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    26-Jan-2021
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  • Intégrales généralisées

    1 Exemple introductif. Soit α ∈ R et B ∈ [2021,+∞[.

    Rappeler pourquoi l’intégrale ∫ B

    1

    1

    tα dt est bien définie.

    Calculer cette intégrale.

    Montrer que la limite lim B→+∞

    ∫ B

    1

    1

    tα dt existe et la calculer.

    I Intégrale d’une fonction définie sur un intervalle du type [a, b[

    2 Définition (intégrale impropre pour une fonction définie sur [a, b[) Soit a < b avec b ∈ R ∪ {+∞} : c’est-à-dire b est fini ou +∞. Soit f : [a, b[ → R continue non définie en b.

    — On dit que l’intégrale ∫

    b

    a

    f(t)dt est impropre en b.

    — On dit que l’intégrale ∫

    b

    a

    f(t)dt (impropre en b) converge lorsque

    lim B→b

    ∫ B

    a

    f(t)dt existe et est finie

    C’est ici, dans la limite, l’intégrale d’une fonction continue sur un segment !

    Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale ∫

    b

    a

    f(t)dt diverge.

    3 Remarque. Quand b = +∞, on voit une analogie avec le chapitre Séries. Il y a cependant une légère différence, c’est la terminologie.

    Dans le chapitre Séries, on a pu dire des choses du type : « la série ∑

    un converge et sa somme est +∞∑

    n=0

    un ».

    Pour les intégrales de fonctions définies sur [a,+∞[, il n’y aura pas deux notations différentes. C’est dommage, mais il faudra faire ainsi.

    On aura donc des phrases du type « l’intégrale ∫ +∞

    a

    f(t)dt converge et sa valeur est ∫ +∞

    a

    f(t)dt »

    4 Exemples. Donner la nature des intégrales suivantes.

    ∫ +∞

    3

    1

    1 + t2 dt

    ∫ π 2

    0

    tan t dt

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 1 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Quand b est une borne finie

    5 Proposition (fausse impropreté en une borne finie). On suppose ici que b est un nombre réel (donc n’est pas +∞). Soit f : [a, b[ → R continue.

    Si f est prolongeable par continuité en b, alors l’intégrale ∫

    b

    a

    f(t)dt converge.

    On dit alors que l’intégrale est faussement impropre en b.

    Ce résultat constitue une condition suffisante de convergence en une borne finie.

    Preuve (à apprendre) Notons f̃ la fonction qui est le prolongement par continuité de f : [a, b[→ R en b. Ainsi, f̃ : [a, b] → R est continue. On peut donc considérer une primitive F de f̃ : cette primitive est alors de classe C1. Cette primitive F est en particulier une primitive de f sur tout intervalle du type [a,B] où B < b. Pour tout B, on a donc : ∫ B

    a

    f(t)dt = F (B)− F (a)

    Comme F est continue (why ?), on a lim B→b

    F (B) = F (b).

    Ainsi, lim B→b

    ∫ B

    a

    f(t)dt existe, est finie, et vaut F (b)− F (a).

    Au passage, on remarque que l’intégrale faussement impropre en b de f est égale à l’intégrale (bien définie) de f̃ sur le segment [a, b].

    6 Exemple. Quelle est la nature de ∫ 0

    −3

    sin t

    t dt ?

    Quand b = +∞ 7 Remarque importante. On rappelle le résultat suivant (au fait, quelle est la preuve ?)

    si la série ∑

    un converge, alors la suite (un)n∈N converge vers 0

    Ce résultat est une condition nécessaire de convergence pour une série.

    Attention, l’analogue pour les fonctions est faux. Autrement dit, la convergence de l’intégrale ∫ +∞

    a

    f(t)dt

    n’implique pas que lim x→+∞

    f(x) = 0 (ni même que la limite existe, ni même que f est bornée).

    8 Proposition (condition suffisante de divergence en +∞). Soit f : [a,+∞[ → R continue. Si lim

    t→+∞ f(t) existe et est non nulle (c’est-à-dire appartient à R∗ ∪ {±∞}),

    alors l’intégrale ∫ +∞

    a

    f(t)dt diverge.

    Exemples.

    Si la limite lim +∞

    f n’existe pas, il peut tout se passer pour ∫ +∞

    f .

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 2 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • II Intégrale d’une fonction définie sur ]a, b] ou ]a, b[ ou . . .

    9 Définition (intégrale impropre pour une fonction définie sur ]a, b]). Soit a < b avec a ∈ R ∪ {−∞} : c’est-à-dire a est fini ou −∞. Soit f : ]a, b] → R continue non définie en a.

    — On dit que l’intégrale

    ∫ b

    a

    f(t)dt est impropre en a.

