Ejercicios Introduccion Al Mco

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Econometra I Relacin de EjerciciosOctubre de 2004

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Ejercicios de introduccin al MCOyi = 0 + 1 xi + i ,

Ejercicio 1.1. Dado el modelo de regresin

demuestra, sin utilizar el lgebra matricial, que Sxy b b b 1 = 2 , 0 = y 1 x, Sx

2 donde Sxy y Sx son la covarianza y varianza muestrales, y donde y y x son las medias muestrales.

Ejercicio 1.2. Un alumno utiliza una muestra de N observaciones para estimar por MCO el modelo yi = 0 + 1 xi + i , obteniendo los siguientes resultados i=1N = 20, i=1 = 10, y = 8, x = 3, N b b 1 = 4, 0 = 1. Te parecen coherentes sus resultados?N P

xi yi

N P

x2 i

Ejercicio 1.3. La curva de Engel de gastos relaciona los gastos de un consumidor en un bien y su ingreso total. Sea Y el gasto en un bien, y X el ingreso del consumidor; considere los siguientes modelos: Yt = 1 + 2 Xt + t Yt = 1 + 2 (1/Xt ) + t ln Yt = 1 + 2 ln Xt + t ln Yt = 1 + 2 (1/Xt ) + t Yt = 1 + 2 ln Xt + t Interprete los coecientes de cada modelo, averiguando en cada modelo cul es la pendiente y cul la elasticidad. 1

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO Ejercicio 1.4. Demuestra que en el modelo de regresin yi = 0 + 1 xi + i ,

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se cumple que la recta de regresin MCO pasa siempre por el punto (x, y). Ejercicio 1.5. Considera el modelo de regresin yi = 0 + 1 x + i , i donde yi = yi y y x = xi x. Demuestra que la recta de regresin MCO i pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio 1.6. Demuestra que en el modelo de regresin con N observaciones yi = 1 x1i + 1 x2i + i , se cumple que Ser cierto x2i ei = 0, i=1 N P ei = 0? que i=1N P

donde ei son los residuos de la regresin MCO.

Ejercicio 1.7. Se ha estimado, mediante MCO y usando datos del ao 2001, el siguiente modelo economtrico que relaciona los gastos de 200 familias en vivienda (Y , medida en miles de euros) con el ingreso familiar (X, medida en miles de euros) yi = 0 + 1 xi + i , b b obteniendo las estimaciones 0 = 30 y 1 = 2. Para el ao 2002 el gobierno ha dado una subvencin de 1000 euros a todas las familias. Cmo afectar b b esta medida a 0 y 1 ? Justique detalladamente su respuesta.

Ejercicio 1.8. Se intentan estimar los gastos en vivienda (variable Y , medida en miles de euros) de 200 familias. Para ello se proponen dos modelos alternativos: en el primer modelo se relacionan los gastos en vivienda con el ingreso familiar (variable X, medida en miles de euros) yi = 0 + 1 xi + i , b b obteniendo las estimaciones MCO 0 = 30 y 1 = 0.5. En el segundo modelo se relacionan los gastos en vivienda con el ingreso familiar disponible (variable z, medida en miles de euros) que se dene como el ingreso familiar menos un 10% que se dedica al pago de impuestos yi = 0 + 1 zi + i . Conteste a las siguientes preguntas:

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO

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2. Si el ingreso de una familia es de 10000 euros, para qu modelo la prediccin puntual del gasto en vivienda es mayor? Por qu?

b 1. Cul ser el valor de la estimacin MCO de 0 y 1 ? Justique b detalladamente su respuesta.

Si hubisemos estimado la ecuacin en dlares, es decir, multiplicando los precios de la vivienda (Yt ) por 1.2, cmo habran cambiado la constante, la pendiente, y el R2 del modelo? Ejercicio 1.10. Sea el modelo yi = 0 + 1 xi + i , donde el coeciente de determinacin es R2 . Ahora se propone el modelo alternativo yi = 0 + 1 x + , i i donde yi y x son una transformacin lineal de las variables originales, es i decir yi = a1 + a2 yi y x = b1 + b2 xi . Para este segundo modelo, se obtiene i el coeciente de determinacin R2 Qu relacin existe entre R2 y R2 ? y entre los coecientes de regresin de los dos modelos?

Ejercicio 1.9. Utilizando datos anuales del perodo 1970-2002 se ha estimado la siguiente regresin lineal que explica el precio de la vivienda en Espaa (variable yt , en euros) en funcin del suelo urbanizable (variable xt , en m2 ): yt = 23000 0.005xt ; R2 = 0.35. b

Ejercicio 1.11. Considere la regresin por MCO de las N observaciones de la variable Y sobre las N observaciones de las k variables explicativas representadas en la matriz X. Considere ahora una transformacin de las variables explicativas originales Z = XP donde P es una matriz (k x k) determinista y no singular (por tanto, existe inversa de ella y de su transpuesta). Se pide: 1. Demuestre que los residuos de la regresin de Y sobre X y los de la regresin de Y sobre Z son iguales. 2. Qu consecuencias tiene la aplicacin del resultado anterior para los cambios de unidades en las variables explicativas? Ejercicio 1.12. Para estimar el coeciente del modelo yi = xi + i , se propone un estimador b = x . Suponiendo que las perturbaciones i siguen y una distribucin normal y cumplen los supuestos del modelo lineal clsico, calcule la esperanza y la varianza del estimador propuesto.

