GGGEEEOOOMMM... PPPLLLAAANNNAAA ––– ÁÁÁRRREEEAAASSS 01. (UEL-1996) Considere a região hachurada, no interior do círculo de centro O, limitada por semicircunferências, conforme mostra a figura a seguir.

Se a área dessa região é 108π cm2 e AM = MN = NB, então a medida do raio do círculo, em centímetros, é: a) 9 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20. Alternativa: D 02. (FATEC-2006) Na figura abaixo está representada a função real f, dada por f(x) = log a x, para todo x>0.

De acordo com os dados da figura, é correto concluir que a área do trapézio ABCO, em unidades de superfície, é a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 e) 6 Alternativa: E 03. (SpeedSoft-2003) “A equipe de pára-quedismo Azul do Vento, de Campinas, bateu (...) os recordes brasileiro e sulamericano de formação em queda-livre. A quebra do recorde envolveu 64 pára-quedistas e foi obtida após 4 tentativas. (...) O nome da formação, ‘Diamante 64’, é uma referência à figura geométrica que os pára-quedistas formaram durante o salto. Segundo a acessoria de imprensa da equipe, a formação consistiu ‘em um quadrado de oito por oito pessoas’ (...)” (Folha de São Paulo, caderno Campinas, 19/04/2003)

Na foto, vê-se que a formação ‘Diamante 64’ é parece realmente um quadrado, com os 64 pára-quedistas agarrados uns aos outros. Supondo que na foto a distância entre cada pára-quedista seja de aproximadamente 2m, estime qual foi a área ocupada pelo ‘Diamante 64’. Resposta: 196m2 (Note que por serem 8 pára-quedistas, cada lado contém 7 intervalos de 2m. Assim, temos um quadrado de 14x14m) 04. (Fatec-1996) A altura de um triângulo eqüilátero e a diagonal de um quadrado têm medidas iguais. Se a área

do triângulo eqüilátero é 16 3 m2 então a área do quadrado, em metros quadrados, é: a) 6 b) 24 c) 54 d) 96 e) 150 Alternativa: B 05. (Unicamp-1996) A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula:

A = c)b)(pa)(pp(p −−− , onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semi-perímetro. a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros. b) Calcule o comprimento da altura relativa ao lado que mede 21 centímetros. Respostas: a) A = 84 cm2 b) h = 8 cm 06. (Vunesp-1994) A área de um triângulo retângulo é

12dm2. Se um dos catetos é 32 do outro, calcule a

medida da hipotenusa desse triângulo.

SÉRIE: 3°ANO TURMA: 2º BIMESTRE

DATA: / / 2011

ALUNO(A): Nº:

NOTA:

PROFESSOR:

2° LISTA DE MATEMÁTICA

Resposta: Hipotenusa = 2 15 07. (Unaerp-1996) A área de um triângulo retângulo é a2, se dobrarmos a medida de um cateto, a área do novo triângulo será:

a) 23 a2

b) 32 a2

c) 2a2 d) 3a2 e) Os dados são insuficientes para a determinação da nova área. Alternativa: C 08. (Vunesp-2006) A área do anel entre dois círculos concêntricos é 25cm2. O comprimento da corda do círculo maior, que é tangente ao menor, em centímetros, é

a) 2

5

b) 5 c) 5 2 d) 10 e) 10 2 Alternativa: D 09. (Vunesp-1996) A área do quadrado ABCD da figura adiante é 1. Nos lados CB e CD tomam-se, respectivamente, os pontos M e N de modo que o segmento MN seja paralelo à diagonal DB. Se as áreas do triângulo CMN, do trapézio MNDB e do triângulo ABD formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, calcule a medida do segmento MC.

MC = 33

10. (AFA-1999) A área do quadrado menor, da figura abaixo, vale

a) 2 . b) 2 .

c) 5 .

d) 8 . Alternativa: B 11. (Mack-1998) A área do triângulo da figura é:

a) 10 3

b) 20 3

c) 15 3

d) 12 3

e) 18 3 Alternativa: A 12. (UEL-2003) A bandeira de um time de futebol tem o formato de um retângulo MNPQ. Os pontos A, B e C dividem o lado MN em quatro partes iguais. Os triângulos PMA e PCB são coloridos com uma determinada cor C1, o triângulo PAB com a cor C2 e o restante da bandeira com a cor C3. Sabe-se que as cores C1, C2 e C3 são diferentes entre si. Que porcentagem da bandeira é ocupada pela cor C1?

