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Conversión Entre Diferentes Formas de PIDs 2 2 1 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p paralelo p p p p p i i i i ideal i i i i i s s s s serie s s s s s genérico I Ds I Ds C P P s s s Ds I Ds I Ds C P P s s s Ds I Ds I Ds C P P s s s Ds bs bs b C as as g q g q g q = = = = = = = Conversión Paralelo a Ideal Ideal a Paralelo ( f PID g ( f PID q ( f PID g ( f PID q i P p P p P p P i P i P i I p p I P p p I P p I i i IP i i IP i D p p D P p p D P p D i i DP i i DP i g p g p p D q p g i g i i D q i q p p p P D g p p P q p q i i i DP g i i P q Serie a Ideal Ideal a Serie ( f PIDg ( f PID q ( f PIDg ( f PID q i P ( 1 s s s s s P DI I g - ( 1 s s s s s s P DI I D q - s P i r i r i I 1 s s s s s I DI I g - 1 s s s s s s I DI I D q - s I i i i P I r i i i P I r i D ( ( 1 1 s s s s s s s s I D DI I g g g - - - ( ( 1 1 1 s s s s s s s s s s D DI DI DI q q q - - - s D i i i i D P g r ( 1 i i i i D P q r i g s g s s D q s g i g i i D q i q ( ( ( ( 1 1 s s s s s s s s s s s ID I D I D g g g g g - - - - ( ( ( 1 1 1 s s s s s s s s s s ID ID ID q q q q - - - s q ( i i i i i P D rg g ( 1 i i i i P rq q donde
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Conversión Entre Diferentes Formas de PIDs
22 1 0
22 1
1 1
1 11 1
1 11 1
1 1
p p p pparalelo p p
p p p
i i i iideal i i
i i i
s s s sserie s s
s s s
genérico
I D s I D sC P P
s s s D s
I D s I D sC P P
s s s D s
I D s I D sC P P
s s s D s
b s b s bC
a s a s
γ θ
γ θ
γ θ
= + + = + ++ +
= + + = + + + +
+ + = + = + + + + +
=+
Conversión
Paralelo a Ideal Ideal a Paralelo ( )f PIDγ ( )f PIDθ ( )f PIDγ ( )f PIDθ
iP pP pP pP iP iP
iI p
p
IP
p
p
IP
pI i iI P i iI P
iD p
p
D
P p
p
D
P pD i iD P i iD P
iγ pγ p pDθ pγ iγ i iDθ
iθ p p
p
PD
γ p pPθ pθ i
i iD Pγ
i
iPθ
Serie a Ideal Ideal a Serie ( )f PIDγ ( )f PIDθ ( )f PIDγ ( )f PIDθ
iP ( )1s s s s sP D I I γ+ − ( )1s s s s s sP D I I Dθ+ − sP iρ iρ
iI 1s
s s s s
ID I I γ+ −
1
s
s s s s s
ID I I Dθ+ −
sI ii
i
PI
ρ i
ii
PI
ρ
iD ( ) ( )1
1s s s s
s s s s
I DD I Iγ γ
γ− −
+ −
( ) ( )1 11
s s s s s
s s s s s
D D ID I D I
θ θθ
− −+ −
sD i ii
i
DP
γρ
+
( )1i i
ii
DP
θρ
+
iγ sγ s sDθ sγ iγ i iDθ
iθ ( ) ( )
( )( )1
1s s s s s s s
s s s s
I D I DI D
γ γ γγ γ+ − −
− −
( )( )( )
11 1
s s s s s s
s s s s
I D I DI D
θ θθ θ
+ −− −
sθ ( )i i
i i iP Dρ γγ +
( )1
i i
i iPρ θθ +
donde
( ) ( )2 2 2 2 21 1 2 4 1 1 2 4
2 2
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i
P I I I I D P I D I D I D I Dγ γ γ θ θ θρ
+ ± − + − + ± − + −= =
Paralelo a Serie Serie a Paralelo ( )f PIDγ ( )f PIDθ ( )f PIDγ ( )f PIDθ
sP pρ pρ pP ( )1s s s s sP D I I γ+ − ( )1s s s s s sP D I I Dθ+ −
sI p
p
I
ρ p
p
I
ρ pI s sI P s sI P
sD p p p
p
P Dγρ
