ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ...
-
Upload
truongkiet -
Category
Documents
-
view
236 -
download
3
Transcript of ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ...
ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ
ΣΤΑΤΙΚΗ
ΑΝΑΛΥΣΗ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-
ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ
Η Συγκριτική Στατική Ανάλυση ασχολείται με την σύγκριση
διαφόρων καταστάσεων ισορροπίας οι οποίες συνδέονται με
διαφορετικά σύνολα τιμών των παραμέτρων και των εξωγενών
μεταβλητών.
Στη συγκριτική στατική ανάλυση αγνοούμε την διαδικασία προσαρμογής
των μεταβλητών. Απλά συγκρίνουμε την αρχική (πριν την αλλαγή)
κατάσταση ισορροπίας με την τελική (μετά την αλλαγή) κατάσταση
ισορροπίας.
Ποιοτική συγκριτική στατική ανάλυση: ενδιαφέρεται για την κατεύθυνση της
μεταβολής
Ποσοτική συγκριτική ανάλυση: ενδιαφέρεται για το μέγεθος της της μεταβολής .
Το βασικό πρόβλημα στην συγκριτική στατιστική ανάλυση είναι η εύρεση του ρυθμού
μεταβολής
ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
x
xfxxf
x
y
)()( 00Η μεταβολή του y ανα μονάδα μεταβολής του x:
A
Q0 Q1 Q2
C0
C2
C1 }ΔC
B
D
K
G
HF E
Q
C
0
C=f(Q)
Η έννοια της κλίσης της καμπύλης είναι η αντίστοιχη
γεωμετρική έννοια της παραγώγου.
Η κλίση της ευθείας KG μετράει την κλίση της καμπύλης συνολικού
κόστους στο σημείο Α
ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ
1. Κανόνας Σταθερής
συνάρτησης0)(
)(
xfdx
dy
kxfy
2. Κανόνας Δυναμοσυνάρτησης
1)(
)(
n
n
nxxfdx
dy
xxfy
1)(
)(
n
n
cnxxfdx
dy
cxxfy
Γενίκευση του κανόνα της δυναμοσυνάρτησης
23 3)( xxfxy
23 12)(4 xxfxy
ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΔΥΟ Ή
ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ
ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
1. Κανόνας αθροίσματος (διαφοράς)
)()()()()]()([ xgxfxgdx
dxf
dx
dxgxf
dx
d
233 45)15(15 xxdx
dxy
22233
33333
451827)6()9(
)69(6915
xxxxdx
dx
dx
d
xxdx
dxxxy
π.χ
Γενίκευση του κανόνα αθροίσματος
)()()()]()()([ xhxgxfxhxgxfdx
d
o x
yxy2
11
2
1
dx
dy
o x
y
50106
1 3 xxy
102
1 2 xdx
dy
50
-10
o x
y
)3(1
)3(5
xx
xxy
)3(1
)3(1
x
x
dx
dy
5
-1
ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Κανόνας γινομένου:
)()()()()()()()()]()([ xgxfxgxfxfdx
dxgxg
dx
dxfxgxf
dx
d
π.χ.
xxxxx
xdx
dxx
dx
dxxx
dx
d
1818)3(2)6)(32(
)32()3()3()32()]3)(32[(
22
222
Γενίκευση του κανόνα )()()()()()()()()()]()()([ xhxgxfxhxgxfxhxgxfxhxgxfdx
d
Οικονομικό παράδειγμα
QdQ
dRMR
QQQQQARR
QAR
215
15)15(
15
2
)()(
)()()(1)(
)(
)(
QfQQfMRARMR
QfQQfQQfQfdQ
dRMR
QQfQARR
QfAR
Κανόνας Πηλίκου:)(
)()()()(
)(
)(2 xg
xgxfxgxf
xg
xf
dx
d
22 )1(
5
)1(
)1)(32()1(2
1
)32(
xx
xx
x
x
dx
dπ.χ.