a) 12,5% b) 15% c) 22,5% d) 25% e) 28,5% Alternativa: D 13. (UNICAMP-2009) A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida pela equação X2 + Y2 = 4, e pela semi-reta que parte da origem e faz ângulo de 30º com o eixo-x, conforme a figura abaixo.

a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Calcule a área da região sombreada. Respostas: a) Em P, x = 3 e y = 3

b) A região sombreada tem área igual a 3

4π + 2 3

14. (NOVO ENEM-2009) A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado por Vc = Vd x Ndia, em que Vd = volume de demanda da água diária (m3), Ndia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%. Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitação. Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de

30m2. b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área

de 300m2. c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área

de 3.000m2. d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área

de 2.730m2. e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área

de 3.300m2. Alternativa: B

15. (UNICAMP-2007) A coletânea de textos da prova de redação também destaca o impacto da modernização da agricultura sobre a produtividade da terra e sobre as relações sociais no país. Aproveitando esse tema, analisamos, nesta questão, a colheita de uma plantação de cana-de-açúcar, cujo formato é fornecido na figura a seguir. Para colher a cana, pode-se recorrer a trabalhadores especializados ou a máquinas. Cada trabalhador é capaz de colher 0,001km2 por dia, enquanto uma colhedeira mecânica colhe, por dia, uma área correspondente a 0,09km2

a) Se a cana precisa ser colhida em 40 dias, quantos trabalhadores são necessários para a colheita, supondo que não haja máquinas?

b) Suponha, agora, que a colheita da parte hachurada do

desenho só possa ser feita manualmente, e que o resto da cana seja colhido por quatro colhedeiras mecânicas. Neste caso, quantos trabalhadores são necessários para que a colheita das duas partes tenha a mesma duração? Em seus cálculos, desconsidere os trabalhadores que operam as máquinas.

16. (IBMEC-2005) A figura abaixo representa o cruzamento perpendicular de duas rodovias, com sentidos de tráfego devidamente indicados. Suponha que todas as pistas têm largura de dez metros e que as curvas que delimitam as interligações são arcos de circunferências, perfeitamente ajustadas de modo a tangenciarem as linhas tracejadas que dividem as duas pistas de cada rodovia (neste caso com raio de 30 metros), ou duas retas que dão delimitações externas das rodovias (neste caso com raio de 20 metros).

a) Determine a área da região sombreada, onde deve

ser plantado um gramado. b) Uma viajante que está no ponto A, portanto seguindo

de leste para oeste, gostaria de passar uma única vez por todas pistas de interligação o deste cruzamento, retornando em seguida para o ponto A. Determine quantos metros esta viajante irá percorrer neste passeio, supondo que ela sempre irá andar no meio da pista.

17. (PUC-SP-2005) A figura abaixo representa um terreno com a forma de um trapézio isósceles, cujas dimensões indicadas são dadas em metros.

Pretende-se construir uma cerca paralela ao lado AB, de modo a dividir o terreno em duas superfícies de áreas iguais. O comprimento dessa cerca, em metros, deverá ser aproximadamente igual a a) 26 b) 29 c) 33 d) 35 e) 37 Alternativa: B OBS: valor exato = 5 34 18. (FMTM-2005) A figura indica um triângulo equilátero ABC de lado unitário. Sabe-se ainda que r, s e t são retas paralelas, com A e B pertencentes a t, e C pertencente a r.

Admitindo-se que s esteja se deslocando de r até t, e que x seja a distância entre r e s, a área sombreada na figura, em função de x, será igual a

a) - x2 + ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +2

31x b)

23

− x2 + 45

x

c) 33

− x2 + x

d) - 21

x2 + x e) 21

x

19. (Vunesp-2006) A figura mostra dois quadrados ABCD e MNPQ de lados iguais. O ponto M está no centro do quadrado ABCD. Os pontos I e J são interseções das arestas dos quadrados. a) Justifique por que os triângulos CMJ e BMI são

congruentes, destacando o caso de congruência utilizado.

b) Obtenha a razão entre a área de um dos quadrados e

a área comum aos dois quadrados.

20. (Vunesp-2004) A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em torno de um eixo vertical perpendicular à região. Se denotarmos a medida em radianos do ângulo AOB por �, a área irrigada, representada pela parte cinza do setor circular, será uma função A, que dependerá do valor de �, com 0 � � � 2�.

