Documents pour le module de Calcul Intégral, L3...

Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques 1

Documents pour le module de Calcul Intégral, L3 Mathématiques

années 2013-2015

Hervé Le Ferrand

1. Licence Sciences L3

1


Corrigé de l’exercice 2 du DM4

Concernant la continuité uniforme d’une fonction continue 2π-périodique, pour éviter lesproblèmes de chevauchement aux bords d’un intervalle de longueur la période, on écrit la

convergence uniforme sur par exemple l’intervalle[−3π

2, 2π

].

1. Il suffit de voir que :

1− 2r cos(x) + r2 = (1− r cos(x))2 + (r sin(x))2.

et de ne pas oublier que 0 < r < 1.2. On peut passer à la tangente de l’angle moitié :

u = tant

2, dt =

2du

1 + u2, cos t =

1− u2

1 + u2.

Ainsi : ∫ π

−πPr(t)dt =

∫ ∞−∞

1− r2

1− 2r(1−u21+u2

)+ r2

× 2du

1 + u2(1)

= 2(1− r2)∫ ∞−∞

du

1 + u2 − 2r(1− u2) + r2(1 + u2)(2)

= 2(1− r2)∫ ∞−∞

du

(1− r)2 + (1 + r)2u2(3)

= 21− r1 + r

∫ ∞−∞

du

1 +(u(1+r1−r

))2 (4)

Le changement de variable s = 1+r1−r permet de conclure.

3. La fonction Pr décroît sur [0, π[ donc :

supx∈[α,π]

Pr(x) = Pr(α).

Il vient :

limr→1−

(supx∈[α,π]

Pr(x)

)= 0.

1. Licence Sciences L3

1

4. Pour 0 < r < 1, la série∑∞n=1 r

n cos(nx) est normalement convergente sur IR. On a :

1 + 2∞∑n=1

rn cos(nx) = −1 + 2∞∑n=0

rn cos(nx) (5)

= −1 +∞∑n=0

((reinx

)+(re−inx

))(6)

= −1 + 1

1− reix+

1

1− re−ix(7)

= Pr(x). (8)

Un argument de convergence normale, |rn cos(nt)e−kt| ≤ rn, nous autorise à intervertirles signes

∑et∫:

1

2π

∫ π

−πPr(t)e

−iktdt =1

2π

∫ π

−πe−iktdt+

∞∑n=1

1

2π

∫ π

−πrn(rei(n−k)t + e−i(n+k)t

)dt = r|k|.

5. La fonction (x, t) 7→ f(t)g(x − y) est continue sur IR × IR, donc d’après le théorème decontinuité des intégrales sur un segment à paramètre, f ? g est continue. De plus :

(f ? g)(x+ 2π) =1

2π

∫ 2π

0f(t)g(x+ 2π − t)dt = (f ? g)(x). (9)

On a par ailleurs en utilisant la périodicité :

(g ? f)(x) =1

2π

∫ π

−πg(t)f(x− t)dt = 1

2π

∫ π+x

−π+xg(x− y)f(y)dy = (f ? g)(x). (10)

6. On fixe f dans C2π. Etablissons que si α ∈ ]0, π[ :

∀x, |f(x)− (Pr ? f) (x)| ≤ sup|t|≤α|f(x)− f(x− t)|+ 2 sup

u∈IR|f(u)| × sup

α≤|t|≤πPr(t).

Comme1

2π

∫ π

−πPr(t)dt = 1, on a donc :

f(x) =1

2π

∫ π

−πf(x)Pr(t)dt.

Ainsi :

|f(x)− (Pr ? f) (x)| ≤1

2π

∫ π

−π|f(x)− f(x− t)|Pr(t)dt (11)

≤ 1

2π

∫ α

−α|f(x)− f(x− t)|Pr(t)dt (12)

+1

2π

∫α≤|t|π

|f(x)− f(x− t)|Pr(t)dt. (13)

2

On majore chacun des termes de droite. Pour le premier, on « sort »sup|t|α |f(x)−f(x−t)|

de l’intégrale et comme1

2π

∫ π

−πPr(t)dt = 1... Pour le second terme, on majore

|f(x)− f(x− t)|

par 2 supu∈IR |f(u)| ...

On commence par rendre sup|t|≤α |f(x) − f(x − t)| « petit »en traduisant l’uniformecontinuité de f et donc en choisissant un α. On sait rendre ensuite « petit »supα≤|t|≤π Pr(t)d’aprés la question 3). Ainsi :

limr→1−

supx∈IR|f(x)− (Pr ? f) (x)| = 0.

3

Universite de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques1

DM1 a rendre le 27 Septembre 2013

exercice 1Soit F l’application donnee par :

F (x) =

∫ 2x

x

dt√t4 + t2 + 1

.

1. Verifier que F est definie, continue et derivable sur IR. Calculer F ′(x).

2. Determiner :lim

x→+∞F (x).

exercice 2Soit f une fonction de classe C1 sur [0, 1]. Montrer que

limn→∞

∫ 1

0f(t) sin(nt)dt = 0.

Verifier que ce resultat est vrai pour tout fonction en escalier sur [0, 1]. En deduire alors que si g estune fonction continue sur [0, 1], alors on a :

limn→∞

∫ 1

0g(t) sin(nt)dt = 0.

exercice 3

Determiner une primitive sur IR tout entier, de la fonction f(x) =1

2 + cos(x).

1Licence Sciences L3, Integration

1


Exercices a rediger pour le Vendredi 26 Septembre 2014

exercice 1Pour tout entier naturel n on considere :∫ π

2

0

sin((2n + 1)x)

sinxdx. (1)

Expliquer pourquoi cette expression a un sens. Calculer alors sa valeur pour tout entier n.

exercice 2On designe par [x] la partie entiere du reel x. On considere, pour tout entier n ≥ 1 la quantite :∫ 1

1n

x ln

([1

x

])dx. (2)

Expliquer pourquoi cette expression a un sens. En donner une expression sous forme d’unecombinaison lineaire de logarithmes.

exercice 3On pose pour tout entier naturel n :

In =

∫ π2

0sinn(x)dx. (3)

Etablir une relation de recurrence entre In et In+2. Donner alors les expressions de I2p et I2p+1.Quel est le sens de variation de la suite (In) ? Trouver un equivalent simple de In quand n → +∞.On pourra pour cela considerer la quantite nInIn+1.


1


DM2 à rendre le 11 Octobre 2013

Commençons par quelques définitions :

Définition 1 Une subdivision de l’intervalle [a, b] est un ensemble de points {x0, x1, . . . , xn} tels quea = x0 < x1 < · · · < xn = b.

Définition 2 Soit f : [a, b] → IR une application et soit [c, d] un sous-intervalle fermé de [a, b]. Sil’ensemble

S =

{n∑

i=1

|f(xi)− f(xi−1)| : {xi : 0 ≤ i ≤ n} subdivision de [c, d]

}est borné alors la variation de f sur [c, d] est définie par V (f, [c, d]) = supS. Si S n’est pas borné, ondit que la variation de f est ∞. Une fonction f est à variation bornée sur [c, d] si V (f, [c, d]) est fini.

Quelques questions :1. Une fonction constante sur [a, b] est-elle à variation bornée sur [a, b] ? Une fonction croissante sur

[a, b] est-elle à variation bornée sur [a, b] ? Une fonction lipschitzienne sur [a, b] est-elle à variationbornée sur [a, b]

2. Montrer que la fonction indicatrice de lQ n’est pas à variation bornée sur [0, 1].3. Prouver le lemme suivant :

Lemme 1 Soit f : [a, b] → IR une application, {x0, x1, . . . , xn} une subdivision de [a, b] et soit{y0, y1, . . . , ym} une subdivision de [a, b] telle que {x0, x1, . . . , xn} ⊂ {y0, y1, . . . , ym}. Alors :

n∑i=1

|f(xi)− f(xi−1)| ≤m∑i=1

|f(yi)− f(yi−1)|

puis le théorème :

Théorème 1 Soit f et g deux fonctions à variation bornée sur le segment [a, b] et soit k uneconstante. Alors :(a) f est bornée sur [a, b] ;(b) f est à variation bornée sur tout sous-segment de [a, b] ;(c) kf est à variation bornée sur [a, b] ;(d) f + g et f − g sont à variation bornée sur [a, b] ;(e) fg est à variation bornée sur [a, b] ;

(f) si1

gest bornée sur [a, b], alors

f

gest à variation bornée sur [a, b].

On pourra montrer le lemme en commençant par ajouter un point à la subdivision{x0, x1, . . . , xn}.

1. Licence Sciences L3, Intégration

1

4. Soit f la fonction définie sur [0, 1] par :

f(x) =

{0 si x = 0

x sin(1x

)si x 6= 0

.

Est-elle continue sur [0, 1] ? Est-elle à variation bornée sur [0, 1] ? (On pourra utiliser, pour nentier ≥ 1, la subdivision :{

0,2

(2n+ 1)π,

2

2nπ,

2

(2n− 1)π, . . . ,

2

2π,2

π, 1

}.)

- 0.4

- 0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Figure 1 – graphe de x sin(1x

)

5. Il s’agit à présent de montrer le résultat suivant :

Théorème 2 Si une fonction f est à variation bornée sur [a, b], alors il existe deux fonctionscroissantes, f1 et f2 telles que f = f1 − f2.

On prouvera les deux lemmes suivants, puis le théorème.

Lemme 2 Pour une fonction f , V (f, [a, b]) = 0 si et seulement si f est constante sur [a, b].

