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Capítulo 4

RREESSIISSTTEENNCCIIAA AA EESSFFUUEERRZZOO CCOORRTTAANNTTEE

Problemas de Geotecnia y Cimientos

120

Capítulo 4 - Resistencia a esfuerzo cortante

121

PROBLEMA 4.1 Calcular los esfuerzos que actúan sobre el plano π, que forma un ángulo de 30º con respecto al plano sobre el que actúa la tensión principal mayor (figura 4.1).

400 kN / m

200 kN / m

2

2

α = 30º

2400 kN / m

200 kN / m2

π

Figura 4.1

SOLUCIÓN 1) Cálculo analítico En un estado de tensiones bidimensional, las tensiones que actúan en cualquier plano que pasa por un punto se pueden representar gráficamente con el círculo de Mohr. Si un plano π forma un ángulo a con el plano principal mayor, las tensiones normal (σ) y tangencial (τ) en dicho plano vienen dadas por:

σ = σ1 · cos2 a + σ3 · sen2 a

α⋅σ−σ

=τ 2sen2

31

siendo σ1 y σ3 las tensiones principales mayor y menor, respectivamente.


122

σ = 200

P

350 σ = 400

B

σ

86'6

τ (kN / m )2

(kN / m )2

3 1

p = 300

α = 30º

2α = 60º

π

π

C

Figura 4.2

Sustituyendo valores:

σ = 400 · cos2 30º + 200 · sen2 30º = 350 kN / m2

2m/kN60'86º60sen·

2200400 =−=τ

2) Cálculo gráfico (figura 4.2) En primer lugar, se representa el círculo de Mohr, cuyo diámetro es:

σ1 - σ3 = 200 kN / m2 y cuyo centro tiene por abcisa:

p = (σ1 + σ3) / 2 = 300 kN / m2


123

Seguidamente se debe buscar el polo P. Para ello, por el punto (400,0), que representa al plano principal mayor, se traza una paralela a éste (horizontal), cortando al círculo en el polo P. Trazando ahora por el polo P una paralela al plano π, ésta corta al círculo de Mohr en el punto B, cuyas coordenadas representan las tensiones en dicho plano, resultando ser:

σ = 350 kN / m2 τ = 86'6 kN / m2

Obsérvese que si el plano π forma un ángulo α = 30º con el plano principal mayor, el ángulo central en el círculo de Mohr es el doble, es decir, 60º.


124

PROBLEMA 4.2 Obtener la magnitud y dirección de los esfuerzos principales, para el estado de tensiones representado en la figura 4.3.

400

600

400

600

45º

200 200

200 200

( Tensiones en kN / m )2

Figura 4.3

SOLUCIÓN

1) Cálculo gráfico (figura 4.4) En primer lugar se debe dibujar el círculo de Mohr. Dado que el enunciado proporciona las tensiones en dos planos perpendiculares, se conocen los puntos S1 (400,200) y S2 (600, -200) del círculo. Si se unen dichos puntos con una recta, la intersección de esta recta con el eje de abcisas proporciona el centro del círculo de Mohr que corta al eje de abcisas en los puntos que representan las tensiones principales, resultando ser:

σ1 = 723'6 kN / m2 σ3 = 276'4 kN / m2


125

σ = 276'4

P

σ = 723'6

100 200 300 400 500 600 700 800 900

100

200

300

-100

-200

-300

Plano principalmenor

Plano principalmayor

(kN / m )τ 2

(kN / m )σ 2

3 1

S2

1σ

p

3σ

2 αβ

1S

Plano principalmayor

Plano principalmenor

Figura 4.4 Trazando ahora por S2 una paralela al plano cuyo estado tensional representa, se obtiene el polo P en la intersección con el círculo de Mohr (el mismo resultado se hubiese obtenido tomando el punto S1). Finalmente, uniendo el polo P con los puntos (σ1 , 0) y (σ3, 0), se obtienen las direcciones de los planos principales.