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO Ejercicio 1.13. Para estimar el coeciente 1 del modelo yi = 0 + 1 xi + i , se propone un estimador P b = P(xi x) yi . (xi x)2

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Suponiendo que las perturbaciones i siguen una distribucin normal y cumplen los supuestos del modelo lineal clsico, calcule la distribucin, la esperanza y la varianza del estimador propuesto. Ejercicio 1.14. Propn un estimador mnimo cuadrtico para 1 en el siguiente modelo: yi = 1 x2 + i i Comprueba si es insesgado y el valor de su varianza, sabiendo que la perturbacin aleatoria sigue los supuestos del modelo lineal clsico. Ejercicio 1.15. Para estimar el valor de 1 en el modelo economtrico sin trmino constante yi = 1 xi + i , se emplea el estimador b denido como , P 2 x b = P i yi . x3 i

Si suponemos que las perturbaciones aleatorias (i ) verican los supuestos del modelo lineal clsico, se desea saber: 1. Es el estimador b un estimador insesgado de 1 ?

2. Cul ser la varianza del estimador b Ser ptima? ?

Ejercicio 1.16. En un modelo de regresin

3. Suponga que le comunican que la varianza de las perturbaciones (var(i )) es igual a 10 para todas las observaciones. Piensa que dejaran de vericarse los supuestos del modelo lineal clsico? Cunto valdra ahora la esperanza de b Y su varianza? ? yi = 0 + 1 xi + i ,

donde i N (0, 2 ), cul es la varianza muestral de los residuos MCO ei ? Es insesgada? Propn un estimador insesgado de la varianza basado en la varianza muestral.

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Ejercicio 1.17. Sea el modelo lineal clsico, expresado matricialmente como Y = X + , b donde N 0, 2 I . Se sabe que Y y Y se distribuyen como una normal. 1. Encuentra las expresiones de la esperanza y la varianza de Y . b 2. Encuentra las expresiones de la esperanza y la varianza de Y .

Ejercicio 1.18. Supongamos un sencillo ejercicio terico: estimar el modelo yi = 0 + 1 xi + i con slo dos observaciones. Demuestra que los residuos MCO son cero. Qu implica este resultado para el coeciente de determinacin? Comenta detalladamente los resultados obtenidos. Ejercicio 1.19. Dado el siguiente modelo de regresin mltiple: Yi = 0 + 1 X1i + ... + k Xki + i si se rompe uno de los supuestos del modelo lineal clsico: E(i ) = K, siendo K una constante distinta de cero Qu consecuencias tiene sobre la estimacin MCO de los parmetros del modelo? Ejercicio 1.20. Sea el modelo: Yi = 0 + 1 Xi + i ; i = 1, 2, ...N donde E(i ) = 2+2Xi , cumplindose el resto de hiptesis clsicas del modelo de regresin. Calcular el sesgo de los estimadores MCO de 0 y 1 . Ejercicio 1.21. Dado el siguiente modelo de regresin simple con n observaciones yi = 0 + 1 xi + i conteste a las siguientes preguntas: 1. Si se incumple uno de los supuestos del modelo lineal clsico, E (i ) = 2, qu consecuencias tendr sobre la sesgadez de los estimadores MCO de 0 y 1 ? 2. Cmo cambiara su respuesta si E (i ) = 2xi ? Ejercicio 1.22. Dado el siguiente modelo: yi = 0 + 1 x1i + ... + k xki + i , donde las perturbaciones i siguen una distribucin normal y cumplen los supuestos del modelo lineal clsico. Demuestre que en el contraste de signicatividad conjunta, la estimacin yi del modelo restringido coincide con la b media aritmtica de las observaciones de la variable y.

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO

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Ejercicio 1.23. Un estadstico que permite realizar el contraste de signicatividad conjunta en un modelo con trmino constante y k variables explicativas es: (SCER SCE)/k , F = SCEn(k+1)

donde SCE es la suma de los cuadrados de los errores. 1. Encuentra la relacin matemtica que liga el coeciente R2 con dicho estadstico. 2. Sabiendo que hemos obtenido, del contraste global de signicatividad, que el estadstico F = 43, 25, que el modelo tiene 2 variables explicativas, y que se emplearon en la estimacin 20 observaciones, cunto valdr el R2 ? Ejercicio 1.24. Un grupo de alumnos de 4o de ADE propone el siguiente modelo para estudiar la demanda regional de CDs: yt = 0 + 1 x1t + 2 x2t + t siendo y la demanda en miles de unidades, x1 la renta, x2 el precio medio de un CD y t N (0, 2 ). Con los 23 datos de una muestra trimestral (1998.1-2003.3) los alumnos obtienen: 17.49 1.73 7.58 132.19 (X 0 X)1 = 1.73 0.79 1.84 (X 0 Y ) = 901.09 7.58 1.84 5.21 510.03 X X ST C = (yt y)2 = 362.48 SCE = e2 = 3.35 i Utilizando la informacin proporcionada, se pide: 1. Estimar por MCO los parmetros del modelo, e interpretar los resultados obtenidos. 2. Contrastar la signicatividad global del modelo 3. Contrastar la signicatividad individual de todas las variables explicativas Est de acuerdo con la especicacin del modelo? 4. A partir del primer trimestre de 2001 se increment notablemente el gasto en publicidad de los CDs. Por ello, un alumno propone estimar una funcin de demanda distinta para cada submuestra. Sabiendo que SCE(1998.12000.4) = 2.10, y que SCE(2001.12003.3) = 1.15, est de acuerdo con la propuesta de este alumno? Razone su respuesta.