Lemme 3 Si f est à variation bornée sur [a, b], la fonction g : x 7→ V (f, [a, x]) est croissante sur[a, b].

6. Question ouverte : s’il n’est pas difficile ( !) de voir qu’une fonction de classe C1 sur [a, b] est àvariation bornée sur [a, b], quelle est la valeur de sa variation ?

2


Exercices a rediger pour le Vendredi 10 Octobre 2014

exercice 1 (Un exemple d’interversion des signes∑

et∫)

On pose un(x) = (−1)n+1x2n+2 ln(x) pour x ∈ ]0, 1] et un(0) = 0.Calculer tout d’abord

∑∞n=0 un(x) pour 0 < x < 1. Montrer que la serie des un converge uniformement

sur [0, 1] (regarder le reste...).En deduire : ∫ 1

0

ln(x)

1 + x2dx =

∞∑0

(−1)n+1

(2n + 1)2. (1)

exercice 2 (Une fonction definie par une integrale)Pour x 6= 0, on pose :

F (x) =

∫ 2x

x

e−t

tdt.

1. Apres avoir verifie que la definition de F donnee ci-dessus a bien un sens pour x 6= 0, expliquerpourquoi F est de classe C1 sur chacun des intervalles ]0,+∞[ et ]−∞, 0[. Donner l’expressionde F ′(x).

2. Montrer que F (x) tend vers une limite finie quand x tend vers 0.

3. On prolonge F par continuite en 0 en donnant a F (0) la valeur trouvee dans la questionprecedente. Montrer que la fonction ainsi prolongee est derivable en 0.

exercice 3 (Question de completude)On munit C0 ([0, 1] , IR)2 de la norme 1 :

‖f‖1 =

∫ 1

0|f(x)|dx.

Verifier que l’on a bien une norme !On considere la suite de fonctions continues (Φn)n definie par :

Φn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1

2 −1n

nx− n2 + 1 si 1

2 −1n ≤ x ≤ 1

21 ailleurs

Montrer que cette suite de fonctions est de Cauchy pour la norme 1, mais qu’elle ne converge pasdans l’espace norme

(C0 ([0, 1] , IR) , ‖ · ‖1

). Conclure.

1Licence Sciences L3, Integration2Espace des fonctions continues sur [0, 1] a valeurs reelles.

1


DM3 à rendre le 18 Octobre 2013

exercice 1 (Règle de Weierstrass)On considère les quantités

∑n=1

un(p), p ∈ IN, un(p) ∈ lC . On suppose :

∀n ∀p |un(p)| ≤ αn avec∑n≥1

αn < +∞.

On pose alors -a–t-on le droit ?- S(p) =+∞∑1

un(p).

Imaginons que limp→∞ un(p) = un : limp→∞ S(p) existe-t-elle ?La réponse est oui !

limp→∞

∞∑n=1

un(p) =∞∑n=1

un =∞∑n=1

limp→∞

un(p).

Montrer ce résultat en « découpant »convenablement |S(p)− S| où S =∑∞

n=1 un.Soit z ∈ lC fixé. on pose : u1(p) = 1 + z et pour n > 1 ;

un(p) =

{p(p−1)···(p−n+1)

n!

(zp

)nsi p ≥ n

0 si p < n

Vérifier que (1 +

z

p

)p

=∞∑n=1

un(p).

Appliquer la règle de Weierstrass, que trouvez-vous ?

exercice 2Soit f une fonction continue sur [a, b], calculer la limite suivante :

limn→∞

∫ b

af(t)(sin(nt))2dt.


1


Exercice a rediger pour le Vendredi 14 Novembre 2014

Dans la suite n designe un entier superieur ou egal a 1.

1. Pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, on pose Pk(x) =n∏

i=0,i 6=k

(x− i). On considere une fonction g a valeurs

reelles de classe Cn+1 sur l’intervalle [0, n].

(a) Montrer que le polynome d’interpolation de Lagrange de g aux points 0, 1, . . . , n est :

P (x) =1

n!

n∑k=0

(−1)n−k(nk

)g(k)Pk(x).

(b) Soit x fixe compris entre 0 et n, un reel non entier. Il est possible de choisir un reel λ telque la fonction ϕ definie sur [0, n] par

ϕ(t) = g(t)− P (t)− λn∏

k=0

(t− k)

s’annule en x. Montrer que ϕn+1 possede au moins un zero dans ]0, n[.

(c) Prouver l’existence d’un reel cx ∈ ]0, n[ tel que :

g(x)− P (x) =gn+1(cx)

(n+ 1)!

n∏k=0

(x− k).

En deduire qu’il existe des constantes Nk (k = 0, . . . , n) et C telles que :∣∣∣∣∣∫ n

0g(t)dt−

n∑k=0

Nkg(k)

∣∣∣∣∣ ≤ C

(n+ 1)!‖gn+1‖∞.

(d) Si n = 2, calculer N0, N1, N2, C.

2. Etablir que si f est de classe Cn+1 sur l’intervalle [a, b] (a < b) alors :∣∣∣∣∣∫ b

af(t)dt− (b− a)

n

n∑k=0

Nkf

(a+ k

(b− a)

n

)∣∣∣∣∣ ≤ C

(n+ 1)!

(b− an

)n+2

‖fn+1‖∞.

3. Quelle interpretation donnez-vous de ce qui precede dans le cas n = 2 ? (dessin ? exemples ?)


1


DM4 à rendre le 14 Novembre 2013

exercice 1Montrer que : ∫ +∞

e

dt

tα(ln t)β< +∞ si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

exercice 2On désigne par C2π l’ensemble des fonctions continues sur IR, 2π- périodiques à valeurs complexes.Vérifier que ces fonctions sont bornées et uniformément continues sur IR. On pose :

K = {f ∈ C2π / ∀x ∈ IR, f(x) ≥ 0} ,

et

Pr(x) =1− r2

1− 2r cos(x) + r2, r ∈ ]0, 1[ .

1. Vérifier que Pr est dans K. En donner une représentation graphique pour r = 12 et r = 4

5 .

2. Calculer1

2π

∫ π

−πPr(t)dt.

3. Pour α ∈ ]0, π[, que vaut :

limr→1−

(sup

x∈[α,π]Pr(x)

)?

4. Calculer pour 0 < r < 1 :

1 + 2∞∑n=1

rn cos(nx).

En déduire pour tout k ∈ ZZ, la valeur de :

1

2π

∫ π

−πPr(t)e

−iktdt.

5. Pour f et g dans C2π, on pose :

(f ? g)(x) =1

2π

∫ π

−πf(t)g(x− t)dt.

Montrer que f ? g ∈ C2π et que f ? g = g ? f .6. On fixe f dans C2π. Etablir que si α ∈ ]0, π[ :

∀x, |f(x)− (Pr ? f) (x)| ≤ sup|t|≤α|f(x)− f(x− t)|+ 2 sup

u∈IR|f(u)| × sup

α≤|t|≤πPr(t).

Que vaut alorslimr→1−

supx∈IR

|f(x)− (Pr ? f) (x)| ?


1


Travail a rediger pour le 5 Decembre

Figure 1: Pierre-Simon Laplace, 1749 (Beaumont-en-Auge, Normandie)-1827 (Paris)

Voici un enonce possible d’un resultat appele methode de Laplace :

Soit g une fonction continue sur ]a, b[, bornee ou non, f de classe C2sur ]a, b[ telles que∫ b

a|g(x)|ef(x)dx existe. On suppose que f ′ ne change de signe qu’en un seul point c ∈ ]a, b[

ou f est maximum, g(c) 6= 0 et f ′′(c) < 0. Alors on l’equivalent quand t→ +∞ :∫ b

a|g(x)|etf(x)dx ∼

√2πg(c)etf(c)√−tf ′′(c)

.

Il s’agit pour vous d’ecrire une preuve de ce theoreme. Vous pourrez pour cela utiliser des ouvragesdisponibles a la bibliotheque universitaire2. Le livre de Jean Dieudonne, Calcul infinitesimal, est unereference possible.

Vous devez rediger votre demonstration en mettant en lumiere les idees essentielles. Vous pourriezdebuter la preuve en commentant les hypotheses du theoreme, puis expliquer ce que signifie ce resultat.

A l’aide de la methode de Laplace, retrouvez la formule de Stirling :

n! ∼(n

e

)n√2πn.

1Licence Sciences L3, Integration2Le catalogue est disponible en ligne.

1


DM5 à rendre le 6 Décembre 2013

exercice 1 (Question de complétude)On sait que l’espace C0 ([0, 1] , IR) des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs réelles est un espace deBanach s’il est muni de la norme infinie, i.e. de la norme de la convergence uniforme.

1. On munit à présent C0 ([0, 1] , IR) de la norme 1 :

‖f‖1 =

∫ 1

0|f(x)|dx.

Après avoir vérifié que l’on a bien une norme, montrer que cette norme et la norme infinie nesont pas équivalentes.

2. On considère la suite de fonctions continues (Φn)n définie par :

Φn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1

2 −1n

nx− n2 + 1 si 1

2 −1n ≤ x ≤ 1

21 ailleurs

Montrer que cette suite de fonctions est de Cauchy pour la norme 1, mais que cette suite ne convergepas dans l’espace normé

(C0 ([0, 1] , IR) , ‖ · ‖1

). Qu’en concluez-vous ?

exercice 2 (Calcul de∫+∞0

sin(t)t dt)

On pose pour x ≥ 0 :

F (x) =

∫ +∞

0e−xt

1− cos(t)

t2dt.

