CAPÍTULOS 9, 10 Y 11 DISTRIBUCIÓN DE TENSIONES...

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  • CAPTULOS 9, 10 Y 11

    DISTRIBUCIN DE TENSIONESORIGINADAS POR LOS

    DIFERENTES ESFUERZOS

  • y

    y

    Q

    NM

    z

    =

    =

    =

    Areaz

    Areazy

    Areaz

    dAy

    dA

    dA

    M

    Q

    N

    z

    xdA

    z

    zy

    y

    Qu pretendemos en esta leccin?

    Esfuerzos:

    Tensiones originadas:

    Equivalencia mecnica de lossistemas de esfuerzos, por un lado,y de las tensiones generadas, porotro:

  • ESFUERZO AXIL: TRACCIN O COMPRESIN PURA

    B

    x

    y

    z

    N

    G

    B

    x

    y

    z

    N

    G

  • Consideremos una barra prismtica de seccin arbitraria sometida a un esfuerzo axil N cuya recta de accin pasa por el centro de gravedad de la seccin de la barra.Las tensiones normales, , producidas por el esfuerzo axil son constantes en cualquier punto de la seccin.

    NN

    x

    y

    zG

  • N pasa por GxG

    dA

    x

    y

    y EQUIVALENCIA ENTRE N Y LA DISTRIBUCIN DE TENSIONES:

    Momentos en G:

    ==

    ==

    xdAM

    ydAM

    y

    x

    0

    0

    Igualdad de resultantes:

    ANAdAdAN ====

    0E yzxzxyzxyz

    z ======

    ESTADO DE DEFORMACIONES EN LA PIEZA PRISMTICA:

  • TRACCIN PURA

    COMPRESIN PURA

    En ambos casos, el esfuerzo axil pasa por el c.d.g de la seccin

  • FLEXINFLEXIN PURA, FLEXIN COMPUESTA Y

    FLEXIN SIMPLE

    B

    x

    y

    z

    Mx

    My

    G

    B

    x

    y

    z

    Mx

    My

    G

    B

    x

    y

    z

    NG

    rP

    B

    x

    y

    z

    NG

    rP

    B

    x

    y (EJE DE SIMETRA)

    z

    Mx

    Qy

    G

  • z

    xy

    P-P

    Q

    P P

    Zona de flexin pura

    M P.aZona de flexin simple

    dz

    Q=0

    a a

  • FLEXIN PURA

    B

    x

    y

    z

    Mx

    My

    G

    B

    x

    y

    z

    Mx

    My

    G

    00 ===== zyzxzxyyx

    ( )yxzz , =CByAxz ++=

    00 == Cdz

    EQUIVALENCIA ENTRE Mx y My Y LA DISTRIBUCIN DE TENSIONES:

    Igualdad de resultantes:

  • Igualdad de momentos en G:

    += jMiMdr yxzrrrr

    ByAxz += 2

    2

    xyyx

    xyyyx

    xyyx

    xyxyx

    PII

    PMIMB

    PII

    IMPMA

    +=

    +=

    +

    =

    22xyyx

    xxyy

    xyyx

    xyyxz PII

    xIyPM

    PII

    xPyIM

    B

    x

    y

    z

    Mx

    My

    G

    B

    x

    y

    z

    Mx

    My

    G

  • Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia de la seccin, Pxy=0, por lo que la expresin anterior se reducira a:

    +

    =

    22xyyx

    xxyy

    xyyx

    xyyxz PII

    xIyPM

    PII

    xPyIM

    y

    y

    x

    xz I

    xMIyM=

    y si , se obtendra:0=yM

    x

    xz I

    yM=

    yy

    x

    G

    x

    G

    Seccin rectangular

    x

    y

    G

    h 2

    h 1

    1=x h1x

    2=x h2x

    Mx

    SECCION ALZADO LATERAL

    Cantox

    y

    G

    h 2

    h 1

    1=x h1x

    2=x h2x

    Mxx

    y

    G x

    y

    G

    h 2

    h 1

    1=x h1x

    1=x h1x

    2=x h2x

    2=x h2x

    Mx

    SECCION ALZADO LATERAL

    Canto

  • ALA

    ALA

    ALMA

    NOMENCLATURA EN PERFILES LAMINADOS:

