Lycée Oued eddahab A.KARMIM 2016/2017

1 La projection dans le plan

LA PROJECTION DANS LE PLAN

I) PROJECTION SUR UNE DROITE

1-Projection d'un point sur une droite

1.1 Introduction:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droits sécantes en un point 𝑂, et 𝑀 un point du plan.

Par le point 𝑀 passe une seule parallèle à (Δ) et donc coupe la droite (𝐷) en

un point unique 𝑀′.

Le point 𝑀′ s'appelle la projection du point 𝑀sur la droite (𝐷) parallèlement à

la droite (Δ)

Définition:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droits sécantes en un point 𝑂, et 𝑀 un point du plan.

La projection du point 𝑀 sur la droite (𝐷) parallèlement à la droite (Δ) est le point 𝑀′ intersection de

la droite (D) et de la parallèle à (Δ) passante par le point 𝑀

Remarque:

Si 𝑀 est un point de la droite (𝐷) alors sa projection sur la droite (𝐷) parallèlement à la droite (Δ) est lui-

même.

Si on remplace la droite (Δ) par une droite parallèle à (Δ), l'image du point 𝑀 ne varie pas. On dit que 𝑀′

est la projection du point 𝑀 dans la direction de (Δ)

1.2 La projection sur une droite parallèlement à une autre

Définition:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droits sécantes en un point 𝑂, la façon par laquelle on associe un point 𝑀 du plan

par sa projection 𝑀′ sur la droite (𝐷) parallèlement à la droite (Δ) s'appelle la projection sur la droite (𝑫)

parallèlement à (Δ)

1.3 La projection orthogonale sur une droite

Définition:

La projection sur la droite (𝐷) parallèlement à une droite orthogonale sur (𝐷)

s'appelle la projection orthogonal sur (𝐷).

La projection d'un point 𝑀 sur une droite (D) parallèlement à une droite

Orthogonale sur (𝐷) s'appelle la projection orthogonale sur (𝑫)

Remarque:

Tous point de (𝐷) est confondu par sa projection sur (𝐷) parallèlement à (Δ).

Si un point 𝑀 est confondu par sa projection sur (𝐷) parallèlement à (Δ) alors 𝑀

est un point de (𝐷)

Vocabulaire:

Si la projection du point 𝑀 sur la droite (𝐷) parallèlement à une droite (Δ) est

lui-même on dit que le point 𝑀 est invariant par la projection sur (𝐷) parallèlement à (Δ)

La droite (𝐷) est invariante par la projection sur (𝐷) parallèlement à (Δ)

1.4 Propriétés:

Propriété1:

L'ensemble des points invariants par la projection sur (𝐷) parallèlement à (Δ) est la droite (𝐷)

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2 La projection dans le plan

Propriété2:

Soit 𝐴 un point de la droite (𝐷)

L'ensemble de point qui ont la même projection 𝐴 sur (𝐷) parallèlement à (Δ)

est la droite passante par 𝐴 et parallèle à (Δ)

1.4 La projection d'une forme:

Définition:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droits sécantes en un point 𝑂, (𝐹) une forme du plan

(𝐹′) une partie de la droite (𝐷). On dit que (𝐹′) est l'image de (𝐹) par la projection

Sur la droite (𝐷) parallèlement à (Δ) si et seulement si:

La projection de chaque point de (𝐹) sur (𝐷) parallèlement à (Δ)

appartient à (𝐹′)

Chaque point de (𝐹′) est la projection d'au moins d'un point de (𝐹)

sur (𝐷) parallèlement à (Δ)

1.5 Projection d'un segment:

Propriété1:

Soient 𝐴 et 𝐵 deux ponts distincts du plan, et 𝐴′ et 𝐵′ sont leurs projections

respectives sur (𝐷) parallèlement à (Δ), la projection du segment [𝐴𝐵] est le

segment [𝐴′𝐵′].

Remarque:

Si la droite (𝐴𝐵) est parallèle à (Δ) alors l'image du segment [𝐴𝐵] est le segment nul [𝐴′𝐴′]

Propriété 2:

Si 𝐴′ et 𝐵′ sont les projections respectives de 𝐴 et 𝐵 sur une droite (𝐷) parallèlement à une droite (Δ)

alors la projection du point I milieu du segment [𝐴𝐵] est le point I' milieu de [𝐴′𝐵′]

On dit que la projection sur une droite (𝑫) parallèlement à une droite (𝚫) conserve le milieu.