1. Montrer que F est continue sur [0,+∞[. Quelle est sa limite en +∞ ?

2. Vérifier que F est deux fois dérivables sur ]0,+∞[ et donner l’expression de F ′′(x). Quelle est lalimite en +∞ de F ′(x) ?

3. En déduire la valeur de F (0), puis celle de∫ +∞

0

sin(t)

tdt.


1


Devoir surveillé du 18 Octobre 2013

Toutes vos réponses doivent être justifiées !

exercice 1

Montrer que la fonction définie par f(0) = 0 et f(x) = sin

(1

x

)pour x 6= 0 est Riemann intégrable

sur [0, 1]. En est-il de même pour la fonction g définie par g(0) = 4 et g(x) = sin

(1

x

)pour x 6= 0 ?

exercice 2On suppose que h est Riemann intégrable sur [0, 1], montrer alors que la fonction h+ définie parh+(x) = max(h(x), 0) est Riemann intégrable sur [0, 1].

exercice 3Si ϕ est continue sur un intervalle I de IR, pour un α de I fixé, x 7→

∫ xα ϕ(t)dt est une primitive de ϕ

sur I. Les primitives d’une fonction continue sur un intervalle sont-elles toujours de cette forme ?

exercice 4Pour x 6= 0, on pose :

F (x) =

∫ 2x

x

e−t

tdt.

1. Expliquer tout d’abord que la définition de F donnée ci-dessus a bien un sens pour x 6= 0.

2. Expliquer pourquoi F est de classe C1 sur chacun des intervalles ]0,+∞[ et ]−∞, 0[. Donneralors l’expression de F ′(x).

3. Montrer que pour tout t ∈ IR il existe c ∈ ]−t, t[ tel que e−t = 1− te−c. En déduire l’encadrementsuivant :

∀t ∈ [−1, 1] , t 6= 0,1

e<

1

t− e−t

t< e.

4. En utilisant l’inégalité ci-dessus, établir que F (x) tend vers ln(2) quand x tend vers 0. Onregardera la limite à gauche et la limite à droite en 0.

5. On prolonge F par continuité en 0 en posant F (0) = ln(2). Montrer que la fonction ainsi prolongéeest dérivable en 0.


1


Devoir surveillé du 12 Décembre 2013

Toutes vos réponses doivent être justifiées !

exercice 1On considère l’application F définie par :

F (x) =

∫ +∞

0

arctan(xt)

1 + t2dt.

Vérifier que F est définie et continue sur [0,+∞[, de classe C1 sur ]0,+∞[. On rappelle que arctan(u)est compris entre −π

2 et π2 .

exercice 2Soit f la fonction 2π-périodique paire telle f(x) = x2 sur [0, π]. Sans faire de calculs, expliquer pourquoila série de Fourier de f converge uniformément sur IR (d’ailleurs vers quelle fonction ?).

Calculer les coefficients de Fourier de f ? Que retrouvez-vous ?


1


Une etude a savoir faire (vous pouvez en rediger l’etude ci-dessous).

Montrer que :∫ +∞

e

dt

tα(ln t)β< +∞ si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).


1


Quart d’heure du 20 Septembre

Que peut-on dire de la fonction indicatrice de l’ensemble lQ des nombres rationnels ?(continuite, integrabilite, est-elle reglee ?...)

Que peut-on dire de la fonction f(x) = sin(

1

x

)quant a son integrabilite sur [0, 1] ?

Le symbole∫ 1

0

sin(x)

xdx a-t-il un sens ? Meme question pour le symbole

∫ +∞

1

sin(x)

xdx


1


Quart d’heure du 4 Octobre 2013

Figure 1 – Paul David Gustav du Bois-Reymond, Berlin 2/12/1831 Berlin- Freiburg 7/4/1889

Une des difficultés quand on étudie les sommes de Darboux associées à une fonction bornéesur un segment, est que l’on ne contrôle pas le pas des subdivisions. Or, pour obtenir un résultatrigoureux sur la convergence des sommes de Riemann, on a besoin de cela pour faire « tendre »lepas de la subdivision vers 0. Le théorème de Du-Bois Reymond-Darboux nous donne le bonargument :

Une fonction f(x) bornée sur [a, b] est Riemann-intégrable si et seulement :

∀ ε > 0 ∃δ > 0 ∀D ∈ Dδ, S(D)− s(D) < ε

où Dδ désigne l’ensemble des subdivisions de [a, b] de pas maxi(xi − xi−1) ≤ δ.

Quel sens donnez-vous à∫ +∞

0f(t)dt ? Qu’appelle-t-on reste d’une intégrale convergente ?

De quoi dépend la convergence de∫ +∞

0f(x, t)dt ? Comment s’affranchir de cette dépendance ?


1


Quart d’heure du 17 Octobre 2013

Figure 1 – Joseph-Louis Lagrange, Turin 1736- Paris 1813

La formule de Taylor-Lagrange avec reste intégral est fort utile dans beaucoup de situations. Soitf une fonction de classe Ck+1 sur [a, b]. On peut déjà écrire que

f(x) = f(a) +

∫ x

a1 · f ′(t)dt.

En faisant une intégration par parties utilisant u(t) = −(x − t) (x est fixé) et v(t) = f ′(t) on établitque :

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) +

∫ x

a(x− t)f ′′(t)dt. (1)

Montrer par une méthode analogue que :

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) +(x− a)2

2!f ′′(a) +

∫ x

a

(x− t)2

2!f ′′′(t)dt. (2)

Plus généralement :

f(x) =k∑

i=0

(x− a)i

i!f (i)(a) +

∫ x

a

(x− t)k

k!f (k+1)(t)dt. (3)

Un exemple d’interversion des signes∑

et∫: soit un(x) = (−1)n+1x2n+2 ln(x) pour x ∈ ]0, 1] et

u0 = 0. Calculer tout d’abord∑∞

n=0 un(x). Montrer que la série des un converge uniformément sur[0, 1] (regarder le reste...). En déduire :∫ 1

0

ln(x)

1 + x2dx =

∞∑0

(−1)n+1

(2n+ 1)2. (4)


1


TD1 (Suites de fonctions, sommes de Darboux)

Figure 1: Gaston Darboux, Nımes 1842-Paris 1917

exercice 1 (Question de convergence uniforme)Determinez si (fn) converge uniformement en [0, 2] pour

fn(x) =xn

1 + x2n,

fn(x) =(1− x)xn

1 + x2n,

fn(x) = n|2/n− x|, si 0 ≤ x ≤ 2/n, et fn(x) = 0, si 2/n ≤ x ≤ 2.

exercice 2 (Suites de fonctions et integrales)Determinez les limites f pour les suites de fonctions fn : [0, 1]→ IR avec

fn(x) = xn, fn(x) = (1− x)xn,

et si fn converge uniformement sur [0, 1]. Pour lesquelles de ces suites a-t-on

limn→∞

∫ 1

0fn(x)dx =

∫ 1

0limn→∞

fn(x)dx ?


1

exercice 3 (Suites de fonctions et integrales, bis)Soit fn(x) = exp(−x/n)/n, x ≥ 0. Demontrez que (fn) converge uniformement vers 0 en [0,∞), maisque

∫∞0 fn(x)dx ne tend pas vers 0 pour n→∞.

exercice 4 (Suite de polynomes)Quelle reponse donneriez-vous a la question suivante ?

Si une fonction a valeurs reelles definie sur la droite reelle est limite uniformementconvergente de polynomes, est-elle partout derivable ?

exercice 5 (Demonstration directe de la convergence d’une suite de polynomes vers lafonction racine.)Soit (Pn) la suite de polynomes a une variable definie par la relation de recurrence :

Pn+1(x) = Pn(x) +1

2(x− (Pn(x))2) (1)

avec P0 ≡ 0.

a) Verifier que :

Pn+1(x)−√x = [Pn(x)−

√x]× [1− 1

2(Pn(x) +

√x)]. (2)

b) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] et pour tout entier n

0 ≤ Pn(x) ≤√x. (3)

c) En deduire que (Pn) tend simplement sur [0, 1] vers f : x 7→√x.

d) Etablir que pour x ∈ [0, 1] :

0 ≤√x− Pn(x) ≤ 2

√x

2 + n√x

(4)

puis en deduire la convergence uniforme de la suite (Pn) vers f .

exercice 6 (Theoreme de Dini 2)Il existe plusieurs variantes de ce resultat. La question est de trouver une (ou des) condition(s) pourque la convergence simple entraıne la convergence uniforme.

En voici un enonce possible :

Si (fn)n∈IN est une suite croissante de fonctions continues du segment I = [a, b] (ouplus generalement dun compact I de IR) dans IR qui converge simplement vers une fonctionf continue sur I alors la convergence est uniforme.

Pouvez-vous prouver ce resultat ? (on pourra revenir a la definition de la convergence uniforme, c’esta dire regarder supx∈I |f(x)− fn(x)|.

Un autre enonce possible :

Soit (fn)n∈IN est une suite de fonctions continues du segment I = [a, b] convergeantsimplement sur I vers une fonction continue f et telle que la suite de terme generale|fn(x)− f(x)| est decroissante. Alors la convergence est uniforme.

2Ulisse Dini, Pise 1845- Pise 1918

2

Prouver ce resultat en utilisant une suite decroissante de fermes et la propriete de Borel-Lebesgue.

exercice 7 (Suite definie par une integrale)Etudier la suite definie par :

In =

∫ π4

0(tan(x))ndx.

exercice 8 (Quelques sommes de Darboux et de Riemann)

1. Ecrire les sommes de Darboux associees a la fonction f(x) = x restreinte a l’intervalle [a, b] et a

la subdivision Dn ={xi = a + ih / i = 0 . . . n, h = b−a

n

}. Que concluez-vous ?

