António Arêde 101

11.1 DETERMINAÇÃO DE MATRIZES DE AMORTECIMENTO

11.1.1 Formulação Proporcional de Rayleigh

A matriz de amortecimento de Rayleigh assume a segui nte hipótese de proporcionalidade à massa e à rigidez:

KMC βα +=

Aplicando o duplo produto pelo modo de vibração gen érico n, vem:

mas ao nível do modo n, também se escreve:

( ) ( )nnn

n

T

nn

T

nn

T

nn

KMC

KMCC

βαφφβφφαφφ

+=⇒

+==

nnncr wMC 2, =ncr

nn C

C

,

=ξ

+=+=⇒

nn

n

nnn

n

nn

nn wM

K

wwM

K

wM

M βαβαξ2

1

22

+=∴ n

nn w

wβαξ

2

1

Casos particulares:

• Se β = 0, a matriz C é apenas

proporcional à massa logo ξ decresce

com a frequência ou com a ordem domodo, o que não tem contrapartida realdirecta.

• Se α = 0, a matriz C é apenas

proporcional à rigidez logo ξ cresce

com a frequência ou com a ordem domodo, também não é muito realista.

0123456789

10

0 20 40 60 80 100

w (rad/s)

%

0123456789

10

0 20 40 60 80 100

w (rad/s)

%

w

αξ2

1=

wβξ2

1=

11. ANÁLISE DINÂMICA POR INTEGRAÇÃO DIRECTA NO DOMÍNIO DO TEMPO

11. ANÁLISE DINÂMICA POR INTEGRAÇÃO DIRECTA NO DOMÍNIO DO TEMPO

FEUP - 2010

António Arêde 102

No caso geral em que α e β não sejam nulos, o ξ , tem uma variação mista

traduzida pela figura que apresenta um mínimo.

Os coeficientes α e β estabelecem-se então impondo os factores de

amortecimento ξ para dois modos com frequências wi e wj devidamente

escolhidas (frequentemente são as primeiras, não se ndo forçoso que assim seja). Se for então:

mm

nn

wwpara

wwpara

==

ξξ

Resulta o seguinte sistema, do qual se pode calcula r os valores de α e β :

==

⇒

=

⋅

K

K

m

n

m

n

mm

nn

ww

ww

ξξ

ξξ

βα

1

1

2

1

Se o factor de amortecimento for o mesmo ξ para os valores da frequências

escolhidas, vem então as expressões de α e β :

⇒

=

⋅

m

n

mm

nn

ww

ww

ξξ

βα

1

1

2

1

Conforme se observa na figura, fica garantido que o amortecimento está limitado por ξi e ξi, entre as frequências escolhidas.

Fora desse intervalo de frequências o factor ξ cresce amortecendo mais os correspondentes modos.

( )( )

+=+=

mn

mnmn

ww

wwww

ξβξα

2

2

0123456789

10

0 20 40 60 80 100

w (rad/s)

%

wn wm

ξ mξ n

ξ

+= ww

βαξ2

1

FEUP - 2010

António Arêde 103

11.1.2 Formulação Proporcional por Sobreposição de M atrizes Modais

Conforme se definiu: nnnn

T

nn KMCC ξφφ 2==

se se trabalhar com a matriz dos modos Φ [ ]KK

nφ=Φ

vem então a matriz diagonal ΦΦ= CC T* , onde

( )Nn CCCdiagC KK1* =

( ) 1*1 −−ΦΦ= CC TResolvendo em ordem a C , obtém-se

o que requer a inversão da matriz . ΦEste processo pode no entanto ser simplificado, com o seguinte raciocínio. Procedendo de igual modo para a massa modal e defin indo a correspondente matriz diagonal das massas modais:

ΦΦ= MM T* , onde ( )Nn MMMdiagM KK1* =

vem:

( ) MMMMM TT Φ=Φ⇒Φ=ΦΦΦ=Φ−−−− 1*111*

( ) ( ) ( ) ( ) 1*11*1 −−−−Φ=Φ⇒Φ=ΦΦΦ=Φ MMMMM TTTT

e igualmente:

Por substituição na expressão de C , resulta

( ) ( ) MMCMMC ΦΦ=−− 1**1*

expressão que se obtém muito facilmente porque a in versa de M* (matriz

diagonal) é imediata, podendo então escrever-se a s eguinte expressão que resulta da expansão da anterior e que permite espec ificar o amortecimento desejado nos diversos modos, mantendo a sua ortogon alidade em relação à

matriz C :

MM

wMC

N

n

T

nnn

nn

= ∑

=1

2 φφξ

FEUP - 2010

António Arêde 104

11.2 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRECTA NO TEMPO

11.2.1 Fundamentos

As equações de equilíbrio dinâmico são )(tpuKuCuM =++ &&& )(tpuKuCuM =++ &&&

Processos de integração numérica das equações diferenciais

Métodos de integração directa

Sobreposição modal e integração numérica de cada equação de equilíbrio modal desligada

Implícitos – obrigam à inversão da matriz de rigidez

Métodos de integração directa ���� baseiam-se na subdivisão do intervalo tF em intervalos ∆∆∆∆t nos quais se impôem certas aproximações às acelerações ou velocidades

• Conhecendodetermina-se

nn uu &, enu&& (em )nt 11, ++ nn uu & e

1+nu&& (em )tnt ∆+

Explícitos – não requerem inversão da matriz de rigidez

• Conforme o método, assim se estabelece a equação de equilíbrio no passo n

ou n+1 (ou outro), a fim de obter a resposta no passo n+1.

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António Arêde 105

11.2.2 Método das diferenças centrais

O equilíbrio é expresso por equações diferenciais q ue podem ser resolvidas pelo método das diferenças finitas, que se baseia na apr oximação das derivadas por meio de diferenças correspondentes a intervalos de tempo discretos.

[ ]ttttt uut

u ∆−∆+ −∆

=2

1& [ ]ttttt uu

tu ∆−∆+ −

∆=

2

1&

E escrevendo a equação de equilíbrio no instante t, obtém-se:

u t∆t- uttu ∆t+

∆t+ tttt-∆

u ∆t- t2

∆ tut+ 2

t-∆ t t ∆t+t

[ ]

[ ]

−∆

=

−∆

=

∆+∆+

∆−∆−

ttttt

ttttt

uut

u

uut

u

1

1

2

2

&

&

[ ]tttttt uuut

u ∆−∆+ +−∆

= 21

2&& [ ]tttttt uuu

tu ∆−∆+ +−

∆= 2

12

&&

tt

tttt

uCt

Mt

uMt

KpuCt

Mt

∆−

∆+

∆−

∆−

−

∆−−=

∆+

∆

2

11

2

2

11

2

22

tt

tttt

uCt

Mt

uMt

KpuCt

Mt

∆−

∆+

∆−

∆−

−

∆−−=

∆+

∆

2

11

2

2

11

2

22

Para iniciar o processo ( t=0) é necessário conhecertu ∆−

Considerando primeiro a aproximação da 1ª derivada:

- no instante t - antes e após t

[ ]22

1ttttt uu

tu ∆−∆+ −

∆= &&&&

Exprimindo a aceleração no instante t :

vem

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António Arêde 106

Conjugando as expressões de diferenças finitas de e obtém-se

0

2

00 2u

tutuu t &&&

∆+∆−=∆− 0

2

00 2u

tutuu t &&&

∆+∆−=∆−

Também usa a técnica das diferenças centrais para aproximar as velocidades eacelerações, usando dois valores anteriores, t-∆t e t-2∆t, e um posterior t+∆t,donde se pode obter as expressões:

~ tu&~ tu&&

Neste método é muito útil quando e são diagonais já que pode ser

obtido sem inversão de matrizes – Método Explícito.

Nessas condições, também não é necessário agrupar a s matrizes de rigidez dos vários elementos porque a sua contribuição no 2º me mbro pode ser obtida elemento a elemento.

Principal inconveniente: ⇒⇒⇒⇒ Método de estabilidade condicionada

M C ttu ∆+

critt ∆∆ <

11.2.3 Método de Houbolt

−+−∆

= ∆−∆−∆+ ttttttt uuut

u 22918116

1&

−+−∆

= ∆−∆−∆+ ttttttt uuut

u 22918116

1&

−+−∆

= ∆−∆−∆+∆+ ttttttttt uuuut

u 22452

1&&

−+−∆

= ∆−∆−∆+∆+ ttttttttt uuuut

u 22452

1&&

tttt

ttttt

uCt

Mt

uCt

Mt

uCt

Mt

puKCt

Mt

∆−∆−

∆+∆+

∆+

∆+

∆+

∆−

−

∆+

∆+=

+∆

+∆

222

22

3

11

2

34

35

6

112

tttt

ttttt

uCt

Mt

uCt

Mt

uCt

Mt

puKCt

Mt

∆−∆−

∆+∆+

∆+

∆+

∆+

∆−

−

∆+

∆+=

+∆

+∆

222

22

3

11

2

34

35

6

112

• Para o arranque pode usar-se outro algoritmo (ex.: diferenças centrais);

• É necessário inverter a matriz – Método implíci to

• ∆∆∆∆t pode ser qualquer ���� método incondicionalmente estável

• Fazendo nula a massa e amortecimento pode-se resolve r problemas estáticos

K

Exprime-se o equilíbrio no intante t+∆∆∆∆t para determinar resultando em:ttu ∆+

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António Arêde 107

11.2.4 Método de Wilson- θθθθ

Hipótese: Variação linear de acelerações entre t e t+θ∆θ∆θ∆θ∆t com θθθθ > 1.0.

u ∆t+ t θ∆ut+ t

ut

t+∆ tt t+θ∆tτ

Integrando, obtém-se

( )ttttt uut

uu &&&&&&&& −∆

+= ∆++ θτ θτ

Fazendo ττττ = θ∆θ∆θ∆θ∆t

( )tttttt uut

uuu &&&&&&&& −∆

++= ∆++ θτ θττ

2

2

( )ttttttt uut

uuuu &&&&&&& −∆

+++= ∆++ θτ θτττ

62

1 32

( )tttttt uut

uu &&&&&& +∆+= ∆+∆+ θθθ2

( )ttttttt uut

utuu &&&&& 26

22

+∆+∆+= ∆+∆+ θθθθ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Pode determinar-se ttu ∆+θ& e em função dettu ∆+θ&& ttu ∆+θ

O equilíbrio é estabelecido no instante t + θ∆θ∆θ∆θ∆t, o que requer projectar

para esse instante.t

p

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tpttptpttpptt

−∆++=∆+=∆+

θθθ

(6)

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António Arêde 108

• É necessário inverter a matriz K ���� Método implícito

• Não necessita de procedimento especial para o arranque

• Fazendo nula a massa e amortecimento pode-se resolve r problemas estáticos

• O procedimento é incondicionalmente estável quando θθθθ > 1.37 (de um modogeral faz-se θθθθ = 1.4)

Este método é análogo ao Método de Wilson- θθθθ, admitindo também umahipótese de variação linear das acelerações condicionada p or doisparâmetros, de tal forma que após integração corresponde às duasseguintes expressões para as velocidades e deslocamentos:

( ) tuuuu tttttt ∆

+−+= ∆+∆+ &&&&&& δδ1

( ) 25.0 tuutuuu ttttttt ∆

+−+∆+= ∆+∆+ &&&&& αα

11.2.5 Método de Newmark

⇒⇒⇒⇒ substituindo em (1), (2) e (3) para obtém-se

Substitui-setttttt puu

∆+∆+∆+ θθθ ,, &&& na equação de equilíbrio para t + θ∆θ∆θ∆θ∆t

⇒⇒⇒⇒ determina-se ttu ∆+θ , que, substituído em (5), permite obter

t∆τ =

ttu ∆+θ&&

ttu ∆+θ&& tttttt uuu ∆+∆+∆+ &&& e,

δ e α são parâmetros que podem ser determinados de modo a obter-seprecisão e estabilidade no processo de integração.

