pi, representado pela letra grega π.¡tica - 8a- série/9 o ano - Volume 4 7 Em sua obra As medidas...

Caro(a) aluno(a),

Você está recebendo o último volume do Caderno de Matemática. Ao longo deste ano, você encontrou desafios que exigiram os conhecimentos e as habilidades desenvolvidos durante o curso. Parabéns pelo esforço!

Agora, há outros desafios pela frente. Neste Caderno, você estudará os cálculos métricos envolvendo o círculo e o cilindro. Para tanto, será preciso recordar um nú-mero que está diretamente relacionado à medida do perímetro, da área e do volume de figuras circulares: o número pi, representado pela letra grega π.

O número π vem sendo estudado desde a Antiguidade, época em que já se bus-cava atribuir um valor exato a π. A constatação de que este é um número irracional demorou muito a ser construída e aceita. Neste Caderno, o π será apresentado como um número irracional, ou seja, um número cuja representação decimal é infinita e não periódica.

Além disso, com as atividades do Caderno você resolverá problemas envolvendo o número π no cálculo do perímetro e da área do círculo. Em uma das Situações de Aprendizagem, os cálculos métricos estarão relacionados ao cilindro e você, mais uma vez, terá a oportunidade de verificar as aplicações práticas desses estudos.

O objetivo deste Caderno é contribuir para que o estudo da Matemática seja cada vez mais prazeroso. Aproveite bastante!

Equipe Técnica de MatemáticaÁrea de Matemática

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CenpSecretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática - 8a- série/9o ano - Volume 4

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A NATUREZA DO NÚMERO Pi (π)

!?

Leitura e Análise de Texto

(A história a seguir foi extraída do livro de Carl Sagan indicado no final do texto)

[...]

Na sétima série estavam estudando o “pi”. Era uma letra grega parecida com a arquite-tura em Stonehenge, na Inglaterra: dois pilares verticais ligados por uma barra em cima – π. Se alguém media a circunferência de um círculo e depois a dividia pelo diâmetro desse círcu-lo, isso era pi. Em casa, Ellie pegou a tampa de um vidro de maionese, passou um barbante em sua volta, esticou o barbante e, com uma régua, mediu a circunferência do círculo. Fez a mesma coisa com o diâmetro e, efetuando uma longa conta, dividiu um número pelo outro. Obteve 3,21. Aquilo pareceu bastante simples.

No dia seguinte, o professor, sr. Weisbrod, ensinou que pi era igual a aproximada-mente 22 ___ 7 , ou cerca de 3,1416. Na verdade, porém, se a pessoa desejasse exatidão, era um número decimal que continuava crescendo a vida toda, sem parar, nunca repetindo a sequência de algarismos. A vida toda, pensou Ellie. Levantou a mão. Estavam no começo do ano letivo e ela não havia feito nenhuma pergunta naquela aula.

“Como é que se pode saber que os decimais continuam a vida toda, sem acabar?”

“É assim porque é”, disse o professor, com certa rispidez.

“Mas por quê? Como é que o senhor sabe? Como se pode contar casas decimais a vida toda?”

“Srta. Arroway.” O professor estava consultando a lista de chamada. “Essa pergunta é boba. Está nos fazendo perder tempo.”

Ninguém jamais dissera antes que uma pergunta de Ellie era boba, e ela rompeu em lágrimas. Billy Horstman, que se sentava ao seu lado, teve um gesto de simpatia e lhe segu-rou a mão. Pouco tempo antes, seu pai havia sido processado por mexer nos hodômetros dos carros usados que vendia, de modo que Billy era sensível a humilhações públicas. Ellie saiu da sala aos prantos.

Depois de terminadas as aulas, ela foi de bicicleta à biblioteca de uma universidade próxima, a fim de consultar livros de matemática. Pelo que pôde discernir do que leu, a


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pergunta que fizera não era tão boba assim. Segundo a Bíblia, os antigos hebreus haviam considerado que pi era exatamente igual a três. Os gregos e romanos, que sabiam muitas coisas de matemática, não tinham nenhuma ideia de que os algarismos de pi prosseguissem eternamente, sem repetição. Na verdade, isso só havia sido descoberto há 250 anos. Como se poderia esperar que ela soubesse se não podia fazer perguntas? Entretanto, o sr. Weisbrod tinha razão com relação aos primeiros algarismos. Pi não era 3,21. Talvez a tampa do vidro de maionese estivesse um pouco amassada e não constituísse um círculo perfeito. Ou talvez ela não houvesse realizado a mensuração com o cuidado necessário. No entanto, mesmo que tivesse exercido todo o cuidado possível, não poderiam esperar que ela fosse capaz de medir um número infinito de decimais.

