P x

y

π/43π/4

+Q

Ey

La carga Q está distribuida a lo largo de un cuarto de círculo como en figura. Halle el campo eléctrico en el origen.

Las contribuciones de las componentes Ex se cancelan, el campo neto está hacia abajo en dirección del eje y negativo.

)sin(4

1)sin(

4

1)sin(

4

1)sin(

2

0

2

0

2

0

θθλ

πεθ

λπε

θπε

θa

ad

a

dl

a

dqdEdEy ====

)414.1(4

1)]cos([

4

1)sin(

4

1

0

4/3

4/

0

4/3

4/

4/3

4/0 aad

adEE yy

λπε

θλ

πεθθ

λπε

ππ

π

π

π

π

=−=== ∫ ∫

a

Q

a

Q

ππλ

2

4/2== )ˆ(

)414.1(2

4

12

0

ja

QEy −=

ππε

22.1 FLUJO ELECTRICO A TRAVES DE UN CUBO

E

Se coloca un cubo de lado L en una región de campo eléctrico uniforme E. Halle el flujo eléctrico a través de cada cara del cubo y el flujo total a través del cubo cuando el cubo está orientado con dos de sus caras perpendiculares al capo E.

4n̂2n̂

3n̂

1n̂

5n̂

6n̂

22

11 )180cos(ˆ ELELAnEE −===Φr

22

22 )0cos(ˆ ELELAnEE ===Φr

0)90cos(2

6543 ==Φ=Φ=Φ=Φ ELEEEE

022

654321 =+−=Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=Φ ELELEEEEEEE

LEY DE GAUSS

C. F. Gauss

La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga

eléctrica total dentro la superficie

qE

n̂

Consideramos una carga puntual q adentro de una superficie esférica imaginaria de radio R. La magnitud del campo eléctrico es:

2

04

1

R

qE

πε=

El flujo eléctrico es:

0

2

2

0

)4(4

1

επ

πεq

RR

qEAE ===Φ

El flujo eléctrico no depende del radio R de la esfera, depende únicamente de la carga q encerrada por la esfera.

E

R

2R

dA

4 dA

q

Cada línea de campo que atraviesa la esfera pequeña también atraviesa la esfera grande, entonces el flujo total a través de cada esfera tiene que ser lo mismo.

El área de un elemento de superficie de la esfera pequeña es dA. Para la esfera grande el elemento es 4 veces mayor (el radio es 2 veces mayor). Aunque el área de la esfera sea mayor, el flujo es lo mismo porque el campo eléctrico a una distancia 2R del centro es menor:

0

2

2

0

2

0

2

2

0

))2(4()2(4

1

)4(4

1

επ

πε

επ

πε

qR

R

q

qR

R

q

R

R

==Φ

==Φ

Ese resultado es válido para una superficie de cualquier forma o tamaño, con la sola condición de que se trate de una superficie cerrada que encierra la carga q:

0εq

AdEE =⋅=Φ ∫rr

0=⋅=Φ ∫ AdEE

rr

Si la carga está afuera de la superificieel flujo es cero:

q

q

q3

q1q2

q4

Si la superficie encierra varias cargas puntuales:

00

1

εεenc

n

i

i

E

Qq

AdE ==⋅=Φ∑

∫ =rr

El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es igual a la carga eléctrica total presente en el interior de la superficie, dividida entre ε0.

Qenc es siempre la suma algebraica de todas las cargas positivas y negativas encerradas por la superficie.

Enunciado general de la ley de Gauss

La superficie imaginaria se llaman también “superficie gaussiana”

+q

-q

Halle el flujo eléctrico a través de la superficie en figura, que encierra dos cargas iguales y opuestas

00

=−+

=⋅=Φ ∫ εqq

AdEE

rr

+q

+q

+q-q

Halle el flujo eléctrico a través de la superficie en figura, que encierra 4 cargas iguales, 3 positivas y una negativa:

00

2

εεqqqqq

AdEE =−+++

=⋅=Φ ∫rr

E φ=30o

σ

Una lámina uniformemente cargada con densidad superficial σ=3 nC/m2

produce un campo eléctrico uniforme E horizontal. Calcule el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular (a=0.02 m, b=0.05 m) cuyo vector normal forma un ángulo de 30o con el campo E.

a

b

FORMULARIO

2

21

r

qkq

229

0

/109.84

1C�mk ==

πε

ELECTROSTÁTICAPartículas elementales qe = -1.6 x 10

– 19 C

me = 9.11x 10 – 31 kg.

qp = 1.6 x 10 – 19 C

mp = 1.67 x 10 – 27 kg.

qn = 0

mn = mp

qd = qpmd = 2 mp

qα = 2 qpmα = 4 mp

Ley de Coulomb

F =

εo = 8.85x 10 –12 C2/Nm2

Campo eléctrico

2

04

1

r

q

q

FE

πε==

dV

dq

dA

dq

dL

dq

=

=

=

ρ

σ

λ

Densidades de carga

Dipolo eléctrico

EpU

Ep

qdp

rr

rr

r

⋅−=

×=

=

τ

Flujo eléctrico

Ley de Gauss

∫ ⋅=ΦA

E AdErr

0εq

AdEA

E =⋅=Φ ∫rr