II) THEOREME DE THALES

1-Théorème de Thales: Propriété vectorielle

1.1 Rappelle théorème de thales

Théorème directe:

Soient (𝐷) et (𝐷′) deux droites du plan et 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points de (𝐷) tels que 𝐴 ≠ 𝐵 ;

soient 𝐴′, 𝐵′ et 𝐶′ trois points de la droite (𝐷′).

Si (𝑨𝑨′)// (𝑩𝑩′)//(𝑪𝑪′) alors 𝑨𝑪

𝑨𝑩=

𝑨′𝑪′

𝑨′𝑩′

Théorème inverse:

Soient (𝐷) et (𝐷′) deux droites du plan et 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points de (𝐷) tels que 𝐴 ≠ 𝐵 ;

soient 𝐴′, 𝐵′ et 𝐶′ trois points de la droite (𝐷′).

Si (𝐴𝐴′)// (𝐵𝐵′) et 𝐴𝐶

𝐴𝐵=

𝐴′𝐶′

𝐴′𝐵′ et les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 et les points 𝐴′, 𝐵′ et 𝐶′ sont dans

le même ordre alors (𝐴𝐴′)// (𝐵𝐵′)//(𝐶𝐶′)

1.2 théorème de Thales version vectorielle

Activité:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droites sécantes dans le plan. 𝐴, 𝐵 , 𝐶 et 𝐸 quatre point du plan tels que 𝐴 ≠ 𝐵

𝐴′, 𝐵′ , 𝐶′ et 𝐸′ leurs projections respectives sur (𝐷) parallèlement à (Δ)

1. On suppose que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés et que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = α𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; montrer que 𝐴′𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = α𝐴′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗′

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3 La projection dans le plan

2. On suppose que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗; montrer que 𝐴′𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐶′𝐸′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

3. On suppose que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝛼𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗; montrer que 𝐴′𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝛼𝐶′𝐸′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

Théorème de Thales version vectorielle

Soient (𝐷) et (Δ) deux droites sécantes du plan et 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points de (𝐷) tels que 𝐴 ≠ 𝐵 ;

Si 𝐴′, 𝐵′ et 𝐶′ sont les projections de 𝐴, 𝐵 et 𝐶 respectivement sur (D) parallèlement à (Δ)

et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = α𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ alors 𝐴′𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = α𝐴′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗′

Projection et égalité de deux vecteurs:

𝐴, 𝐵 , 𝐶 et 𝐸 quatre points du plan et 𝐴′, 𝐵′ , 𝐶′ et 𝐸′ leurs projections respectives sur (𝐷)

parallèlement à (Δ). si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ alors 𝐴′𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐶′𝐸′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

Projection et coefficient de colinéarité de deux vecteurs:

𝐴, 𝐵 , 𝐶 et 𝐸 quatre points du plan et 𝐴′, 𝐵′ , 𝐶′ et 𝐸′ leurs projections respectives sur (𝐷)

parallèlement à (Δ). si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝜶𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ alors 𝐴′𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝜶𝐶′𝐸′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs

Exercice:

Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle, 𝐼 milieu de [𝐵𝐶] et 𝐸 et 𝐹 deux points tels que 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ =−1

4𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ =

3

4𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

considérons 𝐽 intersection de (𝐴𝐼) et (𝐸𝐹) et 𝐵′ et 𝐶′ les projections de 𝐵 et 𝐶 respectivement sur (𝐴𝐼)

parallèlement à (𝐸𝐹)

1) Montrer que 𝐼 est milieu de [𝐵′𝐶′]

2) Montrer que 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ =−1

4𝐴𝐵′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ =

3

4𝐴𝐶′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

3) Montrer que 2𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗′ en déduire 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗

1.3 Résultas

La projection et la distance

Soient (𝐷) et (Δ) deux droites sécantes du plan, la projection sur la (𝐷) parallèlement à la (Δ)

ne conserve pas la distance.