Havia, porém, outra possibilidade. Podia-se calcular pi com a exatidão que se desejas-se. Conhecendo uma coisa chamada “cálculo”, podiam-se determinar fórmulas de pi que permitiriam calculá-lo com qualquer número de decimais que se desejasse, desde que hou-vesse tempo para isso. O livro fornecia fórmulas de pi dividido por quatro. Algumas dessas fórmulas eram absolutamente ininteligíveis para Ellie. Outras, no entanto, a deixaram des-lumbrada: π __

4 , dizia o livro, era o mesmo que 1 – 1 __ 3 + 1 __ 5 – 1 __ 7 ... , com as frações continuando

eternamente. Rapidamente, ela procurou fazer o cálculo, somando e subtraindo as frações alternadamente. A soma saltava de um lado para outro, desde um pouco mais que π __

4 até

um pouco menos que π __ 4 , mas depois de algum tempo ela pôde perceber que essa série de

números seguia uma trilha lenta em direção à resposta correta. Nunca se poderia chegar exatamente ao objetivo, mas se podia chegar tão próximo quanto se desejasse, desde que se tivesse uma paciência enorme. Pareceu a Ellie um milagre que todos os círculos do mundo estivessem ligados a essa série de frações. Como era possível que os círculos conhecessem frações? Ellie tomou a resolução de aprender cálculo.

O livro dizia mais uma coisa: pi era chamado de número “transcendental”. Não existia nenhuma equação, contendo números comuns, que fosse capaz de dar pi, a menos que essa equação fosse infinitamente longa. Ellie já havia aprendido por si mesma um pouco de álge-bra e sabia o que significava isso. E mais: pi não era o único número transcendental. Na reali-dade, existia uma infinidade de números transcendentais. Mais ainda: existiam infinitamente mais números transcendentais do que números ordinários, mesmo que pi fosse o único deles de que ela já havia ouvido falar. Em mais de um sentido, pi estava ligado ao infinito. Ellie tinha captado um vislumbre de algo majestoso. Oculta entre todos os números ordinários, havia uma infinidade de números transcendentais de cuja presença uma pessoa jamais sus-peitaria se não sondasse a matemática a fundo. A todo momento um deles, como pi, surgia inesperadamente na vida cotidiana. Entretanto, a maioria deles – um número infinito deles, ela frisou para si mesma – estava escondida, cuidando da própria vida, e quase certamente passava despercebida ao irascível sr. Weisbrod.

[...]Contato/Carl Sagan; tradução Donaldson M. Garschagen. - São Paulo: Companhia das Letras, 1997. p.17-19.


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VOCÊ APRENDEU?

1. Com base no texto apresentado na seção anterior e em seus conhecimentos matemáticos, responda às seguintes questões:

a) Qual foi a definição de π que Ellie utilizou para realizar seu experimento?

b) O resultado encontrado por Ellie (3,21) estava um pouco acima do valor esperado para π (aproximadamente 3,14). O que pode ter provocado essa diferença?

c) O texto cita outro método para se obter o valor de π, a partir de uma fórmula contendo infinitas adições e subtrações de frações. Qual é a principal diferença entre esse método e o método experimental realizado por Ellie?

2. Usando-se a fórmula descrita no texto, foram obtidos os seguintes resultados parciais para o valor de π:

0• 5 parcelas: π ≅ 4.(1 – 1 __ 3 + 1 __ 5 – 1 __ 7 + 1 __ 9 ) = 3,339

20• parcelas: π ≅ 4.(1 – 1 __ 3 + 1 __ 5 – 1 __ 7 + 1 __ 9 – ... + 1 ___ 37 – 1 ___ 39 ) = 3,091

100 parcelas: π• ≅ 4.(1 – 1 __ 3 + 1 __ 5 – 1 __ 7 + 1 __ 9 – ... + 1 ____ 197 – 1 ____ 199 ) = 3,131

251 parcelas: π• ≅ 4.(1 – 1 __ 3 + 1 __ 5 – 1 __ 7 + 1 __ 9 – ... – 1 ____ 499

+ 1 ____ 501 ) = 3,145

a) Sabendo que uma boa aproximação para o valor de π é 3,141, o que você pode concluir com base nos resultados obtidos acima?


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b) O gráfico a seguir ilustra a sequência de resultados obtidos por meio da fórmula descrita no texto.

2,51 51 101

3

3,1

3,2

3,5

4Valor

Parcelas

Destaque uma frase do texto que descreva os resultados representados no gráfico.