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO 5. Otro compaero del grupo propone estimar el siguiente modelo yt = 0 + 1 x1t + 2 x2t + 3 x3t + t ; t N (0, 2 )

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que incluye tambin una variable x3 para recoger el precio medio de los videos. Sabiendo que una vez estimado el nuevo modelo SCE = 1.85 contraste cul de los dos modelos es mejor. Ejercicio 1.25. Tomando una muestra de observaciones correspondientes a 20 perodos sucesivos de las variables C (consumo de alimentos), Y (renta disponible) y P (precios medios de los alimentos) se ha estimado por MCO la funcin ct = 0 + 1 yt + 2 pt + t . Los resultados de la estimacin han sido bt = 1.40 + 0.19 yt 0.24 2 pt , c(0.52) (0.01) (0.07) 20 X t=1

et = 0.92,

R2 = 0.99.

donde los nmeros entre parntesis son las desviaciones tpicas estimadas de los coecientes. Siempre trabajando al 5%, contesta a las siguientes preguntas 1. Realiza un contraste de la signicatividad global de los coecientes. 2. Realiza un contraste de la signicatividad individual de los coecientes. 3. Contrasta si el consumo autnomo de alimentos es positivo. 4. Construye un intervalo de conanza para la estimacin de los coecientes. Ejercicio 1.26. Un director trata de estimar la produccin de su empresa en funcin del nmero de trabajadores. Este hombre sabe que es el cuarto director desde 1950, por lo que cree que los parmetros estimados podran variar segn el director. Para ello realiza una estimacin para todo el perodo de vida de la empresa (1950-98) y obtiene una varianza de los errores estimada de 6.25. Tambin realiza una estimacin por separado para cada uno de los tres directores anteriores, que dirigieron la empresa en 1950-60 el primero, 1960-75 el segundo y 1975-98 el ltimo. La varianza estimada de los errores fue de 3.22, 5.21 y 6.50 respectivamente. Qu estimacin debera elegir el director? Ejercicio 1.27. Se quiere contrastar la hiptesis de que en dos ciudades, A y B, a igual nmero de aos de estudio corresponden salarios iguales. Se sabe que la relacin nmero de aos de estudio, X, salario percibido, Y , obedece al modelo:

2 EJERCICIOS PARA EVIEWS

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Yi = Xi + i Con el n de contrastar esta hiptesis se han entrevistado 10 individuos en cada ciudad. Los datos obtenidos son: Ciudad A: P 2 P P Xi Yi = 228.8 i P Xi = 55 P X2 = 385 Yi = 32.7 Yi = 136.09 NA = 10 Ciudad B: P P 2 P Xi Yi = 1004.2 i P X2 = 385 P Xi = 55 Yi = 2619.47 NA = 10 Yi = 143.7 Se puede rechazar la hiptesis de que los niveles de salarios son iguales para las dos ciudades?

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Ejercicios de introduccin al MCO para resolver con Eviews

Ejercicio 2.1. El director de marketing de la empresa Noname s.a. se ha propuesto investigar si realmente el gasto en publicidad le lleva a un aumento en las ventas. Para ello ha recogido datos de la variable Y (volumen de ventas en miles de euros) y la variable X (gasto en publicidad en miles de euros) en las cuatro sucursales de su empresa. Pretende estimar un modelo lineal con constante, es decir yi = 0 + 1 xi + i . Los valores de esas variables son Sucursal xi yi1 2 3 4 0 1 4 5 2 1 3 2

1. Razona la presencia del trmino constante. 2. Encuentra las ecuaciones normales de la recta de regresin. 3. Estima los parmetros 0 y 1 . 4. Cunto aumentarn las ventas si aumentamos el gasto de publicidad en 1000 euros? 5. Si pretende abrir una nueva sucursal para la que gastar 7000 euros en publicidad, cul ser la prediccin de las ventas para esa sucursal?

2 EJERCICIOS PARA EVIEWS Ejercicio 2.2. Considera el modelo yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + i ,

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donde yi es la cantidad consumida de alimentos en la regin i, x1i es la renta disponible de la regin i, y x2i es el precio del producto. Se tiene informacin para 8 regiones: Regin yi x1i x2iExtremadura Baleares Murcia Asturias Andaluca Galicia Valencia Catalua 5 43 30 24 30 65 57 90 3 5 6 6 5 9 10 12 5 2 6 7 4 3 7 6

Ejercicio 2.3. Se quiere estimar una ecuacin de demanda de tomates a partir del modelo de regresin yi = 0 + 1 xi + i , donde y es la cantidad demandada de tomates en cada regin y x es el precio medio para cada regin. Se dispone de 12 observaciones corte transversal para ambas variables, que se recogen en la siguiente tabla y 55 70 90 100 90 105 80 110 125 115 130 130 x 100 90 80 70 70 70 70 65 60 60 55 50 1. Estima los parmetros del modelo mediante el mtodo MCO. 2. Estima insesgadamente la varianza de los errores. 3. Estima la matriz de varianzas y covarianzas de los parmetros estimados. 4. Calcula el coeciente de determinacin y el corregido. Ejercicio 2.4. La empresa Uabes s.a. se dedica a construir edicios para una determinada Universidad. Hasta ahora ha construido 8 edicios, para los cuales el nmero de metros cuadrados construidos y de horas de trabajo empleadas han sido

b b Determina qu valen en este ejemplo X, X 0 X, X 0 Y . Calcula , Y , e, s2 .