Se OA = 1m e AC = 3m, determine: a) a expressão matemática para a função A(�). b) o valor de �, em graus, se a área irrigada for de 8m2. (Para facilitar os cálculos, use a aproximação � = 3.)

Respostas: a) A(θ) = ⋅2

15θ

b) 64º

21. (Mack-2007) A figura mostra os esboços dos gráficos das funções f(x) = 22x e g(x) = log2(x + 1). A área do triângulo ABC é

a) 41 b)

25 c)

23 d)

21

e) 31

Alternativa: C 22. (Unifesp-2002) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1, que tangencia internamente a circunferência maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da circunferência maior, AB mede 8 e tangencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular à reta que passa por C1

e C2.

A área da região hachurada é: a) 9π. b) 12π. c) 15π. d) 18π. e) 21π. Alternativa: A

23. (FUVEST-2009) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a

a) 3 3 b) 2 3 c) 2

33

d) 3 e) 23

Alternativa: E 24. (UFSCar-2008) A figura representa três semicírculos, mutuamente tangentes dois a dois, de diâmetros AD, AC e CD. Sendo CB perpendicular a AD, e sabendo-se que AB = 4cm e DB = 3cm, a medida da área da região sombreada na figura, em cm2, é igual a

a) 1,21π. b) 1,25π. c) 1,36π. d) 1,44π. e) 1,69π. Alternativa: D 25. (Vunesp-2002) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros.

a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação � = 3,2). Respostas: a) 6m e 48m2

b) 96 reais.

26. (FUVEST-2007) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = 2 e AC = 3 2

a) Determine a altura do trapézio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está

inscrito. c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e

delimitada pela circunferência. Respostas: a) h = 3 b) R = 5 c) A = 5π – 9 27. (VUNESP-2007) A figura representa um triângulo retângulo de vértices A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do triângulo.

Se AB = 15cm, AC = 20cm e AD = 8cm, a área do trapézio ABED, em cm2, é a) 84. b) 96. c) 120. d) 150. e) 192. Alternativa: B 28. (VUNESP-2010) A figura representa uma chapa de alumínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC e,

que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB . Dado: 32,311 ≈

a) 88,6. b) 81,2. c) 74,8. d) 66,4. e) 44,0 Alternativa: D 29. (UFSCar-2005) A figura representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x2 e g(x) = x.

Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 120, o número real k é a) 0,5. b) 1. c) c) 2 d) 1,5. e) 2. Alternativa: E 30. (UFSCar-2001) A Folha de S. Paulo, na sua edição de 11/10/2000, revela que o buraco que se abre na camada de ozônio sobre a Antártida a cada primavera no Hemisfério Sul formou-se mais cedo neste ano. É o maior buraco já monitorado por satélites, com o tamanho recorde de (2,85).107 km2. Em números aproximados, a área de (2,85).107 km2 equivale à área de um quadrado cujo lado mede: a) (5,338).102km. b) (5,338).103km. c) (5,338).104km. d) (5,338).105km. e) (5,338).106km. Alternativa: B 31. (SpeedSoft-1998) A planta baixa de uma casa tem a forma mostrada na figura abaixo. Qual a área total desta casa? Considere os ângulos que parecem ser retos como sendo realmente retos.

a) 310 cm2 b) 298 cm2 c) 278 cm2 d) 250cm2 e) 230 cm2

Alternativa: C 32. (NOVO ENEM-2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.

Disponível em: www2.uel.br. Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90 m3/s. b) 750 m3/s. c) 1.050 m3/s. d) 1.512 m3/s. e) 2.009 m3/s. Alternativa: D 33. (SpeedSoft-2001) a) Calcule a área do triângulo cujos lados medem 21, 17

e 10 centímetros. b) Calcule o seno do ângulo formado pelos lados que

medem 21cm e 10cm. Respostas: a) A = 84 cm2 b) seno = 0,8 34. (Fuvest-1994) a) Calcule sen15°. b) Calcule a área do polígono regular de 24 lados inscrito no círculo de raio 1. Respostas:

a) sen 15o = ( )1342

− = 2

32 −

b) A = 24. ½ . 1. 1. sen 15o = ( )1323 − = 326 −

35. (FGV-2005) a) Obtenha a área de um triângulo eqüilátero em função

da medida h da altura. b) Considere um ponto P situado no interior da região

triangular determinada por um triângulo eqüilátero com lado de medida m. Sejam h1, h2, e h3 , as distâncias de P a cada um dos lados. Mostre que h1 + h2 + h3 é constante para qualquer posição de P e determine essa constante em função de m.

