Diagrama tensão-deformação de um material dúctil submetido...
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Relação entre Tensão e Deformação
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Diagrama tensão-deformação de um material dúctil submetido à tração:
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ij ijkl klσ C
A relação linear entre a tensão e a deformação é dada por:
Relação entre Tensão e Deformação
, 1...6i ij j i j σ C
Para um problema tridimensional, temos:
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Relação entre Tensão e Deformação
11 12 13 14 15 16
12 22 23 24 25 26
23 23 33 34 35 36
14 24 34 44 45 46
15 25 35 45 55 56
16 26 36 46 56 66
ij
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
c c c c c c
C
A matriz C é denominada de elasticidade, e é dada por:
A matriz C é simétrica e tem 21 constantes independentes, e descreve os materiais Anisotrópicos.
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Relação entre Tensão e Deformação
11 12 13
12 22 23
23 13 33
44
55
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
ij
c c c
c c c
c c c
c
c
c
C
Material Ortotrópico tem 9 constantes independentes (material compósito, osso, madeira ...):
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Material Ortotrópico (transversalmente isotrópicos):
Relação entre Tensão e Deformação
11 12 13
12 11 13
13 13 33
44
44
11 12
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 02
ij
c c c
c c c
c c c
c
c
c c
C
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Para materiais isotrópicos a matriz de elasticidade é dada por:
Relação entre Tensão e Deformação
11
1
1
xx xx
yy yy
zz zz
E
1
11 1 2
1
xx xx
yy yy
zz zz
E
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Para materiais isotrópicos a matriz de elasticidade é dada por:
Relação entre Tensão e Deformação
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
10 0 0 0 0
21 1 21
0 0 0 0 02
10 0 0 0 0
2
2 1
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
yz yz
xz xz
E
EG
G
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Para materiais isotrópicos a matriz de elasticidade é dada por:
Relação entre Tensão e Deformação
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 01
0 0 0 2 1 0 0
0 0 0 0 2 1 0
0 0 0 0 0 2 1
2 1
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
yz yz
xz xz
E
EG
G
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Para as tensões no plano, temos dois modelos: Estado plano de tensões mecânicas (EPTM); Estado plano de deformações mecânicas (EPDM).
Relação entre Tensão e Deformação
0zz yz xz 20 e 0zz yz xz u
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Relação entre Tensão e Deformação
1 01
1 0
0 0 2 1
xx xx
yy yy
xy xy
E
Estado plano de tensões mecânicas (EPTM) consideramos:
2
1 0
1 01
10 0
2
xx xx
yy yy
xy xy
E
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 01
0 0 0 2 1 0 0
0 0 0 0 2 1 0
0 0 0 0 0 2 1
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
yz yz
xz xz
E
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Relação entre Tensão e Deformação
1 0
1 01 1 2
10 0
2
xx xx
yy yy
xy xy
E
Estado plano de deformações mecânicas (EPDM) consideramos:
1 0
11 0
0 0 2
xx xx
yy yy
xy xy
E
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
10 0 0 0 0
21 1 21
0 0 0 0 02
10 0 0 0 0
2
xx xx
yy yy
zz zz
xy xy
yz yz
xz xz
E
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Referêncas
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Kim, Nam-Ho & Sankar B.V., Introdução à Análise e ao Projeto em Elementos Finitos, 2009;
REDDY, J.N., Energy principles and variational methods in applied mechanics, Hoboken, EUA: Wiley, c2002. xvi, 591 p. ISBN 9780471179856;
http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-21-techniques-for-structural-analysis-and-design-spring-2005/
