet un modele.

Ce modele contient donc un element qui n’est pas un entierstandard.

48

...

Analyse non-standard

...

. . .f est continue si et seulement si pour tout y infinimentpetit et pour tout reel x standard, f (x + y)− f (x) estinfiniment petit . . .

...

49

Deux autres utilisations de la logique

Comment prouver qu’un axiome F est independant d’unetheorie T ?

I On utilise un modele de T pour construire un modele deT ∪ {F}.

I On prouve en fait la coherence relative : si T coherent, alorsT ∪ {F} coherent.

Definissabilite :

I On se donne un modele d’une theorie sur une signaturecontenant un symbole de relation R binaire.

I Peut-on definir :• la relation “etre accessible en deux coups” par une formule ?• la relation “etre accessible par un chemin”?

I . . .applications aux requetes dans les bases de donnees . . .

50

Exprimez vous.

Page du cours. Commentaires, avissur les cours et les PCs.

Page du cours:www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF423.

Commentaires, avis sur les cours et les PCs.www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF423/AVIS.

51

http://www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF423


http://www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF423/AVIS





ANNEXES

52

Substitutions

Debut d’une parenthese : que signifie exactement F (t/x) ?

I F (4/x) pour F = ∀xP(x) :• ∀x P(4)• ∀x P(x) ?

Regle 1 : ne substituer que les variables libres.

Mais cela ne suffit pas :

I F (x/y) pour F = ∀x P(x + y) ?• si on ecrit ∀x P(x + x), l’occurence libre de x a ete capturee.

Regle 2 : eviter les captures de variables

I F (x/y) pour F = ∀x P(x + y) est ∀w P(w + x).

I besoin de renommer.... equivalence alphabetique.

53

Plus formellement : etape 1.Renommage de variables

Etape 1 : definir ce qu’est le renommage d’une variable liee,appele α-conversion.

I on definit pour cela l’echange de deux variables sur F .

I Notation : (xy)F :

• partout ou l’on a ecrit x lie ou non-lie, on met y et vice-versa.• ∃x F est identifie avec ∃y (xy)F si y 6∈ `(F ).• ∀x F est identifie avec ∀y (xy)F si y 6∈ `(F ).

54

Plus formellement : etape 2.Substitutions

Etape 2 : definir F (t/x) inductivement.

I sur les termes : trivial.

I sur les formules qui ne sont pas de la forme ∃yG ou ∀yG :inductif.

I (∃y G )(t/x) est ∃y G (t/x) si x 6= y et y 6∈ `(t).

I (∀y G )(t/x) est ∀y G (t/x) si x 6= y et y 6∈ `(t).

I sinon, renommer y

• remplacer (∃y G) par (∃z (zy)G) ou (∀y G) par (∀z (zy)G)ou z est une variable fraiche (qui n’apparaıt nul par ailleurs).

• et reappliquer ces regles.

Fin de cette parenthese.

55

Theoreme de validite

Theoreme de Validite : Soit T une theorie. Soit F une formule.Si T ` F , alors tout modele de T est un modele de la clotureuniverselle de F .

Rappel : la cloture universelle de F est la formule∀x1∀x2 · · · ∀xnF (x1, · · · , xn), ou x1, · · · , xn sont les variableslibres de F .

56

Theoreme de completude : comment le prouver ?

Theoreme de Completude. Soit T une theorie coherente. AlorsT possede un modele.

On se donne une signature Σ, une theorie T coherente.

On veut construire un modele M de T .

Comment faire ?

I Pas grand chose a se mettre sous la dent. . .

I Idee 1 : considerer les termes clos sur la signature Σ commeensemble de base.

I Idee 2 : arriver a obtenir que pour toute formule close F ,

M est un modele de F ssi T ` F

57

Idee 1

Son ensemble de base (le domaine) est l’ensemble M destermes clos sur la signature Σ de la theorie.

Interpretations ?

1. si c est une constante, l’interpretation cM de c est laconstante c elle-meme.

2. si f est un symbole de fonction d’arite n, son interpretationf M est la fonction qui aux termes clos t1, · · · , tn associe leterme clos f (t1, · · · , tn).