2 EJERCICIOS PARA EVIEWSEdicio 1 2 3 4 5 6 7 8 horas de trabajo 7400 9800 4600 12200 14000 8200 5800 17000 metros cuadrados 4000 6000 2000 8000 10000 5000 3000 12000

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La empresa se plantea construir un nuevo edicio de 14000 m2 . La hora de trabajo le cuesta a la empresa 1100 euros. Sabiendo que el resto de costes distintos al laboral, le suponen un 20% de los costes derivados del trabajo, determinar cual es el presupuesto mnimo que aceptara1 . Ejercicio 2.5. Una empresa desea estimar las ventas (variable y) en funcin del gasto en publicidad (variable x1 ) y de los benecios (variable x2 ) usando el modelo de regresin yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + i . Para estimar este modelo recoge los siguientes datos de sus 8 sucursalessucursal 1 10 1 0 2 25 3 -1 3 32 4 0 4 43 5 1 5 58 7 -1 6 62 8 0 7 67 10 -1 8 71 10 2

y x1 x2 Calcula (trabaja con un del 5%):

1. La estimacin MCO de los parmetros del modelo. 2. La estimacin insesgada de la varianza de las perturbaciones. 3. El coeciente de determinacin simple y el corregido. 4. El contraste de signicatividad global de los coecientes. 5. Los contrastes de signicatividad individual de los coecientes. 6. El contraste de la hiptesis nula H0 : 0 = 1 = 2 = 0. 7. El contraste de la hiptesis nula H0 : 1 = 10 2 . Ejercicio 2.6. Se pretende estimar el nmero de vehculos que posee cada familia (variable Y ) en funcin del tamao de la familia (variable X) usando el modelo de regresin yi = 0 + 1 xi + i .El presupuesto mnimo al que estara dispuesta a construir el nuevo edicio, sera aquel que le permitiese cubrir los costes totales1

3 MS EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO Para ello se obtienen los datos de una encuesta a 5 familias:familia 1 2 3 4 5

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y 1.2 1.7 2.0 2.1 2.2 x1 1 2 3 4 5 Realiza las siguientes operaciones (con = 5%) 1. La estimacin MCO de los parmetros del modelo. 2. La estimacin insesgada de la varianza de las perturbaciones. 3. El coeciente de determinacin y el corregido. 4. El contraste de signicatividad global de los coecientes. 5. Los contrastes de signicatividad individual de los coecientes. 6. El contraste de la hiptesis nula H0 : 1 = 1. 7. Contrastar si el parmetro 1 es mayor que 1. 8. Construir un intervalo para la estimacin de 0 y 1 . 9. Cuntos vehculos estimas que tendr una familia de 7 personas?

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Ms ejercicios de Introduccin al MCO

Ejercicio 3.1. Se quiere estimar un modelo que relaciona las ventas de una empresa (variable V ) con el precio de su producto (variable P ) y el gasto de publicidad anual (variable G). Para ello, se han recogido datos para los ltimos diez aos. Se proponen los siguientes modelos: vt = 0 + 1 pt + 2 gt + t , vt = 0 + 1 pt + t , SEC = 405, ST C = 1500 SEC = 1185.

Calcula el coeciente de determinacin de ambos modelos. Comenta los resultados. Cmo se explicara este resultado? Realice un contraste para determinar si la variable G es relevante en el modelo. Ejercicio 3.2. Se sabe que en el modelo: Yi = 0 + 1 X1i + 2 X2i + i el coeciente de correlacin entre las variables explicativas, X1 y X2 , es cero. Por tanto, alguien sugiere estimar los siguientes modelos de regresin simple: Yi = 0 + 1 X1i +i

Yi = 0 + 1 X2i + i b b Ser 1 = 1 y 1 = 2 ? Justique su respuesta. b b

3 MS EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO Ejercicio 3.3. Dado el siguiente modelo de regresin lineal: Yi = 0 + 1 X1i + 2 X2i + i un investigador especica errneamente el siguiente modelo: Yi = 0 + 1 X1i + i 1. Calcule el estimador MCO de 0 , 1 y de 2 . 2. Evale el sesgo en el estimador de los parmetros 0 y 1 . 3. Es el estimador de 2 sesgado? Razone su respuesta

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4. Suponiendo que las variables X1i y X2i fueran ortogonales, cambia la respuesta a los apartados b. y c.? Ejercicio 3.4. Supongamos que el modelo verdadero que explica el comportamiento de la variable y en funcin de la variable x es yi = 0 + 1 xi + i , pero por error estimamos el modelo yi = 0 + 1 xi + 2 x2 + i . i Es cierto que la estimacin de 2 ser cero? Ejercicio 3.5. Suponga que el verdadero modelo es: Yi = 0 + 1 X1i + i (1)

pero, por error, aadimos una variable irrelevante (X2 ) al modelo (irrelevante en el sentido que el verdadero coeciente 2 de la variable X2 es cero), y estimamos Yi = 0 + 1 X1i + 2 X2i + i (2)

Conteste verdadero o falso a las siguientes armaciones, justicando detalladamente su respuesta: 1. El R2 del modelo (2) es mayor que el del modelo (1). 2. Las estimaciones de 0 y de 1 obtenidas de (2) son insesgadas. 3. La inclusin de la variable irrelevante (X2 ) no afecta a la varianza de b b 0 y de 1 .

3 MS EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO Ejercicio 3.6. Dado el siguiente modelo: Yi = 0 + 1 X1i + 2 X2i + i

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en el que la perturbacin cumple los supuestos del modelo clsico. Explique qu problemas se pueden presentar a la hora de estimar los parmetros del modelo en cada una de las situaciones siguientes, referidas a caractersticas de los datos: 1. X2i = + X1i 2. X2i = + X1i + i , donde es una perturbacin aleatoria, y se sabe que el R2 de esta regresin es 0.87. 3. X2i = + X1i + Zi Ejercicio 3.7. La variable Y viene explicada por el siguiente modelo: Yi = 1 X1i + 2 X2i + i Para estimar este modelo se dispone de una muestra de datos en la que se cumple que X1i = X2i . Se pide: 1. Demuestre que con la informacin disponible no se puede estimar el modelo propuesto. 2. Dada la imposibilidad de estimar los parmetros, se decide eliminar la variable X2 y estimar: Yi = 1 X1i + i Cul sera la esperanza de 1 ? b

Ejercicio 3.8. Considere el siguiente modelo: IM Pt = 0 + 1 P REt + 2 P REt1 + 3 P REt + t donde: IM P son las importaciones espaolas procedentes de los pases de la OCDE P RE es un ndice de precios relativos, indicador de la competitividad P RE son las primeras diferencias de la variable precios relativos Este modelo postula entonces que las importaciones del perodo t estn en funcin de los precios relativos del perodo t y del perodo (t-1), como tambin de la variacin en los precios relativos entre estos perodos.

