Objectifs du chapitre sur le khi-carré (χ2)

o Connaître les propriétés de la distribution de khi-carré (χ2)

o Savoir calculer le test du χ2 dans les situations à 1 facteur de classification dans les tableaux de contingence à 2 facteurs de

classification

• Fréquence d’apparition des valeurs Fréquence d’apparition des valeurs d’une variable d’une variable – quelle que soit la nature de ces valeursquelle que soit la nature de ces valeurs– et la forme de leur distributionet la forme de leur distribution

La distribution khi-carré (χ2) (1)

2/)χ(1)2/k(2

2

k2 2

eχ

)2/k(2

1χ

Son équationSon équation

1 seule variable: k,1 seule variable: k, le nombre de catégories le nombre de catégories dl = k-1dl = k-1

Ses caractéristiques statistiquesSes caractéristiques statistiques Moyenne = kMoyenne = k Variance = 2kVariance = 2k

La distribution khi-carré (χ2) (2)

2/)χ(1)2/k(2

2

k2 2

eχ

)2/k(2

1χ

Liens avec d’autres distributions

Distribution normale:population de valeurs continues

Variance: à distribution normale

22)1( zχ

2

22

)1N( σ

s)1n(χ

)1n(

σχs

22

)1N(2

PrincipePrincipe::ComparaisonComparaison des fréquences des fréquences observéesobservées des différentes des différentes

valeurs d’une variable discrète et valeurs d’une variable discrète et des fréquences des fréquences attenduesattendues définies définies

soit par le hasardsoit par le hasard soit par un modèle pré- déterminésoit par un modèle pré- déterminé

La formuleLa formuleoù dl = k-1où dl = k-1

Le test du khi-carré (χ2) à 1 facteur de classification

N

1i i

2ii2

dl E

EOχ

D’où vient la formule du khi-carré (χ2)

Nous savons que

or, selon la binomiale,

donc, en remplaçant,

2

222

)1( σ

μXzχ

Npqσ

Npμ2

Nq

NqXN

Np

NpXχ

222

)1(

Npq

NpXχ

22

)1(

Nombre de phrases répondues comme

Pas du tout moi

... ... ... tout à fait moi

8 10 20 8 4

5 10 20 10 5

Solution du problème 6.3

4,22,04,08,1

5

1

10

4

5

9

51020105

51020105

12003

541082020101058

22222

22222

1

22

N

i i

iidl E

EO

Nombre d’inscriptions au cours de/du

10H 11H Midi

Prof. Henrion Prof. Ducarme Prof. Bouton

32 25 10

22,33 22,33 22,33

Solution du problème 6.1

Solution du problème 6.1

31,11

33,22

66,252

33,22

11,152

33,22

11,7

33,22

44,93

33,2233,2233,22

33,2233,2233,22

33,1267,267,9

33,221033,222533,2232

222

222

1

22

N

i i

iidl E

EO

Autre exemple de tableau Autre exemple de tableau de contingence de contingence

la distribution est elle pareille au hasard?la distribution est elle pareille au hasard?les distributions sont-elles semblables?les distributions sont-elles semblables?

En faveur d’une loi sur les armes

à feu Oui NonMon

groupe 47 23

Hasard 35 35

Extension aux tableaux de contingence

Tableaux de contingence:tableau où est fait le rapport entre les

classes de deux variables

Gars Filles

connaît la chanson

10 10

ne la connaît pas

10 10

La même … formuleLa même … formule

où dl = (l-1)(c-1)où dl = (l-1)(c-1)

2 différences2 différences:: les fréquences les fréquences attenduesattendues sont définies sont définies

par par

un dl différent, dl = (l-1)(c-1) un dl différent, dl = (l-1)(c-1)

Le test du khi-carré (χ2)

dans les tableaux de contingence

N

1i i

2ii2

dl E

EOχ

N

xCLE ji

ij

Choc

inévitable évitable aucun

Rejet 8 19 18 45pas de rejet 22 11 15 48

30 30 33 93

Solution du problème 6.14

15,5

31

480

31

4810

93

483012E

Solution du problème 6.14

14,5

31

450

31

4510

93

453011E

17

31

528

31

4811

93

483332E16

31

495

31

4511

93

453331E

14,5

31

450

31

4510

93

453011E

14,5

31

450

31

4510

93

453021E 15,5

31

480

31

4810

93

483022E

Choc

inévitable évitable aucun

Rejet 8 19 18 45pas de rejet 22 11 15 48

30 30 33 93

Solution du problème 6.14

14,5 14,5

15,5

16

15,5 17

8,830,230,251,311,402,722,91

20,2520,2542,2542,25

17

4

16

4

5,155,145,155,1417165,155,145,155,14

17165,155,145,155,14

225,45,45,65,6

171516185,15115,14195,15225,148

222222

222222

1

22

N

i i

iidl E

EO

Solution du problème 6.14

nombre d’obser-vateurs

Aide recherchée

oui non

0 11 2 131 16 10 264 4 9 13

31 21 52

Solution du problème 6.15

5,25

4

21

52

132112E

Solution du problème 6.15

5,25

4

21

52

132132E7,75

4

31

52

133131E

7,75

4

31

52

133111E

15,5

2

31

52

263121E 10,5

2

21

52

262122E

nombre d’obser-vateurs

Aide recherchée

oui non

0 11 2 131 16 10 264 4 9 13

31 21 52

Solution du problème 6.15

7,75

7,75

15,5 10,5

5,25

5,25

7,902,681,810,020,022,011,36

5,25

14,06

7,75

14,06

10,5

0,25

15,5

0,25

5,25

10,56

7,75

10,56

5,257,7510,515,55,257,75

5,257,7510,515,55,257,75

3,753,750,50,53,253,25

5,2597,75410,51015,5165,2527,7511

222222

222222

N

i i

iidl E

EO

1

22

Solution du problème 6.15

Remarques générales (1) sur le khi-carré (χ2)

2 conditions d’application2 conditions d’application:: indépendanceindépendance des observations et des des observations et des

classes du tableau de contingenceclasses du tableau de contingence EEijij > 5 > 5

N est maintenant rapportéN est maintenant rapporté

Remarques générales (2) sur le khi-carré (χ2)

χ2 indique l’existence d’un lien indique l’existence d’un lien,, Φ le quantifieΦ le quantifie

χ2 : somme de carrés orthogonaux : somme de carrés orthogonaux,, peut se décomposer peut se décomposer