2) Cálculo analítico Se conocen las tensiones en dos planos perpendiculares entre sí. La abcisa del centro del círculo de Mohr es:

2m/kN500

2400600

p 312 σ+σ==+= (1)

y el radio es:

2r 31 σ−σ

= (2)


126

Puesto que los puntos S1 (400, 200) y S2 (600, -200) pertenecen al círculo, tomando por ejemplo el segundo de ellos, se debe verificar:

22222 r)200()500600()500( =−+−=τ+−σ Por lo tanto:

2m/kN61'223r = Resolviendo ahora las ecuaciones (1) y (2), se obtiene:

σ1 = 723'6 kN / m2 σ3 = 276'4 kN / m2

Resta finalmente orientar los planos principales. Sea a el ángulo que forma el plano representado por S1 con el plano principal mayor. En el plano de Mohr, el ángulo central formado por estos dos puntos es 2a, y se verifica que (figura 4.4):

2a + ß = 180º Como:

º43'6361'223

200sen =β→=β

entonces:

º29'58=α El plano principal menor es perpendicular al plano principal mayor.


127

PROBLEMA 4.3 En un punto de una arena se ha producido la rotura cuando en el plano de máxima tensión cortante actúan los siguientes esfuerzos: o Tensión normal total: 384 kN / m2 o Tensión cortante: 131 kN / m2 o Presión intersticial: 136 kN / m2 Determinar:

a) Tensiones efectivas principales. b) Ángulo de rozamiento de la arena. c) Tensiones efectivas en los planos de rotura. d) Ángulo que forman los planos de rotura.

SOLUCIÓN a) Tensiones principales El plano de máxima tensión cortante es el representado por el punto A (figura 4.5) y las tensiones que actúan según el enunciado son las siguientes: Totales:

2m/kN384=σ 2m/kN136u = 2m/kN131=τ

Por consiguiente, las efectivas serán:

2m/kN248136384u' =−=−σ=σ 2m/kN131=τ


128

(kN / m )2

τ

σ', σ

φ'

r

R

σ'

φ'

2 α

φ'

B C'

φ'

p' = 248 u = 136

p = 384

A'

3 1σ'

1

2R

O C

A

σσ3

r

(kN / m )2

1

φ'

131

Figura 4.5 Con estos datos, es evidente que la abcisa del centro del círculo de Mohr en efectivas p' es 248 kN/m2 y el radio r de los círculos es 131 kN/m2. Por lo tanto, se puede escribir que:

21 m/kN379131248r'p' =+=+=σ

23 m/kN117131248r'p' =−=−=σ

b) Ángulo de rozamiento de la arena Al tratarse de una arena, la cohesión efectiva c' es nula. Por otro lado, como en el enunciado se indica que se ha producido la rotura, el círculo de Mohr en efectivas debe ser tangente a la línea de resistencia intrínseca y esta condición se expresa en el triángulo OC'R1 (figura 4.5) como:

'sen·'pr φ=


129

Sustituyendo valores, se obtiene:

º89'31248131

senarc' =

=φ

c) Tensiones efectivas en los planos de rotura Los planos de rotura teóricos son dos: R1 y R2 (figura 4.5). El primero se tiene con una tensión de corte positiva y el segundo con el mismo valor de la tensión de corte pero negativa, y en ambos, la tensión normal efectiva es la misma. Se trata de calcular las coordenadas de los puntos R1 y R2. En el triángulo OC'R1 se tiene:

21 m/kN57'210º89'31cos·248'cos·'pOR ==φ=

Y ahora en el triángulo OBR1: 2

11R m/kN79'178'cos·OR' =φ=σ

211R m/kN24'111'sen·OR =φ=τ

Las coordenadas del otro plano de rotura (plano conjugado) serán: 2

2R m/kN79'178' =σ

22R m/kN24'111−=τ


130

d) Ángulo que forman los planos de rotura entre sí Como se desprende de la figura 4.5, el ángulo central entre R1 y R2 es:

º22'11689'31·2180'2º1802 =−=φ−=α Por lo tanto, el ángulo formado por los planos es la mitad, es decir: α = 58'11º


131

PROBLEMA 4.4 Sobre un suelo se han realizado ensayos triaxiales CU obteniéndose una cohesión efectiva c' = 47'6 kN/m2, un ángulo de rozamiento efectivo φ' = 30º, una cohesión aparente ccu = 30 kN/m2 y un ángulo de rozamiento aparente φcu = 30º. En uno de los ensayos, la muestra rompió cuando la tensión vertical era de 500 kN / m2. Se pide calcular en este ensayo la presión intersticial en el momento de la rotura y la presión de célula aplicada.