O cálculo de π ao longo da história

O cálculo da razão entre a circunferência e seu diâmetro intrigou matemáticos e filóso-fos desde a Antiguidade. No antigo Egito, acreditava-se que essa razão valia, aproximada-mente, 256 ____ 81 . Na Mesopotâmia, os antigos babilônios usavam a fração 25 ___ 8 . Em Alexandria,

por volta do século II d.C., o filósofo grego Ptolomeu aproximou o valor de pi da fração

377 ____ 120 . Contudo, é atribuída a Arquimedes (287-212 a.C.) uma das primeiras tentativas de se calcular rigorosamente o comprimento da circunferência e o valor de pi.


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Em sua obra As medidas do círculo, ele desenvolveu um método de aproximações para o cálculo do comprimento da circunferência.

Como não se conheciam fórmulas específicas para calcular o perímetro de figu-ras curvas, Arquimedes resolveu fazer aproximações por meio de polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência. A medida do comprimento da circunfe-rência estaria entre o perímetro do polígono inscrito e o perímetro do polígono cir-cunscrito. Quanto maior o número de lados do polígono, mais ele se aproximaria da circunferência, por dentro e por fora.

Arquimedes dobrou sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Dividindo o perímetro desse polígono pelo diâmetro da circunferência, obteve um valor entre 3,1408 e 3,1428, uma aproximação muito boa para a época.

L6

l6

Aproximação por hexágonos (6 lados)

L12l12 L24l24

Aproximação por dodecágonos (12 lados) Aproximação por tetraicoságonos (24 lados)


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Essa metodologia mostrou ser possível obter aproximações do valor de π tão precisas quanto desejarmos, bastando aumentar, continuamente, o número de lados dos polígonos inscritos e circunscritos. O cálculo de Ptolomeu foi feito com base em um polígono de 720 lados. No século III d.C., o chinês Liu Hui conseguiu obter o valor de 3,14159 com um polígono de 3 072 lados. No final do século V d.C., o matemático Tsu Chung-Chih, usando polígonos com 24 576 lados, obteve um número entre 3,1415926 e 3,1415927. Muitos outros matemáticos aplicaram o método de Arquimedes para obter aproximações cada vez mais precisas do valor de π.

Embora essa razão seja conhecida desde a Antiguidade, o nome e o símbolo usa-dos para representá-la só surgiram no século XVIII. A letra π, do alfabeto grego, foi escolhida por ser a primeira letra da palavra peripheria (πeWíjefWoV), cujo significado é circunferência, ou seja, o contorno de um círculo. Também foi nessa época que se fez uma das descobertas mais importantes sobre o π. O matemático francês Johann Lambert conseguiu provar que não há nenhuma razão de números inteiros cujo resultado seja igual a π. Ou seja, π é um número irracional, cuja representação decimal é infinita e não periódica.

A grande evolução no cálculo do valor de π aconteceu a partir do momento em que o computador entrou em cena. Para se ter uma ideia desse avanço, em 1873, William Shanks calculou o valor de π com 707 dígitos. Fazendo os cálculos manualmente, ele levou 15 anos para realizar essa tarefa. Com o advento da computação, associado ao descobri-mento de métodos de cálculo mais poderosos e eficientes, tornou-se possível calcular o valor de π com milhares de casas decimais em um tempo muito mais curto. Logo, o nú-mero de dígitos de π obtidos saltou para a casa dos milhões. Um dos últimos recordes foi obtido pelos pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi que, em 2002, conseguiram obter o valor de π com mais de um trilhão de casas decimais.

Além do desafio intelectual relacionado a essas pesquisas, o cálculo do π é usado, hoje em dia, para testar a eficiência dos novos computadores. Por exigir uma computação inten-sa e precisa, o cálculo de milhões de casas decimais do π serve de parâmetro para verificar a velocidade e a confiabilidade dos novos processadores.

Contudo, na prática, não precisamos conhecer o valor de π com tantas casas decimais. Na maioria das aplicações, uma aproximação do valor de π com uma ou duas casas deci-mais é suficiente para garantir precisão em construções, desenhos, etc. Em cálculos cientí-ficos, uma aproximação com quatro casas decimais é mais do que suficiente. Por exemplo, o valor de π com 11 casas decimais permitiria calcular a circunferência da Terra com uma precisão de milímetros.


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VOCÊ APRENDEU?

3. Com base no texto apresentado, na seção Leitura e Análise de Texto, responda às seguintes questões.

a) O texto cita alguns valores de π expressos na forma de fração. Transforme-as em números decimais e veja qual delas mais se aproxima de 3,1415.

Resposta:

b) Qual foi a contribuição do método de Arquimedes para a determinação do valor de π?

c) Qual é a origem do símbolo π, utilizado para indicar a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro?

d) Atualmente, é possível calcular o valor de π com trilhões de casas decimais. Quais foram os principais fatores que possibilitaram a evolução desse cálculo?

e) Qual foi a importante descoberta feita pelo matemático francês Lambert a respeito de π?