Newmark propôs:4

1;

2

1 == αδ

Exprime-se em função de e, impondo o equilíbrio noinstante t+∆t, e determina-se que permite conhecer toda a respostanesse instante e avançar para o seguinte.

tttt uu ∆+∆+ &&& e ttu ∆+

ttu ∆+

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António Arêde 109

– Leitura valores iniciais

– Leitura das características da solicitação

– Cálculo de matrizes M, C e K

– Definição da lei de variação das forças exteriores ou de ace lerograma

– Cálculo do valor das forças nodais em t0

– Cálculo da matriz de rigidez efectiva

Duas partes:

1 – Cálculos iniciais

( ) tAtAt

AA

At

At

At

A

∆δδ∆αδ∆

αδ

α∆α∆αδ

∆α

=−=

−=−=

−====

7654

32120

;1;22

;1

12

1;

1;;

1

CAMAKK eff 10 ++=

11.2.6 Algoritmo típico para Integração pelo Método de Newmark

000 , uuu &&& e

2 – Em cada intervalo de tempo

( ) ( )tttttttttteffuAuAuACuAuAuAMff &&&&&& 541~320,

++++++=∆+∆+

– Preparação do vector de solicitação efectiva

– Cálculo de , necessários para o passo seguinte

– Cálculo das tensões e esforços nos pontos que interessam

– Agrupamento das matrizes de rigidez (só no primeiro interva lo detempo) e resolução do sistema de equações.

ttefftteff fuM∆+∆+ =

,

1 – Cálculos iniciais

2 – Em cada intervalo de tempo determinam-se e prepara-se o vector solicitação para o instante t+2∆t

ttu ∆+

tttt uu ∆+∆+ &&& e

FEUP - 2010

FEUP - 2010 António Arêde 110

12.1 ASPECTOS BÁSICOS PARA SISTEMAS LINEARES

12.1.1 Relação excitação-resposta. Matriz das funções de transferência

Em sistemas de 1 g.l. foi obtida a seguinte relação no domínio da frequência:

)()()( wPwHwU ⋅= (1)

onde:

( ) dtetpwP twi

t

−∞

−∞=∫=)(

���� transformada directa de Fourier da solicitação p(t)

(2)

( ) dtetuwU twi

t

−∞

−∞=∫=)(

���� transformada directa de Fourier da resposta u(t)

(3)

wcimwkwwiww

kwH

+−=

+−= 22

12)(1

/1)(

ξ

���� função de transferência

(4)

que, uma vez calculadas as funções complexas do 2º membro, pe rmite obter afunção resposta do deslocamento no domínio do tempo através datransformada inversa de Fourier, dada por:

( ) ( )wde

wUtu twi

w∫∞

−∞==

π2(5)

A amplitude e ângulo de fase podem ser calculadas a través das expressões:

[ ] ( )

−−=

+−=

2222 )(1

2)(,

2)(1

/1)(

ww

wwatanw

wwww

kwH

ξϕξ

(6)

cujo traçado se ilustra na Figura 1 para vários nív eis de amortecimento:

12. ANÁLISE DINÂMICA COMPLEXA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

12. ANÁLISE DINÂMICA COMPLEXA NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

António Arêde 111

Os mesmos conceitos e relações similares podem ser estabelecidas para sistemas de N graus de liberdade, mas em termos mat riciais (ver Caetano, E., 1992, Tese de Mestrado em Estruturas de Eng.ª Civil , FEUP):

(7)

onde:

���� é um vector de N componentes, funções complexas que definem a resposta de deslocamentos no domínio da frequência, cada uma consistindo na transformada di recta de Fourier da resposta u i(t);

(8)

Porém, a obtenção desta matriz com recurso a esta ex pressão é muito pouco eficiente, devido à necessidade de inverter uma mat riz para cada frequência.

)()()(~~~

wPwHwU ⋅=

{ })()(~

wUwU i=

{ })()(~

wPwP j= ���� é um vector de N componentes, funções complexas que definem solicitação no domínio da frequência, cada uma das quais consistindo na transformada directa de Fourie r da solicitação p j(t);

)(~

wH���� é a matriz de NxN componentes, cada uma das quais ,

consistindo na função de transferência entre a soli citação no grau de liberdade j e a resposta (deslocamento) no grau de liberdade i.

( ))(wH ij

Formalmente, a matriz pode ser obtida por uma expressão análoga a (4): )(~

wH

( ) 1

~~

2

~~)(

−+−= CwiMwKwH

O pico do espectro de amplitude fornece a frequênci a natural da estrutura.

Este ângulo de fase ( φ) é o mesmo ( α) da resposta a solicitações harmónicas, amenos do sinal negativo que no caso de α não aparecia por ser no sentidooposto ao ângulo directo wt .

Figura 1 – Espectros de Fourier em amplitude (a) e fase (b) de u m sistemade 1 g.l. em função da frequência normalizada ( ) (extraído deCaetano, E., 1992, Tese de Mestrado em Estruturas de Eng.ª Ci vil, FEUP).

rfwfw →→ ;

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António Arêde 112

A matriz das funções de transferência pode ser obtida recorr endo ao métodode sobreposição modal que fornece um meio mais simples de det erminar cadaum dos termos daquela matriz.

De facto, considerando cada uma das N equações de e quilíbrio desligadas no espaço modal dadas por:

pode definir-se a função de transferência entre a s olicitação modal Fk(t) e a

resposta modal yk(t) por aplicação da expressão (4), substituindo cada u m dos

termos nela envolvidos pelos correspondentes ao mod o k. Ou seja, fazendo:

(9)( )tFyKyCyM kkkkkkk =++ &&&

22;;//; kkkkkkk wMKwmkwwrwwrww =→=ξ→ξ=→=→

a expressão (4), que também pode ser escrita do mod o seguinte:

wwiww

m

wwiww

kwH

ξξ 2/1

2)(1/1

)( 222 +−=

+−=

assume o aspecto que se segue para a resposta moda l yk(t) :

wwiww

M

wwiww

KwH

kkk

k

kkk

kyk

ξξ 2

/1

2)(1

/1)(

222 +−=

+−=

e representa a função de transferência associada ao modo k.

(10)

(11)

12.1.2 Obtenção da Matriz das funções de transferênc ia por sobreposição modal

A passagem desta função do espaço modal para o espa ço físico, é feita com recurso aos modos de vibração através da seguinte o peração matricial:

(12)~~~~

)()( TywHwH Φ⋅⋅Φ=

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António Arêde 113

que, graficamente, para um sistema de 2 g.l. aprese ntam o aspecto seguinte:

em que é uma matriz diagonal (NxN) com os N termos (complexas) na diagonal principal e a matriz consiste na matriz dos modos de vibração (cada coluna é um modo).

A expansão da forma matricial expressa por (11), dá então origem a cada uma das N2 funções de transferência em termos de quantidades modais, expressa da seguinte forma:

)(~

wHy

)(wHyk

~Φ

)(wH ij

(13)),,1(,),,1(2

)(1

22 NjNiwwiww

wHN

k kkk

jkikij KK ==

+−⋅

=∑= ξ

φφ

Tal como nos sistemas de 1 g.l., cada uma das funçõ es complexas fica caracterizada pela sua amplitude e ângulo de fa se dados por

)(wH ij

[ ] ( )

−−=

+−

⋅=

2222 )(1

2)(,

2)(1)(

k

kkij

kkk

jkikij

ww

wwatanw

wwwwwH

ξϕξ

φφ

Figura 2 – Espectros de Fourier em amplitude e fase de um siste ma de 2 g.l.em função da frequência ( ) (adaptado de Caetano, E., 1992, Te se deMestrado em Estruturas de Eng.ª Civil, FEUP).

fw →

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António Arêde 114

Os picos revelam as frequências associadas aos dois modos de vibração daestrutura (correspondem às ressonâncias) e a fase varia mai s ou menosabruptamente de 180º (conforme o valor do amortecimento), p assando por 90ºexactamente para a ressonância com cada uma das frequências estruturais.Este par de figuras designa-se habitualmente por gráficos d e Bode. O espectrode amplitudes também pode ser expresso em termos de coordena daslogarítmicas assumindo o aspecto:

Figura 3 – Espectros logarítmicos de Fourier em amplitude de um sistemade 2 g.l. em função da frequência ( ) (adaptado de Caetano, E., 1992,Tese de Mestrado em Estruturas de Engenharia Civil, FEUP).

fw →

A determinação de frequências próprias de vibração de cada u m dos modospode então ser feita com recurso ao traçado das funções de tra nsferência dosistema (as várias componentes da matriz ).

A obtenção experimental destas pode ser feita por diversos m étodos quevariam consoante se conhece apenas a solicitação (input-on ly methods) ouapenas a resposta (output-only methods) ou ambas (input-ou tput methods).

)(~

wH

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António Arêde 115

Há diversos métodos para fazer a identificação das caracterí sticas dinâmicasde sistemas de N g.l. (Caetano, E. 1992, Tese de Mestrado), de signadamente osmétodos de 1 g.l. e os métodos de N g.l., mas aborda-se aqui ape nas um dosmétodos do 1º grupo, o método da amplitude de pico (Peak-pick ing) porventurao de mais simples compreensão e mais divulgado, que tem apres enta bonsresultados quando as diversas frequências estão suficient emente afastadas.

12.2 APLICAÇÃO À IDENTIFICAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS D INÂMICAS DE SISTEMAS DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE

O método da amplitude de pico baseia-se na premissa de que na v izinhança deum modo, a resposta é predominantemente dominada por esse me smo modo(designado o modo ressonante).

Nesse caso, a Função de Resposta em Frequência (FRF), ou funç ão detransferência, pode ser aproximada por uma outra de um siste ma equivalentede 1 g.l. apenas com a mesma frequência e amortecimento do mod oressonante.

Na prática, isso significa dizer que, na vizinhança d e um modo de vibração k,

se admite a seguinte aproximação (Caetano, E. 1992, Tese de Mestrado):

(14)

que, para factores de amortecimento pequenos como os que exi stem emestruturas de engenharia civil, fornece uma via de estimar f requências,amortecimentos e componentes de deslocamento modais (ou se ja, os modosde vibração).

De acordo com (Caetano, E. 1992, Tese de Mestrado), esse processo envolve então as seguintes tarefas:

wwiwwwwiwwwH

kkk

jkikN

k kkk

jkikij

ξφφ

ξφφ

22)( 22

122 +−

⋅≅

+−⋅

=∑=

a) Determinar abcissas correspondentes aos picos de amplit ude das FRF,para estimar as frequências wk do sistema e registar os correspondentesvalores de amplitude.

b) Uma vez conhecidos os valores de w k e correspondentes amplitudes,adoptar o método da ½ potência (half-power bandwidth method ) já vistona resposta de um sistema de 1 g.l. a solicitações harmónicas para obtero amortecimento. O método consiste então em estimar as frequ ências w 1k

e w2k, em torno de w k, para as quais a respectiva amplitude é igual à depico dividida por .2

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António Arêde 116

(15)

da qual se pode tirar a amplitude máxima

O factor de amortecimento pode então ser estimado p or:

k

kkk w

ww

212 −≅ξ

c) Com base nos valores de wk e de ξk, pode-se estimar os valores das amplitudes e da configuração deformada relativa ao modo k. De facto, tirando partido de na ressonância com cada m odo se ter , a expressão (14) resulta em

ikφ jkφ

kww ≅

(16)22)(

kk

jkikkij

wiwH

ξφφ ⋅

≅

Os mesmos conceitos e relações similares podem ser estabelecidas para sistemas de N graus de liberdade, mas em termos mat riciais:

(17)

que é o valor que se mede no pico do gráfico da FRF em termos dedeslocamentos.

Pretendendo-se uma FRF em termos de acelerações, como é mais habitualobter a partir de análise experimental, aquela resposta com plexa pode serderivada duas vezes o que corresponde a multiplicá-la por ( iw )2; em termos deamplitude (em valor absoluto) corresponde a multiplicar ex pressão (17) por w2,obtendo-se então:

2max,max 2)(

kk

jkik

kijkij

wHwH

ξφφ ⋅

≅=

(18)

k

jkik

kk

jkikkacel

kij

w

wH

ξφφ

ξφφ

22 2

2

max,

⋅=

⋅≅

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António Arêde 117

ou seja, as diversas componentes i e j de um dado modo de vibração k,relacionam-se com o factor de amortecimento modal ξk e com as amplitudesmáximas da FRF que relacionam essas mesmas componentes ( i e j) através de:

(19)

Este procedimento sucessivo para as várias funções de trans ferência permiteobter as amplitudes das componentes modais.

