Introduccin al programa

Mathematica .

Ejemplo 1: Halle las raices de la ecuacin Cos[x]=x utilizando el mtodo de biseccin. Definimos la funcin:

f@x_D := Cos@xD - xLa orden Plot nos permite dibujar la grfica de la funcin para tener una idea de dnde se encuentra

la raiz (o races): Plot@f@xD, 8x, -2, 2

Siendo L la longitud del intervalo inicial y el error mximo que se quiere cometer al calcular laraiz, el nmero de veces,n, que habr que aplicar el mtodo de biseccin es:

Solve@L2^Hn + 1L , nDSolve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some

solutions may not be found; use Reduce for complete solution information.

::n K-Log@2D - LogBLFO Log@2D>>

Particularizando para los valores de LPi/2,10^(-6) obtenemos que el nmero de veces que hayque aplicar el mtodo de biseccin es n=20.

K-Log@2D - LogBLFO Log@2D . 8L Pi2, 10^H-6L< N

19.5831

Log@2, Pi2 10^6D - 1 N19.5831

Definimos la funcin biseccin que a partir de un intervalo nos da el siguiente subintervalo dondese localiza la raiz:

biseccion@8a_, b_, :a + b2

, b>F

biseccion@80, Pi2

biseccionB:0, 4>F

:8,

4>

La obtencin de la sucesin de subintervalos se puede obtener fcilmente con la orden NestList delMathematica, hay que proporcionar un valor inicial para la funcin, en este caso el intervalo de partida{0,Pi/2}, y el nmero de veces que se va a iterar, en este caso n=20, para obtener una aproximacin con elerror requerido de 10^(-6).

NestList@biseccion, 80, Pi2, :0,

4>, :

8,

4>, :3

16,

4>, :7

32,

4>, :15

64,

4>,

:15 64

,

31

128>, :15

64,

61

256>, :15

64,

121

512>, :15

64,

241

1024>,

:481 2048

,

241

1024>, :963

4096,

241

1024>, :1927

8192,

241

1024>,

:1927 8192

,

3855

16384>, :1927

8192,

7709

32768>, :15417

65536,

7709

32768>,

:30835 131072

,

7709

32768>, :61671

262144,

7709

32768>, :123343

524288,

7709

32768>,

:123343 524288

,

246687

1048576>, :123343

524288,

493373

2097152>>

Practica 4 Introduccion al programa Mathematica

2 Departamento de Matem

Si slo se quiere el intervalo final, es suficiente con utilizar la orden Nest en lugar de NestList.

intfinal = Nest@biseccion, 80, Pi2

La aproximacin de la raiz buscada se obtiene como el punto intermedio del intervalo.

ap =1

2Hintfinal@@1DD + intfinal@@2DDL N

0.739086El valor de la funcin en el punto que acabamos de obtener es:

f@apD N-1.241910-6

Vamos a calcular la raiz con suficiente precisin mediante la orden FindRoot del Mathematica parapoder ver qu error cometemos con el mtodo de biseccin:

ra =

x . FindRoot@f@xD 0, 8x, 0.739

NestList@g, x0, 20D80.6, 0.744017, 0.73909, 0.739085, 0.739085, 0.739085,0.739085, 0.739085, 0.739085, 0.739085, 0.739085,0.739085, 0.739085, 0.739085, 0.739085, 0.739085,0.739085, 0.739085, 0.739085, 0.739085, 0.739085 10^H-25LL, HAbs@x1 - x0D > 10^H-25LLD,x0 = x1; x1 = SetPrecision@g@x0D, 50D;val = SetPrecision@f@x1D, 50D; cont++DEl valor de la aproximacin es:

x1

0.73908513321516064165531208767387340401341175890076y para ello se han necesitado 6 iteraciones.

cont

6Comprobemos que se han cumplido las condiciones para el criterio de parada.

f@x1D0.10-50

Practica 4 Introduccion al programa Mathematica

4 Departamento de Matem

Abs@x1 - x0D1.7010-47

datos = NestList@g, x00, 6D;puntos = Partition@Flatten@Table@8datos@@iDD, datos@@iDD, :603

128,

1207

256>, :603

128,

2413

512>,

:2413512

,

4825

1024>, :4825

1024,

9651

2048>, :9651

2048,

19301

4096>,

:96512048

,

38603

8192>, :9651

2048,

77207

16384>, :9651

2048,

154415

32768>>

Introduccion al programa Mathematica Practica 4

Departamento de Matem 5

intfinal = Nest@biseccion, 84, 5

ap =1

2Hintfinal@@1DD + intfinal@@2DDL N

4.71239

f@apD N527587.

El valor encontrado evidentemente no es raiz de la ecuacin. Sencillamente porque la ecuacin notiene ninguna raiz en el intervalo de partida. Ntese que sin embargo el mtodo de biseccin se aplica sinproblemas:

Plot@f@xD, 8x, 0, 5

cont = 0;x1 = SetPrecision@g@x0D, 50D;val = SetPrecision@f@x1D, 50D;cont = 1;While@Or@Hval > 10^H-25LL, HAbs@x1 - x0D > 10^H-25LLD,x0 = x1; x1 = SetPrecision@g@x0D, 50D;val = SetPrecision@f@x1D, 50D; cont++DEl valor de la aproximacin es:

x1

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751y para ello se han necesitado 4 iteraciones.

cont

4Y el error cometido es:

Pi - x1

0.10-50

PREGUNTA : Si cogiramos como extremo inferior del intervaloel punto de arranque del mtodo de Newton, a = x0 = 3.1,

y quisiramos obtener la raiz con cuatro iteraciones y con un error menorque 10-50 utilizando el mtodo de biseccin en el intervalo @a, bD,

cual debera ser el valor de b?