Οικονομικό παράδειγμα: Σχέση μεταξύ οριακού κόστους και μέσου κόστους
60243 2 QQMC
60122 QQAC
60
60
Q
])(
)([1)]1)(()([)(
/..)..(
2 Q
QCQC
QCQQC
Q
QC
dQ
d
QCACQfC
Q
QCQCάόά
Q
QC
dQ
d
Q
)()(.........0
)(
0
Η κλίση της καμπύλης AC θα είναι θετική, μηδέν ή
αρνητική εάν και μόνον εάν η καμπύλη του οριακού
κόστους θα βρίσκεται επάνω, θα τέμνει ή θα βρίσκεται
κάτω της καμπύλης AC
Συναρτήσεις Παράγωγοι
f(x)=c (σταθερά) f’(x)=0
f(x)=x f’(x)=1
f(x)=xn f’(x)=nxn-1
f(x)=sin x f’(x)=cos x
f(x)=cos x f’(x)=-sin x
f(x)=ex f’(x)=ex
f(x)=ln x f’(x)=x-1
Παράγωγοι βασικών Συναρτήσεων
Συναρτήσεις Παράγωγοι
f(x)=d(x)+g(x) f’(x)= d’(x)+g’(x)
f(x)= d(x)•g(x) f’(x)= d’(x)•g(x)+ d(x)•g’(x)
f(x)= c•d(x) f’(x)=c•d’(x)
f(x)= (d(x))n f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)
f(x)=ln d(x) f’(x)=d’(x) •(d(x))-1
f(x)=logcd(x) f’(x)=d’(x)•(d(x))-1•(ln c)-1
f(x)=cd(x) f’(x)=cd(x) •d’(x)•ln c
f(x)= d(g(x)) f’(x)=d’g(x)•g’(x)
f(x)=d-1(x) f’(x)= (d’(x)) –1
ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ
Εφαρμογή 1: Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης:4f(x) = 2x
Η παράγωγος της συνάρτησης
f(x) είναι:
Η συνάρτηση είναι γινόμενο
σταθεράς επί συνάρτηση:
Η παράγωγος της g είναι:
4όπου
f(x) = 2 g(x)
g(x) = x
'
4 3g'(x) = x = 4x
3 3
f(x) = 2 g(x)
f'(x) = 2 g'(x) = 2 4x = 8x
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ
Εφαρμογή 2 : Να υπολογισθεί η παράγωγος πολυωνυμικής συνάρτησης:
4 3 2f(x) = 2x + x +3x +5x +1
Η παράγωγος του αθροίσματος
συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των
παραγώγων:
4
3
2
g = 2x
h = x
i = 3x f(x) = g+h+ j+i+k
j = 5x
k = 1
3 2
f'(x) = g'+h'+ j' +i' +k' =
8x +3x +6x +5
' '4 4 3 3
'3 2
' '2 2
'
'
g' = 2x = 2 x = 2 4x = 8x
h' = x = 3x
i' = 3x = 3 x = 3 2x = 6x
j' = 5x = 5 x' = 5 1= 5
k' = 1 = 0
Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν
άθροισμα συναρτήσεων:
Οι παράγωγοι των επιμέρους συναρτήσεων
είναι:
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ
Εφαρμογή3 : Να υπολογισθεί η παράγωγος πηλίκου συναρτήσεων:
g(x)f(x) =
h(x)Η συνάρτηση μπορεί να γραφεί σαν
γινόμενο συναρτήσεων:
Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= [d(x)]n τότε
f’(x)=n•[d(x)]n-1• d΄(x)
Συνεπώς για την συνάρτηση h-1 :
Οπότε έχουμε τελικά:
-1g 1f = = g = g h
h h
22 ' '
'-1h = -1 h h = - h h
Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= d(x)•e(x)
τότε f΄(x)= d΄(x)•e(x)+ d(x)•e΄(x)
'''
' -1 -1 -1f = g h = g h g h
2
'
2
'
''
' -1' -1 'f = g h = g h - g h h
g h- g hf =
h
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ
Εφαρμογή 4: Να υπολογισθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:3 4(1) y = (3x - x +1)
Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση είναι της
μορφής:
4
3όπου
y = (d)
d = 3x - x +1
Γνωρίζουμε ότι αν f(x)= (d(x))n τότε
f’(x)=n•(d(x))n-1• d’(x)
Συνεπώς για την συνάρτηση y έχουμε:
4 3y' = [(d) ]' = 4d d'
Υπολογίζουμε την παράγωγο της d(x): 3 2(d)' = (3x - x +1)' = 3 - 3x
Οπότε έχουμε τελικά:3 3 2y' = 4(3x - x +1) (3 - 3x )
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣΗΣ
ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΤΡΗΣΕΩΝ
ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
1. Ο Αλυσιδωτός κανόνας
)(
)(
xgy
yfz
)()( xgyfdx
dy
dy
dz
dx
dz
zyxfέgέ
....
