Intégrales généralisées - Lycée privé...

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Intégrales généralisées 1 Exemple introductif. Soit α R et B [2021, +[. Rappeler pourquoi l’intégrale B 1 1 t α dt est bien définie. Calculer cette intégrale. Montrer que la limite lim B+ B 1 1 t α dt existe et la calculer. I Intégrale d’une fonction définie sur un intervalle du type [a, b[ 2 Définition (intégrale impropre pour une fonction définie sur [a, b[) Soit a< b avec b R ∪{+∞} : c’est-à-dire b est fini ou +. Soit f :[a, b[ R continue non définie en b. — On dit que l’intégrale b a f (t)dt est impropre en b. — On dit que l’intégrale b a f (t)dt (impropre en b) converge lorsque lim Bb B a f (t)dt existe et est finie C’est ici, dans la limite, l’intégrale d’une fonction continue sur un segment ! Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale b a f (t)dt diverge. 3 Remarque. Quand b =+, on voit une analogie avec le chapitre Séries. Il y a cependant une légère différence, c’est la terminologie. Dans le chapitre Séries, on a pu dire des choses du type : « la série u n converge et sa somme est + n=0 u n ». Pour les intégrales de fonctions définies sur [a, +[, il n’y aura pas deux notations différentes. C’est dommage, mais il faudra faire ainsi. On aura donc des phrases du type « l’intégrale +a f (t)dt converge et sa valeur est +a f (t)dt » 4 Exemples. Donner la nature des intégrales suivantes. +3 1 1+ t 2 dt π 2 0 tan t dt Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 1 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

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  • Intégrales généralisées

    1 Exemple introductif.Soit α ∈ R et B ∈ [2021,+∞[.

    Rappeler pourquoi l’intégrale∫ B

    1

    1

    tαdt est bien définie.

    Calculer cette intégrale.

    Montrer que la limite limB→+∞

    ∫ B

    1

    1

    tαdt existe et la calculer.

    I Intégrale d’une fonction définie sur un intervalle du type [a, b[

    2 Définition (intégrale impropre pour une fonction définie sur [a, b[)Soit a < b avec b ∈ R ∪ {+∞} : c’est-à-dire b est fini ou +∞.Soit f : [a, b[ → R continue non définie en b.

    — On dit que l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt est impropre en b.

    — On dit que l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt (impropre en b) converge lorsque

    limB→b

    ∫B

    a

    f(t)dt existe et est finie

    C’est ici, dans la limite, l’intégrale d’une fonction continue sur un segment !

    Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt diverge.

    3 Remarque. Quand b = +∞, on voit une analogie avec le chapitre Séries.Il y a cependant une légère différence, c’est la terminologie.

    Dans le chapitre Séries, on a pu dire des choses du type : « la série∑

    un converge et sa somme est+∞∑

    n=0

    un ».

    Pour les intégrales de fonctions définies sur [a,+∞[, il n’y aura pas deux notations différentes. C’est dommage,mais il faudra faire ainsi.

    On aura donc des phrases du type « l’intégrale∫ +∞

    a

    f(t)dt converge et sa valeur est∫ +∞

    a

    f(t)dt »

    4 Exemples. Donner la nature des intégrales suivantes.

    ∫ +∞

    3

    1

    1 + t2dt

    ∫ π2

    0

    tan t dt

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  • Quand b est une borne finie

    5 Proposition (fausse impropreté en une borne finie).On suppose ici que b est un nombre réel (donc n’est pas +∞).Soit f : [a, b[ → R continue.

    Si f est prolongeable par continuité en b, alors l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge.

    On dit alors que l’intégrale est faussement impropre en b.

    Ce résultat constitue une condition suffisante de convergence en une borne finie.

    Preuve (à apprendre)Notons f̃ la fonction qui est le prolongement par continuité de f : [a, b[→ R en b. Ainsi, f̃ : [a, b] → R est continue.On peut donc considérer une primitive F de f̃ : cette primitive est alors de classe C1.Cette primitive F est en particulier une primitive de f sur tout intervalle du type [a,B] où B < b.Pour tout B, on a donc : ∫ B

    a

    f(t)dt = F (B)− F (a)

    Comme F est continue (why ?), on a limB→b

    F (B) = F (b).

    Ainsi, limB→b

    ∫ B

    a

    f(t)dt existe, est finie, et vaut F (b)− F (a).

    Au passage, on remarque que l’intégrale faussement impropre en b de f est égale à l’intégrale (bien définie) de f̃ sur lesegment [a, b].

    6 Exemple. Quelle est la nature de∫ 0

    −3

    sin t

    tdt ?

    Quand b = +∞7 Remarque importante.On rappelle le résultat suivant (au fait, quelle est la preuve ?)

    si la série∑

    un converge, alors la suite (un)n∈N converge vers 0

    Ce résultat est une condition nécessaire de convergence pour une série.

    Attention, l’analogue pour les fonctions est faux. Autrement dit, la convergence de l’intégrale∫ +∞

    a

    f(t)dt

    n’implique pas que limx→+∞

    f(x) = 0 (ni même que la limite existe, ni même que f est bornée).

    8 Proposition (condition suffisante de divergence en +∞).Soit f : [a,+∞[ → R continue.Si lim

    t→+∞f(t) existe et est non nulle (c’est-à-dire appartient à R∗ ∪ {±∞}),

    alors l’intégrale∫ +∞

    a

    f(t)dt diverge.

    Exemples.

    Si la limite lim+∞

    f n’existe pas, il peut tout se passer pour∫ +∞

    f .

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  • II Intégrale d’une fonction définie sur ]a, b] ou ]a, b[ ou . . .

    9 Définition (intégrale impropre pour une fonction définie sur ]a, b]).Soit a < b avec a ∈ R ∪ {−∞} : c’est-à-dire a est fini ou −∞.Soit f : ]a, b] → R continue non définie en a.

    — On dit que l’intégrale

    ∫ b

    a

    f(t)dt est impropre en a.

    — On dit que l’intégrale

    ∫ b

    a

    f(t)dt (impropre en a) converge lorsque

    limA→a

    ∫ b

    A

    f(t)dt existe et est finie

    Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale

    ∫ b

    a

    f(t)dt diverge.

    10 Proposition (fausse impropreté en une borne finie).On suppose ici que a est un nombre réel (donc n’est pas −∞).Soit f : ]a, b] → R continue.Si f est prolongeable par continuité en a, alors l’intégrale

    ∫ a

    a

    f(t)dt converge.

    On dit alors que l’intégrale est faussement impropre en a.