O correspondente sinal, obtém-se observando o ângulo de fas e. Valores de α

próximos de 0º significam sinal positivo, enquanto que valo res próximos de180º significam valor negativo (ou o contrário no caso de se e star a utilizar aconvenção do ângulo ).

(21)

acel

kijkjkik H

max,2ξφφ ≅⋅

Tratando- se da FRF dum dado g.l. i nele próprio ( i = j), resulta:

(20)acel

kiikik H

max,2ξφ ≅

que pode ser obtida por leitura do pico no gráfico de correspondente à frequência wk.

Os restantes valores , podem ser obt idos da leitura na correspondente função de transferência , por leitur a do pico associado à frequência wk, e recorrendo a (19) e (20) calcular:

acel

ii wH )(

)( ijjk ≠φacel

ij wH )(

ik

acel

kijk

jk

H

φ

ξφ max,

2≅

ϕ

FEUP - 2010

António Arêde 118

13. RESPOSTA A ACÇÕES SÍSMICAS DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

13. RESPOSTA A ACÇÕES SÍSMICAS DE SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE

13.1 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO

A generalização da equação de equilíbrio dinâmico de sistem as de 1 g.l.sob solicitação sísmica, agora para sistemas de N g.l. (por e xemplo de umpórtico com massa concentrada nos pisos) conduz a

0=++ uKuCuM t&&& 0=++ uKuCuM t&&&

e atendendo a que

gt uuu &&&&&& 1+=

effpuKuCuM =++ &&&Resulta:

e 1 representa uma matriz coluna de valores

unitários (influência pseudo-estática).

gt uuu 1+=

e que

Se além da componente horizontal o movimento da base tiver co mponentevertical simultânea, há que considerar também graus de libe rdade verticaisna estrutura onde se desenvolvem acelerações e forças de iné rcia verticais.

Nesse caso, o vector dos deslocamentos e acelerações totais escrevem-se:

ZX gZgXt uuuu 11 ++=

ZX gZgXt uuuu &&&&&&&& 11 ++=

onde a componente horizontal é considerada na direcção X e a vertical nadirecção Z, surgindo então as matrizes coluna seguintes:

� 1X com valores unitários nos g.l. horizontais ( X) e nulos nos restantes

� 1Z com valores unitários nos g.l. verticais ( Z) e nulos nos restantes

ZX gZgX uMuMuKuCuM &&&&&&& 11 −−=++

Resulta então a seguinte equação, apenas modificada no 2º me mbro:

onde as matrizes e vectores incluem agora novos termos para os g.l. X e Z.

geffuMp &&1−=em que

FEUP - 2010

António Arêde 119

13.2 ANÁLISE MODAL

em que, conforme se tem uma ou duas componentes de acção sísmi ca, seobtém

efnnnnnnn FyKyCyM =++ &&&

efnnnnnnn FyKyCyM =++ &&&

De acordo com o que foi visto no método de sobreposição modal, a

equação de equilíbrio dinâmico associada ao modo de vibraçã o n é

gT

n

efn u

nL

MF &&

3211φ=

sendo Ln o Factor Modal de Excitação Sísmica para o modo n (com os

respectivos sub-índices X e/ou Z conforme as componentes da acção.

gngn

nnnnnn uu

M

Lywywy

n&&&&&&& ΓΓΓΓ==++ 22ξ

Z

Z

X

X

gZT

ngXT

n

efn uMuMF

nLnL

&&43421

&&43421

11 φφ +=ou

Dividindo pela massa modal, obtém-se

n

nn M

L=ΓΓΓΓcom

onde Γn representa o Factor de Participação Modal da acção sísmica no

modo n.

Novamente, no caso de duas componentes da acção, virá:

gngnnnnnn uuywywyZXn&&&&&&& ΓΓΓΓΓΓΓΓ +=++ 22ξ

nnn MLXX

=ΓΓΓΓ

com

nnn MLZZ

=ΓΓΓΓ

Factor de participação modal da acção

sísmica X no modo n

Factor de participação modal da acção

sísmica Z no modo n

Estes factores de participação modal (adimensionais) fornecem já umaindicação da contribuição de cada modo na resposta sísmica, pelo que,uma análise do valor relativo entre eles (no conjunto de todo s os modos)permite fazer uma selecção prévia de quais podem ser desprezáv eis.

13.2.1 Resposta e parâmetros modais básicos

FEUP - 2010

António Arêde 120

A resolução do sistema de um grau de liberdade sujeito a uma ac eleraçãosísmica na base

guuwuwu &&&&& =+ξ+ 22

conduziu a Sd(w,ξ), que representa o deslocamento relativo máximo que

pode ser obtido no espectro de resposta.

Assim, a equação para o modo de vibração n conduzirá ao valor máximo

da correspondente coordenada modal dado por

que permite então obter o vector dos deslocamentos modais má ximos, bemcomo o das correspondentes pseudo-acelerações totais dada s por

( ) ( )nnan

nndnn wSw

wSyn

ξξ ,,2max,

ΓΓΓΓΓΓΓΓ ==

O processo mais corrente para obter a máxima resposta total a partir dosvalores espectrais é calcular a raiz quadrada da soma dos qua drados dasrespostas modais, designado de CQS (Combinação Quadrática Simples) oude SRSS (em inglês). A aplicação a uma dada componente j do vector dosdeslocamentos conduz à seguinte expressão do seu valor máxi mo absoluto:

∑=

=++=N

njnjNj2j1j uuuuu

1

2max,

2max,

2max,

2max,max, K

max,max, nnn yu φ= ( )nnannnnnt wSywun

ξφφ ,max,2

max,ΓΓΓΓ==&&

O mesmo processo deve ser adoptado para toda e qualquer quant idade Q

cujo valor máximo Qn,max no modo n, se pode obter a partir do vector de

deslocamentos (ou acelerações) máximos do mesmo modo.

Tal quantidade Q pode ser uma reacção, um esforço, um deslocamento

relativo, uma rotação, etc., e o correspondente valor máxim o Qmax é obtido

segundo a mesma regra adoptada para os deslocamentos, i.e.:

∑=

=++=N

nnN21 QQQQQ

1

2max,

2max,

2max,

2max,max K

13.2.2 Combinação de respostas modais

FEUP - 2010

António Arêde 121

Alternativamente, quando as frequências dos modos não estã o bemafastadas pode ser usado o Método da Combinação Quadrática C ompleta,(CQC) válido para qualquer relação de frequências.

Para a quantidade genérica Q cujos valores máximos nos modos n eeee m, são

Qn,max e Qm,max , respectivamente, o valor máximo final vem então dado por

Este método é aplicável sempre que as frequências próprias d os modos devibração que contribuem de forma significativa para a respo sta estiverembem separadas (i.e., se a relação entre duas quaisquer frequ ências estiverfora do intervalo 0.67 a 1.5).

Caso não seja aplicável aquele método, deve-se adicionar as respostasmodais correspondentes às frequências que não estão bem sep aradas, e oresultado ser sobreposto quadraticamente às restantes com ponentes modaispara depois se obter o valor máximo de novo pela raiz quadrada .

Se, por exemplo f2 e f3 não estão bem separadas, virá então para a

componente j dos deslocamentos:

maxmax1 1

max,max,max QQQQQ TN

n

N

mmnmn ρρ == ∑∑

= =

onde Qmax é o vector de todos os valores máximos modais Qn,max e em que o

coeficiente de correlação ρnm (termo genérico da matriz de correlação ρ ), no

caso geral de amortecimentos diferentes ξn e ξm nos modos n eeee m, é dado por

( )( ) ( ) ( ) m

nnm

mnnmnmmnmnnm

nmmnmnmnnm w

wr

rrrr

rr=

++++−

+= ;

4141

8222222

23

ξξξξξξξξ

ρ

( ) 2max,

2max,4

2max,3max,

2max,max, jNjjj2j1j uuuuuu K++++=

e o mesmo para a quantidade genérica Q cujo valor máximo final Qmax:

( ) 2max,

2max,4

2max,3max,

2max,max N21 QQQQQQ K++++=

Quando se considera igual ξ em todos os modos o termo ρnm vem então:

( )( ) ( ) mn

nmnmnm

nmnmnm

rrr

rr ρξ

ξρ =++−

+=2222

232

141

18

FEUP - 2010

António Arêde 122

EXEMPLO: Continuação do problema do capítulo anterior

e) Determinação das massas generalizadas

f) Determinação dos factores modais de excitação sísmi ca

g) Valores do espectro de resposta (seg. RSA)

Seja ξ = 5% ; Terreno tipo 2 ; Acção Sísmica tipo I; Zona Sísmica D

{ } 57.22618.0

1

33.160

033.16618.01

111 =

=φφ= MM T

{ } 57.221

618.0

33.160

033.161618.0

222 =

−

−=φφ= MM T

{ } { } 42.261

1

33.160

033.16618.011

11 =

=φ= ML T

{ } { } 24.61

1

33.160

033.161618.01

22 =

−=φ= ML T

22

21

/4000.7

/3107.2

2

1

scmSHzf

scmSHzf

a

a

=→=

=→=

h) Coordenadas modais

my 00388.03.0757.16

1.3

57.22

42.2621 =××=

my 00017.03.086.43

0.4

57.22

24.622 =××=

coef. de sismicidade da zona (0.3)

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António Arêde 123

i) Deslocamentos modais

=φ=00240.0

00388.0111 yu

1º Modo 2º Modo

−

=φ=00017.0

000106.0222 yu

i) Deslocamentos modais

j) Deslocamentos máximos

mu 00388.0000106.000388.0 22max1 =+=

mu 00241.000017.00024.0 22max2 =+=

l) Forças modais por andar

kNuKfs

=

−−

==04.11

78.17

00241.0

00388.0

2400012000

12000120001

1

kN

SM

LM

w

S

M

LwMywMf

aS

aa

s

=×××

=

φ=φ=φ=

99.10

78.173.01.3

57.22

42.26

618.0

1

33.160

033.16

1

111

112

11

11

2111

21

43421

ou, recorrendo às forças de inércia

Operando de forma análoga para o 2º modo, vem kNfs

−

=4.5

336.32

kNR 89.28064.282.28 22max =+=Corte Basal Máximo:

1º MODO 2º MODO

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António Arêde 124

13.3.1 Decomposição modal da solicitação

13.3 FACTORES DE CONTRIBUIÇÃO MODAL

é um padrão de forças (invariável no tempo)

O vector de forças é um vector do tipogeffuMtp &&1)( −= )()( tfstp =

s

)()( tutf g&&= é a variação no tempo das forças efectivas

Tal como se fez para os deslocamentos decompostos em numa sér ie devectores expressos na base dos modos de vibração através de:

)(tu

∑∑==

==N

nnn

N

nn tytutu

11

)()()( φ

Também se pode decompor as forças p(t), ou melhor, a distribuição s, em

termos das distribuições de forças de inércia de cada modo.

Para cada modo, já se viu que as forças de inércia são proporci onais a Mφn

,portanto o que se pretende é então escrever:

∑∑==

==N

mmm

N

mm Mss

11

φα

onde os coeficientes de proporcionalidade α se obtêm multiplicando a

expressão acima por φn e aplicando a propriedade da ortogonalidade.