+ ( )1p p p
p
D P θ
ρ
+ pD ( )2
s s s s s s s sP I D I Dγ γ γ− − + ( )2 1s s s s s s s s sP D I D D Iθ θ θ− − +
sγ pγ p pDθ pγ sγ s sDθ
sθ p p
p p pP D
ρ γγ +
1
p p
p pP
ρ θθ +
pθ ( )2 1s
s s s s s s s s sD P I D D Iγ
θ θ θ− − + ( )2 1
s
s s s s s s s sP I D D Iθ
θ θ θ− − +
donde
2 2 2 2 2 2 22 4 2 4
2 2p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p
P I P I P I I D P I D P I D P I D I Dγ γ γ θ θ θρ
+ ± − + − + ± − + −= =
PID a Función de Transferencia Función de Transferencia a PID Serie Paralelo Ideal Serie Paralelo Ideal
1a 1 1 1 P ρ 1 1 0 221
b a b aa−
1 1 0 221
b a b aa−
2a s s sDγ θ= p p pDγ θ= i i iDγ θ= I 0
1
baρ
0
1
ba
0 1
1 1 0 2
b ab a b a−
0b s sP I pI i iI P D 2
1
baρ
2 2
0 2 2 1 2 1 131
b a b a a b aa
+ − ( )
2 22 1 0 2 2 1 1
1 1 1 0 2
b a b a a b aa b a b a
+ −−
1b s s s sD P I P+ p p pP I γ+ i i i iP PI γ+ γ 2
1
aa
2
1
aa
2
1
aa
2b s sP D p p pD P γ+ i i i iPD Pγ+ θ 2
2
ab
ρ
22 1
2 20 2 2 1 2 1 1
a ab a b a a b a+ −
( )2 1 1 0 2
2 22 1 0 2 2 1 1
a b a b ab a b a a b a
−+ −
donde 2
1 1 2 0
1
42
b b b ba
ρ± −
= y ( )21 2 04 0b b b− >
Ajuste de PIDs Para Sistemas Comunes
1- Sistema de Primer Orden
Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( )1
KG ssτ
=+
a una función en lazo cerrado
( ) 11MG s
sβ=
+
Paralelo Ideal Serie
P Kτβ
Kτβ
Kτβ
I 1
Kβ 1
τ 2
Kβτ
D 0 0 0 γ - - - θ - - -
2- Sistema de Primer Orden Más Integrador Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( ) ( )1K
G ss sτ
=+
a una función en lazo cerrado
( )( )3
3 11
M
sG s
sβ
β+
=+
Paralelo Ideal Serie
P 2
8 39Kβ τ
β+
2
8 39Kβ τ
β+
23Kτβ
I 2
13Kβ
3
8 3β τ+
1τ
D ( )8 327K
τ ββ
−
( )( )
8 33 8 3β τ β
β τ−
+ 3β
γ 3β
3β
3β
θ ( )227
24 3Kβτ β−
( )8 3
8 3β ττ β+−
19
3- Sistema de Primer Orden Más Retardo
Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( )1
dT sKeG s
sτ
−
=+
a una función en lazo cerrado
( )( )2
11
MG ssβ
=+
Paralelo Ideal Serie
P ( )
2 2
2
8 2 4 44
d d d
d
T T TK T
τβ τ β ββ
+ + + −+
( )
2 2
2
8 2 4 44
d d d
d
T T TK T
τβ τ β ββ
+ + + −+
( )2
4 dK Tτ
β +
I ( )2
4 dK Tβ + ( )
2 2
2 48 2 4 4
d
d d d
TT T T
βτβ τ β β
++ + + −
1τ
D ( )( )
( )
2 2 2
3
4 4 4 2
4d d d d
d
T T T T
K T
β β τ β β
β
+ − + −
+
( ) ( )( ) ( )
2 2 2
2 2
4 4 4 2
4 8 2 4 4d d d d
d d d d
T T T T
T T T T
β β τ β β
β τβ τ β β
+ − + −
+ + + + −
2dT
γ 22
4 dTβ
β +
224 dT
ββ +
22
4 dTβ
β +
θ ( )
( )( )22
2 2 2
2 4
4 4 4 2d
d d d
K T
T T T
β ββ β τβ τ β
++ − + −
( )
( )( )2 2 2
2 2 2
2 8 2 4 4
4 4 4 2d d d
d d d
T T T
T T T
β τβ τ β β
β β τβ τ β
+ + + −
+ − + − ( )
244 d dT T
ββ +
4- Sistema Integrador Puro Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( ) KG ss
=
a una función en lazo cerrado
( )( )2
2 11
M
sG s
sβ
β+
=+
Paralelo Ideal Serie
P 2Kβ
2Kβ
2Kβ
I 2
1Kβ
1
2β
12β