3 MS EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO

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1. Suponiendo que usted tiene la informacin necesaria para estimar el modelo anterior, tendra xito en estimar todos los coecientes para este modelo? Por qu s o por qu no? 2. Si no es ste el caso, qu coecientes se pueden estimar? 3. Suponiendo que la variable P REt1 estuviera ausente del modelo, sera su respuesta al apartado a. la misma?, por qu? 4. Es posible predecir? Ejercicio 3.9. Deseamos estimar el volumen de ventas anual de una empresa (V ) en funcin del nmero anual de trabajadores (T ), la inversin realizada en ese ao (I), y las subvenciones recibidas para ese ao (S). Usando datos de los ltimos 64 aos obtenemos los siguientes resultados en una estimacin MCO: b Vt = 7.79 + 0.06 Tt + 1.08 It + 0.40 St ,(8.95) (1.00) (2.17) (0.63)

donde los valores en parntesis son las desviaciones tpicas de los parmetros estimados. El coeciente de determinacin corregido del modelo es 0.952. Qu problemas tiene la estimacin? Cmo los resolvera? Ejercicio 3.10. Tenemos la siguiente estimacin yi = 32.10 + 0.76 x1i + 0.31 x2i , b(3.60) (2.10) (2.80)

donde los valores entre parntesis son las desviaciones tpicas estimadas de los parmetros. Adems, disponemos de la siguiente informacin N = 25, SCE = 0.43, ST C = 12.3.

Detectar si el modelo anterior tiene problemas de multicolinealidad y proponer una solucin al problema. Ejercicio 3.11. La siguiente ecuacin se ha utilizado tradicionalmente para explicar los salarios de los individuos: Sali = 1 + 2 Edadi + 3 Expi + 4 Educi + i ; i = 1, ..., N donde: Sal es el salario en trminos reales, Edad es la edad, Exp son los aos de experiencia, y Educ son los aos de educacin. 1. Un econmetra dispone de una muestra de datos con la que pretende llevar a cabo la estimacin. El conjunto de datos incluye salarios, edad y aos de educacin de cada individuo, pero no hay ninguna medida directa de la experiencia. Para estimar la ecuacin, el econmetra mide

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la experiencia por los aos de experiencia potencial (P Exp). P Exp es el mximo nmero de aos de experiencia desde que el individuo complet su educacin, suponiendo que comenz los estudios con 6 aos, y se dene del siguiente modo: P Expi = Edadi Educi 5 Explica por qu no puede estimar los parmetros de la ecuacin de salarios. Da una explicacin intuitiva y otra matemtica. 2. Otro investigador dispone de una muestra de 100 datos que s incluye los aos de experiencia de los individuos. Utilizando estos datos para estimar el modelo de salarios ha obtenido los siguientes resultados (en parntesis las desviaciones tpicas de los coecientes):

Realice los contrastes de signicatividad individual y global y comente los resultados obtenidos. Encuentra algn problema en la estimacin? A qu se debe? Proponga alguna solucin. Ejercicio 3.12. El nmero de horas de lectura al da (y) de las personas se piensa que depende de su nivel de estudios. Para contrastarlo se dispone de una nuestra de N individuos, agrupados en tres clases: Grupo I, Grupo II y Grupo III, en funcin de que tengan un nivel de estudios superior, medio, o bajo. Seguidamente se denen las tres variables cticias E1 , E2 , y E3 , donde 1 si el individuo pertenece al grupo j Ej = 0 si el individuo no pertenece a ese grupo, valiendo j = 1, 2 3. Al estimar el modelo por MCO, se obtiene: yi = 10E1i + 5E2i + 2E3i . b

d Sali = 9.6 + 0.25 Edadi + 0.45 Expi + 1.25 Educi ;(3.2) (0.21) (1.23) (1.03)

R2 = 0.77 (3)

Demuestre a partir de este resultado, que el nmero medio de horas de lectura al da en cada uno de los grupos de individuos es precisamente 10, 5 y 2 horas respectivamente. Ejercicio 3.13. Se desea estimar el siguiente modelo yt = 0 + 1 xt + t , donde las variables xt e yt se reeren a los precios de los hoteles y al nivel de ocupacin hotelera para el trimestre t, respectivamente. La variable t