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LIÇÃO DE CASA

4. Use o método de Arquimedes e descubra o valor aproximado de π (por excesso e por falta) a partir de hexágonos inscritos e circunscritos a uma circunferência de raio igual a 3 cm. Considere que as medidas dos lados dos hexágonos inscritos e circunscritos são, respectiva-mente, 3 cm e 3,46 cm.

R

Resposta:

VOCÊ APRENDEU?

5. Observe a figura a seguir.

© C

onex

ão E

dito

rial


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a) Você observa algum padrão de repetição na sequência de cores da figura?

b) Cada cor da figura representa um algarismo do número π, começando no canto superior esquerdo. O vermelho corresponde ao 1; o verde, ao 2; o azul, ao 3; o amarelo, ao 4; o laranja, ao 5; o roxo, ao 6; o preto, ao 7; o cinza, ao 8; o marrom, ao 9 e o branco, ao 0. Com base na figura, escreva os algarismos do número π com 260 casas decimais.

3,

c) Agora você vai contar o número de vezes que cada algarismo aparece à direita da vírgula. Preencha a tabela de distribuição de frequência e calcule a frequência relativa de cada algarismo, em porcentagem. (Dica: para efetuar esses cálculos, use a calculadora.)

Algarismo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total

Frequência

Frequência relativa

d) Qual é o algarismo que aparece com maior frequência relativa?


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e) E com a menor frequência relativa?

f ) Qual é a diferença entre a maior e a menor frequência relativa?

6. Os pesquisadores japoneses Kanada e Takahashi examinaram a frequência absoluta e relativa dos algarismos decimais de π em 200 bilhões de dígitos. Os resultados obtidos estão na tabela a seguir.

Algarismo Frequência Frequência relativa

0 20 000 030 841 10,00002%

1 19 999 914 711 9,99996%

2 20 000 136 978 10,00007%

3 20 000 069 393 10,00003%

4 19 999 921 691 9,99996%

5 19 999 917 053 9,99996%

6 19 999 881 515 9,99994%

7 19 999 967 594 9,99998%

8 20 000 291 044 10,00015%

9 19 999 869 180 9,99993%

Total 200 000 000 000 100%

Compare as frequências relativas obtidas na tabela apresentada no item c da atividade anterior e as apresentadas na tabela acima, e escreva uma conclusão sobre a distribuição dos algarismos de π.


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 A RAZÃO π NO CÁLCULO DO PERíMETRO E DA ÁREA DO CíRCULO

!?

VOCÊ APRENDEU?

O comprimento da circunferência

1. Observe a sequência de imagens a seguir:

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 0 1 2 3 3,14 4

a) Sabendo que π vale aproximadamente 3,14, interprete a sequência de imagens.


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b) Qual seria a distância percorrida por uma circunferência de diâmetro igual a duas unidades? E por uma de diâmetro igual a 10 unidades?

2. Escreva a fórmula do comprimento da circunferência C em função da medida do raio r e em função da medida do diâmetro D.

C = C =


Todo pneu de automóvel possui um código de identifi cação com informações a respeito de suas dimensões. Ele é escrito da seguinte forma: xxx/yy Rdd, em que:

• xxxéamedidadalarguradopneu,emmilímetros;

• yyéarazãoentreaalturaealarguradopneu,emporcentagem;

• Réotipodepneu,radial;

• ddéodiâmetrodaroda,empolegadas(umapolegadavaleaproximadamente2,54cm).

diâmetro do pneu

altura do pneu

diâmetro da roda

largura do pneu

Exemplo: um pneu identifi cado com o código 205/65 R15 tem 205 mm (20,5 cm) de largura. Sua altura equivale a 65% da largura, ou seja, mede 20,5 . 0,65 = 13,325 cm. O diâmetro interno da roda mede 15 polegadas, ou 15 . 2,54 = 38,1 cm.

© C

onex

ão E

dito

rial


15

VOCÊ APRENDEU?

3. Com base nas informações da seção Leitura e Análise de Texto, determine o diâmetro total desse pneu.

Resposta:

4. Qual é a distância, em metros, que esse pneu percorre em um giro completo da roda?

Distância percorrida em uma volta completa

Resposta:

© C

onex

ão E

dito

rial


16

LIÇÃO DE CASA

5. Calcule a distância percorrida por cada pneu, em quilômetros, em 1 000 giros completos da roda. (Dica: use uma calculadora para facilitar os cálculos.)

a) Roda de aro 15: 195/50 R15

Resposta:

b) Roda de aro 16: 205/60 R16

Resposta:

c) Roda de aro 17: 210/65 R17

Resposta:


17

VOCÊ APRENDEU?