Autrement dit si 𝐴′ et 𝐵′ sont les projections respectives de 𝐴 et 𝐵 alors 𝐴′𝐵′ n'est pas

nécessairement égale à 𝐴𝐵

𝐴′𝐵′ = 𝐴𝐵 si et seulement si (𝐴 ≠ 𝐵) et (𝐴𝐵) ∕∕ (𝐷)

Projection et axes

Soient (𝐷) et (Δ) deux droites sécantes du plan, (𝐿) une droite non parallèle à (Δ)

(𝑂, 𝐼) un repère sur (𝐿) et 𝑂′ et 𝐼′ sont les projections respectives de 𝑂 et 𝐼 sur (𝐷)

parallèlement à (Δ); soit 𝑀 est un point sur la droite (𝐿)

si 𝑀 a pour abscisse 𝑥 sur l'axe (𝑂, 𝐼) et 𝑀′ sa projection sur (𝐷) parallèlement à (Δ) alors 𝑥′ est l'abscisse

de 𝑀′ sur l'axe (𝑂′, 𝐼′).

1.4 Théorème de Thales réciproque version vectorielle

Théorème:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droites sécantes du plan, 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points sur (𝐿) tels que 𝐴 ≠ 𝐵 et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝜶𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

si 𝐴′ et 𝐵′ sont les projections respectives de 𝐴 et 𝐵 et 𝐴′𝐶′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜶𝐴′𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ alors 𝐶′ est la projection de 𝐶 sur la droite

parallèlement à (Δ)

Preuve: il suffit de considérer 𝐶1 est la projection de 𝐶 sur (𝐷)parallèlement à (Δ) et de démontrer que 𝐶1 = 𝐶′

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4 La projection dans le plan

1.5 La projection et la somme de deux vecteurs

Activité:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droites sécantes du plan, 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 et 𝐹 des points du plan

de projections respectives 𝐴′, 𝐵′ , 𝐶′, 𝐷′ et 𝐹′ et qui vérifient 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ ;

soit 𝑆 un point tel que 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗

1) Montrer que 𝐶′𝐷′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵′𝑆′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ et que 𝐸′𝐹′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴′𝑆′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

2) En déduire que 𝐴′𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐶′𝐷′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐸′𝐹′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Propriétés:

Soient (𝐷) et (Δ) deux droites sécantes du plan, 𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷 et 𝐹 des points du plan

de projections respectives 𝐴′, 𝐵′ , 𝐶′, 𝐷′ et 𝐹′ si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗ alors 𝐴′𝐵′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐶′𝐷′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐸′𝐹′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1.6 L'abscisse de la projection orthogonale

Propriété:

Si 𝐻 est la projection orthogonale d'un point 𝑀 sur un axe 𝐷(𝑂, 𝐼) (𝑂𝐼 = 1) et 𝛼 la mesure de l'angle [𝐼𝑂�̂�]

alors l'abscisse du point 𝐻 est

𝑂𝑀 cos(𝛼) si 0 ≤ 𝛼 ≤ 90°

−𝑂𝑀cos(180° − 𝛼) si 90° ≤ 𝛼 ≤ 180°

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5 La projection dans le plan

EXERCICES SUR LES PROJECTIONSExercice1: Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle et 𝐷 un point du plan tel

que 𝐴𝐷 =2

3𝐴𝐶 le point 𝐸 est la symétrique du point 𝐴 par

rapport à 𝐵, soit 𝑂 le point intersection des droites

(𝐸𝐷) et (𝐵𝐶)

Montrer que 𝑂 est le milieu du segment [𝐵𝐶].

Exercice2: Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle , 𝐼 milieu du segment

[𝐵𝐶] et 𝐷 et 𝐽 eux points tels que 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ =2

3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

soit 𝐸 la projection u point 𝐽 sur (𝐵𝐶) parallèlement à (𝐴𝐵)

Montrer que 𝐽𝐸⃗⃗⃗⃗ =1

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐼𝐸⃗⃗⃗⃗ =

1

6𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

La droite (𝐵𝐷) coupe les droites (𝐸𝐽) et (𝐴𝐶) en

𝐹 et 𝐾 réspectivement. Montrer que 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 6𝐾𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗

Exercice3: Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle et 𝐼 et 𝐽 deux points

définies par: 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ =2

3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ =

2

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

Montrer que 𝐽 est la projection de 𝐼 sur (𝐴𝐵)

parallèlement à (𝐵𝐶)

soit 𝑀 le milieu du segment [𝐵𝐶], la droite (𝐴𝑀)

coupe (𝐼𝐽) en 𝐺

a) Montrer que 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ =2

3𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b) Que représente le point 𝐺 pour le triangle 𝐴𝐵𝐶.