Resulta então:

n

T

n

n

T

n

nn

T

n

nnnM

MsM

M

sMs

φφφφ

φφ

φα ===

m

T

nnn

T

nn

N

mm

T

nmT

n M

sMMs

φαφφαφφαφ =⇒==∑

=1

e assim, a componente (projecção) sn do vector de forças s no modo n (i.e.,

com o mesmo padrão de distribuição das forças de inércia do mo do n), vem

dado por:

expressão que é independente da forma de normalização dos mo dos (porque

qualquer factor de escala que afecte o modo φn cancela-se entre o numerador

e o denominador), o mesmo já não acontecendo com o factor αn ....

onde

e

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António Arêde 125

nn

T

nn M

MΓ==

1φα

Particularizando agora o vector de forças s para o caso da acção sísmica (e

abstraindo do sinal - ), então o factor αn vem dado por:

o que significa que a componente modal do vector das forças ef ectivas seobtém por:

= factor de participação modal

)()(,

tuMtpMs gnneffnnnn &&φφ ΓΓ =⇒=

gnnnnnn uywywyn

&&&&& ΓΓΓΓ=++ 22ξ

tal que ∑∑==

==N

ngnn

N

neffneff

tuMtptp11

,)()()( &&φΓ

Também já se viu que a equação de equilíbrio desligada no modo n é:

pelo que, se for d(t) a resposta de um oscilador de 1 g.l. com frequência

w=wn e amortecimento ξ= ξ n, quando solicitado por na base, a sua

equação de equilíbrio dinâmico é dada por:)(tug&&

)()()()()(2)( 2 tdtytutdwtdwtd nng Γ=⇒=++ &&&&& ξ

Note-se a semelhança com o que se fez com os deslocamentos em q uetambém:

∑=

=⇒=N

nnnn tututytu

1

)()()()( φ

e portanto a resposta modal em deslocamentos no modo n escrev e-se:

)()()(2

taw

tdtun

n

n

nnn φφ ΓΓ ==

em que )()( 2 tdwta n= é a pseudo-aceleração.

As correspondentes forças estáticas equivalentes no modo n são dadas por:

)()()()()()( 22 tastdwMtdMwtdKtuKtf nnnnnnnnnnn===== φφφ ΓΓΓ

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António Arêde 126

Se a análise for feita em termos com recurso a espectros de res posta, resultaentão (conforme já obtido) a seguinte resposta máxima no mod o n:

e as correspondentes forças estáticas equivalente máximas são

( )nndnnn wSu ξφ ,max, Γ=

( ) ( )nnannndnnnnwSswSwMf ξξφ ,,2

max,==Γ

Para os casos em que seja legítimo a aproximação de massas concentradasnos nós (ou em correspondência com os g.l considerados) de mo do a obteruma matriz de massa diagonal , mas com particular interesse para asestruturas porticadas em que a massa está concentrada nos pi sos, adecomposição modal apresentada é particularmente útil.

No caso dos pórticos planos analisados apenas com 1 g.l. por p iso (paraacção sísmica horizontal) as distribuições modais de forças estáticas

equivalentes (proporcionais a sn ) e dos deslocamentos de piso permite obter

directamente parâmetros de resposta modais importantes.

Nestes casos (pórticos planos) tem-se: hnnn

hX LLLe

X=≡=≡ 111

E de acordo com a figura seguinte (adaptada de Fig.13.2.2, Ch opra)

é possível definir os seguintes valores modais estáticos eq uivalentes:

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António Arêde 127

Corte basal ( Vb)

Momento derrubador na base ( Mb)

hnnn

Tnn

TN

jnj

stnb LMssV ΓΓ ====∑

=

φ111

,,

θnnn

TN

jnjj

stnb LshshM Γ===∑

=1,,

em que: { } hMLehh T

nnNjj φθ === ,,1K

���� factor modal de excitaçãosísmica para momentosderrubadores

Corte sob o piso i (Vi)

Momento derrubador sob o piso i (Mi)

∑=

=N

ijnj

stni sV ,,

( )∑=

−=N

ijnjij

stni shhM ,,

Deslocamento de piso i (ui) nin

nstni w

u ,2, φΓ=

Deslocamento relativo entre pisos i (∆i) )( 1,,2, −−=∆ ninin

nstni w

φφΓ

Todas estas grandezas são designadas por modais estáticas e quivalentes,de tal forma que multiplicadas pela pseudo-aceleração a(t) no tempo oupelo valor espectral Sa, conduzem ao valor dinâmico pretendido.

De forma idêntica podem ser definidos os deslocamentos está ticos modaisde piso e os correspondentes deslocamentos relativos entre pisos (drift)que constituem uma medida importante da resposta cinemátic a e dospossíveis danos introduzidos na estrutura.

Identicamente devem ser multiplicadas pela pseudo-aceler ação a(t) notempo ou pelo valor espectral Sa, para obter o valor dinâmico pretendido.

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António Arêde 128

13.3.2 Massa e altura modais efectivas

O valor estático equivalente do corte basal ( Vn,b) no modo tem um significado

particular

( ) *

2

, nn

hnh

nn

hnh

nnstnb M

M

LL

M

LLV ====Γ

Tem unidades de massa, razão por que se denota por , e designa-s e demassa modal efectiva por ser a massa do sistema que realmente é mobilizadano modo n.

Tem a particularidade de ser independente da normalização a doptada para osmodos, atendendo a que se pode exprimir da forma seguinte ond e qualquerfactor de escala no modo não afecta o resultado:

*nM

n

T

n

T

n

T

nn

M

MMM

φφφφ 11

* =

Além disso, tratando-se de massas concentradas em correspo ndência comcada g.l. j (o piso j neste caso), a soma das massas modais efectivas dá amassa total do sistema, conforme se comprova a seguir.

De facto partindo novamente da expressão: ∑=

Γ==N

nnn MMs

1

1 φ

e atendendo a que, sendo diagonal a a matriz de massa, o produt o M1corresponde a um vector com as massas dos pisos, a pré-multip licação daquela

expressão por 1T resulta na massa total da estrutura. Vem então:

∑∑∑===

====N

n

hnn

N

n

T

nn

N

nn

Tn

Tt LMMMM

111

1111 ΓΓΓ φφ

Ou seja: ∑∑∑===

=⇔=N

nn

N

n t

nN

nnt m

M

MMM

1

*

1

*

1

* 1

onde representa a fracção (relativa, e portanto adimension al) da massa totalque efectivamente se mobiliza no modo n.

*nm

Percebe-se assim a importância da massa modal efectiva (abs oluta ou relativa)de cada modo, que dá uma medida eficaz para determinar o nº de m odos aincluir na análise de forma a garantir que toda a massa (e port anto as forças deinércia mobilizadas) do sistema é incluída a menos de uma tole rância (ex. 5%)

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António Arêde 129

Assim, o nº de modos (J) a incluir de forma a que o corte basal venha

traduzido correctamente a menos de e=5%, será o que satisfaz a condição:

hn

nhnn

nn

n

nnnnn

stnbnn L

L

L

L

M

LhLMhM

θθθθ ===⇒==

Γ

ΓΓΓ

**

,**

95.011

* =−≥∑=

emJ

nn

*nM

Tal como a massa modal efectiva, a altura modal efectiva tamb ém éindependente da forma de normalização dos modos, já que se pod e escreverna forma expandida:

1*

M

hM

L

Lh

T

n

T

nhn

nn φ

φθ

==

Na prática, e , correspondem à massa e à altura do oscilador de 1 g.l.

que tem a mesma frequência e amortecimento do modo n e que gera a mesma

resposta modal:

*nM *

nh

*nM

);(

);(**

,

*,

nnannnb

nnannb

wShMM

wSMV

ξ

ξ

=

=

nbM ,

);( nna wS ξ

nbV ,

*nh

Outro conceito interessante relaciona-se com o valor estát ico equivalente domomento derrubador modal na base.

Um vez que representa uma medida da massa (e das forças de inér cia)

envolvidos no modo n, a altura efectiva a que deve ser considerada aquela

massa efectiva é a que originar o mesmo momento derrubador mo dal.

Ou seja:

*nh

*nM

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António Arêde 130

13.4 MÉTODO DE RAYLEIGH

Considere-se na análise apenas o 1º modo e admita-se que pode ser obtidopelo seguinte processo:

gmF ii =

Solicitação gravítica na horizontal

=→=

Nd

d

d

dFdK...

2

1

Resulta então em que1

121 M

Kw = dMdMdKdK TT == 11 e

Mas: { } ∑=

==N

iii

N

NT dF

F

F

F

dddFdK1

2

1

211 ......

{ } ∑=

=

⋅=

==N

iii

NN

N

NN

TT dF

dF

dF

dF

ddd

d

d

d

m

m

m

gddMgdMg1

222

11

212

1

2

1

1 ...,,,MMO

( )ξπ

,2

1

1

2

1

1

2

1 wSSdF

dFgf

dF

dFgw aaN

i ii

N

i ii

N

i ii

N

i ii =→=⇒=∑∑

∑∑

=

=

=

=

A aceleração modal máxima vem então

g

dFM

g

dFMdLS

M

Ly

N

i ii

N

i iiTa

∑∑ == ==== 1

2

11

11

1max,1 1 comcom&&

g

w

dF

dFSy N

i ii

N

i iia

T2

1

2

111max,1 ===⇒∑∑

=

=ΓΓΓΓΓΓΓΓ com&&

F1

F2

F3

F4

d

4d

d3

2

d1

Donde:

e:

(Espectro de Resposta)

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António Arêde 131

Donde a componente j do vector aceleração devida ao 1º modo vem

E as correspondentes forças de inércia vêm dadas po r:

jja

ja

jTjjj dFw

g

Sdw

g

SmumF 2

22

max,1max,1 === &&

Estas forças (depois de divididas pelo coeficiente de compo rtamento) sãoaplicadas na estrutura para obter a sua resposta aproximada à acçãosísmica, verificando-se que este método conduz a resultado s que comparambem com os obtidos pela análise modal, sobretudo para estrut uras quesejam essencialmente dominadas pelo 1º modo de vibração.

Resolução do problema em estudo pelo método de Rayl eigh

=0266.0

0399.0d

160 kNd1

160 kN

= 0.0399

= 0.02662d

918.2822

==∑∑

∑∑

i

i

ii

ii

d

d

dF

dF 2scm/310Hz7.2918.288.92

1 =→=×= aSfπ

rad/s83.16=w kN68.11

52.17

0266.0

0399.0

8.9

16083.16

8.9

3.01.3 2

=

×××=F

A resposta da estrutura à acção sísmica obtém-se determinando os deslocamentos e esforços devidos a esta acção.

11.68 kN

17.52 kN

jaT

jjajTT

j dg

SwudSdyu

2

max,11max,1max,1 === &&&&&& ouΓΓΓΓ

Trata-se de um método muito prático, facilmente pro gramável numa simples folha de cálculo e que só requer um programa de aná lise estática para obter os deslocamentos na direcção em que são aplicadas a s forças gravíticas.

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António Arêde 132

13.5 MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISE ESTÁTICA

Tal como o método de Rayleigh considera-se na análise apenas o 1º modo,mas assumido com uma configuração linear (triangular inver tida) que éuma aproximação aceitável apenas para estruturas regulare s em altura.

Partindo desta hipótese e admitindo que o corte basal, que eq uilibra aresultante de todas as forças de inércia em altura, é imposto como umafracção β do peso total da estrutura, é possível então estabelecer oseguinte raciocínio:

h1

ih

hn

mi

mnnu

n-1u

ui

u

F1

Fi

2F

Fn-1

nF

Vb

⇒= nn

ii u

h

hu &&&&

==

n

niiiii h

uhmumF

&&&&

∑∑∑===

=

==

n

iii

n

nn

i n

nii

n

iib hm

h

u

h

uhmFV

111

&&&&

∑∑==

=⇒n

ii

n

iii

n

n mghmh

u

11

β&& ( )∑

∑

=

==

∴

n

iii

n

ii

n

n

hm

mg

h

u

1

1β&&

declive da deformada

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= == n

iii

n

ii

iin

iii

n

ii

iii

hG

GhG

hm

mghmF

1

1

1

1 ββ

∑=

⋅=n

iib mgV

1

β

em que o corte basal Vb se escreve:

Resulta então:

Como se admite que o corte basal é uma fracção do peso total:

Distribuição de forças proporcionais

ao peso Gi do piso e

à respectiva altura hi.

FEUP - 2010

António Arêde 133

14.1.1 MÉTODO PADRÃO

Estrutura Tridimensional, Análise Dinâmica e Não-Li near

Há diversos métodos com diferentes graus de rigor, generali dade e decomplexidade.

Método Simplificadode Análise Estática

Métodos Gerais e“Exactos”

14.1 METODOLOGIAS CONTEMPLADAS

Pouco prático, ficando reservado a estudos mais específico s,estruturas menos correntes, calibração de parâmetros e mét odos

gu&&

uF

u

40%

60%

Redução para 60%

Redução para 40%

Elástico

Fe,máx.