6. Os automóveis contam com uma série de instrumentos que ajudam o motorista a con-trolar o desempenho de seu carro, como o velocímetro e o indicador de combustível. O hodômetro mede a distância total, em quilômetros, percorrida pelo automóvel. Ele fun-ciona com um conjunto de engrenagens ligadas ao eixo das rodas. Dependendo do tamanho das rodas, o hodômetro é regulado para registrar a quilometragem percorrida em função do número de giros do eixo.

Em determinado automóvel, o hodômetro vem regulado de fábrica para registrar a distância percorrida para rodas de aro 15 (item a da atividade apresentada na seção Lição de casa). Vamos supor que a distância percorrida a cada giro da roda corresponda exatamente ao comprimento da circunferência do pneu, desprezando-se possíveis deslizamentos e frenagens.

Responda às seguintes questões:

a) Quantos giros da roda são necessários para que o hodômetro registre 1 km rodado?

Resposta:

© Ju

pite

r Im

ages

/Gru

po K

eysto

ne


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b) Quantos giros o eixo da roda realiza em uma viagem de 200 km?

Resposta:

c) Suponhamos que as rodas originais desse automóvel sejam trocadas por rodas maiores, de aro 17 (item c da atividade anterior apresentada na seção Lição de casa). O hodômetro pas-sará a marcar mais ou menos quilômetros em uma viagem de 200 km? Justifique sua resposta.

d) Determine quantos quilômetros o hodômetro do carro irá registrar para fazer a mesma viagem de 200 km com o pneu de aro 17.

Resposta:


19

VOCÊ APRENDEU?

A área do círculo

7. Um dos documentos mais importantes do antigo Egi-to é o Papiro de Rhind, encontrado no templo do faraó Ramsés II. Ele foi copiado pelo escriba Ahmés, por volta do ano 1650 a.C., e contém uma série de problemas ma-temáticos. Ao que tudo indica, era uma espécie de manual de matemática egípcia, transmitido de geração em gera-ção. Acredita-se que esses conhecimentos existissem desde a construção das grandes pirâmides, há quase 5 mil anos.

Um dos problemas desse papiro tratava do cálculo da área de um círculo. Uma versão simplificada do proble-ma seria a seguinte: Calcule a área de um círculo inscrito em um quadrado de lado igual a 3 unidades. A estraté-gia adotada consistia em aproximar a área do círculo por meio da área de um octógono inscrito dentro do quadrado, conforme mostram as figuras.

Bastaria, assim, calcular a área do octógono, subtraindo-se, da área do quadrado, as áreas dos quatro triângulos isósceles de seus cantos.

© B

ritish

Mus

eum

, Lon

don,

UK

/The B

ridge

man

Art

Lib

rary

/ G

rupo

Key

stone

Fragmento do Papiro de Rhind


20

Calcule a área do octógono resultante.

Resposta:

8. Nesta atividade, você vai calcular a área de um círculo com base em aproximações por quadrados de lados iguais a 1 cm.

a) Aproximação por falta: pinte todos os quadrados inteiros que cabem no círculo e calcule a área ocupada por eles.


21

b) Aproximação por excesso: pinte todos os quadrados que fazem parte do círculo (mesmo que não totalmente) e calcule a área ocupada por eles.

c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores e calcule a média entre eles.

LIÇÃO DE CASA

9. Agora, você vai calcular a área do mesmo círculo, só que com base em quadrados menores, de lado igual a 0,5 cm.

a) Aproximação por falta: pinte todos os quadrados inteiros que cabem no círculo e calcule a área ocupada por eles.


22

b) Aproximação por excesso: pinte todos os quadrados que fazem parte do círculo (mesmo que não totalmente) e calcule a área ocupada por eles.


23

c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores e calcule a média entre eles.

VOCÊ APRENDEU?

10. Acompanhe as etapas para a dedução da fórmula da área do círculo.

1• a etapa: dividir o círculo de raio r em n setores circulares iguais.

2• a etapa: “abrir” o círculo, deixando todos os n setores na mesma posição.

3• a etapa: reposicionar metade dos n setores em sentido oposto, de modo que se encaixem.


24

Quanto maior for o número de divisões do círculo, mais o setor circular se aproximará de um triângulo isósceles de lado r, e a figura obtida na 3a etapa, de um retângulo.

a) Calcule a área desse retângulo para um círculo de raio r e comprimento C = 2 . π . r.

b) Escreva a fórmula da área do círculo.

11. Use a fórmula obtida na atividade anterior e recalcule a área do círculo nas condições do pro-blema do Papiro de Rhind. Em seguida, compare-a com o resultado obtido na Atividade 7.


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12. Calcule a área de um círculo de raio igual a 4 cm. Em seguida, compare-a com as médias obtidas nas Atividades 8 e 9.