SOLUCIÓN Los parámetros de resistencia intrínsecos (efectivos) son válidos en cualquier situación, mientras que los parámetros aparentes (totales) solo pueden emplearse en las mismas circunstancias en las que se obtuvieron, en este caso, ensayo CU. Puesto que se trata de una situación de rotura, el círculo de Mohr en efectivas será tangente a la línea de resistencia intrínseca. Además, como el ensayo es CU, el círculo de Mohr en totales será tangente a la línea de resistencia aparente (figura 4.6). Estas condiciones de tangencia se expresan como:

º30sen·)º30cot·6'47'p('sen·)'cot·'c'p(r +=φφ+= (1)

º30sen·)º30cot·30p(sen·)cot·cp(r cucucu +=φφ+= (2) Por otra parte, los círculos están desplazados horizontalmente un valor igual a la presión intersticial en rotura, es decir:

u'pp += (3) Finalmente, como el ensayo se realizó con una presión vertical de 500 kN/m2, se puede escribir:

r500p −= (4)


132

(kN / m )τ

σ', σ 2(kN / m )

Ø = 30º

p'

c' = 47'6c = 30cu

Ø' = 30º

rr

σ' σ σ' σ = 500

u

p

O' O

cu

c' · ctg Ø'

c · ctg Øcu cu

1 13 3

2

Figura 4.6

Se dispone de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (r, p, p' y u) que resuelto proporciona los siguientes valores: p = 316'01 kN/m2 p' = 285'53 kN/m2 r = 183'99 kN/m2

2m/kN84'30u =

Resta calcular la presión de célula. Como:

2500

2m/kN01'316p 3312 σ+=σ+σ==

entonces, se obtiene que:

2

3 m/kN02'132=σ


133

PROBLEMA 4.5 En un ensayo triaxial se han obtenido los siguientes resultados en la fase de saturación:

Presión de

célula

Presión de

cola

Presión

intersticial (kN / m2)

(kN / m2)

(kN / m2)

0 50 50

100 100 200 200 300 300 500

0

40

90

200

300

-10 8

30 65 90

185 197 296 300 500

Determinar el valor del parámetro B de presión intersticial en cada etapa.

SOLUCIÓN En el ensayo triaxial (figura 4.7), cuando se produce una variación hidrostática de la presión de célula (∆σ3), inmediatamente se origina una variación de presión intersticial en la muestra (∆u). En estas condiciones, el parámetro de presión intersticial B se define como:

3

uB

σ∆∆=

y su valor depende del grado de saturación de la muestra. Para un grado de saturación del 100% el parámetro B es igual a la unidad. La aplicación de una presión de cola a la muestra tiene por objeto asegurar su saturación y aplicar en la misma una presión intersticial.


134

σ3

u

ucσ3

uuu

Figura 4.7

El procedimiento consiste en aplicar una presión de célula y registrar la presión intersticial en la muestra. Seguidamente, se aplica la presión de cola hasta igualar la presión de célula (puede ser 10 kN / m2 inferior para asegurar presiones efectivas positivas en la muestra) y se comprueba que la presión intersticial en la muestra iguala a la presión de cola o está muy próxima. El proceso se repite incrementando la presión de célula, registrar nuevamente la presión intersticial en la muestra y calcular el valor del parámetro B con la expresión anterior. Si no es la unidad, se aplica otra vez presión de cola y se repite el proceso. Los cálculos y resultados pueden ordenarse en la siguiente tabla:

Presión de

célula

Presión de

cola

Presión

intersticial

∆u

∆σ3

B = ∆u /∆σ3

(kN/m2)

(kN/m2)

(kN/m2)

(kN/m2)

(kN/m2)

0 0 -10 50 8 18 50 0.36 50 40 30

100 65 35 50 0.70 100 90 90 200 185 95 100 0.95 200 200 197 300 296 99 100 0.99 300 300 300 500 500 200 200 1.00


135

PROBLEMA 4.6 En una arcilla normalmente consolidada se realiza un ensayo triaxial CU con una presión de cola de 100 kN / m2 y consolidando con una presión de célula de 300 kN / m2, alcanzándose la rotura con un desviador de 200 kN / m2 e igual a la presión intersticial en rotura. Se pide calcular: a) Ángulo de rozamiento efectivo y parámetros de presión intersticial de la arcilla. b) Desviador que se hubiese obtenido si la rotura se hubiese realizado con

drenaje. c) Presión intersticial en rotura si tras la consolidación a 300 kN / m2 se cierra el

drenaje, se incrementa la presión de célula a 500 kN / m2 y se procede a romper la muestra manteniendo el drenaje cerrado.