  • q=20kN/mP=50kN

    RARB2.5m 3.5m

    h=0.7m

    b=0.22m

    EJEMPLO: CALCULO DE LAS MXIMAS TENSIONES NORMALES EN LA VIGA DE LA FIGURA

    h = cantob = ancho

  • Q=89,2kN

    39,2kN

    -10,8kN-80,8kNM=160,4kNm

    Q

    M

    q=20kN/mP=50kN

  • Mdulo resistentede la seccin

    32

    2

    .

    3

    018,06

    7,022,06.

    2

    121

    mxhbW

    WM

    I

    hM

    hbI

    x

    x

    x

    mx

    x

    ===

    =

    =

    =

    MPamkNm

    WM

    C 9,8018,04,160

    3max ===

    MPaT 9,8+=

    TENSIONES NORMALES MXIMAS:0h

    b

    x

    y

    G

  • TENSIONES Y DEFORMACIONES EN FLEXIN PURA

    Deformaciones z

    Curva tensin-deformacin

    Las deformaciones z tambin varan linealmente

    y

    Tensiones z

    directriz

  • FLEXIN PURA:

    Las caras que eran planas.

    MM

    siguen siendoplanas

  • FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIN PURA

    Se denomina fibra o eje neutro al lugar geomtrico de los puntos de la seccin en los que z es nula

    022

    =

    +

    =

    xyyx

    xxyy

    xyyx

    xyyxz PII

    xIyPM

    PII

    xPyIM

    xyyyx

    xyxyx

    PMIMIMPM

    xy

    +

    +=

    Si los ejes {x,y} fueran principales de inercia:

    yx

    xy

    IMIM

    xy=

    que corresponde a una recta que pasa por el c.d.g de la seccin. Si, adems, My=0, la fibra neutra coincide con el eje x: yy

    x

    G

    x

    GFibra neutra

  • FLEXIN COMPUESTA

    B

    x

    y

    z

    NG

    rP

    B

    x

    y

    z

    NG

    rP

    esfuerzo axil N en un punto P de coordenadas (a,b)

    Reduciendo N al c.d.g.:

    jMiMjaNibNN

    bakji

    NrM yxrrrr

    rvv

    vvr +====00

    0

    B

    x

    y

    zM

    G N

    B

    x

    y

    zM

    G N

    +=

    22xyyx

    xxy

    xyyx

    xyyz PII

    xIyPNa

    PII

    xPyINbN

    Aplicando el Principio de superposicin:

  • FIBRA O EJE NEUTRO EN FLEXIN COMPUESTA

    ( ) ( ) 02

    =++

    = xyyxyxxyyx

    z aPbIybPaIxPII

    En el caso de flexin compuesta, la fibra neutra no pasa por el c.d.g de la seccin.

    NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRABAJANDO A FLEXIN COMPUESTA

    Regin de la seccin en la que puede actuar un esfuerzo axil de compresin N sin que se produzcan tensiones de traccin en ningn punto de la seccin. El centro de gravedad de la seccin G debe pertenecer al ncleo central pues, si en l se aplicara un esfuerzo axil de compresin toda la seccin se encontrara trabajando a compresin.

  • x

    y

    A

    B

    C

    (a)

    (b)

    (c)x

    y

    A

    B

    C

    (a)

    (b)

    (c)

    Si el esfuerzo axil de compresin actuase en el punto A de la seccin, la recta (a)sera la correspondiente fibra neutra. Supongamos ahora que el esfuerzo axil actuase en el punto B y que (b) es la correspondiente fibra neutra. Si C es el punto de corte de las rectas (a) y (b), se puede demostrar que si el esfuerzo axil actuase en C la correspondiente fibra neutra (c) pasara por los puntos A y B.

