1

Ecuaciones de Movimiento:Ecuaciones de Movimiento:Flujo viscosoFlujo viscoso

ClaudeNavier

(1785-1836)

GeorgesStokes

(1819-1903)

Ultra Breve HistorialUltra Breve Historial 3rd A.C. , Archimedes, Cuerpos sumergidos" Siglo XV, L. de Vinci, observaciones 1687, Newton en " Principia", fuerza de viscosidad

variacin de la velocidad 1738, D. Bernoulli, "Hydrodynamics" 1755, L. Euler, fluidos perfectos, ecuaciones de

continuidad y cantidad de movimiento para flujos inviscidoscompresible o incompresibles.

1821, C. Navier : obtiene la ecuacin de Navier-Stokes incluyendo la viscosidad, tensor de tensiones.

1829, S. Poisson, Soluciones para lquidos viscosos

1845, G. Stokes, obtiene de manera rigurosa la ecuacin de Navier, la que es reformulada considerando la condicin de no deslizamiento en la pared

PerfilPerfil profesionalprofesional de Navierde NavierIngeniero Civil (Emiland Gauthey)

Construccin de puentes colgantes

Hidralica

Ingeniero especializado en la mecnica del continuo

Contribuciones en la aplicacin de las series de Fourier en la

resolucin de problemas fsicos reales.

Una gran parte de su trabajo se dedic a modificar las

ecuaciones de Euler para incluir la interaccin entre molculas.

The The ironyirony isis thatthat althoughalthough Navier Navier hadhad no no conceptionconception ofof shearshear stress stress andand diddid notnot setsetout out toto obtainobtain equationsequations thatthat wouldwoulddescribe describe motionmotion involvinginvolving frictionfriction, he , he neverthelessnevertheless arrivedarrived atat the the properproper formform forforsuchsuch equationsequations..

(J D (J D AndersonAnderson, , A A HistoryHistory ofof AerodynamicsAerodynamics CambridgeCambridge, 1997). , 1997).

CondiciCondicinn en la pared en la pared propuestapropuesta porpor NavierNavier

Condicin de no deslizamiento sobre la pared

Validada por una serie de medidas macroscpicaspero es una hipotesis basada en principios fsicos

Navier propuso que la velocidad uz, en la pared fuese proporcional al esfuerzo de corte

zz u

zu =Esfuerzo de corte

en la paredComponente tangencalde la velocidad

Video

Colapso De NavierColapso De Navier Fue el primero en efectuar una teorFue el primero en efectuar una teora sobre puentes colgantes los que a sobre puentes colgantes los que

previamente se disepreviamente se diseaban de manera empaban de manera emprica. Uno de sus predecesores era rica. Uno de sus predecesores era su tsu to abuelo o abuelo GauthierGauthier..

La caLa cada de un puente sobre el Sena por da de un puente sobre el Sena por l disel diseado (una falla en un anclaje) ado (una falla en un anclaje) puso de relieve concepciones diferentes entre los vpuso de relieve concepciones diferentes entre los vnculos entre matemnculos entre matemtica, tica, ffsica e ingeniersica e ingeniera que exista que exista por un lado en el Reino Unido y por el otro en a por un lado en el Reino Unido y por el otro en Francia. Francia.

Existe una teorExiste una teora del boicot acerca del colapso del puente (Navier era de corte a del boicot acerca del colapso del puente (Navier era de corte progresista , antimilitarista y se oponprogresista , antimilitarista y se opona a las sangrientas campaa a las sangrientas campaas militares as militares de Napolede Napolen)n)

2

Otros Colapsos de puentesOtros Colapsos de puentes Fluido ViscosoFluido Viscoso--Fluido NewtonianoFluido Newtoniano En los flujos viscosos no En los flujos viscosos no

despreciamos el efecto de despreciamos el efecto de la viscosidad sobre el la viscosidad sobre el movimiento del fluido.movimiento del fluido.