SOLUCIÓN a) Ángulo de rozamiento efectivo y parámetros de presión intersticial

En el ensayo CU pueden considerarse los estados reflejados en la figura 4.8:

- ESTADO 1: Aplicación de la presión de cola uc = 100 kN / m2 y de una presión de célula σ3 = 300 kN / m2, permitiendo la consolidación, es decir, cuando finalice ésta, la presión intersticial en la muestra será igual a la presión de cola.

- ESTADO 2: Estado de rotura. Finalizada la consolidación, se cierra el drenaje y se procede a incrementar la presión vertical σ1

hasta alcanzar la rotura. Como en la muestra se incrementa la presión total vertical aplicada, se producirá en cada incremento una variación de presión intersticial, cuya estimación puede realizarse con la fórmula de Skempton y que no puede disiparse ya que el drenaje está cerrado. En el momento de rotura, la presión intersticial tendrá un valor ur = 200 kN / m2.


136

ESTADO 2

100 kN / m

ESTADO 1

2

300 kN / m

2300 kN / m

2

σ1

300 kN / m2

u = 100 kN / m2c

200 kN / m2

Figura 4.8

Según el enunciado, el desviador en rotura vale:

σ1 - σ3 = 200 kN / m2. Como σ3 = 300 kN / m2, entonces:

σ1 = 500 kN / m2

p = (σ1 + σ3) / 2 = 400 kN / m2 Como la presión intersticial en rotura fue de 200 kN / m2, resulta que:

p' = p - ur = 400 - 200 = 200 kN / m2 Siendo la arcilla normalmente consolidada, la cohesión efectiva es nula, y en el estado de rotura, el círculo de Mohr en efectivas es tangente a la línea de resistencia intrínseca. Esta condición se expresa, si la cohesión efectiva es nula, como:

sen φ' = r / p' = ((σ1 - σ3) / 2 ) / p'=100 / 200 = 0'5


137

En consecuencia, el ángulo de rozamiento efectivo de la arcilla es 30º. Calculemos ahora los parámetros de presión intersticial. Como se aplica una presión de cola, la muestra está saturada y por consiguiente B = 1. Para el cálculo del parámetro A de presión intersticial, debe utilizarse la fórmula de Skempton:

∆u = B [ ∆σ3 + A(∆σ1 - ∆σ3) ] fórmula que proporciona la variación de presión intersticial al pasar de un estado a otro. Del estado 1 al estado 2, las variaciones de presiones totales son:

∆σ3 = 0 ∆σ1 = 500 - 300 = 200 kN / m2

Sustituyendo:

∆u = 200 A = ur - uc = 200 - 100 = 100 kN / m2

de donde se obtiene:

A = 0'5 φ' = 30º A = 0'5


138

ESTADO 2ESTADO 1

100 kN / m

300 kN / m

2300 kN / m

2

2 2300 kN / m

σ1

100 kN / m 2

u = 100 kN / mc2 u = 100 kN / mc

2

Figura 4.9 b) Desviador en rotura en el ensayo CD

En el ensayo CD, pueden considerarse los estados reflejados en la figura 4.9:

- ESTADO 1: Aplicación de la presión de cola uc = 100 kN/m2 y de una presión de célula σ3 = 300 kN / m2, permitiendo la consolidación, es decir, cuando finalice la consolidación, la presión intersticial en la muestra será igual a la presión de cola.

- ESTADO 2: Estado de rotura. Finalizada la consolidación, se mantiene el drenaje abierto y se procede a incrementar la presión vertical σ1 permitiendo la disipación de las variaciones de presión intersticial que se puedan producir en la muestra. En rotura, teóricamente, la presión intersticial es la misma que la del estado anterior, es decir, igual a la presión de cola.