Respostas:

a) 2h33

b) h1+ h2 + h3 = m23

(ou seja, é a altura do triângulo

eqüilátero) 36. (UFRJ-2008) A, B e D são pontos sobre a reta r e C1 e C2 são pontos não pertencentes a r tais que C1, C2 e D são colineares, como indica a figura a seguir.

Se S1 indica a área do triângulo ABC1 e S2 , a área do triângulo ABC2 , e sabendo que DC1 = 7, C1C2 = 9e S2 = 4, determine S1. Resposta:

Os triângulos DC1E1 e DC2E2 são semelhantes, de

modo que 22

11

ECEC

= DCDC

2

1 = 27

Como S1 = 2

11EABxC e S2 =

222 EABxC

= 4, tem-se

2

1

SS

= 22

11

ECEC

⇒ S1 = 4x22

11

ECEC

= 14

37. (Mack-2008) Alguns filmes em DVD apresentam imagens, cuja razão entre largura e altura é 16:9 (figura 1). Para esses filmes serem exibidos sem distorções, em uma TV tradicional de tela plana, cuja razão entre largura e altura é 3:4, surgem faixas pretas na horizontal conforme figura 2. A área ocupada pelas faixas pretas, em relação à área total da tela dessa TV, é Figura 1 Imagem em formato “widescreen”

Figura 2 Tela de TV no formato tradicional

(Jessica Biel e Edward Norton em cena do filme “O ilusionista” (The illusionist) - © 2006 Yari film group) a) 20% b) 23% c) 25% d) 28% e) 30% Alternativa: C 38. (Unicamp-2000) As diagonais D e d de um quadrilátero convexo, não necessariamente regular, formam um ângulo agudo. a) Mostre que a área desse quadrilátero é

αsen2

D.dA = .

b) Calcule a área de um quadrilátero convexo para o

qual D = 8 cm, d = 6 cm e � = 30°. Respostas: a) Considere o triângulo ABCF abaixo:

Seja E o ponto de intersecção das diagonais D e d e sejam h1 e h2 as alturas dos triângulos ABC e ACF, respectivamente. Então temos: h1 = BE.sen � e h2 = FE.sen �. A área S do quadrilátero é igual à soma das áreas dos triângulos ABC e ACF, ou seja:

S = 21

AC.h1 + 21

AC.h2 = 21

.AC.BE.sen � +

21

.AC.FE.sen � = = 21

.AC.(BE+FE).sen � = 21

D.d.sen � b) A = 12 cm2 39. (Unicamp-2005) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A (0,0), B (100,0), C (60,40) e D (0,40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, pergunta-se: a) O ponto médio do segmento BC recebe as

transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários.

b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD

que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora?

Respostas: a) BC = 40 2 portanto seu ponto média fica a 20 2 das antenas B e C. Como 20 2 > 20, o ponto M não recebe as transmissões. Resposta: O ponto M não recebe as transmissões. b) A região alcançada é um círculo de raio igual a 20 km e cuja área é, portanto, igual a 400π km2. A área da região limitada pelo quadrilátero ABCD e não alcançada pelas transmissões da emissora é igual à área do trapézio menos 400π , ou seja: 3200 – 400π = 1944 km2 Resposta: A área da região limitada pelo quadrilátero ABCD não alcançada pelas transmissões da emissora é de 400(8–π) km2, o que significa, aproximadamente, 1944 km2 40. (Mauá) Calcular a área da região hachurada limitada por duas circunferências de raio R, tangentes externamente, e pela tangente comum r.

Resposta: A = 2R2 – �R2/2 = R2(2 – �/2)

PPPRRROOOGGGRRR... AAARRRIIITTTMMMÉÉÉTTTIIICCCAAASSS Questão 1 - (UniAra-2001) A média de pontos obtidos em um teste de seleção par a candidatos a emprego em uma empresa tem diminuído de maneira constante. A média do teste aplicado em 1994 foi 252 pontos, enquanto que em 1999 foi apenas 197 pontos. Nestas condições a média de pontos em 2.001 será: a) 185 pontos b) 176 pontos c) 186 pontos d) 182 pontos e) 175 pontos Alternativa: E Questão 2 - (UERJ-1998) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico, por 6 pontos de uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00 Alternativa: A Questão 3 - (UFPB-1982) A soma dos 3 primeiros termos de uma sucessão, onde a1 = 2 e an+1 = an + 3 para todo n � 1, é: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 Alternativa: E Questão 4 - (Fuvest-2003) a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000? b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? Respostas: a) 100 b) 100 + 60 - 20 = 140 Questão 5 - (Fatec-2003) As medidas dos lados de um triângulo retângulo, em centímetros, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 4. Se a área desse triângulo é de 96 cm2, o perímetro desse triângulo, em centímetros, é a) 52 b) 48 c) 42 d) 38 e) 36 Alternativa: B