En los fluidos newtonianos En los fluidos newtonianos admitimosadmitimos

Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (caso que vamos a analizar mayormente en (caso que vamos a analizar mayormente en estas clases)estas clases)

PIprrrrrr

+=

EIudivPrrrrrrr 2* +=

EPrrrr

2=

ObjetivosObjetivos

Analizar la formulaciAnalizar la formulacin de las ecuaciones de n de las ecuaciones de conservaciconservacin considerando un fluido newtoniano e n considerando un fluido newtoniano e incompresibleincompresible

EcsEcs de de conservconserv. Para un . Para un fluidofluido NewtonianoNewtoniano conservconserv. De la . De la masamasa conservconserv. De la cant. de . De la cant. de movimmovim: : EcEc. De Navier Stokes. De Navier Stokes conservaciconservacinn de la de la energenergaa SistemaSistema de de EcuacionesEcuaciones parapara un un fluidofluido newtonianonewtoniano EcuaciEcuacinn de la vorticidadde la vorticidad DifusiDifusinn de la vorticidad a de la vorticidad a partirpartir de de unauna paredpared Panorama de Panorama de solucisolucinn de de problemasproblemas par par fluidosfluidos newtonianosnewtonianos..

No hay cambios porque no depende de la relacin constitutiva

Si el flujo es incompresible

Si La densidad es uniforme entonces permanece uniforme

EcuaciEcuacin de conservacin de conservacin de la masan de la masa

0=++ udivdivu

trr

PIprrrrrr

+=

0=+ udivDtD r

0=+

= divutDt

D r

Forma Integral de la EcuaciForma Integral de la Ecuacin de n de ConservaciConservacin de la masan de la masa

0),(),(

)()( 000

=+

=

= tStVtt

dSnvtxdVt

txdt

dM rrrr

0)(

=

=

tV

dVDtD

DtDM

V(t0)V(t1)

ConservaciConservacin de la cantidad de movimienton de la cantidad de movimiento

( ) ( ) ( )pgradIpgradIdivpIpgradIpdiv ===

rrrrrrrr

rrr

r

divfDt

uDv +=

PdivIpdivPIpdivdivrrrrrrrrrr

+

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+= EdivIudivdivEIudivdivPdiv

rrrrrrrrrrrr 22 **

( ) ( )

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IudivgradIdivudivIudivdiv

rrrrrrrrr ***

( ) ( )( ) ( ) ( ) uudivgradudivgradudivgrad

udivgradIudivgradIudivdivrrrr

rrrrrrr

2****

***

==+=

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3

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1

321 ,,

AAA

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r

r

r

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323

32

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21

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2

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xb

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xb

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3

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EdivEdivgradEEdiv

rrrrrrrr 222

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rrrrrrrrrrdivAdivAdivEdiv 222

( )( ) ( )uugraddivAdiv rrrr

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( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )uudivgradroturotrotdiv rrrrrr

2

21

21

21

===

( ) ( )( )( )udivgraduEdiv rrrr

+=

22

( )( )( )( ) ( )( )brotrotbdivgradbbgraddivb

rrr

rr

=

=2

2

EcEc. De . De ConservacConservac. . CantCant. . MovMov. Lineal. Lineal

Sustituyendo nos quedaSustituyendo nos queda

Si el flujo es incompresible Si el flujo es incompresible (Ecuaci(Ecuacin de Naviern de Navier--StokesStokes))

Que se puede escribir Que se puede escribir tambitambin comon como

( ) ( ) ( )( ) ( )uudivgradpgradfDt

uDv

rrrr

2* +++=

( ) ( )upgradfDt

uDv

rrr

21 +=

( ) ( )

rrr

rotpgradfDt

uDv =

1

( ) ( )urotrotudivgradu rrr =2

NN--S en coordenadas cartesianasS en coordenadas cartesianas

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

zw

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xw

zpf

zww

ywv

xwu

tw

zv

yv

xv

ypf

zvw

yvv

xvu

tv

zu

yu

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xuu

tu

vz

vy

vx

Forma Integral de La Forma Integral de La ConsCons. . CantCant. . MovimMovim. Lineal. Lineal