LIÇÃO DE CASA

13. Calcule a área do setor circular representado a seguir.

60º

2 cm

Resposta:


26

14. Determine o raio do círculo a seguir, sabendo que o setor circular corresponde a 3 __ 4 desse cír-

culo e tem área igual a 108π cm2.

108 π cm2

Resposta:

15. Determine o ângulo central que corresponde ao setor circular representado a seguir.

62,5 π cm2

10 cm

Resposta:


27

16. Ambas as figuras estão inseridas em um quadrado de lado L. Qual delas possui a maior área?

setor circular de 90° círculo

Resposta:

VOCÊ APRENDEU?

17. Na 7a série/8o ano, você estudou o teorema de Pitágoras.

C

c

A

a

B

b

a) Escreva a expressão algébrica do teorema para o triângulo retângulo ABC.

b) Qual é a relação entre as áreas dos quadrados representados na figura.


28

18. Na figura a seguir, os círculos foram construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. Verifique se, analogamente ao que ocorre no teorema de Pitágoras, a área do círculo cons-truído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos sobre os catetos.

(Medidas: a = 5 cm; b = 3 cm; c = 4 cm.)

C

c

A

a

B

b

Resposta:

19. Verifique se essa relação entre as áreas vale também para as figuras a seguir:

a) Região complementar do quadrado em relação ao semicírculo. (Medidas: a = 10 cm; b = 6 cm; c = 8 cm.)

C

c

A

a

B

b

Resposta:


29

b) Setor circular de 90º (faça o cálculo literal, com as letras a, b e c).

C

c

A

a

B

b

Resposta:


As lúnulas de Hipócrates

Um dos desafios matemáticos que mais intrigaram os estudiosos desde a Antiguidade foi o problema da quadratura do círculo. Esse problema consistia em construir um quadra-do de área igual à de um círculo com determinado diâmetro. Em termos práticos, o pro-blema se reduz a encontrar uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro do círculo, o que envolverá o número π.

Como sabemos hoje, esse problema só pode ser resolvido por meio de aproximações, pois π é um número irracional e não pode ser representado por uma razão entre inteiros. Contudo, consta que o matemático grego Hipócrates de Chios (460 a.C.) conseguiu re-solver um problema de quadratura de uma figura curvilínea. Ele mostrou que a soma das áreas de duas lúnulas era igual à área de um triângulo retângulo. Lúnulas são figuras curvilíneas delimitadas por dois arcos de circunferência.


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VOCÊ APRENDEU?

20. Com base nas instruções a seguir, você vai construir duas lúnulas. Para isso, será necessário o uso de uma régua e de um compasso.

1• a etapa: construa um triângulo retângulo ABC com lados medindo a = 5 cm, b = 3 cm e c = 4 cm. Nomear os vértices com as letras A, B e C. O vértice A deve ser oposto ao lado a; o vértice B, ao lado b e o vértice C, ao lado c.

2• a etapa: determine os pontos médios (Ma, Mb e Mc) dos lados desse triângulo.

3• a etapa: construa um semicírculo, voltado para fora do triângulo, com centro nos pontos médios dos catetos b e c.

4• a etapa: construa um semicírculo com centro no ponto médio da hipotenusa, voltado para o interior do triângulo.

5• a etapa: pinte levemente com um lápis a região formada entre os semicírculos dos catetos e o semicírculo da hipotenusa. Essas regiões são chamadas lúnulas.


31

Desafio!

21. Prove, algebricamente, que a soma das áreas das lúnulas é igual à do triângulo retân-gulo ABC representado a seguir.

a c

b

B

AC


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 CILINDROS

VOCÊ APRENDEU?

1. Observe atentamente os sólidos geométricos.

I. II.

Observação!

Em ambos os casos, os planos das bases são perpendiculares à superfície lateral.

a) Classifique-os quanto à forma (nas lacunas abaixo das imagens).

b) Descreva as principais semelhanças e diferenças entre os dois sólidos.


33

c) Localize, nos sólidos, os seguintes elementos: vértice, aresta, face, base e geratriz.

d) Em relação ao sólido I, determine:

o número de vértices: •

o número de arestas: •

o número de faces: •

o polígono que forma a base: •

o polígono que forma a face lateral: •

e) Em relação ao sólido II, determine:

a figura plana que forma a base: •

o polígono que corresponde à superfície lateral planificada: •

2. A figura a seguir é uma planificação de um cilindro. Sabendo que a altura do cilindro mede 5 cm, e o diâmetro das bases, 6 cm, determine o comprimento do retângulo correspondente à superfície lateral. Considere π ≅ 3,14.