    11 Exemples.

    Nature de∫ 1

    0

    ln t dt

    ∫ 1

    0

    t ln t dt

    ∫ 1

    0

    xx dx

    12 Définition (double impropreté).Soit a < b avec a, b des bornes finies ou infinies.

    Soit f : ]a, b[→ R continue.

    On dit que l’intégrale∫ b

    a

    f(t)dt est convergente lorsque les deux intégrales

    ∫ c

    a

    f(t)dt et∫ b

    c

    f(t)dt

    convergent, où c est une borne quelconque dans ]a, b[.

    13 Exemples. Nature de∫ +∞

    0

    ln t dt

    ∫ +∞

    0

    1− cos tt2

    dt

    14 Warning. Nature de∫ +∞

    −∞t dt ?

    Il faut absolument s’empêcher de croire que∫ +∞

    −∞f(t) dt est lim

    X→+∞

    ∫ +X

    −Xf(t) dt

    Nature de∫ 3π

    2

    π2

    tan t dt ?

    Bilan : L’interprétation d’une intégrale comme une aire (algébrique, c’est-à-dire avec signe) a ses limites. . .

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  • Remarque à sauter en 1ère lecture (permettant de justifier la définition 12 )Pour que la définition ci-dessus ait du sens, il faut prouver l’équivalence

    ∃ c ∈ ]a, b[,∫ c

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c

    f(t)dt convergent ⇐⇒ ∀ c ∈ ]a, b[,∫ c

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c

    f(t)dt convergent

    Bonus : dans ce cas, la somme

    ∫ c

    a

    f(t)dt+

    ∫ b

    c

    f(t)dt est indépendante de c.

    Justification.L’implication ⇐= est évidente.

    L’implication =⇒ . On suppose qu’il existe c0 tel que∫ c0

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c0

    f(t)dt convergent.

    On fixe c et on veut montrer que

    ∫ c

    a

    f(t)dt et

    ∫ b

    c

    f(t)dt convergent.

    — Pour tout A, on a

    ∫ c

    A

    f(t)dt =

    ∫ c0

    A

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt

    Le membre droit admet une limite pour A → a (par hypothèse), donc le membre gauche aussi :

    limA→a

    ∫ c

    A

    f(t)dt existe et vaut

    ∫ c0

    a

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt

    Autrement dit,

    ∫ c

    a

    f(t)dt converge et vaut

    ∫ c

    a

    f(t)dt =

    ∫ c0

    a

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt

    — On fait la même preuve en b et on obtient :

    ∫ b

    c

    f(t)dt =

    ∫ c0

    c

    f(t)dt+

    ∫ b

    c0

    f(t)dt

    La première partie est prouvée.Il reste à montrer le bonus : la somme est indépendante de c.En sommant les deux tirets, on a

    ∫ c

    a

    f(t)dt+

    ∫ b

    c

    f(t)dt =(∫ c0

    a

    f(t)dt+

    ∫ c

    c0

    f(t)dt)

    +( ∫ c0

    c

    f(t)dt+

    ∫ b

    c0

    f(t)dt)

    D’où, en enlevant les parenthèses, et en utilisant que les deux intégrales du milieu sont opposées :

    ∫ c

    a

    f(t)dt+

    ∫ b

    c

    f(t)dt =

    ∫ c0

    a

    f(t)dt +

    ∫ b

    c0

    f(t)dt

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  • III Intégrales de référence

    15 Proposition (intégrale de Riemann) Soit α ∈ R.

    i) L’intégrale∫ +∞

    1

    tαdt converge si et seulement si α > 1.

    ii) L’intégrale∫ ⋆

    0

    1

    tαdt converge si et seulement si α < 1.

    Preuve.

    16 Proposition (intégrale de Riemann « translatée ») Soit α ∈ R.

    I) L’intégrale∫ ⋆

    a

    1

    (t− a)α dt converge si et seulement si α < 1.

    II) L’intégrale∫ b

    1

    (b− t)α dt converge si et seulement si α < 1.

    Preuve de I)Soit A ∈ ]a, ⋆]. On a l’égalité (why ?) ∫ ⋆

    A

    1

    (t− a)α dt =∫ ⋆−a

    A−a

    1

    xαdx

    On en déduit que

    limA→a

    ∫ ⋆

    A

    1

    (t− a)α dt = limε→0

    ∫ ⋆−a

    ε

    1

    xαdx

    Or l’intégrale

    ∫ ⋆−a

    0

    1

    xαdx (impropre en 0) converge ssi α < 1.

    Ainsi l’intégrale

    ∫ ⋆

    a

    1

    (t− a)α dt (impropre en a) converge ssi α < 1.

    Preuve de II)Soit B ∈ [⋆, b[. On a l’égalité (why ?) ∫ B

    1

    (b− t)α dt =∫ b−⋆

    b−B

    1

    xαdx

    On en déduit que

    limB→b

    ∫ B

    1

    (b− t)α dt = limε→0

    ∫ ⋆−b

    ε

    1

    xαdx

    Or l’intégrale

    ∫ ⋆−b

    0

    1

    xαdx (impropre en 0) converge ssi α < 1.

    Ainsi l’intégrale

    ∫ b

    1

    (b− t)α dt (impropre en b) converge ssi α < 1.

    17 Exemple. Nature de∫ 2

    1

    1√4− t2

    dt.

    18 Proposition (exponentielle avec un signe moins !)Soit λ ∈ R.L’intégrale

    ∫ +∞

    0

    e−λt dt converge si et seulement si λ > 0.

    Dans ce cas, la valeur de l’intégrale∫ +∞

    0

    e−λt dt est1

    λ.

    Preuve (à savoir retrouver si on vous la demande).

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  • IV Intégrales généralisées de fonctions positives

    19 Proposition (théorème de la limite monotone)

    1) Soit a < b avec b ∈ R ou b = +∞.Soit f : [a, b[→ R continue et positive.

    — La fonction Φ : x 7→∫ x

    a

    f(t)dt est croissante sur [a, b[.

    — L’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge si et seulement si Φ est majorée.

    2) Soit a < b avec a ∈ R ou a = −∞.Soit f : ]a, b] → R continue et positive.

    — La fonction Φ : x 7→∫ b

    x

    f(t)dt est décroissante sur ]a, b].

    — L’intégrale∫ b

    a

    f(t)dt converge si et seulement si Φ est majorée.

    Preuve de 2)

    20 Proposition (Comparaison avec des inégalités)Soit f, g : [a, b[→ R deux fonctions continues.On suppose que : au voisinage de b, 0 6 f(t) 6 g(t) ∃ c ∈ [a, b[, ∀ t ∈ [c, b[, 0 6 f(t) 6 g(t)

    i) Si l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt converge, alors l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge.

    ii) Par contraposée, si l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt diverge, alors l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt diverge.