Exercice4: Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle et 𝐴′ et 𝐵′ les milieux

respectives des segments [𝐵𝐶] et [𝐴𝐶].Soit 𝐺 le pont

d'intersection des droites (𝐴𝐴′) et (𝐵𝐵′); la droite passante

par 𝐴′ et parallèle à (𝐵𝐵′) coupe (𝐵′𝐶) en 𝐼

Monter que 𝐼 est milieu du segment [𝐵′𝐶]

Montrer que 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ =2

3𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗′

En déduire que 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0⃗

Montrer que les médiatrices du triangle 𝐴𝐵𝐶 se

coupent en 𝐺 (centre de gravité de 𝐶 )

soit 𝐺′ est la projection de 𝐺 sur (𝐵𝐶) parallèlement à

(𝐴𝐵) et 𝐺′′ est la projection de 𝐺 sur (𝐵𝐶) parallèlement à

(𝐴𝐶); Montrer que 𝐵𝐺′⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝐺′𝐺′′⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =𝐺′′𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

Exercice5: Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle dont les trois angle aigus.

soient 𝐷 la projection orthogonale de 𝐵 sur (𝐴𝐶) et 𝐽 la

projection orthogonale de 𝐷 sur (𝐴𝐵) et 𝐹 la projection

orthogonale de 𝐸 sur (𝐴𝐶).

Construire la figure

Montrer que (𝐸𝐹) ∕∕ (𝐵𝐷) et (𝐽𝐷) ∕∕ (𝐶𝐸)

Prouver que 𝐴𝐵 × 𝐴𝐹 = 𝐴𝐶 × 𝐴𝐽

(𝐵𝐶) ∕∕ (𝐽𝐹)

Exercice6: Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un parallélogramme de centre 𝑂; on

considère les points 𝑀 et 𝑃 tels que: 𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ =2

3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

−𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

Montrer que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ =1

3𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

En déduire que 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

Soit 𝐻 est la projection de 𝑀 sur (𝐴𝐵) parallèlement

à (𝐵𝐶); Montrer que 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ et que (𝐴𝐶) ∕∕ (𝐻𝑃)

La droite (𝐻𝑃) coupe la droite (𝐴𝑀) en 𝐼; montrer

que 𝐼 est milieu du segment [𝐴𝑀]

Soit 𝐽 le point d'intersection de (𝑃𝑀) et (𝐴𝐵) ;

montrer que 𝐽 est milieu du segment [𝑃𝑀]

Exercice7: Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un parallélogramme de centre 𝑂; on

considère les points 𝐽 tel que: 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ =2

3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐸 la projection

de 𝐽 sur (𝐵𝐶) parallèlement à (𝐴𝐵)

Montrer que 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ =1

3𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ puis 𝐽𝐸⃗⃗⃗⃗ =

1

3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

Exercice8:Soient 𝐴𝐵𝐶 un triangle et 𝐼 un point définie par:

𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ =3

4𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

Soient 𝐽 la projection de 𝐼 sur (𝐵𝐶) parallèlement à

(𝐴𝐶) et 𝐾 la projection de 𝐽 sur (𝐴𝐶) parallèlement à (𝐴𝐵)

Montrer que 𝐶𝐾⃗⃗⃗⃗ ⃗ =3

4𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗

Soit 𝐻 la projection de 𝐾 sur (𝐴𝐵) parallèlement à

(𝐵𝐶); Montrer que 𝐵𝐻 = 𝐴𝐼

Exercice9: Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un trapèze de base [𝐴𝐵] et [𝐶𝐷],

soient 𝐼 milieu de [𝐴𝐷] et 𝐽 milieu de [𝐵𝐶] et 𝑀 la

projection de 𝐽 sur (𝐷𝐶) parallèlement à (𝐵𝐷)

Montrer que 𝐼𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑁𝐽⃗⃗ ⃗⃗

En déduire que segments [𝑀𝑁] et [𝐼𝐽] ont le mêmes

milieu

Exercice10: Soient 𝐴𝐵𝐶𝐷 un quadrilatère convexe et 𝑀 un

point tel que 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =1

3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, soient 𝑁 est la projection de 𝑀

sur (𝐵𝐶) parallèlement à (𝐴𝐶) et 𝑃 est la projection de 𝑁

sur (𝐷𝐶) parallèlement à (𝐷𝐵)

𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ =1

3𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

Soit 𝑄 un point tel que 𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗; Montrer que le

quadrilatère 𝑀𝑁𝑃𝑄 est un parallélogramme.