( ) ( ) +=+

)()()()( 0000 tStVtStV

dSndVgdSnuudVtu rrrrrrrr

PIprrrrrr

+=

( ) ( ) +=+

)()()()()( 00000 tStStVtStV

dSnPdSnIpdVgdSnuudVtu rrrrrrrrrrr

( ) ( ) ( ) ( )

++=+

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2tStVtStV

dSnEIudivdVpgradgdSnuudVtu rrrrrrrrrrr

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22

Flujo incompresibleFlujo incompresible

( ) ( ) ( ) ( )( ) +=+

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dSnugraddVpgradgdSnuudVtu rrrrrrr

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0

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tVtStV

dSnugradIudiv

dVudivgraddVpgradgdSnuudVtu

rrrrr

rrrrrr

Flujo Flujo ConvectivoConvectivo Cantidad de Cantidad de MovimientoMovimiento

Flujo Flujo DifusorioDifusorio de la de la Cantidad de MovimientoCantidad de Movimiento

( ) ( ) rTEEudivDt

pDTDt

TDcp ++

+= 22* :2

rrrrr

ConservaciConservacin de la Energn de la Energaa( ) ( )qdivrEDteD rrrrr

+= :int

( ) ( ) ( )qdivrDt

pDTDtTDcp

r+=

+=

+

=

+== EEudivEEEIudivEEIudivEP

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr :2:2::2: 2***

( )Tq = r

Disipacin Viscosa

4

EcuaciEcuacin de la Vorticidadn de la Vorticidad

Partiendo de NPartiendo de N--S bajo la S bajo la forma forma

Considerando un flujo Considerando un flujo incompresible y que las incompresible y que las fuerzas volumfuerzas volumtricas tricas derivan de una funciderivan de una funcin n potencial, y si aplicamos el potencial, y si aplicamos el operador rotor luego de operador rotor luego de efectuar sucesivos efectuar sucesivos desarrollos llegamos adesarrollos llegamos a

( ) ( )

rrr

rotpgradfDt

uDv =

1

( ) ( ) rrrr

2+= ugradDtD

Si el flujo es 2DSi el flujo es 2D

Y directamente nos quedaY directamente nos queda

AnAnloga aloga a

( ) ( ) 0)( == ugradurotugrad rrrr

( ) rr

2=DtD

( ) TaDtTD 2=

Partculas vecinas con mayor vorticidad

Partculas en cuestin

Partculas vecinas con menor vorticidad

Torque Torque

Partculas vecinas con mayor temperatura

Partculas en cuestin

Partculas vecinas con menor temperatura

Flujo de calor

Flujo de calor

VideoVideoVideo 100Video 100Video 10 Video 10

EcEc. de la vorticidad bajo forma integral. de la vorticidad bajo forma integral Considerando queConsiderando que

Y la propiedad que hemos visto Y la propiedad que hemos visto

Si integramos sobre el volumen la ecuaciSi integramos sobre el volumen la ecuacin de n de la vorticidadla vorticidad

Considerando el teorema del transporte surgeConsiderando el teorema del transporte surge

( ) ( )( )agraddiva rr =2

==

=)()( 0 00

),(),(tV tttttV

dVDt

txDdVtxDtD rr

( )( ) == )()( 00

),(tVtttV

dVgraddivdVtxDtD rrr

( ) ( )( ) ( )( ) =+

)()()( tStStV

dSngraddSnudVt

rrrrrr

Flujo convectivovorticidad

Flujo difusorio de la vorticidad

DifusiDifusin de la vorticidad a partir de n de la vorticidad a partir de la pared la pared Analicemos la EcuaciAnalicemos la Ecuacin de n de

Navier Navier StokesStokes para un fluido para un fluido inmediatamente vecino a una inmediatamente vecino a una paredpared

Como analizamos un caso Como analizamos un caso bidimensional y estacionario bidimensional y estacionario para las posiciones en la paredpara las posiciones en la pared

xv

yu

yux

xu

z

yz

=

==

=

=

0

,0,0),0,0()0;(

0)0;(

r

r

y

x

( ) ( )

rr

rotpgradDt

uD=

1

( )( ) ( ))0,(0,1 xx rotpgrad r

=

videovideo

La vorticidad en la pared tiene asociado la apariciLa vorticidad en la pared tiene asociado la aparicin de un gradiente de n de un gradiente de presipresin en la pared.n en la pared.