    Même type de résultat avec ]a, b]

    21 Proposition (Comparaison avec des équivalents)Soit f, g : [a, b[→ R deux fonctions continues.On suppose que : f et g sont positives au voisinage de b

    Si f(t) ∼t→b

    g(t), alors les intégrales∫

    b

    a

    f(t)dt et∫

    b

    a

    g(t)dt ont même nature.

    Même type de résultat avec ]a, b]

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  • 22 Proposition (Comparaison avec des petits o)Soit f, g : [a, b[→ R deux fonctions continues.

    g est positive au voisinage de b

    f(t) = ot→b

    (g(t)

    )

    l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt converge

    =⇒ l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge

    g est positive au voisinage de b

    f(t) = ot→b

    (g(t)

    )

    l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt diverge

    =⇒ l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt diverge

    Même type de résultat avec ]a, b]

    23 Exercice très important pour l’an prochain.

    Soit α ∈ ]0,+∞[. Montrer que l’intégrale Γ(α) =∫ +∞

    0

    tα−1e−tdt converge. C’est la fonction Gamma.

    24 Encore des exemples.On va retrouver des résultats déjà croisés. Cela vaut le coup de garder en tête les preuves qui viennent qui sontplus simples que les précédentes, car il n’y a pas besoin d’introduire une borne puis de passer à la limite.

    a) L’intégrale∫ 3

    0

    ln t dt converge.

    b) L’intégrale∫ +∞

    0

    e−t3

    dt converge.

    c) L’intégrale∫ +∞

    0

    e−√t dt converge.

    d) Nature de∫ +∞

    0

    1− cos tt2

    dt

    e) Nature de∫ +∞

    0

    1− e−tt

    dt

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  • V Propriétés des intégrales convergentes

    25 Proposition (linéarité).

    L’ensemble{f ∈ R[a,b[ | l’intégrale de f sur [a, b[ converge

    }est un sous-espace vectoriel de l’espace des

    fonctions R[a,b[. Plus précisément :

    — Soit f une fonction dont l’intégrale sur [a, b[ converge et λ ∈ R.Alors l’intégrale de la fonction λ · f est convergente et on a l’égalité de réels :

    ∫b

    a

    (λ · f)(t) dt = λ∫

    b

    a

    f(t) dt

    — Soit f et g deux fonctions dont les intégrales sur [a, b[ convergent.Alors l’intégrale de la fonction f + g est convergente et on a l’égalité de réels :

    ∫b

    a

    (f + g)(t) dt =

    ∫b

    a

    f(t)dt +

    ∫b

    a

    g(t)dt

    Grosso-modo, on peut retenir la phrase suivante pour l’oral (une khôlle) :« une combinaison linéaire d’intégrales convergentes est une intégrale convergente »

    Le même genre d’énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a, b] avec a ∈ R ∪ {−∞}.

    Preuve de la multiplication par un scalaire.Soit B ∈ [a, b[. Ci-dessous, on ne manipule que des intégrales de fonctions continues sur le segment [a, B]. Tousles bons vieux théorèmes s’appliquent (notamment la linéarité). On a :

    ∫ B

    a

    (λ · f)(t) dt = λ∫ B

    a

    f(t) dt

    Passons à la limite quand B → b.Le membre droit tend vers λ

    ∫b

    a

    f(t) dt, par opération sur les limites et l’hypothèse. D’où la conclusion.

    Preuve de la somme. À vous.

    26 Proposition (convergence et divergence).

    (i) Soit λ 6= 0 et f ∈ R[a,b[.

    Si l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt diverge, alors l’intégrale∫

    b

    a

    (λ · f)(t) dt diverge.

    (ii) Soit f et g deux fonctions définies sur [a, b[.

    l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge

    l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt diverge

    =⇒ l’intégrale∫

    b

    a

    (f + g)(t)dt diverge

    Le même genre d’énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a, b] avec a ∈ R ∪ {−∞}.

    Remarque. Multiplier une fonction par un scalaire non nul ne modifie pas la nature de l’intégrale.

    Warning. Peut-on utiliser la linéarité avec∫ 3

    0

    1− cos tt2

    dt ? Montrer que∫ 3

    0

    et − 1t

    dt cv.

    Montrer que l’intégrale∫ +∞

    2021

    (1t− 1

    t+ 1

    )dt converge.

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  • 27 Rappel (théorème fondamental de l’analyse).

    Soit f continue sur I.

    i) Soit α ∈ I.La fonction Φ : I −→ R

    x 7−→∫ x

    α

    f(t)dt

    est de classe C1 sur I, et sa dérivée vaut f .

    De plus, Φ(α) = 0.La fonction Φ est donc la primitive de f qui s’annule en α.

    ii) Soit β ∈ I.La fonction Ψ : I −→ R

    x 7−→∫ β

    x

    f(t)dt

    est de classe C1 sur I, et sa dérivée vaut −f .

    De plus, Ψ(β) = 0.

    Preuve de ii)La fonction Ψ s’écrit x 7→ F (β)− F (x) où F est une primitive de f (qui existe car f est continue sur I).La fonction F est de classe C1 de dérivée f .On en déduit que Ψ est de classe C1 de dérivée −f .

    Voici l’analogue du théorème fondamental de l’Analyse pour les intégrales généralisées :

    28 Proposition (reste d’une intégrale convergente)

    I) Soit f : [a,+∞[→ R continue.

    On suppose que l’intégrale∫ +∞

    a

    f(t)dt converge.

    Alors la fonction R : [a,+∞[ −→ Rx 7−→

    ∫ +∞

    x

    f(t)dt

    est de classe C1 et sa dérivée vaut −f .

    De plus, limx→+∞

    R(x) = 0.

    II) Plus généralement, soit f : [a, b[→ R continue (avec b fini ou b = +∞).

    On suppose que l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge.

    Alors la fonction R : [a, b[ −→ R

    x 7−→∫

    b

    x

    f(t)dt

    est de classe C1 et sa dérivée vaut −f .

    De plus, limx→b

    R(x) = 0.

    III) Le même genre d’énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a, b] avec a ∈ R ∪ {−∞}.

    Preuve.

    29 Attention.Dans la proposition précédente, il ne faut surtout pas oublier l’hypothèse de convergence de l’intégrale.Même si cela ne relève pas exactement de la même situation, voilà un exemple qui devrait vous mettre en

    garde. Que vaut limx→0

    ∫ 2x

    x

    1

    tdt ? Et lim

    x→1

    ∫ 2x

    x

    1

    tdt ?

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 9 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • 30 Proposition.Les fonctions sont continues sur [a, b[ avec b ∈ R ∪ {+∞}.Le même genre d’énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a, b] avec a ∈ R ∪ {−∞}.