D 0 0 0 γ - - - θ - - -
5- Sistema Integrador Más Retardo
Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( )dT sKe
G ss
−
=
a una función en lazo cerrado
( )( )2
3 12
1
d
M
Ts
G ss
β
β
+ + =
+
Paralelo Ideal Serie
P ( ) ( )
( )
2 2
22 2
4 2 7 16
6 12
d d d
d d
T T T
K T T
β β β
β β
+ + +
+ +
( ) ( )( )
2 2
22 2
4 2 7 16
6 12
d d d
d d
T T T
K T T
β β β
β β
+ + +
+ +
( )( 2 2
2 66 12
d
d d
TK T T
ββ β
++ +
( )2 2
46 12d dK T T β β+ +
( ) ( )
2 2
2 2
6 122 7 16
d d
d d d
T TT T T
β ββ β β
+ ++ + +
2
6dT β+
D ( ) ( )
( )
33 2 2 3
32 2
6 12 8 4
6 12
d d d d
d d
T T T T
K T T
β β β β
β β
+ + − +
+ +
( )( )( ) ( )( )
33 2 2 3
2 2 2 2
6 12 8 4
4 6 12 2 7 16d d d d
d d d d d
T T T T
T T T T T
β β β β
β β β β β
+ + − +
+ + + + +
2dT
3
2 2
46 12d dT T
ββ β+ +
3
2 2
46 12d dT T
ββ β+ +
3
2 2
46 12d dT T
ββ β+ +
θ ( )
( ) ( )
23 2 2
33 2 2 3
4 6 12
6 12 8 4d d
d d d d
K T T
T T T T
β β β
β β β β
+ +
+ + − +
( ) ( )( )( )
3 2 2
33 2 2 3
16 2 7 16
6 12 8 4d d d
d d d d
T T T
T T T T
β β β β
β β β β
+ + +
+ + − + (
3
2 2
86 12d d dT T T
ββ β+ +
6- Sistema de Segundo Orden
Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( ) 2 2 2 1K
G ss sτ τξ
=+ +
a una función en lazo cerrado
( )( )2
1
1MG s
sβ=
+
Paralelo Ideal Serie
P 4
4 Kτξ β
β−
4
4 Kτξ β
β−
( )2 1
2 K
τ ξ ξ
β
+ −
I 1
2 Kβ
24τξ β−
( )2
1
1τ ξ ξ+ −
D 2 24 4
8 Kβ βτξ τ
β− +
( )2 24 42 4
β βτξ ττξ β
− +−
2 1
τ
ξ ξ+ −
γ 2β
2β
2β
θ 2
2 2
44 4
Kββ βτξ τ− +
( )2
2 2
4 4
4 4
β βτξ τ
β βτξ τ
+
− + ( )2 1
2
β ξ ξ
τ
+ −
7- Sistema de Segundo Orden Con Cero Estable
Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( ) ( )2 2
1, 0
2 1K bs
G s bs sτ τξ
+= >
+ +
a una función en lazo cerrado
( ) 11MG s
sβ=
+
Paralelo Ideal Serie
P 2 b
Kτξβ
−
2 bK
τξβ
− ( )2 1
K
τ ξ ξ
β
+ −
I 1Kβ
1
2 bτξ − ( )2
1
1τ ξ ξ+ −
D 2 22b b
Kτ τξ
β− +
2 22
2b b
bτ τξ
τξ− +
− 2 1
τ
ξ ξ+ −
γ b b b
θ 2 22b K
b bβ
τ τξ− +
2
2 2
22
b bb b
τξτ τξ
−− +
( )2 1b ξ ξ
τ
+ −
8- Sistema de Segundo Orden Con Cero Inestable
Se desea llevar un sistema con una función en lazo abierto
( ) ( )2 2
1, 0
2 1K bs
G s bs sτ τξ
− += >
+ +
a una función en lazo cerrado
( ) 11MG s
sβ=
+
Paralelo Ideal Serie
P ( )
( )
2
2
2 2
2
b
K b
β τξ β
β
+ −
+
( )( )
2
2
2 2
2
b
K b
β τξ β
β
+ −
+ ( )
( )
2 1
2K b
τ ξ ξ
β
+ −
+
I ( )1
2K bβ +
2
24 2
bb
βτξβ τξ β
++ −
( )2
1
1τ ξ ξ+ −
D ( ) ( )
( )
2 2 2 4
3
2 2 2 2
2
b b
K b
β τ β β τξ β
β
+ − + +
+
( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 4
2
2 2 2 2
2 2 2
b b
b b
β τ β β τξ ββ τξ β β
+ − + ++ + −
2 1
τ
ξ ξ+ −
γ 2
2 bβ
β +
2
2 bβ
β +
2
2 bβ
β +
θ ( )
( ) ( )
22
2 2 2 4
2
2 2 2 2
K b
b b
β β
β τ β β τξ β
+
+ − + +
( )( )( ) ( )
2 2
2 2 2 4
2 2
2 2 2 2
b
b b
β β τξ β
β τ β β τξ β
+ −
+ − + + ( )
( )
2 2 1
2 b
β ξ ξ
β τ
+ −
+