2. Soit g la restriction de la fonction indicatrice de lQ a l’intervalle [0, 1]. Etudier les sommes deDarboux de g.

3. Que se passe-t-il pour les sommes de Darboux, si on modifie une fonction en un nombre fini depoints ?

4. Donner la definition d’une somme de Riemann et donner son expression dans le cas d’unesubdivision reguliere ou equidistante . A titre d’application, calculer la valeur de la somme: ∞∑

n=1

(−1)n−1

n.

3


TD1 (Calculs d’integrales ; suites definies par des integrales)

Figure 1: B. Riemann, 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)-1866 in Selasca, Italy

exercice 1 (Integration par parties)Pour deux entiers naturels m et n, montrer que :∫ b

a

(b− x)m

m!

(x− a)n

n!dx =

(b− a)m+n+1

(m + n + 1)!

En deduire l’expression de

∫ 1

−1(1− x2)ndx.

exercice 2 (Deux fractions rationnelles) Calculer, sur des intervalles que l’on precisera :∫dx

x3 + 1;

∫dx

x4 + 1.

exercice 3 (Aire du disque)On travaille sur le disque unite d’equation x2 + y2 = 1. Ainsi pour calculer l’aire d’un quart de cedisque, on considere, pour 0 ≤ x ≤ 1, la fonction :

f : x 7→√

1− x2.

Une primitive de f est :

F (x) =x

2

√1− x2 +

1

2arcsin(x)

Retrouver le resultat ci-dessus. Que trouve-t-on pour l’aire du disque unite ?


1

exercice 4 (Longueur d’un arc)On cherche a calculer la longueur d’un courbe y(x), x compris entre a et b. Quel est l’elementinfinitesimal de longueur ? Faire un dessin !

Si x varie de ∆x, y varie de ∆y = y′(x)∆x d’ou :

∆s2 = ∆x2 + ∆y2 = (1 + y′(x)2)∆x2 (Pythagore).

On conclut :

ds =√

1 + y′(x)2dx L =

∫ b

ads =

∫ b

a

√1 + y′(x)2dx.

Calculer la longueur d’un arc de parabole.

exercice 5 (Deux changements de variables)Calculer : ∫

dx

2 + sinh(x);

∫dx

2 + sin(x).

exercice 6 (Un contre-exemple )Pour n ≥ 2, on definit sur [0, 1] la fonction fn par :

fn(x) =

n2x si x ∈

[0, 1

n

]−n2x + 2n si x ∈

[1n ,

2n

]0 si x ∈

[2n , 1

] .

Etudier la limite f de la suite (fn). Que peut-on dire des quantites

∫ 1

0f(x)dx et

∫ 1

0fn(x)dx ?

exercice 7 (Un calcul de limite)

Quel est l’ensemble de definition de ϕ(x) =

∫ x2

x

dt

ln t. Calculer limx→1 ϕ(x).

exercice 8 (Suite definie par une integrale)Etudier la suite definie par :

In =

∫ π4

0(tan(x))ndx.

exercice 9 (Un equivalent)Il s’agit de trouver un equivalent de

In =

∫ 1

0(ln(1 + x))ndx

Etablir tout d’abord que limn→+∞ In = 0 par une bonne majoration. Trouver une expression de Inen fonction de In+1.En deduire que

0 ≤ In ≤2

n + 1(ln(2))n+1.

Conclure.

2


TD2 (Fonctions Riemann integrables)

Figure 1: B. Riemann, 17/9/1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)-20/7/1866 in Selasca,Italy

exercice 1 (Maximum de deux fonctions)Redemontrer rapidement que si f est Riemann-integrable sur [a, b], il en est de meme pourf+ = max(f, 0) et pour |f |. Si g est elle aussi Riemann-integrable sur [a, b], que pouvez-vousdire de max(f, g). Est-il vrai que si la valeur absolue d’une fonction est Riemann-integrable, ilen est de meme pour la fonction ?

exercice 2 (Fonction de Thomae)Montrer que le fonction suivante est continue sur IR−lQ, discontinue sur lQ et Riemann integrablesur [0, 1] :

ϕ(x) =

1 si x = 01q

si x = pq, p ∈ ZZ?, q ∈ IN?, fraction irreductible

0 si x /∈ lQ

exercice 3 (Une condition suffisante d’integrabilite)Si on a deja rencontre cette situation, montrer en utilisant des fonctions en escaliers que si unefonction est bornee sur [a, b], Riemann-integrable sur tout segment contenu dans l’intervalleouvert ]a, b[, alors elle est Riemann-integrable sur [a, b].


1

exercice 4 (Question de completude) On sait (?) que l’espace C0 ([0, 1] , IR) des fonctionscontinues sur [0, 1] a valeurs reelles est un espace de Banach s’il est muni de la norme infinie,i.e. de la norme de la convergence uniforme. Dans cet espace, la boule unite fermee est-ellecompacte ? Comment determiner les compacts de cet espace ?

1. On munit a present C0 ([0, 1] , IR) de la norme 1, i.e. on pose : ‖f‖1 =∫ 10 |f(x)|dx. Apres

avoir verifie que l’on a bien une norme, montrer que cette norme et la norme infinie nesont pas equivalentes.

2. On considere la suite de fonctions continues (Φn)n definie par :

Φn(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 1

2− 1

n

nx− n2

+ 1 si 12− 1

n≤ x ≤ 1

2

1 ailleurs

Montrer que cette suite de fonctions est de Cauchy pour la norme 1, mais que cette suite neconverge pas dans l’espace norme (C0 ([0, 1] , IR) , ‖ · ‖1).

exercice 5 (Encore des sommes de Riemann) Calculer les limites des suites suivantes :

un =1

n

n∑k=1

n√

2k ; vn =

((2n)!

n!nn

) 1n

.

2


TD2 (Convergence uniforme)

Figure 1: Augustin Louis Cauchy, 1789 Paris-1857 Sceaux

exercice 1 (Suites de fonctions et integrales)Determinez les limites f pour les suites de fonctions fn : [0, 1]→ IR avec

fn(x) = xn, fn(x) = (1− x)xn,

et si fn converge uniformement sur [0, 1]. Pour lesquelles de ces suites a-t-on

limn→∞

∫ 1

0fn(x)dx =

∫ 1

0limn→∞

fn(x)dx ?

exercice 2 (Question de convergence uniforme)Determinez si (fn) converge uniformement en [0, 2] pour

fn(x) =xn

1 + x2n,

fn(x) =(1− x)xn

1 + x2n,

fn(x) = n|2/n− x|, si 0 ≤ x ≤ 2/n, et fn(x) = 0, si 2/n ≤ x ≤ 2.


1

exercice 3 (Critere de Cauchy uniforme)Rappeler que ce que l’on nomme critere de Cauchy uniforme. Soit A un ensemble non vide, onconsidere l’ensemble des fonctions bornees de A dans IR (on aurait pu choisir lC ou encore un espacevectoriel de dimension finie). On munit cet ensemble de fonctions de la norme de la convergenceuniforme. Quelle est la nature de cet espace de fonctions ainsi norme ?

exercice 4 (Suite de polynomes)Quelle reponse donneriez-vous a la question suivante ?

Si une fonction a valeurs reelles definie sur la droite reelle est limite uniformementconvergente de polynomes, est-elle partout derivable ?

exercice 5 (Demonstration directe de la convergence d’une suite de polynomes vers lafonction racine.)Soit (Pn) la suite de polynomes a une variable definie par la relation de recurrence :

Pn+1(x) = Pn(x) +1

2(x− (Pn(x))2) (1)

avec P0 ≡ 0.

a) Verifier que :

Pn+1(x)−√x = [Pn(x)−

√x]× [1− 1

2(Pn(x) +

√x)]. (2)

b) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] et pour tout entier n

0 ≤ Pn(x) ≤√x. (3)

c) En deduire que (Pn) tend simplement sur [0, 1] vers f : x 7→√x.

d) Etablir que pour x ∈ [0, 1] :

0 ≤√x− Pn(x) ≤ 2

√x

2 + n√x

(4)

puis en deduire la convergence uniforme de la suite (Pn) vers f .

exercice 6 (Theoreme de Dini 2)Il existe plusieurs variantes de ce resultat. La question est de trouver une (ou des) condition(s) pourque la convergence simple entraıne la convergence uniforme.

En voici un enonce possible :

Si (fn)n∈IN est une suite croissante de fonctions continues du segment I = [a, b] (ouplus generalement dun compact I de IR) dans IR qui converge simplement vers une fonctionf continue sur I alors la convergence est uniforme.

Pouvez-vous prouver ce resultat ? (on pourra revenir a la definition de la convergence uniforme, c’esta dire regarder supx∈I |f(x)− fn(x)|.

Un autre enonce possible :

Soit (fn)n∈IN est une suite de fonctions continues du segment I = [a, b] convergeantsimplement sur I vers une fonction continue f et telle que la suite de terme generale|fn(x)− f(x)| est decroissante. Alors la convergence est uniforme.

Prouver ce resultat en utilisant une suite decroissante de fermes et la propriete de Borel-Lebesgue.