    (1) Chasles

    Si∫

    b

    a

    f(t)dt converge, alors pour tout c ∈ [a, b[, on a∫

    b

    a

    f(t)dt =

    ∫ c

    a

    f(t)dt +

    ∫b

    c

    f(t)dt

    (2) Positivité. L’intégrale-dans-le-bon-sens d’une fonction positive est un nombre positif.Autrement dit :

    ∫b

    a

    f(t)dt converge

    f < 0 sur [a, b[ càd ∀ t ∈ [a, b[, f(t) > 0

    les bornes a et b sont ordonnées avec a < b

    =⇒∫

    b

    a

    f(t)dt > 0

    (3) Croissance. L’intégrale-dans-le-bon-sens conserve les inégalités.Autrement dit :

    ∫b

    a

    f(t)dt et∫

    b

    a

    g(t)dt convergent

    f 4 g sur [a, b[ càd ∀ t ∈ [a, b[, f(t) 6 g(t)

    les bornes a et b sont ordonnées avec a < b

    =⇒∫

    b

    a

    f(t)dt 6

    ∫b

    a

    g(t)dt

    (4) Aspect « défini-positif » de l’intégrale : le théorème aux trois hypothèsesUne fonction continue, positive, d’intégrale nulle est nulle (sur l’intervalle d’intégration).Précisément

    f continue

    ∀ t ∈ [a, b[, f(t) > 0∫

    b

    a

    f(t)dt = 0

    =⇒ f = 0 sur [a, b[ càd ∀x ∈ [a, b[, f(x) = 0

    (5) Stricte positivitéL’intégrale-dans-le-bon-sens d’une fonction continue positive non nulle est un réel strictement po-sitif.Autrement dit,

    f continue∫b

    a

    f(t)dt converge

    ∀ t ∈ [a, b[, f(t) > 0∃ t0 ∈ [a, b[, f(t0) 6= 0

    =⇒∫

    b

    a

    f(t)dt > 0

    Preuve de la croissance.

    31 Exercice. Soit f : ]0,+∞[→ R, x 7→∫ +∞

    x

    e−t2

    tdt.

    1○ Montrer que f est bien définie.2○ f est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

    3○ (3a) Montrer que ∀ x > 0, f(x) = f(1)−∫ x

    1

    e−t2

    tdt.

    (3b) En déduire que f est dérivable sur ]0,+∞[.

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  • VI Intégrales absolument convergentes

    Ici, b est un réel ou +∞ et les fonctions sont continues sur [a, b[.Le même genre d’énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a, b] avec a ∈ R ∪ {−∞}.

    32 Définition (convergence absolue)Soit f : [a, b[→ R continue.

    On dit que l’intégrale∫ b

    a

    f(t)dt converge absolument lorsque l’intégrale∫ b

    a

    |f(t)|dt converge.

    Remarque.Pour une fonction positive, il n’y a pas de différence entre la convergence et la convergence absolue (why ?).La notion de convergence absolue est donc intéressante uniquement pour les fonctions qui changent sans cessede signe, par exemple pour les fonctions trigonométriques.

    33 Proposition (inégalité triangulaire)Soit f : [a, b[→ R continue.

    Si l’intégrale∫ b

    a

    f(t)dt converge absolument, alors elle converge.

    Dans ce cas, on a l’inégalité triangulaire :∣∣∣∣∣

    ∫ b

    a

    f(t)dt

    ∣∣∣∣∣ 6∫ b

    a

    |f(t)|dt

    Preuve (à connaître). Supposons que∫ b

    a

    |f(t)|dt converge.On pose

    f+ = max(0, f) =f + |f |

    2et f− = −min(0, f) = −

    f − |f |2

    =|f | − f

    2On a f = f+ − f−, ainsi que

    0 4 f+ 4 |f | et 0 4 f− 4 |f |

    Par hypothèse, l’intégrale∫ b

    a

    |f(t)|dt converge.Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, les intégrales de f+ et f− convergent.Comme f est une combinaison linéaire de f+ et f−, on en déduit, par linéarité, que l’intégrale de f converge.

    • Prouvons l’inégalité triangulaire.Idée : réécrire l’inégalité à l’aide d’une double inégalité, puis utiliser la croissance de l’intégrale.Preuve : On a

    −|f | 4 f 4 |f | ∀ t ∈ [a, b[, −|f(t)| 6 f(t) 6 |f(t)|Or les intégrales de ces 3 fonctions convergent.Par croissance de l’intégrale (avec des intégrales convergentes !) :

    ∫ b

    a

    (− |f |

    )6

    ∫ b

    a

    f 6

    ∫ b

    a

    |f |

    c’est-à-dire

    −∫ b

    a

    |f | 6∫ b

    a

    f 6

    ∫ b

    a

    |f |

    D’où (la double inégalité précédente est du type −K 6 I 6 K, donc équivaut à |I| 6 K)∣∣∣∣∣

    ∫ b

    a

    f

    ∣∣∣∣∣ 6∫ b

    a

    |f |

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  • 34 Exemples

    — Montrer que l’intégrale∫ +∞

    1

    cos t

    t2dt converge.

    — Soit α > 1. Montrer que l’intégrale∫ +∞

    1

    sin t

    tαdt converge.

    35 Exemple détaillé : intégrale semi-convergente.Rappeler un exemple de série semi-convergente (convergente mais non absolument convergente).

    Un exemple d’intégrale semi-convergente est∫ +∞

    1

    sin t

    tdt.

    • Montrons que∫ +∞

    1

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt diverge.

    On a

    ∀ k > 1,∫ (k+1)π

    | sin t|(k + 1)π

    dt 6

    ∫ (k+1)π

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt

    Or l’intégrale de gauche vaut2

    (k + 1)π(je vous laisse faire le calcul, qui est, ma foi, très instructif).

    Fixons N ∈ N∗ et sommons pour k ∈ J1, NK.

    N∑

    k=1

    2

    (k + 1)π6

    N∑

    k=1

    ∫ (k+1)π

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt

    C’est-à-dire, avec Chasles à droite,

    2

    π

    N∑

    k=1

    1

    k + 16

    ∫ (N+1)π

    π

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt

    En faisant tendre N → +∞ et en utilisant la divergence de la série harmonique (série de Riemann avec α = 1),on en déduit que

    limN→+∞

    ∫ (N+1)π

    π

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt = +∞

    On en déduit que la limite suivante (portant sur une variable réel, non nécessairement entière)

    limB→+∞

    ∫ B

    π

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt ne peut pas être finie

    Ce qui signifie exactement que l’intégrale∫ +∞

    π

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt diverge, donc que l’intégrale∫ +∞

    1

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt diverge.