Resposta:


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LIÇÃO DE CASA

3. Agora, você vai construir um cilindro com base nas medidas da planificação da atividade anterior.

Material necessário!

folha de papel sulfite tamanho A4; •tesoura; •régua; •fita adesiva;•compasso. •

Etapas da construção

1a etapa: desenhe os segmentos r e s que dividem a folha ao meio, na largura e no

comprimento.

r

s

2a etapa: desenhe dois segmentos, m e n, paralelos ao segmento s, distando 2,5 cm do

mesmo.

m

n

3a etapa: construa dois círculos de 6 cm de diâmetro, tangentes aos segmentos m e n, e

com centro no segmento r.

m

n

4a etapa: desenhe o retângulo corresponden-te à superfície lateral planificada.

m

n


35

5a etapa: recorte a planificação do cilindro do papel A4.

m

n

6a etapa: usando fita adesiva, construa o cilindro com base na planificação.

4. Com base nas medidas do cilindro montado na atividade anterior, calcule:

a) a área das bases;

b) a área da superfície lateral;

c) a área total do cilindro.

d) Compare a área do cilindro com a da folha A4 utilizada. Qual foi a porcentagem de papel utilizada na construção do cilindro?

5. Escreva uma fórmula para o cálculo da área de um cilindro reto, com base no raio r das bases e na altura h do cilindro.


36

VOCÊ APRENDEU?

6. Preencha a tabela a seguir com as fórmulas usadas para cálculos métricos em figuras circulares.

a)

Comprimento da circunferência C =

Área do círculo A =

Área do cilindro A =

Volume do cilindro V =

Volume da esfera V = 4 . π . r 3 _______ 3

b) Descreva as principais características das fórmulas da tabela.


37

7. Sabendo que 1 dm3 equivale a 1 ℓ, calcule a capacidade (em litro ou seus submúltiplos) de um cubo cujos lados medem:

a) 10 cm

b) 1 cm

c) 1 m

8. Calcule a capacidade do cilindro, em mℓ, construído na Atividade 3 (use π ≅ 3,1).

Resposta:


38

LIÇÃO DE CASA

9. As latas de refrigerante são confeccionadas com folhas de alumínio. O Brasil é um dos países que mais reciclam esse tipo de material no mundo. Segundo a Associação Brasileira dos Fabricantes de Latas de Alta Reciclabilidade (Abralatas), o Brasil produziu cerca de 10 bilhões de latas de alumínio em 2005 e reciclou cerca de 96% desse total. Considerando que o formato da lata assemelha-se a um cilindro reto, determine:

6 cm

12 cm

a) a capacidade, em mℓ, da lata de alumínio representada (use π ≅ 3,1);


39

b) quantos centímetros quadrados de uma folha de alumínio são necessários para confeccionar uma lata;

c) quantas latas podem ser confeccionadas com uma chapa de alumínio de 1 m de compri-mento por 1,72 m de largura.


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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 PROBABILIDADE E GEOMETRIA


O π e a agulha de Buffon

O estudo da probabilidade, aparentemente, não tem uma ligação direta com a Geome-tria. A probabilidade trata da razão entre eventos, ao passo que a Geometria relaciona-se ao estudo das formas. Uma interseção entre esses dois assuntos parece um tanto improvável, dada a natureza distinta de cada um. Contudo, ao analisar um problema aparentemente banal, um naturalista francês do século XVIII, conhecido como Conde de Buffon, descobriu uma curiosa ligação entre esses dois assuntos.

À primeira vista, o problema parece ser um tanto despretensioso. Ele consistia na ob-servação e contagem de agulhas sobre um plano formado por linhas paralelas. Jogando ao acaso um punhado de agulhas de comprimento menor que a largura entre as linhas parale-las, o Conde de Buffon anotava quantas delas caíam sobre as retas e quantas caíam entre os espaços, sem tocar as linhas. Seu intuito era descobrir qual a probabilidade de uma agulha, jogada ao acaso no tabuleiro, cair sobre uma das linhas.

caso favorável

caso desfavorável

Pode-se fazer isso por meio de sucessivas experimentações, contando-se os casos favo-ráveis e comparando-os ao total de lançamentos. Contudo, o Conde desejava obter uma fórmula que determinasse essa probabilidade teoricamente. Usando cálculos simples en-volvendo ângulos e áreas de figuras planas, ele chegou à seguinte fórmula:

P = 2a _____ π . d

Nela, P é a probabilidade de a agulha cortar uma das linhas do tabuleiro, a é o com-primento da agulha e d é a distância entre as linhas paralelas. No entanto, o fato mais


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surpreendente da fórmula de Buff on é a presença da constante π. Algo que geralmente é usado para calcular o comprimento ou a área de um círculo aparece no cálculo de probabilidade.