Questão 6 - (ITA-2004) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a 5º. Então, seu maior ângulo mede, em graus, a) 120 b) 130 c) 140 d) 150 e) 160 Alternativa: E Questão 7 - (Unirio-1995) Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 2cm, construímos um segundo triângulo retângulo onde um dos catetos está apoiado na hipotenusa do primeiro e o outro cateto mede 2cm. Construímos um terceiro triângulo com um dos catetos medindo 2cm e o outro apoiado na hipotenusa do segundo triângulo. Se continuarmos a construir triângulos sempre da mesma forma, a hipotenusa do 15o triângulo medirá: a) 15cm. b) 15 2 cm. c) 14cm. d) 8cm. e) 8 2 cm. Alternativa: D Questão 8 - (Vunesp-2005) Em 05 de junho de 2004, foi inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregueses que passaram a freqüentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados que se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração, para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pela primeira vez, foi: a) 15. b) 16. c) 17. d) 18. e) 26. Alternativa: B 0 3 6 9 12 ... 1 4 7 10 13 ... 2 5 8 11 14 ... a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Por quê? b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê? Respostas: a) 2ª linha b) 107ª coluna Observe que: » Os números da 1ª linha da tabela são múltiplos de 3; » Os números da 2ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais 1; » Os números da 3ª linha da tabela são múltiplos de 3 mais 2; » 319 = 3.106 + 1. Portanto, o 319 se encontra na 2ª linha

(o resto da divisão por 3 é igual a 1) e na 107ª coluna (existem 106 colunas antes do número 319). Questão 10 - (Vunesp-2004) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro primeiros minutos.

Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número de vírus no final de 1 hora era de: a) 241. b) 238. c) 237. d) 233. e) 232. Alternativa: C Questão 11 - (UFSCar-2004) Um determinado corpo celeste é visível da Terra a olho nu de 63 em 63 anos, tendo sido visto pela última vez no ano de 1968. De acordo com o calendário atualmente em uso, o primeiro ano da era Cristã em que esse corpo celeste esteve visível a olho nu da Terra foi o ano a) 15. b) 19. c) 23. d) 27. e) 31. Alternativa: A Questão 12 - (VUNESP-2009) Um viveiro clandestino com quase trezentos pássaros foi encontrado por autoridades ambientais. Pretende-se soltar esses pássaros seguindo um cronograma, de acordo com uma progressão aritmética, de modo que no primeiro dia sejam soltos cinco pássaros, no segundo dia sete pássaros, no terceiro nove, e assim por diante. Quantos pássaros serão soltos no décimo quinto dia? a) 55. b) 43. c) 33. d) 32. e) 30. Alternativa: C Questão 13 - (UFSCar-2002) Uma função f é definida

recursivamente como 5

25f(n)1)f(n +=+ . Sendo f(1) =

5, o valor de f(101) é a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) 65. Alternativa: A

Questão 14 - (UNIFESP-2008) “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.

Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relação Tn = Tn-1 + n, para n = 2,3,4,..., pode-se deduzir que T100 é igual a a) 5.050. b) 4.950. c) 2.187. d) 1.458. e) 729. Alternativa: A Questão 15 - (Fuvest-1998) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes. a) Quantas foram as moedas restantes e quem as

recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)

b) Quantas moedas recebeu cada uma das três

pessoas? Respostas: a) B recebeu as 4 moedas restantes. b) A: 176 B: 159 C: 165

Questão 16 - (Mack-2005) A caixa d’água reserva de um edifício, que tem capacidade para 25000 litros, contém, em um determinado dia, 9600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é: a) 11 b) 13 c) 14 d) 12 e) 10 Alternativa: A Questão 17 - (Fuvest-1998) A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, é: a) 10 b) 20 c) 60 d) 80 e) 100 Alternativa: E Questão 18 - (Mack-2005) A soma de todos os termos,

que são menores que 12, da P.A. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,...