Esta vorticidad es menor a medida que nos alejamos de la pared .Esta vorticidad es menor a medida que nos alejamos de la pared .Concentraciones diferentes de vorticidad llevan entonces a la exConcentraciones diferentes de vorticidad llevan entonces a la existencia istencia de un fende un fenmeno de difusimeno de difusinn

( ) ( )

( ) ( )

( )0

0,

0,

0,

0,

0,

=

=

=

x

z

x

x

z

zp

xyp

yxp

x

x

Si los perfiles no cambian fuertemente segn la coordenada x

Tiempos caracterTiempos caractersticos de la difusisticos de la difusinn

Tiempos caracterTiempos caractersticos de la conveccisticos de la conveccinn

En la frontera ambos tiempos deben ser coincidentesEn la frontera ambos tiempos deben ser coincidentes

y

difusin

Transporte Convectivo

2

2 dd

=Ux

C

=U

x

x

VideoVideo

videovideo

( ) ( ) rrr 2=u

5

Resumen EcuacionesResumen Ecuaciones

RelaciRelacin de n de GibbsGibbsEntropEntropa especa especficaficaCoefCoef. Cal. Calricos (ricos (e=cvTe=cvT))EnergEnerga int. Esp.a int. Esp.ConsCons. Energ. Energa (1)a (1)Temperatura (1)Temperatura (1)EcuaciEcuacin de Estado (1)n de Estado (1)Densidad (1)Densidad (1)ConservConserv. Masa (1). Masa (1)PresiPresin (1)n (1)ConsCons. . CantCant. . MovMov (3)(3)Velocidad (3)Velocidad (3)VariablesVariablesIncognitasIncognitas

Sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de 4x4

Soluciones simples cuando se aceptan simplificaciones: v.g. si flujo unidimensional

Condiciones iniciales y de fronteraCondiciones iniciales y de frontera

Vt=Vt=??Vt=0Vt=0

Vn=0Vn=0Vn=0Vn=0

Fluidos No viscososFluidos No viscososFluidos ViscososFluidos Viscosos

ConclusionesConclusiones Presentamos las ecuaciones de conservaciPresentamos las ecuaciones de conservacin bajo hipn bajo hiptesis tesis

restrictivas en la relacirestrictivas en la relacin constitutiva.n constitutiva.

Se llega asSe llega as a un sistema de ecuaciones diferenciales que a veces, a un sistema de ecuaciones diferenciales que a veces, bajo hipbajo hiptesis restrictivas pueden alcanzarse formas simples.tesis restrictivas pueden alcanzarse formas simples.

Presentamos la ecuaciPresentamos la ecuacin de la vorticidad que permite describir el n de la vorticidad que permite describir el movimiento de un fluido eliminando la presimovimiento de un fluido eliminando la presin como variable, pero n como variable, pero elevando el orden de las derivadas parciales que aparecen en laselevando el orden de las derivadas parciales que aparecen en lasecuaciones de conservaciecuaciones de conservacin.n.

La ecuaciLa ecuacin de la vorticidad permite describir asimismo la dinn de la vorticidad permite describir asimismo la dinmica mica de vde vrtices del escurrimiento (zonas de vorticidad concentrada).rtices del escurrimiento (zonas de vorticidad concentrada).

En las paredes se concentra la vorticidad y desde allEn las paredes se concentra la vorticidad y desde all difunde en difunde en sentido normal a la pared y a la vez es transportada por el flujsentido normal a la pared y a la vez es transportada por el flujo por o por convecciconveccin. n.