    • Montrons que∫ +∞

    1

    sin t

    tdt converge (confer le paragraphe suivant, avec une IPP).

    36 Exercice pas si facile, qui revient souvent en pâleSoit

    F ={f ∈ C0(R,R)

    ∣∣∫ +∞

    0

    e−tf(t)2dt converge}

    Montrer que F est un sev de C0(R,R).Pour la stabilité pour la somme, on pourra être amené à utiliser une inégalité ressemblant à :

    ∀ a, b ∈ R, |ab| 6 a2 + b2

    2

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  • 37 Un autre critère pratique plus général avec les oSoit f, g : [a, b[→ R deux fonctions continues.

    g est positive au voisinage de b

    f(t) = ot→b

    (g(t)

    )

    l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt converge

    =⇒ l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge absolument, donc converge

    Preuve. Par hypothèse, on a f(t) = ot→b

    (g(t)

    ).

    Ce résultat est encore vrai avec des valeurs absolues (pourquoi ?).

    Donc comme g est positive, on obtient |f(t)| = ot→b

    (g(t)

    ).

    Maintenant, on peut appliquer le point 22 avec la fonction g qui est positive.

    Et on obtient que∫ b

    a

    |f | converge, c’est-à-dire que∫ b

    a

    f converge absolument.

    Donc, d’après le point 32 , l’intégrale converge.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 13 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • VII Calcul avec des intégrales généralisées

    Officiellement, en EC1, pour effectuer une IPP ou un changement de variable dans une intégrale généra-lisée, on doit repasser par un segment et passer à la limite dans la borne.

    • Intégration par parties

    38 Exemple. A l’aide d’une IPP, montrer que l’intégrale∫ +∞

    1

    sin t

    tdt converge.

    39 Exercice.

    Montrer que l’intégrale∫ 1

    0

    ln t

    (1 + t)2dt converge et donner sa valeur.

    Exercice.

    1. Montrer que l’intégrale∫ +∞

    1

    ln t

    t2dt converge

    2. A l’aide d’une IPP, montrer que l’intégrale∫ +∞

    1

    ln t

    t2dt converge et donner sa valeur.

    40 Un exo de Khôlle !Soit f : [1 ; +∞[→ R continue. Montrer, à l’aide d’une IPP, que

    ∫ +∞

    1

    f(t)dt converge =⇒∫ +∞

    1

    f(t)

    tdt converge

    41 Remarque (à ne pas apprendre)

    Ici, b est un réel ou +∞.Soit u, v : [a, b[→ R deux fonctions de classe C1.

    Si le produit u(t)v(t) possède une limite finie en b (si le crochet[

    u(t)v(t)]t→b

    aconverge)

    alors les deux intégrales

    ∫ b

    a

    u′(t)v(t)dt et

    ∫ b

    a

    u(t)v′(t)dt ont même nature.

    • Si le crochet converge (abgrégé en [cv]), on peut donc avoir

    dv = [cv] + dv ou bien cv = [cv] + cv

    En cas de convergence (c’est-à-dire dans le cas cv = [cv] + cv), on a l’égalité

    ∫ b

    a

    u′(t)v(t)dt =[u(t)v(t)

    ]t→ba

    −∫ b

    a

    u(t)v′(t)dt

    • Le crochet peut diverger.On peut avoir

    cv = dv+ dv

    Voyez-vous un exemple pour lequel c’est le cas ?

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 14 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • • Changement de variables

    42 Rappel (changement de variable, intégrale sur un segment)Soit f continue sur un intervalle I. Soit ϕ : J → I une fonction de classe C1 sur un intervalle J .

    ∀α, β ∈ J,∫ β

    α

    f(ϕ(t)

    )ϕ′(t) dt =

    ∫ ϕ(β)

    ϕ(α)

    f(x)dx

    43 Proposition (parité)Soit f : R → R continue.Si f est paire ou impaire, alors les intégrales

    ∫ +∞

    0

    f(t)dt et∫ 0

    −∞f(t)dt ont même nature.

    En cas de convergence de l’une des deux intégrales, l’intégrale doublement impropre∫ +∞

    −∞f(t)dt converge

    et vaut

    ∫ +∞

    −∞f(t)dt =

    0 si f est impaire

    2

    ∫ +∞

    0

    f(t)dt si f est paire

    Preuve.

    Attention !Il existe des fonctions ni paire, ni impaire.Donc ne jamais faire de disjonction de cas du typeCas 1 : f paire Cas 2 : f impaire

    Pendant qu’on y est, ne jamais faire non plus de disjonction de cas du typeCas 1 : f croissante Cas 2 : f décroissante

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 15 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • VIII Généralisation à des réunions d’intervallesFonction définie sur une réunion d’intervalles ouverts

    44 Définition (finalement peu utilisée en EC)Soit −∞ 6 b0 < b1 < · · · < br < br+1 6 +∞ (ici b0 est un réel ou −∞ ; de même br+1 est un réel ou +∞)Soit f une fonction définie et continue sur ]b0, b1[ ∪ ]b1, b2[ ∪ · · · ∪ ]br, br+1[.

    On dit que l’intégrale∫ br+1

    b0

    f(t)dt converge lorsque les intégrales (toutes du type∫

    b

    a

    g(t)dt avec g continue sur ]a, b[)

    ∫ b1

    b0

    f|]b0,b1[(t)dt

    ∫ b2

    b1

    f|]b1,b2[(t)dt · · ·∫ br+1

    br

    f|]br,br+1[(t)dt convergent

    45 Exemple. Nature de∫ +∞

    0

    ln t

    t2 − 1dt

    La fonction intégrée est continue sur ]0, 1[ ∪ ]1,+∞[.• Étude en 0+. On a

    ln t

    t2 − 1 ∼t→0ln t

    −1 et − ln t = ot→0( 1√

    t

    )par croissance comparée

    Or∫

    0

    1√tdt converge (Riemann en 0 avec α = 12 < 1).

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives,∫

    0− ln t dt converge.

    A nouveau par comparaison,∫

    0

    ln t

    t2 − 1dt converge.

    Remarque : on pourrait résumer ces deux comparaisons en une seule en écrivant tout de suite que, par croissancecomparée :

    ln t

    t2 − 1 = ot→0( 1√

    t

    )

    • Étude en 1−. On aln t

    t2 − 1 =1

    t+ 1× ln t

    t− 1 ∼t→11

    2× 1

    La fonction intégrée est prolongeable par continuité en 1−, donc l’intégrale∫ 1

    f converge.

    Bilan partiel : l’intégrale∫ 1

    0f|]0,1[ converge.