139

La condición de tangencia del círculo de Mohr en efectivas a la línea de resistencia intrínseca se expresa ahora como:

p' sen 30º = 0'5 p' = r o también:

0'5 (p-uc) = 0'5 (p- 100) = 0'5 [ (s 1 + s 3 ) / 2 – 100 ] = r = (s1 - s 3 ) / 2 de donde se deduce que:

s 1 = 700 kN / m2 y la presión efectiva será:

s '1 = s 1 - uc = 600 kN / m2 El desviador en rotura es:

s 1 - s 3 = 400 kN / m2

c) Presión intersticial en el ensayo sin drenaje

En el ensayo del enunciado pueden considerarse los siguientes estados (figura 4.10):

- ESTADO 1: Aplicación de la presión de cola uc = 100 kN / m2 y de una presión de célula σ3 = 300 kN / m2, permitiendo la consolidación, es decir, cuando finalice la consolidación, la presión intersticial en la muestra será igual a la presión de cola.

- ESTADO 2: Se cierra el drenaje y se procede a incrementar la presión

de célula a σ3 = 500 kN / m2. La presión intersticial en la muestra variará, alcanzando un valor u2.


140

ESTADO 2ESTADO 1

100 kN / m

300 kN / m

2

2

2300 kN / m

2500 kN / m

2u

500 kN / m2

r

ESTADO 3

u

500 kN / m 2

1σ

u = 100 kN / mc2

Figura 4.10 Como al pasar del estado 1 al estado 2 las variaciones de presiones totales producidas son: ∆σ3 = 500 – 300 = 200 kN/m2 ∆σ1 = 500 – 300 = 200 kN/m2

la fórmula de Skempton proporciona la siguiente variación de presión intersticial: ∆u = B [ ∆σ3 + A(∆σ1 - ∆σ3) ] = 200 kN/m2

y por lo tanto u2 = uc + 200 = 300 kN/m2 Como se puede deducir fácilmente, las tensiones efectivas son iguales a las del estado 1.

- ESTADO 3: Estado de rotura. Manteniendo el drenaje cerrado, se procede a incrementar la presión vertical σ1 hasta la rotura en donde la presión intersticial habrá alcanzado un valor ur.


141

La condición de tangencia del círculo de Mohr en efectivas a la línea de resistencia intrínseca se sigue expresando como:

p' · sen 30º = 0'5 · p' = r o también:

0'5 · (p - ur) = 0'5 · [ (s 1 + s 3 ) / 2 - ur ] = r = (s 1 - s 3 ) / 2

de donde se deduce que:

s 1 - 3s 3 = -2 · ur (1) La variación de presión intersticial que se produce al pasar del estado 2 al estado 3 de rotura puede estimarse con la fórmula de Skempton. Como

∆σ1 = σ1 – 500 kN/m2

∆σ3 = 0 entonces: ∆u = B · [ ∆σ3 + A · (∆σ1 - ∆σ3) ] = 1 · [ 0 + 0'5 (σ1 - σ3 - 0) ] = 0'5 · (σ1 - σ3) y por lo tanto:

ur = u2 + ∆u = 300 + 0'5 · (σ1 - 500) (2) Como se observa se ha admitido que A = 0'5 valor obtenido en el ensayo CU. El coeficiente A de presión intersticial no es un parámetro intrínseco y puede cuestionarse esta hipótesis. Sin embargo, puede observarse que entre el ensayo CU y éste sin drenaje, la única diferencia es el estado 2 de este último en el que no se produce ninguna variación de presiones efectivas en la muestra. En consecuencia, puede admitirse dicho valor del parámetro A. Las ecuaciones (1) y (2) permiten obtener los siguientes valores:

σ1 = 700 kN/m2 ur = 400 kN/m2


142

PROBLEMA 4.7 Un laboratorio ha proporcionado los siguientes resultados de un ensayo triaxial CU realizado sobre una arcilla aplicando una contrapresión (presión de cola) de 600 kN / m2:

Presión lateral Presión vertical en rotura

Presión intersticial en rotura

(kN/m2)

(kN/m2)

(kN/m2)

650 700 850

810 973 1896

569 547 652

Se pide: a) Valores de los parámetros de resistencia intrínsecos b) Si otra muestra de arcilla se somete a otro ensayo triaxial CU aplicando una

presión lateral de 900 kN/m2 y la misma contrapresión anterior, pero permitiendo solamente una consolidación del 50 %, ¿qué resistencia sin drenaje se obtendría?