47,

45,

43,

41

é:

a) 120. b) 144. c) 150. d) 160. e) 140. Alternativa: B Questão 19 - (Unaerp-1996) A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258, então, o 1o termo e a razão são respectivamente: a) 3 e 5. b) 5 e 3. c) 3 e -5. d) -5 e 3. e) 6 e 5. Alternativa: B Questão 20 - (FGV-2003)

a) calcule ∑=

−60

1j

1)(2j .

b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ,...

4x,

2x1,

2

.

Respostas: a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600

b) 19

19

2x

−

Questão 21 - (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o número de termos n desta progressão, em função de A, B e q. b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas parcelas são necessárias para pagar a dívida? Respostas: a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja, supondo que q≠0, A≠0 e q≠±1, então temos que n = 1

+ ABlog q .

b) 25 parcelas. Questão 22 - (Vunesp-2006) Considere a figura ao lado, onde estão sobrepostos os quadrados OX1Z1Y1, OX2Z2Y2, OX3Z3Y3, OX4Z4Y4, ... , OXnZnYn, ... , n � 1, formados por pequenos segmentos medindo 1cm cada um. Sejam An e Pn a área e o perímetro, respectivamente, do n-ésimo quadrado.

a) Mostre que a seqüência (P1, P2, ... , Pn,...) é uma progressão aritmética, determinando seu termo geral, em função de n, e sua razão. b) Considere a seqüência (B1, B2, ... , Bn ,...), definida por

Bn = n

n

PA

. Calcule B1, B2 e B3. Calcule, também, a soma

dos 40 primeiros termos dessa seqüência, isto é, B1 + B2 + ... + B40. Respostas: a) cada novo quadrado tem 4 segmentos a mais, de forma que a seqüência é uma PA de razão 4, e termo geral Pn = 4 + (n-1).4 = 4n

b) 41

;21

;43

; ... (PA de razão 41

)

S40 = 205. Questão 23 - (OMU-2002) Considere as seqüências Sn = 12 + 22 + ... + n2 e Tn = 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1). Calcule S4, T4 e T4 - S4. Ache n tal que Tn - Sn = 210. Respostas:

a) S4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. T4 = 2 + 6 + 12 + 20 = 40. T4 - S4 = 10.

b) ∑ ∑= =

+==−+=−

n

i

n

inn

nniiiiST1 1

2

2)1()1( . Assim

n2 + n - 420 = 0, logo (n - 20)(n + 21) = 0, assim n = 20. Questão 24 - (UFPR-2002) Considere um conjunto de circunferências cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a progressão aritmética 20, 21, 22, 23, ... , 150. A respeito dessas circunferências, é correto afirmar:

I. O total de circunferências é 130. II. O comprimento da maior dessas circunferências é

15 vezes o comprimento da menor. III. As medidas dos diâmetros dessas circunferências,

em milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão aritmética de razão 2.

IV. A soma dos comprimentos de todas as circunferências, em centímetros, é 2227�.

Resposta:F – F – V – V Questão 25 - (Fuvest-1997) Do conjunto de todos os números naturais n, n � 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto. Resposta: S = 20100 - 4100 - 3366 + 630 = 13264 Questão 26 - (UFRJ-1998) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis.

Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. Determine o número de cartas que ele vai utilizar. Resposta: 2420 cartas Questão 27 - (Mack-2007) Observe a disposição, abaixo, da seqüência dos números naturais ímpares. 1ª linha → 1 2ª linha → 3,5 3ª linha → 7,9,11 4ª linha → 13,15,17,19 5ª linha → 21,23,25,27,29 ........... ......................... O quarto termo da vigésima linha é a) 395 b) 371 c) 387 d) 401 e) 399 Alternativa: C

O valor de ∑=

100

1nna é:

a) 4 950 b) 4 850 c) 5 050 d) 4 750 e) 4 650 Alternativa: A Questão 29 - (ITA-2005) Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética infinita tal que

∑=

n

kka

13 = n 2 + �.n2, para n � IN*

Determine o primeiro termo e a razão da progressão.

Resposta: O primeiro termo é 2 - 3π

, e a razão é

32π

.