    • Étude en 1+ : c’est la même qu’en 1− pour cet exerciceLa fonction intégrée est prolongeable par continuité en 1+, donc l’intégrale

    1f converge.

    • En +∞.On a (why ?) :

    ln t

    t2 − 1 ∼t→+∞ln t

    t2et

    ln t

    t2= o

    t→+∞

    ( 1t32

    )par croissance comparée

    Or∫ +∞ 1

    t32

    dt converge (Riemann en ∞ avec α = 32 > 1).

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, l’intégrale∫ +∞ ln t

    t2dt converge.

    A nouveau par comparaison,∫ +∞ ln t

    t2 − 1dt converge.

    Remarque. On pourrait directement écrireln t

    t2 − 1 = ot→+∞( 1t32

    ).

    Bilan partiel : l’intégrale∫ +∞

    1f|]1,+∞[ converge.

    Bilan général : l’intégrale∫ +∞

    0f converge.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 16 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • 46 Définition (utile pour le dernier chapitre de proba)Soit a1 < · · · < ap des réels.Soit f une fonction définie sur R tout entier et continue sur R sauf éventuellement en a1, . . . , ap,c’est-à-dire continue sur ]−∞, a1[ ∪ ]a1, a2[ ∪ · · · ∪ ]ap−1, ap[ ∪ ]ap,+∞[.On dit que l’intégrale

    ∫ +∞

    −∞f(t)dt converge lorsque les intégrales (toutes du type

    ∫b

    a

    g(t)dt avec g continue sur ]a, b[)

    ∫ a1

    −∞f|]−∞,a2[(t)dt

    ∫ a2

    a1

    f|]a1,a2[(t)dt · · ·∫ +∞

    ap

    f|]ap,+∞[(t)dt convergent

    47 Exemples.Représenter toutes ces fonctions définies sur R. Puis montrer que leur intégrale sur R converge.

    Soit f1 : t 7−→

    0 si t 6 −319(t+ 3) si −3 < t 6 01

    4√t

    si 0 < t < 1

    0 si 1 6 t

    et f2 : t 7−→

    0 si t < −31 si t = −319(t+ 3) si −3 < t < 0

    12

    si t = 01

    4√t

    si 0 < t < 1

    0 si 1 6 t

    Soit g1 : t 7−→

    0 si t ∈ ]−∞,−1[t+ 1 si t ∈ [−1, 0]cos t

    2si t ∈ ]0, π

    2]

    0 si t ∈ ]π2,+∞[

    et g2 : t 7−→

    0 si t ∈ ]−∞,−1[1 si t = −1t+ 1 si t ∈ ]−1, 0[2 si t = 0cos t

    2si t ∈ ]0, π

    2[

    1 si t = π2

    0 si t ∈ ]π2,+∞[

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 17 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • IX Compléments

    48 Une autre preuve pour la divergence de

    ∫ +∞

    1

    ∣∣∣sin t

    t

    ∣∣∣dt

    a) Montrer que

    ∀B > 1,∫ B

    1

    sin2 t

    tdt 6

    ∫ B

    1

    | sin t|t

    dt

    b) Exprimer sin2 t en fonction de cos(2t).

    c) Montrer que∫ +∞

    1

    cos(2t)

    tdt converge.

    d) Conclure.

    49 Exercice « comparaison série-intégrale »Soit β > 1 un réel.

    À l’aide d’une primitive simple, déterminer la nature de l’intégrale∫ +∞

    2

    1

    t (ln t)βdt.

    Montrer que la fonction f : t 7→ 1t (ln t)β

    est décroissante sur [2,+∞[.

    Déterminer la nature de la série∑ 1

    n (lnn)β. Saviez-vous démontrer ce résultat en février ?

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 18 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • 50 Proposition (comparaison série-intégrale), à ne pas apprendre, hors programmeSoit f continue sur un voisinage de +∞ (disons [a,+∞[).Si f est positive et décroissante alors la série

    ∑f(n) et l’intégrale

    ∫ +∞f(t)dt ont même nature.

    Remarque.

    — Si f est nulle, le résultat est trivial.

    — Si on suppose f croissante non nulle, le résultat est trivial.Comme f est croissante, lim

    t→+∞f(t) existe. De plus, f est positive non nulle, donc cette limite vaut L > 0

    ou +∞.Deux conséquences :le tg de la série ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.la fonction intégrée admet une limite non nulle, donc son intégrale diverge en +∞.

    — La décroissance est intéressante, car en cas de divergence, la preuve permet de donner un équivalent dessommes partielles.

    Preuve où f est définie sur [0,+∞[Supposons que la fonction est positive et décroissante.On cherche à montrer l’équivalence

    la série∑

    f(n) converge si et seulement si l’intégrale∫ +∞

    f(t)dt converge

    Considérons S la suite définie par Sn =n∑

    k=0

    f(k) et F la fonction définie par F : x 7→∫ x

    0

    f(t)dt.

    On cherche donc à montrer que

    limn→+∞

    Sn admet une limite finie si et seulement si limx→+∞

    F (x) admet une limite finie

    Comme S est une suite croissante et F est une fonction croissante (car f est supposée positive), cela revient àmontrer que

    la suite S est majorée si et seulement si la fonction F est majorée

    L’assertion « la fonction F est majorée » signifie « la famille(F (x)

    )x∈R+ est majorée ».

    Comme la fonction F est croissante, cela équivaut à « la famille(F (n)

    )n∈N est majorée », ce qui s’énonce « la

    suite(F (n))n∈N est majorée ».

    Bref, il s’agit de montrer que

    la suite (Sn)n∈N est majorée si et seulement si la suite(F (n)

    )n∈N est majorée

    Et pour montrer cette équivalence, il suffit de contempler cette double inégalité (que vous pouvez prouvercomme des grands) :

    ∀n > 1,n∑

    k=1

    f(k) 6

    ∫ n

    0

    f(t)dt 6

    n−1∑

    k=0

    f(k)

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 19 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • 51 Proposition EC2 (changement de variable pour une intégrale généralisée)Soit −∞ 6 a < b 6 +∞ et −∞ 6 α < β 6 +∞.Soit f : ]a, b[ → R continue. Soit ϕ : ]α, β[ → ]a, b[ une fonction de classe C1 qui est bijective.

    Alors les intégrales∫ β

    α

    f(ϕ(t)

    )ϕ′(t) dt et

    ∫ b

    a

    f(x)dx sont de même nature.

    En cas de convergence, on a

    — Si ϕ est strictement croissante :

    ∫ β

    α

    f(ϕ(t)

    )ϕ′(t) dt =

    ∫ b

    a

    f(x)dx

    — Si ϕ est strictement décroissante :

    ∫ β

    α

    f(ϕ(t)

    )ϕ′(t) dt =

    ∫ a

    b

    f(x)dx

    à ne pas utiliser en EC1... ou plutôt avec modération !