)()()( whxgyfdw
dx
dx
dy
dy
dz
dw
dzΓενίκευση του κανόνα
Οικονομικό παράδειγμα:
)()(
)(
)(
LgQfdL
dQ
dQ
dR
dL
dR
LgQ
QfR
dR/dQ=MR
dQ/dL= MPPL
dR/dL=MRPL
MRPL=MR*MPPL
ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΣΥΝΑΤΡΗΣΕΩΝ
ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ2. Ο κανόνας της αντίστροφης συνάρτησης
Μονοτονικές συναρτήσεις
)()( 2121 xfxfxx Αύξουσα ή μονοτονικά αύξουσα συνάρτηση
)()( 2121 xfxfxx Φθίνουσα ή μονοτονικά φθίνουσα συνάρτηση
dxdydy
dx 1
15
11
015......
4
45
xdx
dydy
dx
xdx
dyxxyπ.χ.
ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
).....,,,( 321 nxxxxfy
ix
y
Η μερική παράγωγος του y ως προς xi
Συμβολισμός
Υπάρχουν αρκετοί εναλλακτικοί τρόποι
συμβολισμού για την μερική παράγωγο:
Βρίσκω την Μερική Παράγωγο
Η μερική παράγωγο ως προς το x είναι η
παράγωγος της συνάρτησης f με μία μεταβλητή
όταν το y παραμένει σταθερό:
Παράδειγμα
Έστω f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2, βρείτε την fx(2, 1)
and fy(2, 1).
Λύση: Διατηρώντας την μεταβλητή y σταθερή
παραγωγίζοντας ως προς x, έχουμε
fx(x, y) = 3x2 + 2xy3
και ως εκ τούτου
fx(2, 1) = 3 · 22 + 2 · 2 · 13 = 16
Λύση (2)
Διατηρώντας την x σταθερή και παραγωγίζοντας
ως προς y, έχουμε
fx(x, y) = 3x2y2 – 4y
και ως εκ τούτου
fx(2, 1) = 3 · 22 · 12 – 4 · 1 = 8
Γεωμετρική ερμηνεία
Γεωμετρική ερμηνεία (2)
Σημειώστε ότι …
C1 είναι το γράφημα της συνάρτησης f(x) = f(x, b), έτσι η
κλίση της εφαπτομένης T1 στο σημείο P είναι f′(a) = fx(a,
b);
C2 είναι το γράφημα της συνάρτησης f(y) = f(a, y), έτσι η
κλίση της εφαπτομένης T2 στο P είναι f′(b) = fy(a, b).
Συνεπώς fx και fy αποτελούν τις κλίσεις των
εφαπτομένων γραμμών στο σημείο P(a, b, c) των C1
και C2.
Ερμηνεία (3)
Η μερική παράγωγος μπορεί να ερμηνευτεί ως
ρυθμός μεταβολής.
Εάν z = f(x, y), τότε…
∂z/∂x αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής της z σε
κάθε αλλαγή του x όταν η y παραμένει σταθερή.
Ομοίως, ∂z/∂y αντιπροσωπεύει τον ρυθμό μεταβολής
της z ως προς y όταν η x παραμένει σταθερή.
Παράδειγμα 1
Εάν f(x, y) = 4 – x2 – 2y2, βρείτε την fx(1, 1) και
fy(1, 1).
Ερμηνεύστε αυτά τα νούμερα ως κλίσεις.