Desde que a estrutura tenha DUCTILIDADE adequada, podem obter-semenores esforços, ou melhor: podem ser adoptadas menores forças sísmicasde dimensionamento.

14. DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO SÍSMICA SEGUNDO O RSAEEP

14. DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO SÍSMICA SEGUNDO O RSAEEP

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António Arêde 134

Metodologia adequada para projecto, correntemente implem entadaem programas de cálculo automático comerciais.

Metodologia também adequada para projecto, mas mais simpli ficadae prática quando não se pretende fazer uma modelação 3D que é d emais difícil interpretação e sistematização para o dimensio namento.

Reservado para estruturas regulares em altura, claramentedominadas pelo 1º modo de vibração..

Muito limitado, fortemente penalizador do dimensionamento e a usarapenas em casos complexos mas cuja análise sísmica não seja u mfactor de grande importância.

Em qualquer dos métodos existem um limites para o efeito da acção dossismos, de modo a garantir resistências adequadas a forças h orizontais.

Vb (θ) – máxima força de reacção horizontal na direcção θ (ex: X ou Y)

P – peso da estrutura; Vb – mínimo de Vb (θ)

αδ 04.0≥=P

Vb

δαα<δ 04.004.0 por resultados rmultiplicaSe

Limite Inferior

α<δ 16.0

αδα>δ 16.016.0 por resultados os se-dividir podeSe

desde que a estrutura apresente uma certa ductilidade.

Limite Superior

As massas a considerar na análise correspondem ao valor médio das cargaspermanentes + valor quase-permanente das cargas variáveis .

As características de rigidez e amortecimento devem corres ponder a valoresmédios das propriedades dos materiais.

14.1.2 Estrutura Tridimensional, Análise Dinâmica , Comportamento Linear e Coeficientes de Comportamento

14.1.3 Estruturas Planas, Análise Dinâmica, Comporta mento Linear, Coeficientes de Comportamento e Correcção de Efeito s de Torção

14.1.4 Método Simplificado de Análise Estática

14.1.5 Método de Recurso 0.22α Fi

14.2 ASPECTOS GERAIS COMUNS

FEUP - 2010

António Arêde 135

i) A distribuição de massa e de rigidez em planta deve ser propor cionada

Condições de Aplicação

Cg

RC

< 0,15a

a

< 0,15b b

ii) Distribuição vertical de massa e de rigidez sem grandes vari ações

Centro de Rigidez de um piso (C r)Ponto no qual a aplicação de umaforça horizontal, origina apenastranslação na direcção da força(não provoca rotação).

iii) Malha ortogonal e pouco deformável

pisos de nº ou )(8

5.0 =>> nHzn

fHzf %5.11,

1 <−

−

−

ii

ii

h

dd

iv) Pisos indeformáveis no seu plano (para boa repartição da acç ão peloselementos resistentes verticais – pórticos e7ou paredes)

A acção do sismo é quantificada através do corte basal impost o:

ηβα=β 0

Coeficiente Sísmico

Coeficiente Sísmico de Referência

Coeficiente de Comportamento

F xI~

yR

~ I yF

xR

RC

1 2 3 4 5 6 7 f(Hz)

0.04 α < β < 0.16 α

A S1

S2A

β0

200

400

β0a

S ,ξ = 5 %

A distância entre os centros de rigidez e demassa (onde actuam as forças de inércia),deve ser limitada a 15% da dimensão dodesenvolvimento da estrutura.

Espectro Envolvente

PVb β=

14.3 ASPECTOS PARTICULARES do Método Simplificado de Análise Estática

FEUP - 2010

António Arêde 136

Valores e Distribuição das Forças Estáticas

Estimativa (grosseira) da Frequência:

Hzh

bf

Hzn

f

nHzn

f

6

16

)(12

=

=

==

Parede Tipo Estrutura

Parede-Pórtico Tipo Estrutura

pisos de nº Pórtico Tipo Estrutura

∑

∑

=

== n

jjj

n

jj

iik

Ph

P

PhFi

1

1β

Estas forças são aplicadas, em cada piso i, com as seguintes excentricidadesrelativas ao centro de massa:

Quando há simetria e distribuição uniforme de rigidez em pla nta pode afectar-seos resultados do seguinte factor de correcção dos efeitos de torção

a

x6.01+=ξ

ae

abe

i

ii

05.0

05.05.0

2

1

=

+=

a

b i

CRie2i 1ie

Cgi

iF

onde x é a distância do elemento em estudo ao centro de massa (ou de ri gidez,

uma vez que ambos coincidem).

As forças F ki nos pisos devem ser consideradas todas com as excentricidad es e1i

ou todas com e 2i, conforme o que for mais gravoso para o elemento em estudo.

� Proporcionais ao peso Pi de cada piso

� Proporcionais à altura hi de cada piso

FEUP - 2010

António Arêde 137

Significado das Excentricidades Adicionais das forças sís micas (RSA)

0.05 a – Parcela que se destina a atender à componente da rotação do sismo(ou melhor à diferente intensidade com que actua nos diverso selementos verticais da base do edifício ao longo da direcção normalà da acção sísmica), e ainda ao facto de, havendo comportamentonão linear , se gerarem assimetrias de rigidez porque um dos ladospode entrar primeiro em regime não-linear do que o seu simétr ico,ficando portanto com menor rigidez.

No caso de haver simetria estrutural e de massa, Cr = Cg , asexcentricidades coincidem em valor (mas não em sentido, pel o quehá que considerar ambos)

aeabe iii 05.0//05.05.0 21 =+=

2ie 1iegicric

ib

O factor de correcção para efeitos de torção em estruturas si métricas comrigidez uniformemente distribuída ( ξ = 1+0.6 x/a) pode ser deduzido a partir dacondição de que |e 1i| = |e2i| = 0.05a e da distribuição uniforme de rigidez (ouseja, da distribuição uniforme de forças resistentes ao nív el do piso).

0.5 bi – Parcela para atender à incerteza na determinação da posiçã o docentro de rigidez devido à natureza dinâmica do problema que n arealidade inclui diferentes modos na resposta, aos quais es tãoassociadas forças distintas, tornando muito difícil (porv enturaimpossível mesmo) de nos casos correntes definir uma posiçã oúnica do centro de rigidez.

No método simplificado estático e no de Rayleigh isto é possí velporque só há uma distribuição de forças assumida, mas a incer tezana posição “real” do centro de rigidez permanece, razão pela q ualnestes dois métodos que envolvam apenas análise plana (sem u mmodelo 3D da estrutura onde a distribuição de rigidez e massa jáentra automaticamente) se torna necessário esta “margem desegurança” na posição do centro de rigidez.

FEUP - 2010

António Arêde 138

14.4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO DE RAYLEIGH E DO MÉTODO SIMPLIFICADO DE ANÁLISE ESTÁTICA

Dimensões:

Coeficientes de comportamento:

Terreno tipo I

Local: Porto ( α = 0.3)

Vigas: b = 0,2m; h = 0,5m

Pilares: b = 0,35m; h = 0,35m

(até ao 3º piso)

b = 0,25m; h = 0,25m

(restantes pisos)

E = 21.0 GPa

Cargas

G = 5,5 kN/m 2 ; Q = 2,0 kN/m 2

Peso próprio de vigas e pilares:

1.0 kN/m 2

Cargas permanentes por piso:

(8x15,0)x(5,5+1,0) = 780 kN

Sobrecargas por piso:

8,0 x 15,0 x 2,0 = 240 kN

Gi = 780 + ψ2 x 240 =

= 780 + 0,2 x 240 = 828 kN

5.0m5.0m5.0m

4.0

m4

.0m

3.0

m3

.0m

3.0

m3

.0m

4.0

m

Esforços: η = 2,5

Deslocamentos: η = 1,0

Estrutura Porticada Simples – Análise Sísmica na maior dire cção (simétrica)

FEUP - 2010

António Arêde 139

Na zona D, em geral, a maior força sísmica não ultrapassa 10% da scargas gravíticas.

7.92

24.24

12.74

16.34

21.56

Máximo deslocamento horizontal = 0.71 x 2.5 = 1.775 cm

Momento nos pilares extremos = 44.46 kN.m

Momento nos pilares interiores = 49.77 kN.m

Soma das reacções horizontais = 82.8 kN

24.24 / 828 = 0.03 ; 21.56 / 828 = 0.026 ; 16.34 / 828 = 0.020

12.74 / 828 = 0.015 ; 7.92 / 828 = 0.010

RAZÃO ENTRE AS CARGAS GRAVÍTICAS E ACÇÕES HORIZONTAIS

Hz04.164.422

1

2

12

===∑∑

ππ ii

ii

dF

dFgf

14.4.1 Análise Dinâmica (Método de Rayleigh)

2m/s48.1=ISa 2m/s84.1=IISa

098.02

2

=ηg

wSa

828

828

828

828

828828

828

828

828

828

.0975

.1569

.2013

.2987

.2656

80.74

129.92

166.7

219.9

243.3

844.6 194.1

7.88

20.38

33.56

58.4

73.88

7.92

12.74

16.34

21.56

24.24

iia dFg

wS

η2

2

ii dF 2ii dFiF id

22 m/s55.03.0m/s84.1 =×=α×= IIa SaS

0.71 cm

49.7744.46

αα 16.0)5*828/(8.8204.0 <<Verificação de corte basal mínimo e máximo:

FEUP - 2010

António Arêde 140

Hz4.25

1212 ===n

f

14.4.2 Análise Estática (método simplificado)

14.4.2.1 Usando a estimativa do R.S.A. para a frequência

26.017.00 == fβ 031.05.2

3.026.00 =×==

ηαββ

048.016.0031.0012.004.0 =<<= αα

( )( ) ii

ii

iiiki hh

Gh

GGhF 567.2

16131074

11111828031.0 =

++++++++==

∑∑β

Máximo deslocamento horizontal = 1.14 x 2.5 = 2.85 cm (+ 61%)

Momento nos pilares extremos = 68.96 kN.m (+ 55%)

Momento nos pilares interiores = 77.27 kN.m (+ 55%)

Soma das reacções horizontais = 128.35 kN (+55%)

COMPARAÇÃO COM A ANÁLISE DINÂMICA (método de Rayleigh)

14.4.2.2 Usando a frequência calculada pelo método de Raylei gh

Máximo deslocamento horizontal: 2.85 x (.173/.26) = 285 x .67 = 1.9cm (+ 7.0%)

Momento nos pilares extremos = 68.96 x .67 = 45.88 kN.m (+ 3.0% )

Momento nos pilares interiores = 77.27 x .67 = 51.4 kN.m (+ 3.3 %)

Soma das reacções horizontais = 128.35 x .67 = 85.4 kN (+3.1%)

10.268

17.969

25.67

33.371

41.072

1.14 cm

77.2768.96

173.004.117.00 ==β

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António Arêde 141

Vigas e pilares ���� Elementos de barra com 6 g.l. por nó

Lajes e paredes ���� Elementos finitos de laje e casca

• Modelo Espacial (3D) da Estrutura (Método “exacto” – p adrão)

• Elevado nº de g.l. e dificuldade de analisar e sistematizar re sultados

SIM

PLI

FIC

AÇ

ÃO

Associação de sub-estruturas planas de contraventamento ( pórticose/ou paredes) em qualquer direcção

Compatibilização pelo piso rígido, segundo 3 deslocamentoshorizontais (X, Y e rotação)

• Modelo de 3 g.l. por piso

• Nº razoável (baixo) de g.l. (3 x Nº de pisos)

• Consideração de comportamento 3D

• Análise e sistematização de resultados mais fácil (por pórti co)

Associação de sub-estruturas planas de contraventamento ( pórticose/ou paredes) numa só direcção

Compatibilização pelo piso rígido, apenas segundo um desloc amentohorizontal por piso nessa direcção

• Associação plana (estrutura comboio)

• Facilidade de utilização com um programa de pórticos planos

• Consideração de comportamento numa só direcção

• Facilidade de análise e sistematização de resultados (por pó rtico)

15.1 MODELOS DE ANÁLISE

15. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB ACÇÕES HORIZONTAIS

15. ANÁLISE DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS SOB ACÇÕES HORIZONTAIS

FEUP - 2010

António Arêde 142

15.2 ESTRUTURAS PLANAS RESISTENTES A ACÇÕES HORIZONTAIS:

PÓRTICOS, PAREDES E MISTAS

15.2.1 Estrutura tipo PÓRTICO

• Em cada piso i o deslocamento entre pisos ∆i depende essencialmente da

força de corte sob esse piso, uma vez que as rotações dos nós sã oparcialmente restringidas pelas vigas. Se estas forem de gr ande rigidez de

flexão (“infinita”, por comparação com a dos pilares), então o drift ∆i

depende mesmo exclusivamente da força de corte Vi sob o piso, sendo

dado pelo quociente dessa força pela rigidez de corte do piso .