SOLUCIÓN a) Parámetros intrínsecos Los resultados proporcionados por el laboratorio permiten obtener en rotura las presiones efectivas mayor (s '1) y menor (s '3), la tensión efectiva media (p'), el radio de los círculos de Mohr (r), el incremento de presión intersticial (?u) y el parámetro A de presión intersticial.


143

c' / tg Ø'

3σ'

c'

p'

τ

1C' σ'

r

φ'

σ'

B

O

Figura 4.11

En la tabla 4.1 se han recogido los resultados obtenidos. El parámetro A de presión intersticial se obtiene de la fórmula de Skempton, teniendo en cuenta que ∆σ3 = 0 y B = 1. Como puede observarse, el valor de A es muy similar en los ensayos 1 y 2. Muy diferente a estos es el deducido en el ensayo 3. Como en los tres ensayos se ha producido la rotura, teóricamente, los tres círculos de Mohr en efectivas deben ser tangentes a la línea de resistencia intrínseca. Para un círculo, la condición de tangencia es (figura 4.11):

r'sen·'p'tg

'c =φ

+

φ

y despejando la cohesión efectiva:

'tg·'p'cos

r'c φ−

φ=


144

Tabla 4.1

Ensayo σ3 σ1 ur σ'3 σ'1 p' r ∆u A

(σ3-ur) (σ1-ur) )2

''( 31 σ+σ )

2

''( 31 σ−σ (ur - 600) )

''u

(31 σ−σ

∆

1 2 3

650 700 850

810 973

1896

569 547 652

81 153 198

241 426

1244

161 289'5 721

80 136'5 523

-31 -53 52

-0'1938 -0'1941 0'0497

Si se tienen dos círculos de radios r1 y r2, y presiones efectivas medias p'1 y p'2, respectivamente, con los que se desea obtener la tangente común, se deberá verificar:

'tg·'p'cos

r'tg·'p

'cosr

22

11 φ−

φ=φ−

φ

y operando:

21

21

'p'prr

'sen−−=φ

Los resultados que se obtienen utilizando las fórmulas anteriores vienen indicados en la tabla 4.2.

Tabla 4.2

Ensayos φ' c'

(KN/m2)

1 y 2 2 y 3 1 y 3

26'08º 63'60º 52'29º

10'27 -276'20 -77'44

Se deduce que el ensayo 3 es erróneo y debe desecharse. En consecuencia, los parámetros intrínsecos a adoptar son: φ' = 26'08º c' = 10'27 kN/m2


145

ESTADO 2(t = 0)

ESTADO 1(consolidación)

600

kN / m

600 kN / m2

2

u = 600 kN / m2c

600 kN / m

2

600 kN / m2

cu

ESTADO 4(rotura)

ESTADO 3(cierre drenaje)

290

0 kN

/ m

2900 kN / m

2900 kN

/ m

900 kN / m2

ru

290

0 kN

/ m

900 kN / m2

2900 kN

/ m

2900 kN / m

u = 600 kN / mc2

900 kN / m

2900

kN / m

2

rσ

σ r

u1

2750 kN / m

900 kN / m2

Figura 4.12 b) Resistencia a corte sin drenaje Los estados a considerar son los reflejados en la figura 4.12:

- ESTADO 1: Consolidación, aplicando una presión de cola de 600 kN/m2 y una presión de célula del mismo valor.

- ESTADO 2: Se incrementa la presión de célula a 900 kN / m2.

Inmediatamente (t = 0) se producirá un incremento de presión intersticial. Aplicando la fórmula de Skempton, este incremento es igual a 300 kN / m2, y por lo tanto, la presión intersticial en este estado será u1 = 900 kN / m2.


146

- ESTADO 3: Aplicada la presión lateral de 900 kN / m2, se deja consolidar el 50 %. Si la consolidación fuese del 100 %, la presión intersticial tendría que haber disminuido desde 900 kN / m2 a 600 kN / m2 (presión de cola). Como solamente es el 50 %, ello quiere decir que el drenaje se cierra cuando la presión intersticial es igual a 750 kN / m2.