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cumple los supuestos clsicos. Como sabes, puede ser conveniente discriminar entre datos de temporada alta respecto a aquellos de temporada baja. Para tener en cuenta este problema, se denen las cticias DAt que vale 1 si el trimestre t se corresponde con temporada alta y 0 en otro caso. DBt que vale 1 si el trimestre t se corresponde con temporada baja y 0 en otro caso. Para llevar a cabo la estimacin del modelo anterior se proponen las siguientes alternativas Alternativa 1 : yt = 0 + 1 xt + 3 DAt + 4 DBt + t . Alternativa 2 : yt = 0 + 1 DAt + 1 xt + t . Alternativa 3 : yt = 1 DAt + 2 DBt + 1 xt + t . 1. Cree que hay alguna propuesta incorrecta? 2. Se sabe que los coecientes 0 y 1 de la alternativa 2 estn relacionados con los coecientes 1 y 2 de la alternativa 3. Encuentre esa relacin lineal e interprete econmicamente los resultados. 3. Cul ser la relacin entre los coecientes 1 y 1 de las alternativas 2 y 3? Qu interpretacin te sugiere? Ejercicio 3.14. La cantina de la facultad nos ha pedido que estudiemos la evolucin de sus ganancias. Considerando que la nica variable explicativa cuantitativa sera la renta mensual de sus clientes, describa detalladamente cmo estudiara si afecta a esta relacin: 1. El hecho de estar en poca de exmenes 2. El hecho de ser profesor o alumno Ejercicio 3.15. Imagina que somos propietarios de una empresa de helados y que queremos estimar las ventas de ese producto en funcin del nmero de trabajadores y del gasto en publicidad, segn un modelo lineal sin trmino constante. Para ello se dispone de datos trimestrales para los ltimos diez aos. Responde a las siguientes preguntas: 1. Crees que deberamos incluir alguna variable cticia? Si tu respuesta es armativa, introduce una cticia para cada estacin del ao. 2. Describe el signicado de los coecientes de las cticias. 3. Explica cmo contrastaras si se produce un efecto estacional.

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Ejercicio 3.16. La librera de la facultad nos ha contratado para que le hagamos un estudio sobre el gasto mensual que hacen los alumnos en peridicos. La intuicin nos dice que el gasto de cada alumno puede depender de su renta mensual, del nivel de estudios (licenciatura-doctorado), la edad y el sexo (hombre-mujer). Se piensa que el impacto del nivel de estudios sobre el gasto afecta a la pendiente de la renta, mientras que el impacto del sexo afecta al trmino constante del modelo. 1. Explique cmo contrastar si el nivel de estudios afecta al gasto en peridicos. 2. Explique cmo contrastar si el sexo es una variable que inuya en lo que un alumno gasta en peridicos. Ejercicio 3.17. Suponiendo que el salario de los trabajadores ms cualicados de una empresa viene determinado por la siguiente ecuacin: Yi = 0 + 1 D1i + 2 D2i + 3 (D1i D2i ) + 4 Xi + i siendo: Y : salario anual X: aos de experiencia en la empresa D1: variable cticia que toma valor 1 si es licenciado y 0 si es diplomado D2: variable cticia que toma valor 1 si es hombre y 0 si es mujer. 1. Qu signicado tienen los coecientes 1 y 2 ? 2. El trmino (D1i D2i ) representa el efecto de interaccin, cmo interpreta su coeciente? 3. Si 3 = 0, podramos decir que la diferencia salarial entre hombres y mujeres es independiente del nivel de estudios? 4. Si 3 6= 0 implica eso que la diferencia de salarios entre licenciados y diplomados depende de si el individuo es hombre o mujer? En caso armativo, qu parmetros del modelo recogen la diferencia salarial entre licenciados y diplomados en el caso de los hombres?, y en el de las mujeres? 5. Suponga que dispone de datos sobre los trabajadores de una empresa durante un intervalo de tiempo. Un anlisis de los mismos indica que los hombres ganan ms que las mujeres, que los licenciados ganan ms que los diplomados, y que la discriminacin salarial entre hombres y mujeres es mayor a menor nivel de estudios. Si estimamos el modelo b b b qu signos esperara para los parmetros 1 y 2 y 3 ?

3 MS EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO Ejercicio 3.18. Queremos estimar el siguiente modelo: yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + i

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para lo que se recogen 40 datos. Como en el ao correspondiente a la observacin nmero 20 hay un cambio estructural en la economa que, se tiene la sospecha de que el parmetro 1 puede ser distinto en el primer y segundo perodo. Describe detalladamente cmo realizaras el contraste. Ejercicio 3.19. El siguiente modelo representa la funcin de exportaciones de la economa espaola (Y ) durante el perodo (1970-2002): Yt = 0 + 1 X1t + 2 X2t + t , Yt =(2) 0 + 1 X1t (2) + 2 X2t (1) (1)

t = 1970, ..., 1985 t = 1986, ..., 2002

+ t ,

siendo X1 el tipo de cambio, y X2 la renta extranjera. 1. Describa detalladamente dos procedimientos distintos para contrastar:(1) (2) (1) (2)

H0 : 1 = 1 , 2 = 2 HA : no H0

2. Suponiendo que acepte la hiptesis nula del primer apartado, cmo especicara el modelo? Ejercicio 3.20. Estamos interesados en comparar las medias de una variable en dos grupos diferentes. Se dispone de los dos modelos siguientes: Yi = 1 + 2 D2i + i Yi = 1 D1i + 2 D2i + i siendo: D1i = D2i = 1 si las observaciones pertenecen al grupo 1 0 en otro caso 1 si las observaciones pertenecen al grupo 2 0 en otro caso

Si suponemos que se cumplen todas las hiptesis habituales del modelo lineal clsico, c c 1. Demuestre que 1 = y1 y 2 = y2 y 1 , siendo y2 y y 1 las medias muestrales de los valores de la variable y para cada uno de los dos subgrupos. c 2. Demuestre que 1 = y1 y 2 = y2 c

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Ejercicios de Estimacin por MCG