• Como a força de corte aumenta de cima para baixo (por acumulaç ão das

forças de piso), também o drift ∆i aumenta de cima para baixo. Sendo o

deslocamento de cada piso a acumulação dos drifts desde a base até aotopo, a curvatura típica da deformada média de um pórtico ten de a reduzirem altura, apresentando o aspecto ilustrado na Figura.

Figuras adaptadas de “Sismos e Edifícios”, ed. Orion, Cap.6

15.2.2 Estrutura tipo PAREDE

• Em cada piso i o drift ∆i depende não só da

flexão entre pisos, mas também dasrotações da parede ao nível inferior.

• Como as rotações estão sempre a

aumentar em altura, então o drift ∆i tem

uma taxa de crescimento em altura semprepositiva, donde a deformada final típica deconsola tem sempre o sentido da carga.

FEUP - 2010

António Arêde 143

15.2.3 Estrutura MISTA tipo PÓRTICO-PAREDE

• Se a parede e o pórtico estivessem separados e sujeitos a uma i dênticadistribuição de forças em altura as configurações deformad as seriam bemdiferentes conforme indicado na figura a).

• As lajes de cada piso i, se forem rígidas, impõem igual deslocamento depiso na parede e no pórtico, gerando forças de interacção ent re ambos.

• Nos pisos inferiores, os deslocamentos da parede seriam men ores do queos do pórtico se fossem independentes; como tal a parede tend e a travaro pórtico (“puxando-o”) e este a forçar mais a parede (“empurran do-a”);nos pisos superiores dá-se o contrário, originado o diagram a de forças deinteracção indicado em b).

• A distribuição final de forças (c) altera-se; em particular no pórtico, emque as forças finais mudam sempre de sentido, os esforços de c orte nospilares já não serão máximos na base mas algures acima.

Figuras adaptadas de “Sismos e Edifícios”, ed. Orion, Cap.6

FEUP - 2010

António Arêde 144

F3

iFV i

2F

1F

3FV3 =

V2 = F3+ 2F

2+ F1 3F=V F1+

SOB O PISO

ALÇADO

PLANTA

NO PISO

1

2

+

NO PISO SOB O PISO

f 3

=3V

p

pf

pf

p pf 3

3f ppV =2

pf 2

2f p1 =Vp pf 3 + + pf 1

0xF xTii

ALÇADO

SOB O PISONO PISO

bV bVp

15.3 ANÁLISE PLANA DE ESTRUTURAS PÓRTICO-PAREDE SOB ACÇÕES ESTÁTICAS HORIZONTAIS

15.3.1 Notação de forças globais e locais

= força de corte sob o piso i (ou na base), no pórtico p,devido apenas ao movimento de translação.

piI

GLOBAL (Estrutura) LOCAL (Pórtico p)

Piso i

= força de corte sob o piso i (ou na base, i=0), no pórtico p,devido aos movimentos de translação e rotação.

piV

∑=

=N

il

pl

pi fV∑

=

=N

illi FV

i

F

N

ill

V V

xFx

l

i

∑==

pN

pN

Nip

ip

ip

i

Vf

VVf

=

−= −=+ 1,,11 ; K

= forças de corte sob o piso i (ou na base), no grupo de Npt

pórticos iguais de tipo pt, devido apenas ao movimento detranslação (igual ao somatório das forças nos pórticos pt).

ptiR

piI

FEUP - 2010

António Arêde 145

F5

3F

1F

4xPT1 2xPT2

• Associação em comboio (ligação de pórticos/paredes por bie las rígidas)

• Distribuição de forças e esforços proporcional à rigidez do s pórticos

• Não há torção global

• Pisos rígidos no próprio plano

Deslocamentos horizontais iguaisnos pórticos e nas paredes,obrigando à compatibilização dedeformadas de diferentes tipos

• Modelação

4 pórticos “simples” tipo PT1 (1,2,5,6)

2 pórticos “mistos” tipo PT2 (3,4)

BIELAS AXIALMENTE

RÍGIDAS

EA ≅≅≅≅ ∞∞∞∞

EI ≅≅≅≅ 0

Exemplo:EA = 1000 EAvig

EI = EIvig / 1000

Cuidados particulares :

A deformabilidade axial das vigas pode introduzir erros, pelo que, para os evitar deve-se artificialmente incrementá-la , condicionando as dimensões das secções.

A modelação da parede com um elemento de barra (com dimensões de iguais à da secção transversal da parede) deve ser complemen tada com troços rígidosnas extremidades das vigas adjacentes

15.3.2 Estruturas simétricas com solicitação simétrica

F

1

2

3

4

5

6

PLANTA

CORTEPISOS

5

4

3

2

1

0

FEUP - 2010

António Arêde 146

pN

pN

pN

Nip

ip

ip

ip

ip

i

IVf

IIVVf

==

−=−= −=++ 1,,111 ; K

• Para cada pórtico p, as forças de corte sob o piso i, obtêm-se dosanteriores dividindo pelo número de pórticos do grupo em que aquele seinsere.

piI

• Para cada pórtico p, as forças no piso obtêm-se das anteriores porequilíbrio, subtraindo as forças de corte de entre-pisos su cessivos, i.e.:

pif

Claro que também pode ser feito logo ao nível das forças (e ) edepois dividido pelo número de pórticos do grupo ( Npt):

ptiR pt

iR 1+

==→

====→

2/2PT

4/1PT

243

16521

iii

iiiii

RII

RIIII

• Como só há translação, as forças de corte finais do pórtico co incidemcom as de corte só devidas á translação .

piV

piI

i

pip

i V

Ir =

pt

ptNp

NNi

pt

pti

ptip

i N

Rf

N

RRf =−= −=

+;1,,1

1 ; K

fornece uma medida da rigidez relativa entre pórticos que po de ser usadapara repartir as forças de corte sob aquele piso.

• Por serem obtidos por imposição de igual deslocamento (de pi so erelativo entre pisos) nos vários pórticos, essas forças dão uma medida darigidez de corte de cada pórtico p sob o piso i.

• Assim, o quociente de cada uma dessas forças para a força de co rte totalsob o piso i , dado por:)( iV

F1

F3

F5

4F

2F

R11

2R1

1R3

1R4

1R5

RT1

2

3

4

5R2

R2

R2

2R

1R2

T2R

• A modelação adoptada permite obter directamente as forças d e corte ,para cada grupo de pórticos pt sob o piso i, através da soma dos esforçostransversos dos correspondentes pilares/paredes que supo rtam esse piso.

ptiR

FEUP - 2010

António Arêde 147

• Associação em comboio (ligação de pórticos/paredes por bie las rígidas)

• Distribuição de forças e esforços proporcional à rigidez do s pórticos

• Correcção de efeitos devido à torção global resultante da ex centricidadeentre a força actuante (por piso) e o centro de rigidez (no eix o de simetria)

• Modelação (“em comboio”)

i) Só translação ( e = 0)

a) obtenção de esforços de corteentre pisos e na base, para cadagrupo de pórticos tipo:

b) Repartição pelos pórticos de cada grupo

=

=⇒

basalcorte

pisodoabaixocorte1PT

1

1

T

i

R

iR

=

=⇒

basalcorte

pisoosobcorte2PT

2

2

T

i

R

iR

==→

====→

2/2PT

4/1PT

243

16521

iii

iiiii

RII

RIIII

15.3.3 Estruturas simétricas com solicitação qualquer (simétrica ou não)

4

5

6

F

PLANTA

1

2

3

CR

eF

CORTEPISOS

5

4

3

2

1

0

F5

3F

1F

4xPT1 2xPT2

4 pórticos “simples” tipo PT1 (1,2,5,6)

2 pórticos “mistos” tipo PT2 (3,4)

• Cálculo de rigidez relativa

FEUP - 2010

António Arêde 148

ii) Correcção com efeito da torção (F.e)

• A figura reporta-se ao piso genérico i (ou à base i=0), pelo que seconsidera a seguinte notação simplificada:

pi

ppi

ppi

p

iiVVi

IIIIdd

uueeVVi

∆=∆==

====

;;

;;; θθ

• A excentricidade refere-se ao centro de rigidez do piso CRi

• As forças obtidas para cada pórtico p abaixo do piso i (devidas só àtranslação) dão uma medida da rigidez desse pórtico ao nível desse piso(porque foram obtidos por imposição de iguais deslocamento s de piso),que totalizam a força de corte global Vi sob o mesmo piso.

• Podem assim ser usadas como “rigidez” para quantificar o efeit o darotação!!

piI

onde

1==⇒= ∑∑∑p

p

p

p

p

p rV

IIV

4

6

5

RC

3

2

1

4I

5I

3

2

1I

I

I

6I 6

5

∆I1

2

3

4

∆I

∆I

∆I

∆I

∆I

5

1d

d6

d2

d4

3d

V d

e

CRu

θ

Pd

θ

Pδ =u+ θ dP

Pk ~ PI

u = TRANSLACÇÃO ROTAÇÃO = θ

V

FEUP - 2010

António Arêde 149

Só devido à rotação (θ) provocada pelo momento ( V.e), i.e. para translaçãonula ( u = 0), vem, em cada pórtico p:

( ) ppppppp dIdIKI ⋅⋅=⋅=⋅=∆ θαθαδ

pp IK ~pp dθδ += 0

pp IK α=⇔

Por equilíbrio tem-se:

( )

( )∑

∑ ∑

⋅=

=⋅=⋅∆=⋅

p

pp

p p

ppppV

dI

dIdIeV

2

2

θα

θα

2p

p

p

V

dI

eV

⋅⋅=∴

∑θα

donde:pp

p

pp

Vp dIdI

eVI ⋅⋅

⋅⋅=∆

∑2

A força de corte total em cada pórtico vem então

pp

p

pp

Vpppp dIdI

eVIIIV ⋅⋅⋅+=∆+=

∑2

pp

p

pp

pVpp

p

pp

p

pV

pp Idr

deId

dI

Ie

IV ξ⋅=

⋅+⋅=

⋅

⋅+⋅=⇔

∑∑

∑22 11

ou seja, atendendo a que ∑=p

pIV

onde

∑∑

∑⋅+=

⋅

+=

p

pp

pV

p

pp

p

ppV

p

dr

de

dI

Ide

22 11ξ

representa o factor de correcção devida aos efeitos de torçã o, que permiteobter a força de corte final sob um dado piso i do pórtico p a partir da forçade corte devida só à translação .

As forças por piso obtêm-se como anteriormente, por diferença das de corte .

FEUP - 2010

António Arêde 150

• Associação em comboio (ligação de pórticos/paredes por bie las rígidas)

• Distribuição de forças e esforços proporcional à rigidez do s pórticos

• Determinação da posição do centro de rigidez por piso

• Correcção de efeitos devido à torção global resultante da ex centricidadeentre a força actuante (por piso) e o centro de rigidez

3 pórticos tipo PT1 (1,4,5)

2 pórticos tipo PT2 (2,3)

Obtenção de esforços de corte entrepisos e na base, nos pórticos tipo erepartição pelos pórticos de cadagrupo como no caso das estruturassimétricas

==→===→

2/

3/232

1541

iii

iiii

RIIPT2

RIIIPT1

15.3.4 Estruturas não-simétricas com solicitação qualquer (simétrica ou não)

• Modelação (“em comboio”)

i) Só translação ( e = 0)

3

0

1

2

3

4

5

PISOS

F

x

4

5

CORTE

0

1

2

PT1

F

PT2

PT2

PT1

PT1

x+

5F

4F

3F

2F

1F

3xPT1

R1T

2xPT2TR2

• Cálculo de rigidez relativa

FEUP - 2010

António Arêde 151

ii) Obtenção da posição do centro de rigidez de cada piso i

• Com base nas forças que são uma medida da rigidez do pórtico p

sob o piso i.