    52 Exemple.

    a) Montrer que∫ +∞

    0

    e−t2

    dt converge.

    On admet ici que sa valeur vaut

    √π

    2(cf. le prochain chapitre de proba).

    b) À l’aide du changement de variable x =√u que l’on justifiera, montrer que l’intégrale

    ∫ +∞

    0

    e−u√udu

    converge et que ∫ +∞

    0

    e−u√udu =

    √π

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 20 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • 53 Analogie séries & intégrales généralisées

    1○ Montrer que pour α > 1, la série∑

    n>1

    (−1)nnα

    converge absolument.

    2○ Montrer que pour α > 1, l’intégrale∫ +∞

    1

    sin t

    tαconverge absolument.

    3○ Montrer que

    • 1n

    =+∞

    o

    ((−1)n√

    n

    )

    • la série de terme général (−1)n

    √n

    converge

    • la série de terme général 1n

    diverge

    Conclusion ?

    4○ Montrer que

    • | sin t|t

    =+∞

    o

    (sin t√

    t

    )

    • l’intégrale∫ +∞

    1

    sin t√tdt converge

    • l’intégrale∫ +∞

    1

    | sin t|t

    dt diverge

    Conclusion ?

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 21 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Solution de 31

    Soit f : ]0,+∞[→ R, x 7→∫ +∞

    x

    e−t2

    tdt.

    1○ Montrons que f est bien définie.Soit x0 ∈ ]0,+∞[. Montrons que f(x0) est un réel bien défini.

    Il s’agit donc de montrer que l’intégrale∫ +∞

    x0

    e−t2

    tdt est convergente.

    La fonction intégrée est continue sur [x0,+∞[ (on utilise ici que x0 > 0).Il y a donc une seule impropreté en +∞.En +∞, la fonction intégrée vérifie :

    e−t2

    t= o

    ( 1t2

    )avec

    1

    t2> 0

    Or∫ +∞

    2021

    1

    t2dt converge (intégrale de Riemann avec α = 2 > 1).

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, on en déduit que∫ +∞

    x0

    e−t2

    tdt converge.

    2○ La fonction f est prolongeable par continuité en 0 si et seulement si la limite limx→0

    f(x) existe et est finie.

    Cela revient donc à examiner la limite suivante limx→0

    ∫ +∞

    x

    e−t2

    tdt

    Ou encore à étudier la nature de l’intégrale généralisée∫ 0,2021

    0

    e−t2

    tdt.

    Au voisinage de 0+, la fonction intégrée vérifie

    e−t2

    t∼

    t→0+1

    t> 0

    Or∫ 0,2021

    0

    1

    tdt diverge (intégrale de Riemann avec α = 1 6 1, attention ici à utiliser le critère de Riemann au voisinage de 0 ).

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, on en déduit que∫ 0,2021

    0

    e−t2

    tdt diverge.

    Bilan : la fonction f n’est pas prolongeable par continuité en 0.

    3○ (3a) Montrons que ∀ x > 0, f(x) = f(1)−∫ x

    1

    e−t2

    tdt.

    Fixons x > 0.D’après la relation de Chasles (qui ne nécessite PAS que les bornes soient ordonnées), on a

    ∫ x

    1

    . . . +

    ∫ +∞

    x

    . . .

    ︸ ︷︷ ︸f(x)

    =

    ∫ +∞

    1

    . . .

    ︸ ︷︷ ︸f(1)

    D’où

    f(x) = f(1) −∫ x

    1

    . . .

    D’où le résultat !

    (3b) Montrons que f est dérivable sur ]0,+∞[.D’après la question précédente, la fonction f se présente comme la différence des fonctions

    x 7→ f(1) et x 7→∫ x

    1

    e−t2

    tdt

    La fonction de gauche est constante donc est dérivable.La fonction de droite est dérivable en vertu du théorème fondamental de l’Analyse.Par différence, la fonction f est dérivable.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 22 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Solution de 34

    • Montrons que l’intégrale∫ +∞

    1

    cos t

    t2dt converge.

    La fonction intégrée est continue sur [1,+∞[.Il y a donc qu’une seule impropreté en +∞.En +∞, la valeur absolue de la fonction intégrée vérifie

    ∣∣∣cos t

    t2

    ∣∣∣ 61

    t2

    Or∫ +∞

    1

    1

    t2dt converge (intégrale de Riemann avec α = 2 > 1).

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, on en déduit que∫ +∞

    1

    ∣∣∣cos t

    t2

    ∣∣∣dt converge.

    Autrement dit, l’intégrale∫ +∞

    1

    cos t

    t2dt converge absolument.

    Par théorème, cette intégrale est donc en particulier convergente.

    • Soit α > 1. Montrer que l’intégrale∫ +∞

    1

    sin t

    tαdt converge.

    La fonction intégrée est continue sur [1,+∞[.Il y a donc qu’une seule impropreté en +∞.En +∞, la valeur absolue de la fonction intégrée vérifie

    ∣∣∣sin t

    ∣∣∣ 61

    Or∫ +∞

    1

    1

    tαdt converge (intégrale de Riemann avec α > 1).

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, on en déduit que∫ +∞

    1

    ∣∣∣sin t

    ∣∣∣dt converge.

    Autrement dit, l’intégrale∫ +∞

    1

    sin t

    tαdt converge absolument.

    Par théorème, cette intégrale est donc en particulier convergente.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 23 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Solution de 36Montrons que F est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions continues.

    • Il est clair que la fonction nulle est dans F .En effet, la fonction t 7→ e−t02 = 0 (la fonction nulle donc) a une intégrale convergente sur [0,+∞[.

    • Montrons que F est stable par combinaison linéaire.Soit f, g ∈ F , soit λ, µ ∈ R.Montrons que λg + µg ∈ F , càd montrons que l’intégrale

    ∫ +∞

    0

    e−t(λf(t) + µg(t))2dt converge.

    Prenons la fonction intégrée. Son expression vaut :

    e−t(λf(t) + µg(t))2 = λ2 e−tf(t)2 + 2λµ e−tf(t)g(t) + µ2 e−tg(t)2

    Examinons les 3 termes de cette somme.

    � Comme f ∈ F , l’intégrale∫ +∞

    0

    e−tf(t)2dt converge.

    � Idem pour g.

    � Montrons que l’intégrale∫ +∞

    0

    e−tf(t)g(t)dt converge.