3. si R est un symbole de relation d’arite n, son interpretationRM est le sous-ensemble de Mn constitue des (t1, · · · , tn) telsque T ` R(t1, · · · , tn).

58

Trop naıf sans hypotheses sur T

Cela ne suffit pas.

Illustration d’un premier probleme : un seul axiomeP(c) ∨ Q(c).

I Les formules P(c),¬P(c),Q(c),¬Q(c) sontnon-demontrables.

I Il faut forcer a avoir P(c) ou ¬P(c).I Remarque : si l’on fixe le choix ¬P(c), alors Q(c) sera

prouvable, et donc on aura fixe Q(c).

Illustration du second probleme : deux axiomes ¬P(c) et∃xP(x).

I Idee : construire un “temoin” de l’existence d’un objet verifiantP.

59

Comment y arriver ?

On dit qu’une theorie T est complete si pour toute formuleclose F on a T ` F ou T ` ¬F .

On dit qu’une theorie T admet des temoins de Henkin sipour toute formule F (x) avec une variable libre x , il existe unsymbole de constante c dans la signature tel que(∃xF (x)⇒ F (c)) soit une formule de la theorie T .

Proposition. Si T est coherente, complete, et avec destemoins de Henkin, alors on a la propriete

M est un modele de F ssi T ` F ,

I et donc T possede un modele.

Demonstration de la proposition : par induction (pas tresdifficile).

60

Completion d’une theorie

Proposition. Toute theorie coherente T sur une signature Σpossede une extension T ′ sur une signature Σ′ (avec Σ′ quicontient Σ) qui est coherente, complete et avec des temoinsde Henkin.

61

La signature Σ′ est obtenue en ajoutant un nombredenombrable de nouvelles constantes a la signature Σ.

La signature Σ′ obtenue reste denombrable et on peutenumerer les formules closes (Fn)n∈N de Σ′.

La theorie T ′ est obtenue comme l’union d’une suitecroissante de theories Tn, definie par recurrence, en partant deT0 = T .

I Supposons Tn coherente construite.

• Pour construire Tn+1 on considere la formule Fn+1 dansl’enumeration des formules closes de Σ′.

• Si Tn ∪ Fn+1 est coherente, alors on pose Gn = Fn+1, sinon onpose Gn = ¬Fn+1.

• Dans les deux cas Tn ∪ {Gn} est coherente.

62

La theorie Tn+1 est definie par :

1. Tn+1 = Tn ∪ {Gn} si Gn n’est pas de la forme ∃xH.

2. Tn+1 = Tn ∪ {Gn,H(c/x)} sinon

• ou c est un nouveau symbole de constante qui n’apparaıt dansaucune formule de Tn ∪ {Gn} ;

• il y a toujours un tel symbole, car il y a un nombre fini desymboles de constantes dans Tn ∪ {Gn}.

on montre que par construction la theorie Tn+1 est coherente.

63

La theorieT ′ =

⋃n∈NTn

est coherente,

I puisque tout sous-ensemble fini de celle-ci est contenu dansl’une des theories Tn, et donc est coherent.

La theorie T ′ est aussi complete :

I si F est une formule close de Σ′, elle apparaıt a un momentdans l’enumeration des formules Fn, et par construction, soitFn ∈ Tn soit ¬Fn ∈ Tn.

64

Enfin la theorie T ′ a des temoins de Henkin :

I si H(x) est une formule avec la variable libre x , alors la formule∃xH apparaıt comme une formule dans l’enumeration desformules Fn.

I Il y a alors deux cas, soit ¬Fn ∈ Tn+1 ou il y a une constante ctelle que H(c/x) ∈ Tn+1.

I Dans les deux cas, on obtient facilementTn+1 ` ∃xH(x)⇒ H(c/x),

I ce qui prouve que (∃xH(x)⇒ F (c)) est dans T ′• (sinon, puisque T ′ est complete, sa negation y serait, et T ′ ne

serait pas coherente).

Et donc on a prouve le theoreme de completude.

65

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