Λύση: Έχουμε
Παράδειγμα 1 (2)
Το γράφημα της f είναι παραβολή
z = 4 – x2 – 2y2 και το κάθετο επίπεδο y = 1 τέμνει
την παραβολή z = 2 – x2, y = 1.
Η κλίση της εφαπτομένης ευθείας σε αυτή τη
παραβολή στο σημείο (1, 1, 1) είναι fx(1, 1) = –2.
Ομοίως, το επίπεδο x = 1 τέμνει το γράφημα της f
στην παραβολή z = 3 – 2y2, x = 1.
Παράδειγμα 1 (3)
Η κλίση της εφαπτομένης ευθείας στην παραβολή
στο σημείο (1, 1, 1) είναι fy(1, 1) = –4:
Παράδειγμα 2
Εάν
Λύση: Χρησιμοποιώντας το Αλυσιδωτό Κανόνα,
έχουμε:
. and βρεθούν να ,1
,y
f
x
f
y
xyxf
Παράδειγμα 3
Βρείτε τις ∂z/∂x και ∂z/∂y εάν z έχει οριστεί ως
συνάρτηση των x και y ως
x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1
Λύση: Για να βρούμε ∂z/∂x, παραγωγίζουμε προς
x, και ως σταθερό όρο το y:
Λύση
Λύνοντας ως προς ∂z/∂x, παίρνουμε
Ομοίως, παραγώγιση ως προς το y δίνει
…Περισσότερες από δύο
μεταβλητές
Μερική παραγώγιση μπορεί να εφαρμοστεί σε
συναρτήσεις τριών ή/και περισσοτέρων
μεταβλητών , π.χ.
Εάν w = f(x, y, z), τότε fx = ∂w/∂x είναι ο ρυθμός
μεταβολής του w σε σχέση με την αλλαγή του x
όταν y και z διατηρούνται σταθερά.
Γεωμετρική ερμηνεία δεν υπάρχει μιας και το
σχήμα της f ανήκει στον 4-διάστατο χώρο.
Γενικά, εάν u = f(x1, x2 ,…, xn), τότε
και επίσης μπορεί να γραφτεί
…Περισσότερες από δύο
μεταβλητές
Παράδειγμα
Να βρεθούν οι fx , fy , και fz εάν f(x, y, z) = exy
ln z.
Λύση: Διατηρώντας y και z σταθερά και
παραγωγίζοντας ως προς x, έχουμε
fx = yexy ln z
Ομοίως,
fy = xexy ln z and fz = exy/z
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΤΙΚ ΑΝΑΛΥΣΗ
dPcQ
bPaQ
0,
0,
dc
ba
db
caP
db
bcadQ
Παράγωγοι συγκριτικής στατικής
dba
P
1
22 )(
)(
)(
)(1)((0
db
ca
db
cadb
b
P
a
P
dbc
P
1
2 2
0(( ) 1( ) ( )
( ) ( )
P b d a c a c P
d b d b d b
0
c
P
a
P
0
d
P
b
P
D
D’
S
Q
P
Αύξηση του b
D
S’S
Q
P
Αύξηση του d
D
D’
S
Q
P
Αύξηση του α
α
α’
D
S’
SQ
P
Αύξηση του c
-C
-C’
ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
Οι μερικές παράγωγοι αποτελούν έναν τρόπο ελέγχου της
συναρτησιακής (γραμμικής ή μη) εξάρτησης μεταξύ των στοιχείων ενός
συνόλου n συναρτήσεων n μεταβλητών.
n
nn
n
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
J
...
.....
.....
.....
..
||
1
1
2
1
1
1Η Ιακωβιανή |J| θα είναι ταυτοτικά
μηδέν για όλες τις τιμές των x1, x2,
…xn εάν και μόνο εάν οι n
συναρτήσεις είναι συναρτησιακά
(γραμμικά ή μη ) εξαρτημένες
2
221
2
12
211
9124
32
xxxxy
xxy
y=f(x)
A
B x00
θmθα
y
x
y=f(x)
A
Bx00
θmθα
y
x
Εφαρμογή των Διαφορικών στην
Ελαστικότητα σημείου