  • EJEMPLO: NCLEO CENTRAL DE UNA SECCIN RECTANGULAR

    x

    y

    P

    G

    eh

    c

    A B

    CD

    x

    y

    P

    G

    eh

    c

    A B

    CD Supongamos actuando un esfuerzo axil N de compresinen el punto P de la seccin, que se encuentra situado sobre el eje y a una distancia e del eje x.Reduciendo el esfuerzo N al centro de gravedad G,obtendramos un esfuerzo axil del mismo valor y un momento flector de eje x de valor N.e

    Si aplicsemos N en G (e=0), toda la seccin estara sometida a compresin uniforme. Si va creciendo e, las tensiones de compresin van creciendo en el lado DC y disminuyendo en el AB. Cabra preguntarse: Para qu valor de la distancia e la fibra neutra coincidira con al lado AB?

    e=h/6

    x

    y

    h3

    c3

    A

    R

    S

    x

    y

    h3

    c3

    A

    R

    S

    Ncleo Central

  • FLEXIN SIMPLE

    B

    x

    y (EJE DE SIMETRA)

    z

    Mx

    Qy

    G

    x

    y

    Qy MxG x

    y

    Qy MxG

    (Eje de simetra)

    Las tensiones normales producidas por el momento flector ya han sido estudiadas con anterioridad, pero: cules sern las tensiones tangenciales (contenidas en el plano de la seccin) a que da lugar el esfuerzo cortante que estamos aplicando?

    Supondremos que dichas tensiones tangenciales slo dependen de la ordenada y:

    ( )y =

  • REBANADA DE UNA PIEZA PRISMTICA

    directriz

    rebanada

    ds

    A C

    B D

    directriz

    rebanada

    ds

    A C

    B D

    A

    B

    Qy

    Mx

    A

    B

    Qy

    Mx

    Qy

    Mx

    C

    D

    Mx+d Mx

    Qy+d QyC

    D

    Mx+d Mx

    Qy+d Qy

    Mx+d Mx

    Qy+d QyQy+d Qy

    C

    ds

    A

    B D

    Mx+d Mx

    Qy+d QyQy

    MxC

    ds

    A

    B D

    ds

    A

    B D

    Mx+d Mx

    Qy+d Qy

    Mx+d Mx

    Qy+d QyQy+d QyQy

    Mx

    c

  • C

    ds

    A

    B D

    Mx+d Mx

    Qy+d QyQy

    MxC

    ds

    A

    B D

    ds

    A

    B D

    Mx+d Mx

    Qy+d Qy

    Mx+d Mx

    Qy+d QyQy+d QyQy

    Mx

    C

    0)( =+=+++ dsQdMdsdQdsQdMMM yxyyxxx

    EQUILIBRIO DE LA REBANADA

    dsdM

    Q xy =

  • TENSIONES TANGENCIALES INDUCIDAS POR EL ESFUERZO CORTANTE

    Q

  • x

    y

    G

    a(y)

    a0

    ycy

    ds

    +d

    yh

    x

    y

    G

    a(y)

    a0

    ycy

    ds

    +d

    x

    y

    G

    a(y)

    a0

    ycy

    x

    y

    G

    a(y)

    a0

    ycy

    ds

    +d

    ds

    +d

    yh x

    xz I

    yM=

    x

    x

    IydM

    d =

    )()).(( 0adsdyyadh

    c

    yy

    yy=

    =

    = ==

    h

    c

    h

    c

    y

    yx

    xy

    yx

    x adsadyyIdMadyy

    IdM

    0)()(

    00 aIMQ

    aIM

    dsdM

    x

    ey

    x

    ex ==

    EQUILIBRIO HORIZONTAL:

    +d

  • EjemploEjemplo: : DistribuciDistribucinn de de tensionestensiones cortantescortantes sobresobreunauna secciseccinn rectangular rectangular sometidasometida a a QQyy

    0aIMQ

    x

    ey=0

    b

    x

    y

    Gh

    y

    (y)

    0 x

    y

    G

    (h/2-y)/2

    +

    = yyhbyhMe 22

    12

    3

    121 hbIx = ba =0

  • b

    h fibraneutra

    y

    x

    Tensiones deflexin

    z

    y

    Tensionescortantes

    ( )

    mediamax

    2

    maxe

    5,123

    842M

    =

    =

    =

    =

    bhQ

    bhhbh

    y

    max

    ymedia

    max