FLEXION TRANSVERSALE DES PONTS A POUTRES

EXEMPLE METHODE DE COURBONEXEMPE METHODE DE GUYON – MASSONNET

Enoncé

Page 2 EXEMPLE

Vue en plan

15m 15m15m

3,5m

3,5m

Coupe transversale

3,5m 3,5m

10,5m chargeable

Poutres

2

3

1

3 2 1

Y

X

Caractéristiques géométriques

b 5,25 m

L 45 m

n 3 poutres

a 3,5 m

λ 15 m

Caractéristiques mécaniques

Ip 1,774 m4

Ie 0,844 m4

Kp 0,0368 m4

Ke 0,0359 m4

ν 0,15

Coordonnées poutres

y1 3,5 m

y2 0 m

y3 -3,5 m

Enoncé

Cas 1 : 1 voie chargée

p 8,5kN/m2

3,5m

3 2 1

Voie chargée

3,5m

Cas 2 : 2 voies chargées

3,5m

3 2 1

Voie chargée

3,5m

Cas 3 : 3 voies chargées

3,5m

2 1

Voie chargée

3,5m

3

Page 3 EXEMPLE

Enoncé

3 36 6 6 6

4,5 4,5 4,51,5 1,5

Xres

Ton

File1 File2 File3 File4File5

Cas 4: Convoi

e (m)

File 1 -2

File 2 0

File 3 0,5

File 4 2,5

File 5 3

File 6 5

File6

Page 4 EXEMPLE

Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres

Page 5 EXEMPLE

Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-6 -4 -2 0 2 4 6

Coefficient d'excentrement

D1

D2

Page 6 EXEMPLE

Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres

Page 7 EXEMPLE

Méthode de Courbon : Moments longitudinaux dans les poutres

Page 8 EXEMPLE

Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises

Page 9 EXEMPLE

Nous allons calculer la ligne d'influence de l'effort tranchant dans la section X-X au droit de la poutre centrale et dans la section Y-Y au milieu des poutres 2 et 3,

pour une charge P concentrée d'excentricité e par rapport à x = 0

R1 = P/3*(1+3e/(2y))

R2 = P/3

R3 = P/3*(1-3e/(2y))

p= 1 kN

y= 3.5 m

R1

P

e

R2R3

X-XY-Y

i

iy

e

n

in.

1

.21.61

2 −

−++=

Si e<x on fait l'équilibre dans la partie droite de la section transversale :

Section X-X V(e;0) = - (R2+R1) M(e;0) = R1*y

-P/3*(2+3e/(2y)) P/3*(1+3e/(2y))*y

Section Y-Y V(e;y/2) = - (R2+R1) M(e;y) = R1*(y+y/2)+R2*(y/2)

-P/3*(2+3e/(2y)) P/3*(1+3e/(2y))*(3y/2)+P/3*y/2

Si e>x On fait l'équilibre dans la partie gauche de la section transversale :

Section X-X V(e;0) = R3 M(e;0) = R3*y

P/3*(1-3e/(2y)) P/3*(1-3e/(2y))*y

Section Y-Y V(e;y/2) = R3 M(e;b/2) = R3*y/2

P/3*(1-3e/(2y)) P/3*(1-3e/(2y))*y/2

Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises

Page 10 EXEMPLE

e/y -1.5 -1 -0.75 -0.571428571 -0.5 -0.25 0 0 0.14285714 0.25 0.5 0.714285714

e -5.25 -3.5 -2.625 -2 -1.75 -0.875 0 0 0.5 0.875 1.75 2.5

V(e;0) = 0.0833 -0.1667 -0.2917 -0.3810 -0.4167 -0.5417 -0.6667 0.3333 0.2619 0.2083 0.0833 -0.0238

M(e;0) = -1.4583 -0.5833 -0.1458 0.1667 0.2917 0.7292 1.1667 1.1667 0.9167 0.7292 0.2917 -0.0833

0.75 0.857142857 1 1.42857143 1.5

2.625 3 3.5 5 5.25

-0.0417 -0.0952 -0.1667 -0.3810 -0.4167

-0.1458 -0.3333 -0.5833 -1.3333 -1.4583

e/y -1.5 -1 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.5

e -5.25 -3.5 -3.5 -2.625 -1.75 -0.875 0 0.875 1.75 2.625 3.5 5.25

V(e;y/2) = 0.0833 -0.1667 0.8333 0.7083 0.5833 0.4583 0.3333 0.2083 0.0833 -0.0417 -0.1667 -0.4167