Questão 30 - (UFC-2002) Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos sucessivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem. a) (0, 5, 12, 21, 23) b) (6, 8, 15, 27, 44) c) (-3, 0, 4, 5, 8) d) (7, 3, 2, 0, -1) e) (2, 4, 8, 20, 30) Resposta: B Construindo as seqüências das diferenças obtemos a) (5, 7, 9, 2) b) (2, 7 12, 17) c) ( 3, 4, 1, 3) d) (-4, -1, -2, -1) e) (2, 4, 12, 10) Apenas (2, 7, 12, 17) representa uma parte de uma progressão aritmética. Portanto apenas a seqüência (6, 8, 15, 27, 44) contém parte de uma P. A. de segunda ordem. PPPRRROOOGGGRRR... GGGEEEOOOMMMÉÉÉTTTRRRIIICCCAAASSS Questão 1 - (UFRN-2002) As áreas dos quadrados abaixo estão em progressão geométrica de razão 2. Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em

a) progressão aritmética de razão 2. b) progressão geométrica de razão 2.

c) progressão aritmética de razão 2 .

d) progressão geométrica de razão 2 . Alternativa: D

Questão 2 - (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero T1 de área 16 3 cm2 Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T2, que tem os pontos médios dos lados de T1 como vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T3, e assim por diante, indefinidamente. Determine: a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1, em centímetros; b) as áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2. Resposta: a) O lado mede 8cm e a altura mede 4 3 cm. b) As áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2, são

respectivamente iguais a 4 3 e 256

3

Questão 3 - (Mauá-2001) Determine x para que 4, x e 9 formem, nessa ordem, uma progressão geométrica. Resposta: x = 6 ou x = -6 Questão 4 - (UFV-2005) O interior de uma jarra é um cilindro circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1 litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão geométrica. O valor de V é: a) 6 b) 4 c) 9 d) 7 e) 5 Alternativa: D Questão 5 - (ESPM-1995) O sétimo e o nono termos de uma progressão geométrica de razão positiva valem respectivamente 320 e 20. O oitavo termo dessa PG é: a) 170 b) 2 85 c) 80 d) 40 e) 4 Alternativa: C Questão 6 - (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen

x), 0 < x < 2π

, é uma progressão geométrica, cos2x vale

a) 21

b) 23

c) -21

d) - 23

e) -22

Alternativa: C

Questão 7 - (UDESC-1996) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3, então os termos gerais da Progressão Aritmética e da Progressão Geométrica correspondentes são:

a) 2 + 3n e 3

2.3n

b) 2 + 3n e 2

3 1n−

c) 3n - 1 e 2.3n d) 3 + 2n e 3.2n

e) 3n - 1 e 3

2.3n

Alternativa: E Questão 8 - (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemática, propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de presente, no final do ano, se suas notas, em todas as disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos comuns nas progressões geométricas (1,2,4, ... ,4096) e (1,4,16, ... ,4096)”. De acordo com a proposta, João ganhará a viagem se não tiver nota inferior a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Alternativa: B Questão 9 - (FUVEST-2006) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 Alternativa: C Questão 10 - (FUVEST-2007) Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou com 100 indivíduos. Admite- se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira hora, são: Tempo decorrido (minutos) Número de bactérias 0 100 20 200 40 400 60 800 Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do experimento, a população de bactérias será de a) 51.200 b) 102.400 c) 409.600 d) 819.200 e) 1.638.400 Alternativa: C

Questão 11 - (UFSCar-2001) Uma bola cai de uma altura de 30m e salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de número n. A expressão matemática para h(n) é:

a) 30n

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b) n(30)32

c) 20.n

d) .n

32

e) n

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Alternativa: A Questão 12 - (Fuvest-2005) Uma seqüência de números reais a1, a2, a3, … satisfaz à lei de formação an + 1 = 6an, se n é ímpar,

an + 1 = 31 an, se n é par.

Sabendo-se que a1 = 2 a) escreva os oito primeiros termos da seqüência. b) determine a37 e a38. Resposta: a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 ,4 2 ,24 2 ,8 2 e 48 2 b)a37= 218. 2 e a38 = 6.218 2 Questão 13 - (Vunesp-2003) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente.

Determine, ao final de 9 dessas operações, a) quantas tábuas terá a pilha. b) a altura, em metros, da pilha. Respostas: a) 256 tábuas b) 1,28m Questão 14 - (FGV-2005) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...

Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a a) 68. b) 102. c) 136. d) 153. e) 192. Alternativa: C Questão 15 - (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a soma dos dois primeiros termos é igual a 12. Nessas condições, o termo numericamente igual à razão da seqüência é o a) quarto. b) quinto. c) sexto. d) sétimo. e) oitavo. Alternativa: A Questão 16 - (UFC-2002) Considere a função real de variável real definida por f(x) = 2-x. Calcule o valor de f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ...

