EDO de 2ª ordem Linear (continuação)Matemática para Economia III

2013.2

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

Vamos reescrever (3) da seguinte forma:

y’’+p y’+q y=0 (3’)

Candidato a solução: y(t)=eλt. Vamos testar!

Substituindo em (3’) obtemos

λ2 eλt+p λ eλt+q eλt=0 eλt (λ2+p λ+q)=0

Derivada de 2ª ordem

Derivada de 1ª ordem

Derivada de ordem zero (a própria função)

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

Para que y(t)=eλt seja solução devemos

λ2+p λ+q=0 (4)

que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes

Caso 2: (p2-4q=0) Duas raízes reais repetidas: λ1 = λ2= -p/2.

Candidatos a solução:

y1 = e –pt/2 e y2 = t e –pt /2

(verifique que são L.I.) logo, se λ1 = λ2 a solução geral é

y = c1 e –pt /t + c2 t e –pt / 2 Exemplo: Encontre a solução geral da

equação ordinária y’’ – 2y’ + y = 0.

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Caso 3: (p2-4q<0) Duas raízes complexas conjugadas

λ1= a+bi e λ2= a-bi

Candidatos a solução:

y1 = e (a+bi)t e y2 = e(a-bi)t

(verifique que são L.I.) logo qualquer combinação linear de y1 e y2 é. Em particular temos que

são também soluções, para obtê-las usamos a fórmula de Euler: eiβ=cos β+isen β

Deste modo podemos construir uma solução da forma:

y(t)=Aϕ1(t)+Bϕ2(t)=eat(A cos(bt)+B sen(bt))

)()()(2

1)(

)cos()()(2

1)(

212

211

btsenetytyi

t

btetytyt

at

at

Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária

y’’+ y = 0.Obs: O estudo das soluções fundamentais de

equações lineares homogêneas pode ser feito também via a definição de um operador diferencial L dado por:

L[] = ’’ + p ’ + q onde p e q são funções contínuas em (a,b). Seja V o espaço vetorial das funções que são

duas vezes diferenciáveis. O operador L está definido em V com imagem em V (L:V→V).

O valor de L[] em t é dado por L[](t) = ’’(t) + p(t) ’(t) + q(t) (t).

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes

O operador L é normalmente usado como

L = D2 + pD + q, onde D é o operador derivada.

Usando y para representar (t), temos

L[y] = y’’ + p(t) y’(t) + q(t) y = 0 e as condições

y (t0) = y0 e y’ (t0) = y0’.

Exercício: Verifique que o operador L:V→V

é um operador linear.

Dada a equação não homogênea

L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t) (5)

onde p, q e g são funções contínuas em um intervalo aberto I. A equação L[y] = y” + p(t)y’ + q(t)y = 0 é chamada de equação homogênea associada.

Teorema: Se Y1 e Y2 são duas soluções da equação não homogênea acima (5), então sua diferença Y1 - Y2 é uma solução da equação homogênea associada. Se além disso, y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea, então

Y1(t) - Y2(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t),

onde c1 e c2 são constantes determinadas.

EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas

Teorema: A solução geral da equação não homogênea dada (5) poder escrita na forma

y(t) = c1 y1(t) + c2 y2(t) + Y(t),

onde y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, c1 e c2 são constantes arbitrárias e Y é alguma solução específica da equação não homogênea.

Obs: Por este teorema, devemos fazer 3 coisas para resolver a equação não homogênea dada.

1- Encontrar a solução geral c1 y1(t) + c2 y2(t) da equação homogênea associada (yh);

2 – Encontrar uma única solução Y(t) da equação não homogênea (yp);

3 – Somar as duas funções encontradas ( y = yh + yp).

EDO’s de 2ª ordem lineares não homogêneas

Método dos coeficientes a determinar

Seja

y” + p(t)y’ + q(t)y = g(t)

Vimos que

y(t) = yh + yp é solução.

Vamos ver como achar yp(t) quando g(t) é um(a):

1- Polinômio de grau n na variável t

2- Múltiplo de uma função exponencial

3 - Combinação linear de funções trigonométricas

4 – Produto das formas 1, 2 e 3.

g(t) yp(t)

1 - a0tn +a1t(n-1)+ ... + an 1 -(A0tn + A1t(n-1) + ...+ An)

2 - Ae t 2 -Be t

3.1- cos(t) ou sen(t)

3.2 - cos(1t)+sen(2t)

3.1 - b1cos(t)+ b2sen(t)

3.2 – [b1cos(1t)+ b2sen(1t)]+

[c1cos(2t)+ c2sen(2t)]

(a0tn +a1t(n-1)+ ... + an)e t sen(t) ou

(a0tn +a1t(n-1)+ ... + an)e t cos(t)

[(A0tn + A1t(n-1) + ...+ An) etcos(t)

+ (0tn + 1t(n-1) + ...+ n) etsen(t)

Neste método fazemos uma hipótese inicial sobre a forma da solução particular yp(t), mas com os coeficientes não especificados. Substitui-se, então, a expressão hipotética na equação diferencial e tentamos determinar os coeficientes de modo que a equação seja satisfeita.

Método dos coeficientes a determinar

g(t) yp(t)

1 - a0tn +a1t(n-1)+ ... + an 1 –t s(A0tn + A1t(n-1) + ...+ An)

2 - Ae t 2 -t sBe t

3.1- cos(t) ou sen(t)

3.2 - cos(1t)+sen(2t)

3.1 –t s (b1cos(t)+ b2sen(t))

3.2 – t s[b1cos(1t)+ b2sen(1t)]+

t s [c1cos(2t)+ c2sen(2t)]

(a0tn +a1t(n-1)+ ... + an)e t sen(t) ou

(a0tn +a1t(n-1)+ ... + an)e t cos(t)

t s [(A0tn + A1t(n-1) + ...+ An) etcos(t)

+t s (0tn + 1t(n-1) + ...+ n) etsen(t)

Obs: Se algum termo da expressão de yp for solução da equação homogênea associada propõe t.yp(t) para solução particular de (5). Caso t.yp(t) seja solução da equação homogênea associada então propõe-se t2.yp(t) e assim por diante. Deste modo na prática temos:

Método dos coeficientes a determinar

De modo que s seja o menor inteiro não negativo (s = 0, 1, 2,...) que garanta que nenhuma parcela de yp(t) seja solução da equação homogênea correspondente.