2Ulisse Dini, Pise 1845- Pise 1918

2


TD3 (Calcul d’integrales)

exercice 1 (En appliquant la premiere formule de la moyenne)

Quel est l’ensemble de definition de ϕ(x) =

∫ x2

x

dt

ln t. Calculer limx→1 ϕ(x).

exercice 2 (Integration par parties)Pour deux entiers naturels m et n, montrer que :∫ b

a

(b− x)m

m!

(x− a)n

n!dx =

(b− a)m+n+1

(m + n + 1)!

En deduire l’expression de : ∫ 1

−1(1− x2)ndx =

2 · 2 · 4 · 6 · · · 2n1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)

.

exercice 3 (Deux fractions rationnelles) Calculer, sur des intervalles que l’on precisera :∫dx

x3 + 1;

∫dx

x4 + 1.

exercice 4 (Aire du disque)On travaille sur le disque unite d’equation x2 + y2 = 1. Ainsi pour calculer l’aire d’un quart de cedisque, on considere, pour 0 ≤ x ≤ 1, la fonction :

f : x 7→√

1− x2.

Une primitive de f est :

F (x) =x

2

√1− x2 +

1

2arcsin(x)

Retrouver le resultat ci-dessus. Que trouve-t-on pour l’aire du disque unite ?

exercice 5 (Longueur d’un arc)On cherche a calculer la longueur d’un courbe y(x), x compris entre a et b. Quel est l’elementinfinitesimal de longueur ? Faire un dessin !

Si x varie de ∆x, y varie de ∆y = y′(x)∆x d’ou :


On conclut :

ds =√

1 + y′(x)2dx L =

∫ b

ads =

∫ b

a

√1 + y′(x)2dx.


exercice 6 (Deux changements de variables)Calculer : ∫

dx

2 + sinh(x);

∫dx

2 + sin(x).


1


TD3 (Fonctions Riemann integrables)

Figure 1: Gaston Darboux, Nımes 1842-Paris 1917

exercice 1 (Normes)On a vu que l’espace C0 ([0, 1] , IR) des fonctions continues sur [0, 1] a valeurs reelles est un espacede Banach s’il est muni de la norme infinie23. Munissons a present C0 ([0, 1] , IR) de la norme 1,‖f‖1 =

∫ 10 |f(x)|dx. Montrer que cette norme et la norme infinie ne sont pas equivalentes.

exercice 2 (Fonctions monotones)Que pensez-vous de l’affirmation suivante ?

Si f est une fonction monotone sur [a, b] a valeurs reelles, alors f est integrable surcet intervalle.

exercice 3 (Maximum de deux fonctions)Redemontrer rapidement que si f est Riemann-integrable sur [a, b], il en est de meme pour f+ =max(f, 0) et pour |f |.Si g est elle aussi Riemann-integrable sur [a, b], que pouvez-vous dire de max(f, g) ?Est-il vrai que si la valeur absolue d’une fonction est Riemann-integrable, il en est de meme pour lafonction ?

1Licence Sciences L3, Integration2ou de la norme de la convergence uniforme.3Dans cet espace, la boule unite fermee est-elle compacte ? Comment determiner les compacts de cet espace ?

1

exercice 4 (Question d’integrabilite)

a) Que peut-on dire de la fonction indicatrice de l’ensemble lQ des nombres rationnels ?

b) Que peut-on dire de la fonction f(x) = sin

(1

x

)quant a son integrabilite sur [0, 1] ?

exercice 5 (Une condition suffisante d’integrabilite)Si on a deja rencontre cette situation, montrer en utilisant des fonctions en escaliers que si une fonctionest bornee sur [a, b], Riemann-integrable sur tout segment contenu dans l’intervalle ouvert ]a, b[, alorselle est Riemann-integrable sur [a, b].

exercice 6 (Quelques sommes de Darboux et de Riemann)

1. Ecrire les sommes de Darboux associees a la fonction f(x) = x restreinte a l’intervalle [a, b] et a

la subdivision Dn ={xi = a + ih / i = 0 . . . n, h = b−a

n

}. Que concluez-vous ?

2. Soit g la restriction de la fonction indicatrice de lQ a l’intervalle [0, 1]. Etudier les sommes deDarboux de g.

3. Que se passe-t-il pour les sommes de Darboux, si on modifie une fonction en un nombre fini depoints ?

4. Donner la definition d’une somme de Riemann et donner son expression dans le cas d’unesubdivision reguliere ou equidistante .

A titre d’exemple, calculer la valeur de la somme :

∞∑n=1

(−1)n−1

n.

exercice 7 (Encore des sommes de Riemann)Calculer les limites des suites suivantes :

un =1

n

n∑k=1

n√

2k ; vn =

((2n)!

n!nn

) 1n

.

2


TD4 (Equivalents)

exercice 1 (Equivalents pour les séries à termes ≥ 0)On suppose que un ≥ 0, vn ≥ 0 et un ∼ vn quand n→∞.Montrer :

1. Si∑un converge, les restes sont équivalents, i.e. :

∞∑k=n+1

uk ∼∞∑

k=n+1

vk, n→∞.

2. Si∑un diverge, les sommes partielles sont équivalentes, i.e. :

n∑k=0

uk ∼n∑0

vk, n→∞.

Supposons que un = f(n), f continue sur IR+ à valeurs positives. Soit F une primitive de f sur IR+,d’après le théorème des accroissements finis :

F (n+ 1)− F (n) = f(cn), avec n < cn < n+ 1.

On peut espérer, mais il faudra le prouver, que un ∼ F (n+1)−F (n) quand n→∞. A titre d’exemple,

déterminer un équivalent den∑k=1

ln k

k.

exercice 2 (Un équivalent)Il s’agit de trouver un équivalent de

In =

∫ 1

0(ln(1 + x))ndx

Etablir tout d’abord que limn→+∞ In = 0 par une bonne majoration. Trouver une expression de In enfonction de In+1.En déduire que

0 ≤ In ≤2

n+ 1(ln(2))n+1.

Conclure.

exercice 3 (Equivalents et intégrales impropres)

Soit f une fonction localement Riemann intégrable positive au voisinage de +∞ telle que∫ ∞a

f(t)dt

converge. Montrer que si g ∼ f en +∞ alors les restes sont équivalents, i.e. :∫ ∞x

f(t)dt ∼∫ ∞x

g(t)dt, x→∞.


1

On peut prouver aussi que si∫ ∞a

f(t)dt diverge et que g ∼ f en +∞, ce sont alors les sommes partielles

qui sont équivalentes, i.e. : ∫ x

af(t)dt ∼

∫ x

ag(t)dt, x→∞.

A titre d’exemple, déterminer :

limx→+∞

ex2∫ +∞

xe−t

2dt.

On pourra chercher une fonction « simple »ϕ(t) telle que :(ϕ(t)e−t

2)′∼ e−t2 , t→ +∞.

exercice 4Donner un équivalent quand λ→∞ de :

I(λ) =

∫ +∞

1

e−λt√tdt.

exercice 5 (Equivalents de primitives)Déterminer les équivalents, quand x→ +∞, de∫ x

e

dt

ln tet

∫ x

0et

2dx.

2


TD4 (Fonctions Riemann integrables (bis))

Figure 1: Carl Johannes Thomae, 1840-1921

exercice 1 (Fonction de Thomae)Montrer que le fonction suivante est continue sur IR− lQ, discontinue sur lQ et Riemann integrable sur[0, 1] :

ϕ(x) =

1 si x = 01q si x = p

q , p ∈ ZZ?, q ∈ IN?, fraction irreductible

0 si x /∈ lQ

(1)

exercice 2 (Formule d’Euler-Maclaurin)Soit a < b deux entiers naturels et f une fonction de classe C1 sur [a, b], montrer que :

n∑i=a

f(i) =

∫ b

af(x)dx +

f(b) + f(a)

2+

∫ b

af ′(x)

(x− [x]− 1

2

)dx (2)

ou [x] designe la partie entiere du reel x. On pourra commencer par integrer par parties

∫ n+1

nf(x)dx

ou n est un entier tel que a ≤ n < b.


1

Figure 2: Giuseppe Peano, 1858-1932

exercice 3 (Noyau de Peano)Notons Pn l’ensemble des polynomes a coefficients reels de degre ≤ n. Sur Cn+1 [a, b], on considerel’operateur :

L(f) =

∫ b

a

[a0f(x) + a1f

′(x) + · · · anf (n)(x)]dx (3)

+j0∑i=1

bi0f(xi0) +j1∑i=1

bi1f(xi1) + · · ·+jn∑i=1

binf(xin). (4)

Les fonction ai(x) sont continues par morceaux sur [a, b] et les points xij sont dans [a, b].On suppose que L(p) = 0 pour tout p ∈ Pn. Montrer alors que pour tout f ∈ Cn+1 [a, b] :

L(f) =

∫ b

af (n+1)(t)K(t)dt (5)

ou K(t) designe le noyau de Peano :

K(t) =1

n!Lx[(x− t)n+

]. (6)

La notation Lx[(x− t)n+

]signifie que l’operateur L est applique a (x − t)n+

2 consideree comme unefonction de x.

Auriez-vous des exemples d’application de ce resultat ?

2(x− t)n+ = (x− t)n si x ≥ t, (x− t)n+ = 0 si x < t.

2


TD5 (Etudes de fonctions définies par des intégrales)

exercice 1 (Un problème à l’origine)On pose :

f(x) =

∫ x

0sin

(1

t

)dt.