Ejercicio 4.1. Considera el siguiente modelo: yi = 0 + 1 xi + ui , donde i = 1, ..., N . 1. Escribe el modelo en lgebra matricial, para todas las observaciones, denominando U al vector de perturbaciones del modelo. 2. Escribe la matriz de covarianzas de U . Qu elemento es el (2, 2) de esta matriz? Cul es el elemento (1, N ) de esta matriz? 3. Cmo ser esta matriz si suponemos que var(ui ) = 2xi , pero que no hay autocorrelacin? 4. Cmo ser esta matriz si se supone ui = i + bi1 , donde i N (0, 2 )? Ejercicio 4.2. Tenemos el siguiente modelo Y = X + U , donde Y y U son vectores de dimensin (N 1), X es una matriz de dimensin (N k), y donde es un vector (k 1). 1. Suponiendo que U N (0, 2 I), qu dimensin tiene la matriz I?, son homocedsticas las perturbaciones?, cmo interpretas el parmetro e0 e 2 ? Demuestra que el estimador s2 = Nk es insesgado (e son los residuos de la estimacin por MCO). 2. Suponiendo que U N (0, 2 ), donde 6= I, son homocedsticas las perturbaciones?, cmo interpretas el parmetro 2 ? Demuestra e0 e que el estimador s2 = Nk es sesgado. Ejercicio 4.3. La estimacin MCO del modelo de regresin yt = 0 + 1 xt + ut , b b ha sido 0 = 1 y 1 = 0.5. Suponiendo que tanto las observaciones de x y de y se multiplican por 10, obtener la nueva estimacin. Supone esto que el modelo es ms heterocedstico? Ejercicio 4.4. Considera el modelo Y = X + U, donde U N (0, 2 ). 1. Transforma el modelo en otro con perturbaciones homocedsticas. Escribe el nuevo modelo tanto en notacin matricial como escalar.

4 EJERCICIOS DE ESTIMACIN POR MCG

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2. Demuestra que la aplicacin de MCG al modelo original coincide con la aplicacin de MCO al modelo transformado. 3. Encuentra una estimacin insesgada de 2 . Ejercicio 4.5. Considera el modelo Ct = 0 + 1 P NBt + 2 Dt + Ut , donde Ct es el consumo del perodo t, P N Bt es el Producto nacional Bruto del perodo t, y Dt son los gastos en defensa del perodo t. Para estimar los parmetros 0 , 1 , y 2 , se estiman los siguientes modelos: b Ct = 26.19 + 0.62 P N Bt 0.44 Dt , R2 = 0.9(2.7) (0.006) (0.07)

b Ct P N Bt

= 25.90(2.2)

1 Dt + 0.62 0.43 , R2 = 0.8 P N Bt (0.006) (0.06) P N Bt

Qu supuesto sobre los errores habrn hecho los autores de las estimaciones anteriores? Ejercicio 4.6. Considera el modelo yt = 0 + 1 xt + ut , donde los errores estn independientemente distribuidos, con media 0 y varianza 2 . t 1. Explica cmo estimar los parmetros del modelo, suponiendo que 2 = t xt , siendo una constante positiva de valor conocido. 2. Contesta a la pregunta anterior suponiendo ahora que 2 = a + bxt , t siendo a y b constantes positivas de valor conocido. 3. Contesta a las dos preguntas anteriores, suponiendo que , a y b son ahora constantes positivas desconocidas. Ejercicio 4.7. Suponiendo el modelo yt = 0 + 1 xt + 2 wt + ut , donde ut N (0, 2 ) y donde xt y wt son deterministas. Un investigador cree errneamente que var(ut ) = 2x2 , por lo que transforma el modelo y aplica t MCO al modelo transformado. Qu propiedades tendr este estimador?

4 EJERCICIOS DE ESTIMACIN POR MCG

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Ejercicio 4.8. Un econmetra trata de estimar el consumo regional en funcin de la renta. Para ello toma datos de 10 regiones y propone el siguiente modelo Ci = 0 + 1 Ri + Ui , donde Ci y Ri son el consumo y la renta medios de cada regin. El investigador supone que el consumo por individuo tiene una varianza constante 2 y aplica MCO al modelo propuesto. Ha realizado bien la estimacin? En caso de que tu respuesta sea negativa, propn una alternativa. Ejercicio 4.9. Considere el modelo yi = xi + ui , con var(ui ) = (kxi )2 . Prueba que el estimador MCG de es igual al promedio muestral del coy ciente xi . Halle su varianza. i Ejercicio 4.10. Considere el siguiente modelo de regresin simple: Yi = 0 + 1 Xi + ui ui N (0, 2 ) i = 1, ...., n Utilizando una muestra, (yi , xi ), de datos agregados, x1 = X1 y1 = Y1 y2 = Y1 + Y2 x2 = X1 + X2 y3 = Y1 + Y2 + Y3 x3 = X1 + X2 + X3 ............................. ............................. yn = Y1 + ... + Yn xn = X1 + ... + Xn halle el estimador ELIO de 1 . Ejercicio 4.11. Sea el siguiente modelo lineal sin trmino constante y un solo regresor: yt = xt + ut E(ut ) = 0, V (ut ) = 2 zt donde zt es una variable conocida. 1. Obtener la expresin analtica del estimador MCG. 2. Qu ocurrira si se estimase el modelo por MCO y se utilizase s2 (X 0 X)1 como matriz de varianzas-covarianzas estimada del estimador MCO? (s2 es el estimador MCO de la varianza de las perturbaciones, s2 = e0 e Nk ). Ejercicio 4.12. Para estimar la relacin entre las ventas (variable yi ) y los gastos en publicidad (variable xi ) de una cadena de tiendas se propone el

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siguiente modelo lineal con constante para n observaciones, cuya expresin matricial es: Y = X + , donde N (0, V ) Conteste a las siguientes preguntas, justicando detalladamente sus respuestas: 1. Si suponemos V = 9I, siendo I la matriz identidad (n n), calcule la esperanza y la varianza de la estimacin MCO de . Cree que hay homocedasticidad? 2. Si suponemos ahora: V = 9x2 1 0 0 .. . 9x2 n ,

calcule la esperanza y la varianza de la estimacin MCO de . Habr heterocedasticidad? Si es as, halle el estimador MCG de y calcule su esperanza y su varianza. Ejercicio 4.13. Dado el siguiente modelo: Yi = 1 + 2 Xi + i donde E (ui ) = 0 y V ar (ui ) = 2 Xi2 1. Halle los estimadores MCO y MCG de 1 y 2 , son insesgados? Demustrelo. 2. Si E (ui ) = 5, son ahora los estimadores MCG de 1 y 2 insesgados? y los estimadores MCO? Demustrelo.