    — On dit que l’intégrale

    ∫ b

    a

    f(t)dt (impropre en a) converge lorsque

    lim A→a

    ∫ b

    A

    f(t)dt existe et est finie

    Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale

    ∫ b

    a

    f(t)dt diverge.

    10 Proposition (fausse impropreté en une borne finie). On suppose ici que a est un nombre réel (donc n’est pas −∞). Soit f : ]a, b] → R continue. Si f est prolongeable par continuité en a, alors l’intégrale

    ∫ a

    a

    f(t)dt converge.

    On dit alors que l’intégrale est faussement impropre en a.

    11 Exemples.

    Nature de ∫ 1

    0

    ln t dt

    ∫ 1

    0

    t ln t dt

    ∫ 1

    0

    xx dx

    12 Définition (double impropreté). Soit a < b avec a, b des bornes finies ou infinies.

    Soit f : ]a, b[→ R continue.

    On dit que l’intégrale ∫ b

    a

    f(t)dt est convergente lorsque les deux intégrales

    ∫ c

    a

    f(t)dt et ∫ b

    c

    f(t)dt

    convergent, où c est une borne quelconque dans ]a, b[.

    13 Exemples. Nature de ∫ +∞

    0

    ln t dt

    ∫ +∞

    0

    1− cos t t2

    dt

    14 Warning. Nature de ∫ +∞

    −∞ t dt ?

    Il faut absolument s’empêcher de croire que ∫ +∞

    −∞ f(t) dt est lim

    X→+∞

    ∫ +X

    −X f(t) dt

    Nature de ∫ 3π

    2

    π 2

    tan t dt ?

    Bilan : L’interprétation d’une intégrale comme une aire (algébrique, c’est-à-dire avec signe) a ses limites. . .

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 3 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Remarque à sauter en 1ère lecture (permettant de justifier la définition 12 ) Pour que la définition ci-dessus ait du sens, il faut prouver l’équivalence

    ∃ c ∈ ]a, b[, ∫ c

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c

    f(t)dt convergent ⇐⇒ ∀ c ∈ ]a, b[, ∫ c

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c

    f(t)dt convergent

    Bonus : dans ce cas, la somme

    ∫ c

    a

    f(t)dt+

    ∫ b

    c

    f(t)dt est indépendante de c.

    Justification. L’implication ⇐= est évidente.

    L’implication =⇒ . On suppose qu’il existe c0 tel que ∫ c0

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c0

    f(t)dt convergent.

    On fixe c et on veut montrer que

    ∫ c

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c

    f(t)dt convergent.

    — Pour tout A, on a

    ∫ c

    A

    f(t)dt =

    ∫ c0

    A

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt

    Le membre droit admet une limite pour A → a (par hypothèse), donc le membre gauche aussi :

    lim A→a

    ∫ c

    A

    f(t)dt existe et vaut

    ∫ c0

    a

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt

    Autrement dit,

    ∫ c

    a

    f(t)dt converge et vaut

    ∫ c

    a

    f(t)dt =

    ∫ c0

    a

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt

    — On fait la même preuve en b et on obtient :

    ∫ b

    c

    f(t)dt =

    ∫ c0

    c

    f(t)dt+

    ∫ b

    c0

    f(t)dt

    La première partie est prouvée. Il reste à montrer le bonus : la somme est indépendante de c. En sommant les deux tirets, on a

    ∫ c

    a

    f(t)dt+

    ∫ b

    c

    f(t)dt = (∫ c0

    a

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt )

    + ( ∫ c0

    c

    f(t)dt+

    ∫ b

    c0

    f(t)dt )

    D’où, en enlevant les parenthèses, et en utilisant que les deux intégrales du milieu sont opposées :

    ∫ c

    a

    f(t)dt+

    ∫ b

    c

    f(t)dt =

    ∫ c0

    a

    f(t)dt +

    ∫ b

    c0

    f(t)dt

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 4 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • III Intégrales de référence

    15 Proposition (intégrale de Riemann) Soit α ∈ R.

    i) L’intégrale ∫ +∞

    1

    tα dt converge si et seulement si α > 1.

    ii) L’intégrale ∫ ⋆

    0

    1

    tα dt converge si et seulement si α < 1.

    Preuve.

    16 Proposition (intégrale de Riemann « translatée ») Soit α ∈ R.

    I) L’intégrale ∫ ⋆

    a

    1

    (t− a)α dt converge si et seulement si α < 1.

    II) L’intégrale ∫ b

    1

    (b− t)α dt converge si et seulement si α < 1.

    Preuve de I) Soit A ∈ ]a, ⋆]. On a l’égalité (why ?) ∫ ⋆

    A

    1

    (t− a)α dt = ∫ ⋆−a

    A−a

    1

    xα dx

    On en déduit que

    lim A→a

    ∫ ⋆

    A

    1

    (t− a)α