SetPrecisionBSolveB b - 3.125

== 10-50F, 60F

88b 3.10000000000000008881784197001252323389053344726562500000000

Plot@f@xD, 8x, 0, 8

Plot@8x, g@xD

Plot@8x, g@xD

Sea a>0 el punto inicial. La recta tangente en ese punto a la curva esy - ArcTan@aD = 1

1+a2Hx - aL y corta al eje OX en el punto a-(1 + a2)ArcTan[a]. Igualando este

punto con el valor -a y resolviendo la ecuacin resultante obtendremos el valor pedido. Se trata pues dehallar la raiz de la ecuacin -a=a-(1 + a2)ArcTan[a], o equivalentemente un cero de la funcin f[x]=2x-(1 + x2)ArcTan[x]. Para ello utilizamos el mtodo de Newton tomando como valor inicial 1.3 y resulta

f@x_D := 2 x - H1 + x^2L ArcTan@xDg@x_D = x - f@xDf'@xDx - I2 x - I1 + x2M ArcTan@xDMH1 - 2 x ArcTan@xDLPlot@f@xD, 8x, 0, 2 10^H-25LL, HAbs@x1 - x0D > 10^H-25LLD,x0 = x1; x1 = SetPrecision@g@x0D, 50D;val = SetPrecision@f@x1D, 50D; cont++D

x1

1.3917452002707349244164412881851277450451647359387

cont

6Comprobemos que tomando este punto

a=1.3917452002707349244164412881851277450451647359387 se produce un bucle cuando se utiliza elmtodo de Newton para hallar la raiz de la ecuacin ArcTan[x]=0.

f@x_D := ArcTan@xDg@x_D = x - f@xDf'@xDx - I1 + x2M ArcTan@xDSetPrecision@NestList@g, x1, 50D, 50D81.3917452002707349244164412881851277450451647359387,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,

,

Introduccion al programa Mathematica Practica 4

Departamento de Matem 11

-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359387,1.3917452002707349244164412881851277450451647359388,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359386,1.3917452002707349244164412881851277450451647359379,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359366,1.3917452002707349244164412881851277450451647359345,-1.3917452002707349244164412881851277450451647359893,1.3917452002707349244164412881851277450451647360467,-1.3917452002707349244164412881851277450451647362048,1.3917452002707349244164412881851277450451647366249,-1.3917452002707349244164412881851277450451647377306,1.3917452002707349244164412881851277450451647406352,-1.3917452002707349244164412881851277450451647483190,1.3917452002707349244164412881851277450451647685578,-1.3917452002707349244164412881851277450451685049334,1.3917452002707349244164412881851277450451769588021,-1.3917452002707349244164412881851277450452837029774,1.3917452002707349244164412881851277450446476073774,-1.3917452002707349244164412881851277450417088715003,1.3917452002707349244164412881851277450387701356232,-1.3917452002707349244164412881851277451269322119349,1.3917452002707349244164412881851277454090508561323,-1.3917452002707349244164412881851277461466735612733,1.3917452002707349244164412881851277480480356737283,-1.3917452002707349244164412881851277530938451746330,1.3917452002707349244164412881851277662623206397196,-1.3917452002707349244164412881851278008835680073131,1.3917452002707349244164412881851278922547438967295,-1.3917452002707349244164412881851281332781055893313,1.3917452002707349244164412881851287691970394971724,-1.3917452002707349244164412881850650447431507708334,1.3917452002707349244164412881921234686272130614834,

,

Practica 4 Introduccion al programa Mathematica

12 Departamento de Matem

-1.3917452002707349244164412882047452431107492503700,1.3917452002707349244164412882299887920778216281431,-1.3917452002707349244164412882930976644955025725761,1.3917452002707349244164412884066936348473282725554 10^H-25LL, HAbs@x1 - x0D > 10^H-25LLD,x0 = x1; x1 = SetPrecision@g@x0D, 50D;val = SetPrecision@f@x1D, 50D; cont++D

x1

0

cont

12Para valores de arranque que originan divergencia hemos de considerar un criterio de paro consis-

tente en un nmero mximo de iteraciones. En este caso hemos considerado tal nmero igual a 20, as quecuando el contador llega a ese valor el proceso se termina.

x0 = 1.45;cont = 0;x1 = SetPrecision@g@x0D, 50D;val = SetPrecision@f@x1D, 50D;cont = 1;While@Or@Hval > 10^H-25LL, HAbs@x1 - x0D > 10^H-25LLD &&

cont < 20, x0 = x1; x1 = SetPrecision@g@x0D, 50D;val = SetPrecision@f@x1D, 50D; cont++D

cont

20

x1

1.25286616196097058060061042694403107338923529732871072217

Introduccion al programa Mathematica Practica 4

Departamento de Matem 13

NestList@g, 1.45, 20D91.45, -1.55026, 1.84593, -2.88911, 8.67845, -102.443,16281.4, -4.16359108, 2.723051017, -1.164741035,2.130991070, -7.1331710140, 7.9925410281,-1.00343602722656810564, 1.581609469953546101128,-3.92932897158335102256, 2.42525080700910104513,-9.2391749867017109026, 1.340868727928971018054,-2.82418018348911036108, 1.25286616203421072217=

NOTA : aunque en este problema, debido a la simetra impar de la funcin,

hemos podido reducir el clculo de los bucles a determinar la solucin de una nica ecuacin,

en general habr que resolver un sistema de la forma :a -f @aDf '@aD

b, b -f @bDf '@bD

a> .

sol = FindRootB:a - f@aDf'@aD

b, b -f@bDf'@bD

a>, 8a, 1.4