    Appliquons l’inégalité rappelée à a =√e−tf(t) et b =

    √e−tg(t), on a

    ∀ t, |e−tf(t)g(t)| 6 12

    ((√e−tf(t))2 + (

    √e−tg(t))2

    )=

    1

    2

    (e−tf(t)2 + e−tg(t)2

    )

    Les intégrales∫ +∞

    0

    e−tf(t)2dt et∫ +∞

    0

    e−tg(t)2dt convergent (car f, g ∈ F ).

    Par opération sur les intégrales convergentes, on en déduit que l’intégrale∫ +∞

    0

    1

    2

    (e−tf(t)2 + e−tg(t)2

    )dt

    converge.

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, on en déduit que l’intégrale∫ +∞

    0

    |e−tf(t)g(t)|dt converge,

    c’est-à-dire que l’intégrale∫ +∞

    0

    e−tf(t)g(t)dt converge absolument, donc converge (par théorème).

    Bilan : Par combinaison linéaire d’intégrales convergentes, l’intégrale∫ +∞

    0

    e−t(λf(t) + µg(t))2dt converge, ce

    qui signifie que λu+ µv ∈ F .

    Remarque. On aurait pu vérifier la stabilité par combinaison linéaire en deux temps. En vérifiant d’abord lastabilité par multiplication par un scalaire, puis par somme.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 24 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Solution de 39

    La fonction intégrée est continue sur [1,+∞[.

    Montrons à l’aide d’une IPP que limB→+∞

    ∫ B

    1

    ln t

    t2dt existe et est finie.

    Pour cela, fixons un B ∈ [1,+∞[.On pose v : t 7→ ln t et u : t 7→ −1

    tqui sont C1. Par intégration par parties, on a :

    ∫ B

    1

    ln t

    t2dt =

    [− 1

    t× ln t

    ]B1

    −∫ B

    1

    −1t× 1

    tdt

    = − 1B

    lnB +

    ∫ B

    1

    1

    t2dt

    = − 1B

    lnB +[−1

    t

    ]B1

    = − 1B

    lnB +(1− 1

    B

    )

    � Par croissance comparée, on a limB→+∞

    − 1B

    lnB = 0.

    � limB→+∞

    (1− 1

    B

    )= 1

    Par somme de limites finies, la limite cherchée limB→+∞

    ∫ B

    1

    ln t

    t2dt existe, est finie, et vaut 1.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 25 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Solution de 40

    Comme f est continue, f admet une primitive F qui est C1.

    La convergence de l’intégrale∫ +∞

    1

    f se traduit par l’existence d’une limite finie de F en +∞ (est-ce bien clairpour vous ? Sauriez-vous le démontrer ?).

    Répondons à présent à la question.

    Une intégration par parties sur le segment [1, B] avec les fonctions u : t 7→ F (t) et v : t 7→ 1t

    qui sont C1fournit : ∫ B

    1

    f(t)

    tdt =

    [F (t)

    t

    ]B

    1

    −∫ B

    1

    F (t)× −1t2

    dt

    d’où ∫ B

    1

    f(t)

    tdt =

    [F (t)

    t

    ]B

    1

    +

    ∫ B

    1

    F (t)

    t2dt

    Pour montrer que l’intégrale∫ +∞

    1

    f(t)

    tdt converge, il s’agit de montrer que les deux termes à droites admettent

    une limite finie quand B → +∞.

    � On a limB→+∞

    F (B) ∈ R (why bis ?), donc limB→+∞

    F (B)

    B= 0 (why ?).

    Ainsi, le crochet admet une limite finie quand B → +∞.

    � Montrons que∫ B

    1

    F (t)

    t2dt admet une limite finie quand B → +∞,

    c’est-à-dire montrons que l’intégrale∫ +∞

    1

    F (t)

    t2dt converge.

    On va utiliser des théorèmes de comparaison.Comme on ne connaît pas le signe de F , on va mettre des valeurs absolues et croiser les doigts pour quel’intégrale converge absolument !On a (why ?) ∣∣∣

    F (t)

    t2

    ∣∣∣ = ot→+∞

    ( 1t32

    )

    L’intégrale∫ +∞ 1

    t32

    dt converge (intégrale de Riemann en +∞ avec α = 32> 1).

    Par comparaison d’intégrales de fonctions positives, on en déduit que l’intégrale∫ +∞ ∣∣∣

    F (t)

    t2

    ∣∣∣dt converge.

    A fortiori (c’est un théorème), l’intégrale∫ +∞ F (t)

    t2dt converge.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 26 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

  • Remarque. On aurait pu rédiger ce deuxième � de la façon suivante.

    Utilisons le théorème de comparaison avec des o dans sa version de la dernière page du cours, c’est-à-dire ensupposant uniquement la fonction dans le petit o positive. Je le rappelle :

    Soit f, g : [a, b[→ R deux fonctions continues.

    g est positive au voisinage de b

    f(t) = ot→b

    (g(t)

    )

    l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt converge

    =⇒ l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge absolument,donc converge

    On a (why ?)F (t)

    t2= o

    t→+∞

    ( 1t32︸︷︷︸

    >0

    )

    L’intégrale∫ +∞ 1

    t32

    dt converge (intégrale de Riemann en +∞ avec α = 32> 1).

    Par comparaison, on en déduit que l’intégrale∫ +∞ F (t)

    t2dt converge absolument, donc converge.

    Remarque de la remarque. Il existe encore un autre énoncé avec la comparaison avec des o. Le voici :

    Soit f, g : [a, b[→ R deux fonctions continues.

    f(t) = ot→b

    (g(t)

    )

    l’intégrale∫

    b

    a

    g(t)dt converge absolument

    =⇒ l’intégrale∫

    b

    a

    f(t)dt converge absolument,donc converge

    La rédaction du deuxième � est alors la suivante :Utilisons ce théorème de comparaison avec des o (version absolue convergence)On a (why ?)

    F (t)

    t2= o

    t→+∞

    ( 1t32

    )

    L’intégrale∫ +∞ 1

    t32

    dt converge absolument (intégrale de Riemann en +∞ avec α = 32> 1).

    Par comparaison, on en déduit que l’intégrale∫ +∞ F (t)

    t2dt converge absolument, donc converge.

    Lycée Sainte Geneviève, Claire Tête 27 IntegralesGeneralisees.pdf, 26 avril 2021, 22:50

    Intégrale d'une fonction définie sur un intervalle du type [a,b[Intégrale d'une fonction définie sur ]a,b] ou ]a,b[ ou …Intégrales de référenceIntégrales généralisées de fonctions positivesPropriétés des intégrales convergentesIntégrales absolument convergentesCalcul avec des intégrales généraliséesGénéralisation à des réunions d'intervallesCompléments