• O centro de rigidez encontra-se na linha de acção da resultan tedessas forças.

RCpp xxd −=

piI

iii) Correcção com efeito de torção

Redefinição prévia de coordenadas, agora em relação ao cent ro derigidez (CR):

• De cada pórtico

• Dos pontos de aplicação das forçastotais de piso ( F) e de corte ( V): RCFF xxe −=

Aplicação directa da expressão já atrás obtida:

⋅

⋅+×=∑

∑p

p

pp

p

pT

pp ddI

Ie

IV 21

p/ piso

força de corte sob o piso i ou na base

(excentricidades eF e eV)

∑∑ ⋅=⋅p

pp

p

pC xIIx

R

∑∑

∑⋅=

⋅=

p

pp

p

p

p

pp

C xrI

xI

xR

e obtenção das forças de piso por subtracção das de corte.pif

RCVV xxe −=

4(+)d

PT15

PT1

PT2

PT2

PT1

0

2

1

3

RC

+x

p

x5

x4

x3

1x

2x

Cx

I 5

4I

I 3

I 2

I 1

R

FEUP - 2010

António Arêde 152

Baseada no Método de Rayleigh ouno Método Simplificado de Análise Estática (Forças E státicas Equivalentes)

i) Modelação “em comboio” e cálculo para a totalidade das cargasgravíticas Gi em cada piso. Obtém-se os deslocamentos de piso di.

ii) Cálculo da frequência e das acelerações espectrais regulam entares

),(max2

12 III aaaii

ii SSSdG

dGgf =→=∑∑

π ... ASR

iii) Determinação das forças sísmicasii

ai dG

g

wSF

η22

=

iv) Cálculo da associação de pórticos para as forças sísmicas Fi :

- os esforços obtidos são os devidos à acção sísmica e

- os deslocamentos devem ser multiplicados por η.

v) Os esforços e deslocamentos finais obtêm-se multiplicandoos anteriores pelo factor correctivo de torção:

Este coeficiente é válido se a rigidez for uniformementedistribuída em planta, caso em que se pode considerar:

a

x6.01+=ξ

15.4 ANÁLISE SÍSMICA PLANA DE ESTRUTURAS PÓRTICO, P AREDE ou MISTAS

15.4.1 Estruturas simétricas (em termos de rigidez e massa)

1)(1

.)().(

2/

2/=⋅=→=

==→=

∫∑ −ardxxrr

constrxrcomdxxrT

Ir

a

ap

p

pp

aee FT 05.0=≡

a

x

dxxr

xa

dr

dea

ap

pp

pTp 6.01

05.011 2/

2/

22 +=⋅

⋅+→⋅+=∴∫∑

−

ξ

xd p →

FEUP - 2010

António Arêde 153

i) Modelação “em comboio” e cálculo para a totalidade das cargasgravíticas Gi em cada piso. Obtém-se os deslocamentos de piso di.

ii) Cálculo da frequência (estando-se aqui a desprezar o efeito de torção nadeterminação da frequência) e da aceleração espectral regu lamentar Sa .

iii) Determinação das forças sísmicas globais Fi

iv) Cálculo da associação de pórticos para as forças sísmicas gl obais Fi

1ª Fase: Como nas estruturas simétricas – só transla ção

2ª Fase: Correcção com o efeito de torção

v) Cálculo da rigidez relativa dos pórticos e do centro de rigidez , combase nos resultados da análise para as forças sísmicas globa is Fi

vi) Correcção da excentricidade relativa ao centro de rigidez c om asexcentricidades definidas no Art.º 32.2 do RSA

ae

abe

i

ii

05.0

05.05.0

2

1

=+=

a

bi

CRie2i 1ie

Cgi

iF

iCRG bxdii

=−=

pi

p

pi

pi

Vi

pi

p

pi

pi

p

piVi

pi

ddr

e

ddI

Ie

∑

∑

∑

+=

⋅+=

2

2

.1

.1ξ

15.4.2 Estruturas não-simétricas (em termos de rigidez e/ou massa)

v) Agravamentos das forças de corte nos pórticospelo factor , sendo a excentricidade eVi calculadapara eF1i ou eF2i conforme o que for mais gravosopara o elemento considerado, mas considerando

em todos os pisos simultaneamente.

iGiFiGiF edeedeii 2211 −=+= ou

ii ee 21 ou

piξ

vi) Obtenção das forças por piso a partir da diferença das forças de corte

FEUP - 2010

António Arêde 154

• Matriz de rigidez

15.5.1 ANÁLISE ESTÁTICA.

DESLOCAMENTOS, FORÇAS E EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

−−−− Deslocamento do andar i na direcção xiu

−−−− Deslocamento do andar i na direcção yiv

−−−− Rotação do andar iiθ

[ ]NNNT vuvuvua θθθ ...222111=

[ ]NyNxNyxyxT MFFMFFMFFF θθθ ...222111=

K ( )NN 33 ×

FaK =

vi

ui

iθ

yz

x

RIGIDEZ INFINITA NO PLANO

3 graus de liberdade / piso

15.5 ANÁLISE TRIDIMENSIONAL DE EDIFÍCIOS

- MODELO DE 3 GRAUS DE LIBERDADE POR PISO

sendo N o nº de andares

FEUP - 2010

António Arêde 155

A matriz de rigidez da estrutura global é devida:

- aos pórticos e paredes que só têm rigidez no seu pl ano e

- às caixas de escadas e de elevadores, que têm rigi dez nas 2 direcções horizontais e rigidez à torção

i) Contribuição da rigidez dos pórticos e paredes nos seus plan os

−−−− Pela via Directa

(impondo deslocamentos unitários num dos andares e zero nos outros)

−−−− Através da matriz de flexibilidade

(impondo forças unitárias sucessivamente em cada andar)

ppp fdK =

A matriz de rigidez do pórtico pode ser obtida:

pK

pp

if αcos força na direcção x

força na direcção y

momento em relação a 0

15.5.1.1 Matriz de Rigidez e Vector Solicitação Glo bal

Oxyé o referencial global da estrutura.

e corresponde ao sub-vector:

pp

i

p

p

p

p

pi

pi t

t

ffF =

=

43421ρ

αα

sen

cos

dif ipp

y

x

α

ρ0

f. ρ

f sen α

f

f cos α

i

i

i

i

pp

p

p

p

p

p

p

p

pp

i senf α

pp

if ρ

Uma força na direcção do pórtico é equivalente a:pif

tal que:

=

pN

p

p

F

F

F

,

,1

M

=pN

p

p

d

d

d M

1

=p

N

p

p

f

f

f M

1

FEUP - 2010

António Arêde 156

pipipip

i vud ρθαα ++= sencos

=

i

i

i

i v

u

a

θ

iTp

pi atd ⋅=

aTd Tpp =

=

Na

a

a

aM

2

1

pGp FaK =

Contribuição da rigidez

do pórtico p para a

matriz de rigidez global

Solicitação no pórtico p expressa

no referencial global.

=Tp

Tp

Tp

Tp

t

t

t

T

~

~

0

0

Relativamente à rigidez de translação, as paredes dos núcle os de caixade escadas e/ou elevadores também podem (geralmente, devem ) entrardeste modo, especialmente quando se encontram ligadas a out roselementos verticais através de vigas com rigidez à flexão si gnificativa.

Também ao nível dos deslocamentos se tem:

e definindo o seguinte sub-vector:

vem

Ou seja, em termos dos vectores relativos a todos o s pisos:

Pelo que a relação de rigidez local se pode transfor mar do seguinte modo

ppTppp fTaTKT =aT

fdK

Tp

ppp =↑

⋅⋅ pp TT} ⇔

ecom

y

x

α

θ i

ui

iv

dip

p

e assim obter a equação de equilíbrio global sobrep ondo as contribuições de todos os pórticos e paredes ( pp):

ppGppG FaK ,, = onde ∑=p

GpppG KK , = matriz de rigidez global

devida a pórticos e paredes

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António Arêde 157

++⋅

=

cN

N

GA

l

I

IhIl

EI

lhG

ls

22

12

2

( )vEGGIM ttt +== 12//ϕ

Se forem núcleos abertos, essa rigidez é praticament e desprezável.

Se forem núcleos fechados ou ligados por padieiras com rigidez elevadapode usar-se a teoria de Saint-Venant que relaciona o momento e curvatura de torção através da rigidez torsional GIt :

−−−− Vão da viga padieiral

−−−− Distância entre meios pisos vizinhosh

−−−− Área reduzida de corte da viga padieiracA

−−−− Momento de inércia da parcela da parede vertical do núcleoque condiciona a rotação de extremidade da à padieira (sãoos troços de parede adjacentes)

NI

ii) Contribuição da rigidez à torção dos núcleos

Procura-se substituir a zona das aberturas por uma parede mai s delgadacom uma espessura devidamente calibrada que garanta ao conj untouma rigidez equivalente à do núcleo com as aberturas.

A espessura da parede fictícia pode ser estimada por

o que permite calcular o momento de inércia de torção It do núcleofechado equivalente como um tubo de paredes delgadas de espe ssuravariável, e daí a respectiva rigidez torsional sob o piso i de pé-direito l i:

−−−− Momento de inércia da viga padieiraI

O núcleo dá origem a uma matriz de rigidez local referida apen as àsrotações em torno do eixo vertical em cada piso, cujos termos sãodepois directamente adicionados nas posições corresponde ntes damatriz de rigidez global da estrutura (tal como se faz para as bielas).

sl

AI

c

IN

onde:

iti lGIK /, =θ

FEUP - 2010

António Arêde 158

x

y

0

G

−

−=

pGG

G

G

i

Imxmy

mxm

mym

M 0

0

Estas forças, aplicadas em cada pórtico plano, permitem a su a resolução emconjunto com outras acções e assim obter resultados combina dos.

15.5.2 ANÁLISE DINÂMICA

15.5.2.1 Matriz de massa

15.5.2.2 Determinação de frequências, modos de vibr ação, etc.

Obtêm-se da forma habitual usando a matriz de rigidez e de mas sacom 3 g.l. por piso.

Os modos de vibração correspondem agora a movimentos puros o umistos nas direcções X e Y, envolvendo simultaneamente ou nã o,rotações globais de piso.

As frequências têm agora valores mais próximos entre si nos m odoscom a mesma ordem, mas em direcções distintas (ex.: modo 1X e 1 Y).

15.5.1.2 Resposta Global e Repartição pelos Element os Estruturais

onde Ip é o momento polar de inércia do piso i

referido ao eixo vertical que passa pelo centro decoordenadas geral O.

As várias sub-matrizes de cada piso são espalhadas na matriz d emassa global ao longo da diagonal principal de blocos de 3x3.

aTd Tpp = ppp

dKf =

A resolução do sistema de equações global ,FaK =onde a matriz K recebe a contribuição dos pórticos e paredes bem como

a dos núcleos e o vector F contém a solicitação exterior, permite obter

os deslocamentos globais a .