1. Montrer que f est définie et continue sur IR, dérivable sur IR− {0}.2. Etudier la dérivabilité de f en 0. On pourra commencer par faire le changement de variable

u =1

t, puis intégrer par parties.

exercice 2 (Fonction Gamma (voir le document joint))Pour une approche historique de la fonction Gamma, on peut lire l’article (en anglais) :

http://www.uni-graz.at/~gronau/TMCS_1_2003.pdf

exercice 3On pose :

g(x) =

∫ +∞

0

e−tx2

1 + t3dt.

1. Quel est le domaine de définition de g ?

2. Calculer g(0).

3. Etudier les variations de g.

4. Calculer limx→+∞ g(x).

exercice 4On pose :

f(x) =

∫ 1

0

tx−1

1 + tdt.

1. Montrer que f est définie et continue sur ]0,+∞[.

2. Calculer pour x > 0, f(x) + f(x+ 1).

3. Donner un équivalent de f(x) en 0+ et déterminer limx→+∞ f(x).

exercice 5On pose :

h(x) =

∫ +∞

0

e−xt2

1 + t2dt.

1. Montrer que h est définie et continue sur [0,+∞[.


1

2. Vérifier que f est dérivable sur ]0,+∞[ et est solution de l’équation différentielle :

y − y′ =√π

2√x.

exercice 6Soit F la fonction définie par : ∫ +∞

0

arctan(xt)

t(1 + t2)dt

1. Montrer que F est définie et de classe C1 sur [0,+∞[.

2. Trouver une autre expression de F (x).

3. Calculer : ∫ +∞

0

(arctan(t))2

t2dt.

exercice 7On pose pour x ≥ 0 :

F (x) =

∫ +∞

0e−xt

1− cos(t)

t2dt.




0

sin(t)

tdt.

2


TD5 (Exercices d’automne)

exercice 1 (Melange )En mettant de bonnes hypotheses sur les fonctions u, v et f , calculer la derivee de :

x 7→∫ v(x)

u(x)f(x, t)dt.

exercice 2 (Avec Fubini)Calculer : ∫ π

0ln

(3− cos(t)

2− cos(t)

)dt.

exercice 3 (Une integrale a parametre)Soit f une fonction reelle continue sur [a, b] (a < b) verifiant f(a) = f(b) = 0. Montrer que la fonctionΦ definie par

Φ(x) =

∫ b

a|t− x|f(t)dt

est de classe C2 sur IR.

exercice 4 (Un resultat connu...)En utilisant les fonctions

f(x) =

∫ 1

0

e−x(1+t2)

1 + t2dt

et g(x) = f(x2), montrer que : ∫ +∞

0e−t

2dt =

√π

2.

On etablira que :

g(x) +

(∫ x

0e−t

2dt

)2

=π

4.


1


TD6 (Séries de Fourier)

Figure 1 – Joseph Fourier, 21/3/1768 Auxerre- 16/5/1830 Paris

exercice 1 (Polynômes trigonométriques)Montrer que pour tout entier n les fonctions

t 7→ (cos(t))n et t 7→ (sin(t))n

sont des polynômes trigonométriques.

exercice 2 (Quelques questions)

1. Soit f une fonction continue et périodique de période 2π. Si sa série de Fourier convergeuniformément sur [−π, π] -donc sur IR( ?)-, quelle est la limite de cette série ?

2. Soit f(x) continue et périodique dans [−π, π] et ayant pour coefficients de Fourier ak, bk.On suppose que

∑∞k=1(|ak| + |bk|) < ∞. Que pouvez dire quant à la convergence de la

série de Fourier associée ?


1

3. La suite 1

1+√|k|, k ∈ ZZ, peut-elle être la suite des coefficients de Fourier d’une fonction

2π-périodique ?4. Soit f(x) périodique de période 2π sur IR, de classe C2 sur [−π, π] ( f(−π) = f(π) etf ′(−π) = f ′(π)). Montrer que la série de Fourier de f converge normalement vers f .

5. Soit f(x) continue périodique de période 2π et C1 par morceaux, montrer que sa série deFourier converge normalement (vers quoi ?).

exercice 3Etudier les coefficients de Fourier de la fonction paire et 2π-périodique dont la restriction àl’intervalle [0, π] est la fonction x→

√x.

exercice 4Etudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, paire, valant x(π−x) sur [0, π]. Evalueralors les sommes

∑n≥1

1n2 et

∑n≥1

(−1)n+1

n2 .

exercice 5On considère la fonction f(x) = | sin(x)|. A l’aide de son développement en série de Fourier,déterminer les valeurs de sommes de séries intéressantes.

Figure 2 – Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 13/2/1805 Düren, Empire français(Allemagne) - 5/5/1859 Göttingen

exercice 6Appliquer la formule de Parseval (précisez le cadre), à la fonction paire et 2π-périodique dont

2

la restriction à l’intervalle [0, π] est la fonction x→ x2. Au préalable, on fera bien le lien entreles différentes types de coefficients de Fourier, i.e. les coefficients complexes et les coefficients« réels »(quand ces derniers sont-ils bien réels ? )et on donnera différentes écritures de la formulede Parseval.

exercice 7Soit f(x) = cosh x

πpour |x| ≤ π et f(x+ 2πn) = f(x), n ∈ ZZ.

1. Donner le graphe de f(x) pour |x| < 4π.2. Calculer les coefficients de la série de Fourier.3. Calculer la somme ∞∑

n=1

(−1)n

1 + n2π2.

exercice 8Soit f(x) = 1 + x+ |x| pour −2 ≤ x < 2 et f(x+ 4n) = f(x), n ∈ ZZ.

1. Donner le graphe de f(x) pour |x| < 4.2. Calculer les coefficients de la série de Fourier.3. Calculer la somme ∞∑

n=0

1

(2n+ 1)2.

exercice 9Soit f(x) = x pour |x| < π et f(x+ 2πn) = f(x), n ∈ ZZ.

1. Donner le graphe de f(x) pour |x| < π.2. Calculer les coefficients de la série de Fourier.3. Déterminer la relation d’Euler par le théorème de Parseval 2,

π2

6=∞∑n=1

1

n2.

4. Retrouver la formule précédente en appliquant le théorème de Dirichlet 3 à une« bonne »fonction.

exercice 10Etudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique valant sin

(x2

)sur ]−π, π].

2. Marc-Antoine Parseval des Chênes, 27 Avril 1755 Rosières-aux-Salines, France - 16 Août 1836 Paris3. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 13/2/1805 Düren, Empire français (maintenant en Allemagne) -

5/5/1859 Göttingen, royaume de Hanovre (maintenant Allemagne).

3


TD6 (Equivalents)

exercice 1 (Equivalents pour les séries à termes ≥ 0)On suppose que un ≥ 0, vn ≥ 0 et un ∼ vn quand n→∞.Montrer :

1. Si∑

un converge, les restes sont équivalents, i.e. :∞∑

k=n+1

uk ∼∞∑

k=n+1

vk, n→∞.

2. Si∑

un diverge, les sommes partielles sont équivalentes, i.e. :n∑

k=0

uk ∼n∑0

vk, n→∞.

Supposons que un = f(n), f continue sur IR+ à valeurs positives. Soit F une primitive de f sur IR+,d’après le théorème des accroissements finis :

F (n+ 1)− F (n) = f(cn), avec n < cn < n+ 1.

On peut espérer, mais il faudra le prouver, que un ∼ F (n+1)−F (n) quand n→∞. A titre d’exemple,

déterminer un équivalent den∑

k=1

ln k

k.

exercice 2 (Equivalents et intégrales impropres)

Soit f une fonction localement Riemann intégrable positive au voisinage de +∞ telle que∫ ∞a

f(t)dt

converge. Montrer que si g ∼ f en +∞ alors les restes sont équivalents, i.e. :∫ ∞x

f(t)dt ∼∫ ∞x

g(t)dt, x→∞.

On peut prouver aussi que si∫ ∞a

f(t)dt diverge et que g ∼ f en +∞, ce sont alors les sommes partielles

qui sont équivalentes, i.e. : ∫ x

af(t)dt ∼

∫ x

ag(t)dt, x→∞.

A titre d’exemple, déterminer :

limx→+∞

ex2∫ +∞

xe−t

2dt.

On pourra chercher une fonction « simple »ϕ(t) telle que :(ϕ(t)e−t

2)′∼ e−t

2, t→ +∞.

exercice 3 (Equivalents de primitives)Déterminer les équivalents, quand x→ +∞, de∫ x

e

dt

ln tet

∫ x

0et

2dx.


1


TD7 (Rectification d’un arc, intégrales curvilignes)

exercice 1 (Longueur d’un arc)On cherche à calculer la longueur d’un courbe y(x), x compris entre a et b. Quel est l’élémentinfinitésimal de longueur ? Faire un dessin !

Si x varie de ∆x, y varie de ∆y = y′(x)∆x d’où :


On conclut :ds =

√1 + y′(x)2dx L =

∫ b

ads =

∫ b

a

√1 + y′(x)2dx.


exercice 2On considère la forme différentielle :

ω =xdy − ydxx2 + y2

sur le demi-plan ouvert U ={

(x, y) ∈ IR2 / x > 0}. Montrer que ω est exacte et en déterminer des

primitives sur U .

exercice 3On considère la forme différentielle :

ω =2x

ydx− x2

y2dy

sur le demi-plan ouvert U ={

(x, y) ∈ IR2 / y > 0}. Montrer que ω est exacte par deux méthodes.

Calculer∫γ ω où γ est une courbe C1 par morceaux d’origine le point (1, 2) et d’extrémité le point

(3, 8).

exercice 4Calculer l’intégrale curviligne

∫γ y

2dx+ x2dy lorsque :

1. γ est la courbe x2 + y2 − 4y = 0 orientée dans le sens trigonométrique.