M(e;y/2) = -1.6042 -0.2917 1.4583 1.2396 1.0208 0.8021 0.5833 0.3646 0.1458 -0.0729 -0.2917 -0.7292

Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises

-0.8000

-0.6000

-0.4000

-0.2000

0.0000

0.2000

0.4000

-6 -4 -2 0 2 4 6

V(e;0) =

V(e;0) =

-0.6000

-0.4000

-0.2000

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

-6 -4 -2 0 2 4 6

V(e;y/2) =

V(e;y/2) =

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

-6 -4 -2 0 2 4 6

M(e;0) =

M(e;0) =

-2.0000

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

-6 -4 -2 0 2 4 6

M(e;y/2) =

M(e;y/2) =

Page 11 EXEMPLE

Méthode de Courbon : Efforts tranchant et moments dans les entretoises

EXEMPLEPage 12

Méthode de Guyon-Massonnet : Calcul des coefficients

Page 13 EXEMPLE

ρP = 0,5069 E

ρE = 0,0563 E

γP = 0,0046 E

γE = 0,0010 E

θ = 0,2021

α = 0,0166

q =b

L

rP

rE

4

a =gP +gE

2 rPrE

Méthode de Guyon-Massonnet : Coefficient K et µ

On détermine tout d’abord les coefficients K, K(α)=K0+(K1-K0) α0,5

Page 14 EXEMPLE

Position de la chargeAbscisse de la poutre

θ =0,2 et α =0 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

0 0,9884 0,9948 1,0009 1,0057 1,0078 1,0057 1,0009 0,9948 0,9884

b/4 0,2421 0,4337 0,6251 0,816 1,0057 1,1929 1,3767 1,5584 1,7394

b/2 -0,5008 -0,1257 0,2496 0,6251 1,0009 1,3767 1,7514 2,1212 2,4961

3b/4 -1,2418 -0,6839 -0,1257 0,4336 0,9948 1,5583 2,1242 2,6912 3,2581

b -1,9823 -1,2418 -0,5008 0,2421 0,9884 1,7394 2,4961 3,2581 4,0236

θ =0,2 et α =1 -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

0 0,9912 0,996 1,0006 1,0044 1,0061 1,004 1,0006 0,996 0,9912

b/4 0,9468 0,961 0,9755 0,9902 1,0044 1,0167 1,0257 1,0328 1,0392

b/2 0,9058 0,9281 0,9513 0,9755 1,0006 1,0257 1,0496 1,0708 1,0906

3b/4 0,8674 0,8972 0,9281 0,961 0,996 1,0328 1,0708 1,1086 1,1449

b 0,8305 0,8674 0,9058 0,9468 0,9912 1,0392 1,0906 1,1449 1,2009

θ =0,2 et α =0,017 -5,25 -3,9375 -2,625 -1,3125 0 1,3125 2,625 3,9375 5,25

0 0,9888 0,9950 1,0009 1,0055 1,0076 1,0055 1,0009 0,9950 0,9888

1,3125 0,3340 0,5025 0,6708 0,8387 1,0055 1,1699 1,3309 1,4899 1,6481

2,625 -0,3174 0,0117 0,3411 0,6708 1,0009 1,3309 1,6599 1,9842 2,3128

3,9375 -0,9668 -0,4777 0,0117 0,5024 0,9950 1,4898 1,9869 2,4849 2,9826

5,25 -1,6156 -0,9668 -0,3174 0,3340 0,9888 1,6481 2,3128 2,9826 3,6556

Méthode de Guyon-Massonnet : Coefficient K et µ

Puis les coefficients

Page 15 EXEMPLE

m1q

a = m1q

a=0 + a.(m1q

a=1 -m1q

a=0 )

Méthode de Guyon-Massonnet : Coefficient K et µ

Page 16 EXEMPLE

Méthode de Guyon-Massonnet : Cas de charge 1, 2, 3

Page 17 EXEMPLE

Méthode de Guyon-Massonnet : Cas de charge 4

Page 18 EXEMPLE

Conclusion

Bonne corrélation entre les deux méthodes