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Algunas cuestiones de Verdadero o Falso

Cuestin 5.1. En el modelo lineal clsico, el supuesto de normalidad no es necesario si el objetivo es meramente la estimacin. Cuestin 5.2. En un modelo de regresin lineal clsico la suma de residuos mnimo cuadrticos siempre es cero. Cuestin 5.3. Bajo los supuestos clsicos, los estimadores MCO son ELIO, independientemente de que las perturbaciones del modelo posean una distribucin normal o no. Cuestin 5.4. El supuesto hecho en el modelo lineal clsico de que la matriz de regresores X es determinista es condicin necesaria y suciente para que los estimadores MCO sean insesgados.

5 ALGUNAS CUESTIONES DE VERDADERO O FALSO

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Cuestin 5.5. En el modelo lineal clsico con constante el coeciente de determinacin corregido es siempre mayor que cero. Cuestin 5.6. En el modelo de regresin lineal clsico:

Y

= X +

N (0, 2 I) las distribuciones de los residuos MCO y de las perturbaciones coinciden. Cuestin 5.7. En el modelo economtrico yi = 0 + 1 xi + i , donde t N (, 2 ) con 6= 0, la estimacin MCO de 0 es sesgada pero no la de 1 . Cuestin 5.8. La estimacin MCO de 1 en dos modelos distintos de la forma: Yi = 1 X1i + 2 X2i + i Yi = 1 X1i + i es igual siempre y cuando X1 y X2 sean ortogonales, es decir, cuando PN i=1 X1i X2i = 0.

Cuestin 5.9. El estimador de mnimos cuadrados restringidos de un modelo economtrico lineal clsico normal es siempre ms eciente que el estimador de mnimos cuadrados ordinarios. Cuestin 5.10. Suponga que se desea desarrollar un modelo que explique la conducta del ahorro agregado como una funcin de los tipos de inters. En ese caso, ser mejor obtener una muestra correspondiente a un perodo de tipos de inters uctuantes que otra correspondiente a un perodo de tipos de inters estables. Cuestin 5.11. La multicolinealidad fuerte (no exacta) se debe a una mala especicacin del modelo. Cuestin 5.12. La existencia de multicolinealidad aumenta el riesgo de no rechazar hiptesis falsas en los contrastes. Cuestin 5.13. El factor comn a la mayora de las soluciones a la multicolinealidad es tratar de encontrar un estimador de los parmetros del modelo con menor varianza que el de MCO, posiblemente en el grupo de estimadores sesgados.

5 ALGUNAS CUESTIONES DE VERDADERO O FALSO

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Cuestin 5.14. En un modelo de regresin lineal general, el coeciente de determinacin, R2 , nunca puede ser alto si todos los parmetros son individualmente no signicativos porque, en este caso, un gran porcentaje de la variacin de la variable endgena queda sin explicar y el R2 ser pequeo. Cuestin 5.15. La llamada trampa de las cticias afecta a las cticias aditivas, pero nunca a las cticias multiplicativas. Cuestin 5.16. Omitir variables relevantes tiene efectos ms perjudiciales sobre la estimacin que incluir variables irrelevantes. Cuestin 5.17. La inuencia del error de especicacin provocado por la omisin de variables relevantes sobre el contraste de hiptesis lineales es nula. Cuestin 5.18. En presencia de heterocedasticidad, la estimacin MCO de los parmetros del modelo y de su varianza son insesgadas. No obstante, este estimador no es eciente. Cuestin 5.19. Si utilizamos datos de corte transversal para estimar un modelo que explique el comportamiento del consumo en funcin de la renta de los individuos, probablemente los errores sern heterocedsticos, y por tanto los estimadores MCO sern sesgados. Cuestin 5.20. Cuando no se conoce nada sobre la heterocedasticidad, en base a los resultados de White, est justicado utilizar MCO para estimar los del modelo, y como estimador consistente de la matriz de varianzasb covarianzas de : Cuestin 5.21. Las soluciones a la heterocedasticidad pasan por construir un nuevo estimador, MCG, que mejore la eciencia del estimador MCO, ya que, en presencia de este problema el estimador MCO sigue siendo insesgado, pero ya no es el de mnima varianza. Este procedimiento requiere, como mnimo, conocer cul o cules son las causas del problema. Cuestin 5.22. En un modelo donde detectamos heterocedasticidad, el estimador MCGF es siempre preferible al estimador propuesto por White. Cuestin 5.23. En presencia de autocorrelacin, para establecer intervalos de conanza, y para evaluar hiptesis se debe utilizar MCG y no MCO, a pesar de que los estimadores MCO son insesgados. Cuestin 5.24. Cuando la fuente de autocorrelacin en los errores es la omisin de variables relevantes, los estimadores MCO son inecientes e insesgados. b b V () = (X 0 X)1 X 0 diag(e2 )X(X 0 X)1 i

5 ALGUNAS CUESTIONES DE VERDADERO O FALSO

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Cuestin 5.25. Los contrastes de autocorrelacin de Durbin-Watson y de Breusch-Godfrey no resultan apropiados porque se basan en los residuos de la estimacin por MCO, que por las caractersticas del modelo estn sesgados.