2. γ est la courbe x2 + y2

4 − 2x− y = 0 orientée dans le sens trigonométrique.

exercice 5Soit γ le carré orienté de sommets consécutifs (1, 1), (−1, 1), (−1,−1) et (1,−1). Calculer

∫γ ω où ω

est la forme :ω =

xdy − ydxx2 + y2

Que peut-on en conclure quant à ω ?


1

exercice 6Les deux énoncés ont été pris dans le livre de O.A. Ivanov, Easy as π ?

Let f be a function of smoothness class C1 on the interval [0, 2π], satisfying∫ 2π0 f(x)dx =

0. Then the inequality ∫ 2π

0f2 ≤

∫ 2π

0(f ′)2

holds, with equality if and only if f has the form f(x) = a cosx+ b sinx.

Suppose that a plane, smooth, simple, closed curve has length L and encloses a regionof area A. Then L2 ≥ 4πA, with equality precisely when the curve is a circle.

Démontrer l’inégalité du premier énoncé en faisant intervenir les coefficients de Fourier de f et f ′

et l’égalité de Parseval. Regarder la condition d’égalité.Pour le second énoncé, un bon choix de paramétrisation de la courbe et la bonne utilisation de la

formule de Green-Riemann, le tout combiné avec l’inégalité du premier énoncé, conduit au résultat ...corrigé :L’égalité de Parseval donne :∫ 2π

0f2 = 2π

(a02

)2

+ π∞∑k=1

(a2k + b2k

)D’aprés l’hypothèse, on a a0 = 0 et comme les coefficients de Fourier de f ′ sont a′k = kbk et b′k = −kak :∫ 2π

0f2 = π

∞∑k=1

(a2k + b2k

)≤ π

∞∑k=1

(k2b2k + k2a2k

)=

∫ 2π

0(f ′)2

L’égalité a lieu si et seulement si ak = bk = 0 pour k ≥ 2.On peut paramétrer la courbe en utilisant l’abscisse curviligne s : (x(s), y(s), s ∈ [0, L] avec

1 = x′(s)2 + y′(s)2. En translatant la courbe, on peut suppuser que∫ L0 y(s)ds = 0. Posons alors :

φ(t) = x

(Lt

2π

), ψ

(Lt

2π

), t ∈ [0, 2π] .

On a∫ 2π0 φ(t)dt = 0. La formule de Riemann-Green donne :

A = −∫ 2π

0φ′ψ

Or L2

4π2 = (φ′)2 + (ψ′)2, donc :

L2

4π2− 2A =

∫ 2π

0

((φ′)2 + (ψ′)2

)+ 2

∫ 2π

0φ′ψ (1)

=

∫ 2π

0(φ′ + ψ)2 +

∫ 2π

0

((ψ′)2 − (ψ)2

)≥ 0. (2)

2


TD7 (Etudes de fonctions définies par des intégrales)

exercice 1 (Un problème à l’origine)On pose :

f(x) =

∫ x

0sin

(1

t

)dt.

1. Montrer que f est définie et continue sur IR, dérivable sur IR− {0}.2. Etudier la dérivabilité de f en 0. On pourra commencer par faire le changement de variable

u =1

t, puis intégrer par parties.

exercice 2 (Fonction Gamma (voir le document joint))Pour une approche historique de la fonction Gamma, on peut lire l’article (en anglais) :

http://www.uni-graz.at/~gronau/TMCS_1_2003.pdf

exercice 3On pose :

g(x) =

∫ +∞

0

e−tx2

1 + t3dt.

1. Quel est le domaine de définition de g ?

2. Calculer g(0).

3. Etudier les variations de g.

4. Calculer limx→+∞ g(x).

exercice 4On pose :

f(x) =

∫ 1

0

tx−1

1 + tdt.

1. Montrer que f est définie et continue sur ]0,+∞[.

2. Calculer pour x > 0, f(x) + f(x+ 1).

3. Donner un équivalent de f(x) en 0+ et déterminer limx→+∞ f(x).

exercice 5On pose :

h(x) =

∫ +∞

0

e−xt2

1 + t2dt.

1. Montrer que h est définie et continue sur [0,+∞[.


1

2. Vérifier que f est dérivable sur ]0,+∞[ et est solution de l’équation différentielle :

y − y′ =√π

2√x.

exercice 6Soit F la fonction définie par : ∫ +∞

0

arctan(xt)

t(1 + t2)dt

1. Montrer que F est définie et de classe C1 sur [0,+∞[.

2. Trouver une autre expression de F (x).

3. Calculer : ∫ +∞

0

(arctan(t))2

t2dt.

exercice 7On pose pour x ≥ 0 :

F (x) =

∫ +∞

0e−xt

1− cos(t)

t2dt.




0

sin(t)

tdt.

2


TD8 (exercices d’hiver)

exercice 1

1. Calculer, pour a > 0 et α > 12 , l’intégrale :

J(a) =

∫ ∞0

dx

(a2 + x2)α.

2. En déduire que l’intégrale

I =

∫ ∞0

∫ ∞0

dxdy

(1 + x2 + y2)α

n’est finie que si α > 1, et qu’alors

I =π

4

1

(α− 1).

corrigé

1. Pour a > 0 et α > 12 on a :

J(a) =

∫ +∞

0

1

(a2 + x2)αdx =

1

a2α

∫ +∞

0

1

(1 + x2

a2)αdx (1)

=1

2a2α−1

∫ +∞

1s−α(s− 1)−

12ds (en posant s = 1 +

x2

a2) (2)

=1

2a2α−1

∫ 1

0(1

t)−α(

1

t− 1)−

12

1

t2dt (en posant t =

1

s) (3)

=1

2a2α−1

∫ 1

0tα+

12−2(1− t)−

12dt (4)

=1

2a2α−1

∫ 1

0t(α−

12)−1(1− t)

12−1dt (5)

=1

2a2α−1β(α− 1

2,1

2)(∗) (6)

=1

2a2α−1Γ(α− 1

2)Γ(12)

Γ(α)=

√π

2a2α−1Γ(α− 1

2)

Γ(α)(7)

(*) On a, pour a > 0 et b > 0 :

β(a, b) =

∫ 1

0ta−1(1− t)b−1 =

Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ b)et Γ(

1

2) =√π.


1

2. En utilisant le résultat de la question précédente et en appliquant le théorème de Fubini-Tonelli,on a (sachant que α > 1) :

I =

∫ +∞

0

∫ +∞

0

1

(1 + x2 + y2)αdxdy (8)

=

∫ +∞

0(

∫ +∞

0

1

(1 + x2 + y2)αdy)dx (9)

=

√π

2

Γ(α− 12)

Γ(α)

∫ +∞

0

1

(1 + x2)α−12

dx (10)

=

√π

2

Γ(α− 12)

Γ(α)

√π

2

Γ(α− 1)

Γ(α− 12)

(11)

=π

4

1

α− 1(12)

(vu que Γ(α) = Γ((α− 1) + 1) = (α− 1)Γ(α− 1))

exercice 2Montrer que pour tout α > 0, on a : ∫

IRne−α‖x‖

2dx =

(√π

α

)n.

où ‖ · ‖ désigne la norme euclidienne de IRn.

exercice 3Calculer le centre d’inertie de l’ensemble de points :

A ={

(x, y) / − a ≤ x ≤ a, x2 ≤ y ≤ a}.

On dessinera au préalable A.réponse : ∫ ∫

A ydxdy∫ ∫A dxdy

=3a2

5.

exercice 4Soit D le disque fermé de centre l’origine et de rayon a > 0. Calculer :∫ ∫

Dy2dxdy.

réponse : ∫ ∫Dy2dxdy = a4

π

4.

2


TD8 (exercices d’hiver)

exercice 1 (Convergence dominée)

En utlisant la suite de fonctions fn(x) =

(1 +

x2

n

)−net les intégrales de Wallis, montrer que :

∫ +∞

−∞e−x

2dx =

√π. (1)

exercice 2 (Convergence dominée)

Après avoir modifié l’écriture de vn =

∫ n

0

(1 +

x

n

)ne−2xdx, calculer limn→+∞ vn.

exercice 3 (Interversion∫

et∑)

En identifiant correctement les théorèmes du cours qui permettent d’intervertir∫et∑, établir que :

ln(2) =∑n≥0

(−1)n

n+ 1;π

4=∑n≥0

(−1)n

2n+ 1. (2)

Pour la première identité, on pourra utiliser la suite de fonctions positives fn(x) = x2n(1−x) sur [0, 1]et pour la seconde indentité, la suite de fonctions gn(x) = (−1)nfn(x).

exercice 4 (Intégrales doubles)

1. Calculer, pour a > 0 et α > 12 , l’intégrale :

J(a) =

∫ ∞0

dx

(a2 + x2)α.