Resposta: S = q1

a1

− =

)21(1

1

−− = .

32

Questão 17 - (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero cuja medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo eqüilátero é construído, unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a a) 16cm. b) 18cm. c) 20cm. d) 24cm. e) 32cm. Alternativa: D Questão 18 - (Unicamp-1990) Construir "fractais” no computador corresponde a um procedimento como o descrito a seguir. A partir de um triângulo eqüilátero, de área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; aos lados livres destes triângulos acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim sucessivamente construímos uma figura com uma infinidade de triângulos (veja o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse processo.

Resposta: Excetuando-se o 1o triângulo (de área A), as áreas dos demais formam uma PG infinita de razão 2/9 e cuja soma infinita é 3A/7. Desta forma, a soma total das áreas é A+ 3A/7 = 10A/7

Questão 19 - (Mack-2007) cotg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++ ...

1263πππ

é

igual a a) 3

b) 3−

c) 33

d) 33

−

e) 3

32

Alternativa: D Questão 20 - (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01361 ≈ 36 a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. e) 274,00. Alternativa: B Questão 21 - (UFES-1997) Em um rebanho de 15.000 reses, uma foi infectada pelo vírus "mc1". Cada animal infectado vive dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o "mc1" exterminará a metade do rebanho? Resposta: A sequência de animais mortos segue uma PG de razão 3: 1, 3, 9, 27,... A soma dos n primeiros termos dessa PG é

S = 131)1(3n

−− > 7500 3n > 15001 n > log315001 n

> 8,75 Então, S é maior que 7500 para 9 termos, de modo que em 18 dias (9 x 2) mais da metade do rebanho terá morrido. Para 8 termos (16 dias) ainda não teremos metade do rebanho morto.

Questão 22 - (Fuvest-1994) Na figura a seguir , A1B1 = 3, B1A2 = 2.

Calcule a soma dos infinitos segmentos: A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+... Resposta: Temos 2 PGs infinitas de razão 4/9, uma iniciando em A1B1 = 3 e englobando apenas os segmentos verticais e outra iniciando em B1A2 = 2 englobando os inclinados. A soma das duas PGs resulta em S = 9. Questão 23 - (Vunesp-2000) No dia 1 de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1 enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é: a) 12. b) 24. c) 52. d) 63. e) 126. Alternativa: A Questão 24 - (Fatec-1996) Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes: 1) perde-se a quantia X apostada; 2) recebe-se a quantia 2X. Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2 centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por diante, apostando em cada vez o dobro do que havia apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21ª jogada, tem-se que Q é igual a:

a) 2T

b) T c) 2T d) T-1 e) T+1 Alternativa: E

Questão 25 - (UFSCar-2003) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3 900, pode-se

afirmar que 5

5 2x−

, é igual a

a) 251

b) 51

c) 1 d) 5 e) 25. Alternativa: B Questão 26 - (Mack-2002) Numa seqüência infinita de círculos, cada círculo, a partir do segundo, tem raio igual à metade do raio do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a soma das áreas de todos os círculos é: a) 12π b) 15π/4 c) 64π/3 d) 32π e) 32π/3 Alternativa: C Questão 27 - (Mack-2002) Se construímos um seqüência infinita de quadrados, sendo o primeiro de lado 1 e cada um dos outros com lado igual à metade do lado do quadrado anterior, então a soma das áreas desses quadrados é: a) 2

b) 4

3

c) 54

d) 45

e) 34

Alternativa: E Questão 28 - (Unicamp-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule: a) O número total de questões da referida prova. b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova. Respostas: a) 8 questões. b) 127,5 minutos. Questão 29 - (desconhecida-0) Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho. Consegue despachar, no primeiro dia, 210 documentos e percebe que seu trabalho, no dia seguinte, tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-se esse fato dia após dia. Se para terminar o trabalho tem de

se concluir que: a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias; b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias; c) o trabalho estará terminado em 58 dias d) o funcionário nunca terminará o trabalho; e) o trabalho estará terminado em 60 dias; Alternativa: D Questão 30 - (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a distância entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim, sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza linearmente em cada período considerado.

a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro. b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) = distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do instante t = 0. Respostas: a) 799,2 metros portanto a distância que o separa de B é inferior a 1m. b)