Para o caso particular em que a distância entre as linhas é o dobro do comprimento da agulha (d = 2a), a fórmula de Buff on pode ser escrita como P = 1 __ π . Isso nos leva a outra possibilidade de uso da fórmula. Fazendo uma série de lançamentos de agulhas e calculando o valor de P experimentalmente, pode-se determinar o valor aproximado de π. De fato, essa estratégia, quando aplicada em um grande número de lançamentos, resulta em uma aproximação bastante aceitável para o valor de π. Alguns pesquisadores dedicaram-se a esses experimentos e obtiveram resultados surpreendentes: Lazzerini obteve uma aproxi-mação de 3,1415929 para π após 3 408 lançamentos.

Entretanto, pode-se questionar o signifi cado prático de tais procedimentos ou fórmu-las. Para que saber a probabilidade de uma agulha cair sobre um feixe de paralelas? Por que determinar o valor de π por meio do lançamento de agulhas, se ele pode ser calculado de inúmeras maneiras mais simples?

De fato, à primeira vista, a fórmula de Buff on não tem utilidade prática alguma. Todavia, anos mais tarde, ela serviu de base para uma das invenções mais importantes do século XX: o aparelho de tomografi a computadorizada. Mas em vez de empregar linhas paralelas sobre um tabuleiro, esse aparelho trabalha com feixes de radiações paralelas. Usando a fórmula de Buff on, é possível determinar as dimensões de um objeto a partir de um feixe desse tipo, o que, de forma bastante simplifi cada, está por trás do funcionamento desse aparelho.

O exemplo da agulha de Buff on é bastante ilustrativo para relativizar o argumento de que alguns assuntos de Matemática não têm aplicações práticas na vida real. Quando co-meçaram os estudos sobre os fenômenos eletromagnéticos, no início do século XIX, muitos pensavam que se tratava de uma pesquisa inútil, sem nenhum interesse prático. Hoje em dia ninguém pode se imaginar vivendo em um mundo sem eletricidade, não é mesmo?

© C

onex

ão E

dito

rial


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VOCÊ APRENDEU?

1. Com base no texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, responda:

a) Qual era o intuito original do experimento do Conde de Buffon?

b) O que ele acabou descobrindo nessa experiência?

c) Como obter um valor aproximado de π com base na experiência do Conde de Buffon?

d) Como você avalia a questão da utilidade prática do experimento realizado pelo Conde de Buffon?


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2. Responda as questões a seguir.

a) Use a fórmula do Conde de Buffon e calcule a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma linha de um tabuleiro formado por linhas paralelas distantes 3 cm umas das outras. Use uma calculadora e expresse o resultado em porcentagem (use π ≅ 3,14).

Resposta:

b) O que acontece com essa probabilidade se a distância entre as linhas do tabuleiro for o dobro do comprimento da agulha?

Resposta:


44

c) Qual deve ser a distância entre as linhas de um tabuleiro para que a probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma das linhas seja de 50%?

Resposta:

VOCÊ APRENDEU?

3. Considere uma roleta circular com um ponteiro central móvel. Ao girarmos livremente esse ponteiro, ele vai parar em uma determinada região da roleta.

a) Na roleta representada a seguir, o ângulo correspondente ao setor I mede 60° e o corres-pondente ao setor III, 180°. Calcule a probabilidade de o ponteiro da roleta, ao ser girado livremente, parar na região II.

III

III

Resposta:


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b) Na roleta da figura, os ângulos correspondentes aos setores circulares coloridos variam em se-quência crescente, de 10 em 10 graus. O menor ângulo mede 10°. Qual é a probabilidade de o ponteiro parar em um setor azul?

Resposta:

c) Qual é a cor da região em que o ponteiro central tem a maior probabilidade de parar? Justifique sua resposta.

Resposta:


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4. A figura a seguir mostra um alvo usado em um jogo de dardos. O círculo central tem raio igual a 10 cm, e os anéis (coroas circulares) estão igualmente espaçados, de 10 em 10 cm.

a) Calcule a área de cada uma das regiões coloridas do alvo.

Região vermelha: •

Região azul: •

Região amarela: •

Região verde: •


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b) Qual é a região do alvo (cor) com a maior probabilidade de acerto no lançamento de um dardo ao acaso? E a região com menor probabilidade de acerto?

Observação!

Vamos considerar que o jogador esteja com os olhos vendados, para que a intenciona-lidade não interfira no lançamento do dardo. Faça o cálculo da probabilidade para cada uma das regiões.

Resposta:


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Desafi o!

5. O alvo “democrático”– Você é capaz de construir um alvo circular em que as quatro regiões coloridas permitam a mesma probabilidade de acerto? Faça os cálculos literaise desenhe o alvo “democrático”, usando régua e compasso.

pi, representado pela letra grega π.¡tica - 8a- série/9 o ano - Volume 4 7 Em sua obra As medidas...

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