2. En déduire que l’intégrale

I =

∫ ∞0

∫ ∞0

dxdy

(1 + x2 + y2)α

n’est finie que si α > 1, et qu’alors

I =π

4

1

(α− 1).

corrigé


1

1. Pour a > 0 et α > 12 on a :

J(a) =

∫ +∞

0

1

(a2 + x2)αdx =

1

a2α

∫ +∞

0

1

(1 + x2

a2)αdx (3)

=1

2a2α−1

∫ +∞

1s−α(s− 1)−

12ds (en posant s = 1 +

x2

a2) (4)

=1

2a2α−1

∫ 1

0(1

t)−α(

1

t− 1)−

12

1

t2dt (en posant t =

1

s) (5)

=1

2a2α−1

∫ 1

0tα+

12−2(1− t)−

12dt (6)

=1

2a2α−1

∫ 1

0t(α−

12)−1(1− t)

12−1dt (7)

=1

2a2α−1β(α− 1

2,1

2)(∗) (8)

=1

2a2α−1Γ(α− 1

2)Γ(12)

Γ(α)=

√π

2a2α−1Γ(α− 1

2)

Γ(α)(9)

(*) On a, pour a > 0 et b > 0 :

β(a, b) =

∫ 1

0ta−1(1− t)b−1 =

Γ(a)Γ(b)

Γ(a+ b)et Γ(

1

2) =√π.

2. En utilisant le résultat de la question précédente et en appliquant le théorème de Fubini-Tonelli,on a (sachant que α > 1) :

I =

∫ +∞

0

∫ +∞

0

1

(1 + x2 + y2)αdxdy (10)

=

∫ +∞

0(

∫ +∞

0

1

(1 + x2 + y2)αdy)dx (11)

=

√π

2

Γ(α− 12)

Γ(α)

∫ +∞

0

1

(1 + x2)α−12

dx (12)

=

√π

2

Γ(α− 12)

Γ(α)

√π

2

Γ(α− 1)

Γ(α− 12)

(13)

=π

4

1

α− 1(14)

(vu que Γ(α) = Γ((α− 1) + 1) = (α− 1)Γ(α− 1))

exercice 5Montrer que pour tout α > 0, on a : ∫

IRne−α‖x‖

2dx =

(√π

α

)n.

où ‖ · ‖ désigne la norme euclidienne de IRn.

2


TD9 (Séries de Fourier)

Figure 1 – Joseph Fourier, 21/3/1768 Auxerre- 16/5/1830 Paris

exercice 1 (Polynômes trigonométriques)Montrer que pour tout entier n les fonctions

t 7→ (cos(t))n et t 7→ (sin(t))n

sont des polynômes trigonométriques.

exercice 2 (Quelques questions)

1. Soit f une fonction continue et périodique de période 2π. Si sa série de Fourier convergeuniformément sur [−π, π] -donc sur IR( ?)-, quelle est la limite de cette série ?

2. Soit f(x) continue et périodique dans [−π, π] et ayant pour coefficients de Fourier ak,bk. On suppose que

∑∞k=1(|ak| + |bk|) < ∞. Que pouvez dire quant à la convergence de

la série de Fourier associée ?


1

3. La suite 1

1+√|k|, k ∈ ZZ, peut-elle être la suite des coefficients de Fourier d’une fonction

2π-périodique ?4. Soit f(x) périodique de période 2π sur IR, de classe C2 sur [−π, π] ( f(−π) = f(π) etf ′(−π) = f ′(π)). Montrer que la série de Fourier de f converge normalement vers f .

5. Soit f(x) continue périodique de période 2π et C1 par morceaux, montrer que sa sériede Fourier converge normalement (vers quoi ?).

exercice 3Etudier les coefficients de Fourier de la fonction paire et 2π-périodique dont la restriction àl’intervalle [0, π] est la fonction x→

√x.

exercice 4Etudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, paire, valant x(π−x) sur [0, π]. Evalueralors les sommes

∑n≥1

1n2 et

∑n≥1

(−1)n+1

n2 .

exercice 5On considère la fonction f(x) = | sin(x)|. A l’aide de son développement en série de Fourier,déterminer les valeurs de sommes de séries intéressantes.

Figure 2 – Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 13/2/1805 Düren, Empire français(Allemagne) - 5/5/1859 Göttingen

exercice 6Appliquer la formule de Parseval (précisez le cadre), à la fonction paire et 2π-périodique dont

2

la restriction à l’intervalle [0, π] est la fonction x→ x2. Au préalable, on fera bien le lien entreles différentes types de coefficients de Fourier, i.e. les coefficients complexes et les coefficients« réels »(quand ces derniers sont-ils bien réels ? )et on donnera différentes écritures de la formulede Parseval.

exercice 7Soit f(x) = cosh x

πpour |x| ≤ π et f(x+ 2πn) = f(x), n ∈ ZZ.

1. Donner le graphe de f(x) pour |x| < 4π.2. Calculer les coefficients de la série de Fourier.3. Calculer la somme ∞∑

n=1

(−1)n

1 + n2π2.

exercice 8Soit f(x) = 1 + x+ |x| pour −2 ≤ x < 2 et f(x+ 4n) = f(x), n ∈ ZZ.

1. Donner le graphe de f(x) pour |x| < 4.2. Calculer les coefficients de la série de Fourier.3. Calculer la somme ∞∑

n=0

1

(2n+ 1)2.

exercice 9Soit f(x) = x pour |x| < π et f(x+ 2πn) = f(x), n ∈ ZZ.

1. Donner le graphe de f(x) pour |x| < π.2. Calculer les coefficients de la série de Fourier.3. Déterminer la relation d’Euler par le théorème de Parseval 2,

π2

6=∞∑n=1

1

n2.

4. Retrouver la formule précédente en appliquant le théorème de Dirichlet 3 à une« bonne »fonction.

exercice 10Etudier la série de Fourier de la fonction 2π-périodique valant sin

(x2

)sur ]−π, π].

exercice 11Les deux énoncés ont été pris dans le livre de O.A. Ivanov, Easy as π ?

2. Marc-Antoine Parseval des Chênes, 27 Avril 1755 Rosières-aux-Salines, France - 16 Août 1836 Paris3. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 13/2/1805 Düren, Empire français (maintenant en Allemagne) -

5/5/1859 Göttingen, royaume de Hanovre (maintenant Allemagne).

3

Let f be a function of smoothness class C1 on the interval [0, 2π], satisfying∫ 2π0 f(x)dx = 0. Then the inequality∫ 2π

0f 2 ≤

∫ 2π

0(f ′)2

holds, with equality if and only if f has the form f(x) = a cosx+ b sinx.

Suppose that a plane, smooth, simple, closed curve has length L and encloses aregion of area A. Then L2 ≥ 4πA, with equality precisely when the curve is a circle.

Démontrer l’inégalité du premier énoncé en faisant intervenir les coefficients de Fourier def et f ′ et l’égalité de Parseval. Regarder la condition d’égalité.

Pour le second énoncé- et c’est facultatif-, un bon choix de paramétrisation de la courbeet la bonne utilisation de la formule de Green-Riemann, le tout combiné avec l’inégalité dupremier énoncé, conduit au résultat ...

corrigé L’égalité de Parseval donne :∫ 2π

0f 2 = 2π

(a02

)2

+ π∞∑k=1

(a2k + b2k

)D’aprés l’hypothèse, on a a0 = 0 et comme les coefficients de Fourier de f ′ sont a′k = kbk etb′k = −kak : ∫ 2π

0f 2 = π

∞∑k=1

(a2k + b2k

)≤ π

∞∑k=1

(k2b2k + k2a2k

)=∫ 2π

0(f ′)2

L’égalité a lieu si et seulement si ak = bk = 0 pour k ≥ 2.On peut paramétrer la courbe en utilisant l’abscisse curviligne s : (x(s), y(s), s ∈ [0, L] avec

1 = x′(s)2+y′(s)2. En translatant la courbe, on peut suppuser que∫ L0 y(s)ds = 0. Posons alors :

φ(t) = x(Lt

2π

), ψ

(Lt

2π

), t ∈ [0, 2π] .

On a∫ 2π0 φ(t)dt = 0. La formule de Riemann-Green donne :

A = −∫ 2π

0φ′ψ

Or L2

4π2 = (φ′)2 + (ψ′)2, donc :

L2

4π2− 2A =

∫ 2π

0

((φ′)2 + (ψ′)2

)+ 2

∫ 2π

0φ′ψ (1)

=∫ 2π

0(φ′ + ψ)2 +

∫ 2π

0

((ψ′)2 − (ψ)2

)≥ 0. (2)

4


travail par groupe, 14 Novembre 2014

exercice 1

Montrer que∫ +∞

0

sin(t)

tdt existe et est égale à

∫ +∞

0

(sin(t)

t

)2

dt

exercice 2Etudier l’intégrabilité de x 7→ (ln(x))− ln(x) sur ]1,+∞[.

exercice 3 (Une version du lemme de Gronwall)Soit α > 0, φ et β des fonctions continues positives sur [0, T ] tels que :

∀t ∈ [0, T ] , φ(t) ≤ α+

∫ t

0β(s)φ(s)ds. (1)

Montrer que :

∀t ∈ [0, T ] , φ(t) ≤ α exp(

∫ t

0β(s)ds). (2)

Dans quelle situation pourrait-on utiliser ce résultat ?

exercice 4Soit f une fonction continue et strictement croissante sur [0, 1] telle que f(0) = 0 et f(1) = 1.Montrer que :

f

(1

10

)+ f

(2

10

)+ · · ·+ f

(9

10

)+ f−1

(1

10

)+ · · ·+ f−1

(9

10

)≤ 99

10. (3)

exercice 5Soit (xn) une suite à valeurs dans [0, 1] pour laquelle on suppose que :

∀ 0 ≤ a ≤ b ≤ 1, limn→+∞

1

n# {k ∈ {1, . . . , n} , xk ∈ [a, b]} = b− a (4)

où # désigne le cardinal.Montrer que pour toute fonction f continue sur [0, 1], on a :

limn→+∞

1

n

n∑k=1

f(xk) =

∫ 1

0f(x)dx. (5)


1

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