A partir destes últimos pode-se calcular os vectores dos des locamentoslocais de cada pórtico ou parede e das correspondentes força s dados por:

NucGK ,

ppGK ,

Admitindo massa concentrada ao nível dos pisos, pode-se def inir

a seguinte sub-matriz para o piso i:

FEUP - 2010

António Arêde 159

gnYgynXg

xnnnnnnn ΓuΓuΓywywy θξ θ &&&&&&&&& ++=++ 22

15.5.2.3 Análise modal - equações de equilíbrio desl igadas

15.5.2.4 Resposta máxima recorrendo a espectros reg ulamentares

Máxima coordenada modal n relativa à direcção de vibração j ( j = x,y, θθθθ):

Para cada modo de vibração

[ ]~~~~~

/....001001 nTn

TTn

xn MMΓ φφφ=

[ ]~~~~~

/....010010 nTn

TTn

yn MMΓ φφφ=

[ ]~~~~~

/....100100 nTn

TTnn MMΓ φφφθ =

jn

jd

jn ΓSy

n⋅=

( )∑∑ ⋅⋅=n j

jn

jdn LSqQ

n

2

max

ou usando uma combinação quadrática completa (CQC) nos modos seguidade uma combinação quadrática simples (CQS) nas direcções :

onde o coeficiente de correlação dos modos foi já atrás defin ido.mnρ

222 ;; nadnYa

Ydn

Xa

Xd wSSwSSwSS

nnnnnn

θθ ===

deslocamento espectral para o modo n e devido à direcção j

Recorrendo à combinação quadrática simples (CQS) , a respostamáxima para um parâmetro genérico Q da resposta vem

valor da quantidade genérica Q para a configuração do modo n

−−−− valores regulamentares de aceleração espectral (modo n)

cw

SS

n

aa

n

n 2

2=θ

c −−−− velocidade de propagação do movimento sísmico

nnn aYa

Xa SSS ==

−−−− aceleração espectral de rotação (modo n)

( ) ( )∑∑= =

⋅=N

n

N

m

jnnmn

jmm

j yqyqQ1 1

maxρ

( ) ( ) ( )2max

2

max

2

maxmaxθQQQQ YX ++=

θ,,YXj =

Máximo por direcção da acção

!! SINAIS !!

} Factores de participação modal jnΓ

e correspondentes massas modaisefectivas ( ) n

jn

jn MLM

2* =

FEUP - 2010

FEUP - 2011 António Arêde 160

Para projecto, o EC8 fornece explicitamente o desig nado ESPECTRO DE PROJECTO PARA ANÁLISE ELÁSTICA , que resulta do Espectro de Resposta

Elástico atrás apresentado, dividido pelo coeficien te de comportamento q,

calibrado para 5% de amortecimento.

Para os diversos ramos, as expressões do valor de cálculo Sd da aceleração

espectral assim obtida são as seguintes:

16.1 ASPECTOS GERAIS DE EDIFÍCIOS SISMO-RESISTENTES

A concepção deste tipo de estruturas deve atender o mais poss ível aosseguintes requisitos (a tentar impor logo na definição arqu itectónica):

� Simplicidade da estrutura

� Uniformidade, simetria e redundância estrutural

� Resistência e rigidez adequadas em duas direcções principa is de translação

� Resistência e rigidez de torção global

� Comportamento de diafragma rígido

� Fundações adequadas

:0 BTT ≤≤ ( )

−⋅+⋅⋅=

3

25.2

3

2

qT

TSaTS

Bgd

:DC TTT ≤≤ ( ) gC

gd aT

T

qSaTS ⋅≥

⋅⋅⋅= β5.2

:TTD ≤ ( ) gDC

gd aT

TT

qSaTS ⋅≥

⋅⋅⋅= β2

5.2

( )q

SaTS gd

5.2⋅⋅=:CB TTT ≤≤

onde β=0.2, é a fracção mínima de aceleração espectral de proje cto para

análise elástica, e o coeficiente de comportamento q é dado para cada tipo

de material, em função da tipologia estrutural e da classe de ductilidade adoptada para a estrutura (baixa, média ou alta).

16. DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO SÍSMICA DE ACORDO COM O EC8

16. DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS DA ACÇÃO SÍSMICA DE ACORDO COM O EC8

16.2 ESPECTRO DE PROJECTO PARA ANÁLISE ELÁSTICA

António Arêde 161

Introduz-se a noção de elementos PRIMÁRIOS e elementos SECUNDÁRIOS, nosistema resistente à acção sísmica.

Embora não formalmente incluída no RSA, a prática corrente j á atendia a isto,por exemplo desprezando pilares e/ou vigas claramente secun dários e dealgum modo isolados e dispersos, que não se incluíam em nenhu m pórticoembora na verdade contribuíssem para a resistência lateral .

� Elementos secundários : não precisam de se incluídos no modelo estruturalde análise, mas no seu detalhe de projecto deve-se atender a q ue estãotambém submetidos aos deslocamentos impostos na estrutura global,embora não estejam obrigados ao requisitos de projecto e det alhe previstosno EC8. A totalidade da sua contribuição para a rigidez estru tural não deveexceder 15% da que é conferida pelos elementos primários.

� Elementos primários : todos os restantes que não são consideradossecundários (i.e. que formam sistemas porticados simples o u mistos) e queobviamente constituem o modelo estrutural de análise e estã o sujeitos àsregras de projecto e detalhe previstas no EC8

A classificação de estruturas quanto à sua regularidade em planta e em altura émais detalhada e consistente do que a do RSA, baseando-se em característicasessencialmente geométricas de relativamente simples apli cação (pontos 4.2.3.2e 4.2.3.3 do EC8 - EN 1998-1:2004) e muito bem explicados em Sismos eEdifícios (secções 12.4.3.1 e 12.4.3.2, da 1ª edição, 2008).

Esta classificação tem influência nos seguintes aspectos i mportantes:

� Tipo de modelo estrutural a adoptar, simplificado plano ou espacial .

� Método de análise , que pode ser simplificada com espectros de resposta(aplicação de forças laterais equivalentes) ou análise modal .

� Valor do coeficiente de comportamento , que é mais reduzido no caso deestruturas irregulares em altura .

16.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS SISMO-RESISTENTES

16.4 REGULARIDADE E IRREGULARIDADE ESTRUTURAL

FEUP - 2011

António Arêde 162

Esta influência é sistematizada no Quadro 4.1 do EC8:

A classificação mais consistente da regularidade em planta reflecte-se ainda naconsideração dos efeitos de torção que requer excentricidades acidentais no

centro de massa de cada piso i de apenas eai = ±0,05Li, sendo Li a dimensão do

piso i na direcção normal à da acção sísmica em estudo.

No contexto de análises planas com método simplificado de fo rças lateraisestáticas equivalentes, isto traduz-se por afectar os resul tados em cadasubestrutura resistente vertical por um factor idêntico ao do RSA ( ξ = 1+0.6 x/a),onde se prevê um agravamento do coeficiente 0.6 para 1.2 em ce rtos casos.

No âmbito de análises espaciais , a alteração da posição de centro de massa émuito complexa de materializar no processo de cálculo, pelo q ue é sugerida a

consideração de momentos de torção adicionais por piso Mai = eai Fi, sendo Fi

a força horizontal actuante no piso i na direcção em estudo, calculada com

base no método simplificado de análise estática.

FEUP - 2011

António Arêde 163

A acção sísmica, pelas suas particularidades de recorrênci a, é combinadaapenas como acção fundamental, acompanhada dos valores car acterísticos dasacções permanentes e dos valores quase-permanentes das acç ões variáveis,

este último definido através do coeficiente 2i tal como definido no EC0 – EN

1990:2002, Anexo A1.

A combinação para EXIGÊNCIA DE NÃO COLAPSO (NCR), correspondente àverificação em Estado Limite Último, é então dada por:

onde é de notar que a acção sísmica (AEd), conforme já obtida do espectro deprojecto, é já um valor de cálculo (não devendo portanto ser majorada porquetal já está contemplado no novo espectro de resposta). Isto é uma diferençaimportante relativa ao RSA .

A combinação para EXIGÊNCIA DE LIMITAÇÃO DE DANOS (DLR), para averificação em Estado Limite de Serviço, é dada pela mesma ex pressão, masdepois os deslocamentos horizontais relativos entre pisos ( dr = drift) assim

obtidos são afectados do coeficiente de redução ν, que vale 0,4 ou 0,55,

conforme a Acção Sísmica é do Tipo 1 ou 2, respectivamente.

Para a quantificação dos efeitos sísmicos, a massa mobilizada é calculada com

os novos coeficientes ψEi=φ.ψ2i em vez dos ψ2i como no RSA. O coeficiente φ,

designado de coeficiente de ocupação, está tabelado no EC8 ( Quadro 4.2).

� O método de referência é o método de análise modal por espectros deresposta , usando um modelo linear-elástico da estrutura e o espectro deprojecto já apresentado.

� No domínio das análises lineares elásticas, podem ser usado s os métodos:

a) de forças laterais estáticas equivalentes (só em certos c asos)

b) de análise modal por espectros de resposta, válido para to dos oscasos.

� Alternativamente à análise linear elástica, podem ser usad os os métodos:

c) de análise estática não linear sob dois padrões possíveis de distribuição em altura de forças horizontais nos pis os (pushover)

d) de análise não linear dinâmica no domínio do tem po, usando um conjunto adequado de acelerogramas na base.

16.5 COEFICIENTES DE COMBINAÇÃO PARA ACÇÕES VARIÁVEIS

16.6 MÉTODOS DE ANÁLISE (secção 4.3.3 do EC8)

FEUP - 2011

António Arêde 164

� O EC8 admite como processo de referência, a combinação quadr áticasimples (CQS) das respostas a cada uma das componentes da acç ãosísmica (tal como já analisado anteriormente).

� Como alternativa, admite também a conhecido regra do 1-1/3, impondo ocálculo e análise das duas seguintes combinações:

onde “+” significa “a combinar com”, EEdx e EEdy representa os efeitosresultantes da aplicação da acção sísmica, respectivament e, nas direcções X eY da estrutura.

� Condição de resistência em ELU: Ed ≤ Rd

� Efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados se for cumprida a co ndiçãoseguinte:

onde θ, é o designado coeficiente de sensibilidade ao deslocament o relativo ( dr)

entre pisos cujo pé-direito é h, Ptot é a carga gravítica vertical total até ao piso

em estudo e Vtot é a força de corte sísmica sob esse piso. Na prática aquela

relação impõe que o momento global de 2ª ordem no piso devido a o drift nãoseja superior a 10% do momento derrubador provocado por aque la força decorte em relação ao piso inferior.

� Verificações globais e locais de ductilidade, que podem inc luir:

i) requisitos de dimensionamento por capacidade resistente , de forma a

obter uma hierarquia de resistência dos elementos que assegure a formaçãode zonas dissipativas ( rótulas plásticas ) em locais devidamente escolhidos(nas extremidades da vigas e não dos pilares) e evite modos de roturafrágeis (corte) ���� capacity design

ii) garantia de não formação de pisos fracos (soft-storey)

iii) imposição de sobre-resistência

dos pilares face às vigas nos nós

16.7 COMBINAÇÃO DE EFEITOS DAS COMPONENTES DA ACÇÃO SÍSMICA

16.8 VERIFICAÇÕES DE SEGURANÇA (secção 4.4 do EC8)

16.8.1 Estado limite último (NCR) - lista não exaust iva

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António Arêde 165

O EC8 impõe limites máximos ao drift entre pisos, consoante o tipo deelementos não-estruturais que podem ser afectados por drif ts excessivos,admitindo três situações distintas:

� Elementos frágeis não estruturais ligados à estrutura:

� Elementos dúcteis não estruturais ligados à estrutura:

onde o significado de todos os símbolos já foi antes apresent ado.

� Baixa (L = Low), a utilizar apenas em zonas de baixa sismicidade , onde a

aceleração espectral na base agSnão exceda 0.98m/s 2 (≈0.1g).

� Média (M = Medium), a utilizar nas zonas de média e alta sismicid ade,incluindo já requisitos de capacity deisgn (controle de for mação de rótulasplásticas e de prevenir roturas por corte)

� Alta (H = High), a utilizar nas mesmas zonas, com requisitos ain da maisexigentes de capacity design (tratamento detalhado dos nós , imposição derestrições de armadura longitudinal máxima, maior quantid ade e maisestribos, etc.

� Elementos não estruturais inexistentes ou ligados àestrutura de modo a não interferir com asdeformações desta (isolados, portanto):

� Baixa (L = Low): q max = 1.5

� Média e Alta (M e H): secção 5.2.2.2 EC8, Quadro 5.1

16.9 CLASSES DE DUCTILIDADE E COEFICIENTES DE COMPORTAMENT OEM EDIFÍCIOS DE BETÃO ARMADO

16.8.2 Estado limite de serviço (DLR)

16.9.1 Classes de ductilidade

16.9.2 Coeficientes de comportamento

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