- ESTADO 4: Con el drenaje cerrado, se incrementa la presión vertical

hasta la rotura, que se produce con un valor σr. En ese momento la presión intersticial valdrá ur.

Aplicando la fórmula de Skempton, se producirá el siguiente incremento de presión intersticial:

∆u = B ( ∆σ3 + A ( ∆σ1 - ∆σ3 ) ) = 1 ( 0 + A ( ∆σ1 - 0 ) ) = A ( σr - 900 ) Tomando A = - 0'194, la presión intersticial en rotura será:

ur = 750 – 0'194 ( σr - 900 ) Como se está en rotura, la condición de tangencia se expresa:

2

900º08'26sen·)900(·194'0750

2

900

º08'26tg27'10

r'sen·up'tg

'c

rr

r

r

−σ=

−σ+−

+σ+

=φ

−+

φ

Operando, se obtiene:

σr = 1285'67 kN / m2 La resistencia a corte sin drenaje (cu) es el radio del círculo de Mohr en rotura, es decir:

2u m/kN83'192

290067'1285

c =−=


147

PROBLEMA 4.8 Una muestra de arcilla se consolida en el triaxial con una presión de célula de 200 kN / m2 y una contrapresión de 100 kN / m2. A continuación se incrementa la presión de célula a 300 kN / m2 y la presión vertical a 400 kN / m2, permitiéndose el drenaje de la muestra hasta que se alcanza una presión intersticial de 150 kN / m2, momento en el que se cierra la llave de drenaje y se procede a incrementar la presión lateral a 500 kN / m2 y seguidamente la presión vertical hasta la rotura. Sabiendo que la arcilla tiene un ángulo de rozamiento efectivo de 25º, una cohesión efectiva de 10 kN / m2 y que A = 0'2, se pide calcular la presión intersticial y la presión vertical en rotura.

SOLUCIÓN

Es similar al problema 4.7. En la figura 4.13 se tienen los estados a considerar. En el estado 1, la presión intersticial u1 que se tiene para t = 0 se calcula del siguiente modo con la fórmula de Skempton:

∆σ1 = 400 - 200 = 200 kN / m2

∆σ3 = 300 - 200 = 100 kN / m2

∆u = 1 · [ 100 + 0'2 ( 200 – 100 ) ] = 120 kN / m2

u1 = uc + ∆u = 100 + 120 = 220 kN / m2

Análogamente, en el estado 2 de rotura, la presión intersticial se calcula del siguiente modo:

∆σ1 = σr – 400 ∆σ3 = 500 – 300 = 200 kN / m2

∆u = 1 · [ 200 + 0'2 (σr – 400 – 200 ) ] ur = 150 + ∆u = 230 + 0'2 σr


148

ESTADO 1( t = 0 )

ESTADO 0(consolidación)

200

kN / m

200 kN / m2

2

u = 100 kN / m2c

200 kN / m

2

200 kN / m2

cu

ESTADO 2(rotura)

ESTADO 1( cierre llave )

2u ru

230

0 kN

/ m

400 kN / m2

2300 kN

/ m

2400 kN / m

u = 100 kN / mc2

500 kN / m

2500

kN / m

2

rσ

σ r

1u

300

kN / m

2

400 kN / m2300 kN

/ m2

400 kN / m2

2150 kN / m

Figura 4.13

Estableciendo la condición de tangencia:

2

500º25sen·2'0230

2

500

º25tg10

r'sen·up'tg

'c

rr

r

r

−σ=

σ−−

+σ+

=φ

−+

φ

y operando convenientemente, se obtiene:

σr = 716'78 kN / m2; ur = 373'36 kN / m2


149

PROBLEMA 4.9 Una muestra inalterada de una arcilla ha proporcionado en laboratorio una humedad del 25%, un peso específico relativo de las partículas de 2'75, un peso específico seco de 15'6 kN / m3 y una resistencia a compresión simple de 96 kN / m2. Se sabe además que el ángulo de rozamiento efectivo de esa arcilla es de 25º. Otra muestra inalterada de dicha arcilla se introduce en el triaxial teniendo una succión de - 40 kN / m2 y midiéndose una presión intersticial de 96 kN / m2 inmediatamente después de aplicar una presión de célula de 200 kN / m2 y una presión vertical de 400 kN / m2. Se pide: a) Parámetros de presión intersticial. b) Cohesión efectiva de la arcilla.

SOLUCIÓN a) Parámetros de presión intersticial El ensayo de compresión simple, y después el triaxial, se realizan sobre muestras inalteradas de una arcilla las cuales, en principio, podrían no estar saturadas ya que no se aplica presión de cola. Puesto que la relación que existe entre la humedad, peso específico relativo de las partículas, grado de saturación y peso específico seco es:

r

s

sd

S

G·1

·G

ω+

γ=γ ω

sustituyendo los datos proporcionados en el enunciado y despejando, se obtiene un grado de saturación del 90%. El parámetro B de presión intersticial está relacionado con el grado de saturación (figura 4.14). Para un grado de saturación del 90% se tiene B = 0'8.


150

0 0'2 0'4 0'6 0'8 1

0'2

0'4

0'6

0'8

1

0

Grado de saturación

Par

ámet

ro B

Figura 4.14

Por otra parte, en el experimento realizado en el triaxial, pueden considerarse los siguientes estados (figura 4.15):

- ESTADO 1: Inicial de la muestra al ser colocada en el triaxial. No hay aplicadas ni presión de célula ni vertical. La presión intersticial en la muestra es – 40 kN/m2.

- ESTADO 2: Aplicación de una presión de célula σ3 = 200 kN/m2 y de

una presión vertical σ1 = 400 kN/m2, y como consecuencia e inmediatamente, la presión intersticial en la muestra pasa a ser de 96 kN/m2.

Así pues, la variación de presión intersticial que se produce a pasar del estado 1 al estado 2 es:

∆u = 96 – (- 40) = 136 kN / m2

habiendo sido originada por los siguientes incrementos de presión total:

∆σ1 = 400 – 0 = 400 kN / m2

∆σ3 = 200 – 0 = 200 kN / m2


151

ESTADO 2ESTADO 1

220

0 kN

/ m

400 kN / m22

200 kN / m

2400 kN / m

- 40 kN / m2 96 kN / m2

Figura 4.15

La fórmula de Skempton se expresa como:

∆u = B · [∆σ3 + A · (∆σ1 - ∆σ3) ] Sustituyendo los valores anteriores y para B = 0'8 se obtiene:

A = - 0'15 B = 0'8

b) Cohesión efectiva En el ensayo de compresión simple pueden considerarse los siguientes estados (figura 4.16):


152

ESTADO 2ESTADO 1

ru- 40 kN / m2

2 96 kN / m

Figura 4.16

- ESTADO 1: Inicial de la muestra al ser colocada en el aparato. No hay ninguna presión exterior aplicada. La presión intersticial en la muestra es – 40 kN / m2.

- ESTADO 2: Rotura. Se incrementa rápidamente (sin drenaje) la

presión vertical hasta producir la rotura en un valor igual a su resistencia a compresión simple que según el enunciado es 96 kN / m2. En este momento, la presión intersticial es desconocida y de valor ur.

La variación de presión intersticial que se produce al pasar del estado 1 al estado 2 es:

∆u = ur – (–40) = = ur + 40 kN / m2

habiendo sido originada por los siguientes incrementos de presión total:

∆σ1 = 96 – 0 = 96 kN / m2

∆σ3 = 0 – 0 = 0 kN / m2


153

p'

c'

τ2(kN / m )

C'

r

φ' = 25º

(kN / m )2

σ', σ O C

p - u r

σ'3 1σ'96

c' · cotg 25º

Figura 4.17

Sustituyendo valores en la fórmula de Skempton queda:

∆u = B · [ ∆σ3 + A (∆σ1 - ∆σ3) ] ur + 40 = 0'8 · ( - 0'15 · 96) = -11'52

y por lo tanto:

ur = - 51'52 kN/m2 Por otra parte, en el estado 2 se alcanza la rotura y por lo tanto, el círculo de Mohr en efectivas será tangente a la línea de resistencia intrínseca (figura 4.17).


154

La condición de tangencia se expresa:

296

2º25sen·52'51

296

º25tg'c

º25sen·52'512º25tg

'c

r'sen·up'tg

'c

rr

r

=σ

=

++=

+

σ+

=φ

−+

φ

Despejando la cohesión efectiva, se obtiene:

c' = 6'56 kN/m2

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