79

4. Conduo de Calor Multidimensional em Regime Permanente

A equao da conduo de calor, que o processo de transferncia de energia que

ocorre na fronteira de um sistema em repouso devido a um gradiente de temperatura, tem sido

deduzida em muitos livros. Essa equao genrica da forma:

( , )( , ) ( , ) pT r tq r t q r t C

t + =

i (4.1)

na qual o primeiro termo do membro do lado esquerdo da equao representa a taxa de calor

entrando atravs da superfcie do sistema, o segundo termo representa a taxa de gerao por

unidade de volume e o termo do lado direito da equao representa a taxa de armazenamento

de energia dentro do sistema.

No caso de meios ou materiais em que a condutividade trmica independe da direo

(meios isotrpicos), o vetor fluxo de calor pode ser definido na seguinte forma (Lei de

Fourier):

q k T= (4.2)

em que k a condutividade trmica que pode ser uma funo da temperatura, ( )k k T= .

A expresso para os componentes do fluxo de calor, em sistemas de coordenadas

curvilneas ortogonais ( )1 2 3, ,x x x , da forma

1 ; 1,2,3ii i

Tq k ih x

= =

(4.3)

na qual ih so fatores de escalas que aparecem em transformaes de coordenadas de um

sistemas de coordenadas para outro, em que se conheam as relaes,

( )1 2 3, , ; 1,2,3i ix x u u u i= = com ( )1 2 3, ,u u u sendo a tripla de coordenadas no novo sistema.

Os fatores de escalas so definidos na forma

23

2

1

ji

j i

xh

u=

= (4.4)

Nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilndricas e esfricas tm-se os dados na

Tabela 4.1

80

Tabela 4.1 Sistemas de coordenadas ortogonais e fatores de escalas

Coordenadas Cartesianas Cilndricas Esfricas 1u x r r

2u y

3u z z

1x x r.cos( ) r.cos( )sen( )

2x y r.sen( ) r.sen( )sen( )

3x z z r.cos( )

1h 1 1 1

2h 1 r ( )r sen 3h 1 1 r

No sistema de coordenadas cartesianas ( ), ,x y z , os fluxos de calor ficam, ento,

definidos como

1Tq kx

=

(4.5a)

2Tq ky

=

(4.5b)

3Tq kz

=

(4.5c)

Para coordenadas cilndricas ( ), ,r z resulta:

rTq kr

=

(4.6a)

Tq kr

=

(4.6b)

zTq kz

=

(4.6c)

Para coordenadas esfricas ( ), ,r resulta:

rTq kr

=

(4.7a)

( )Tq k

rsen

=

(4.7b)

Tq kr

=

(4.7c)

81

A partir das Equaes (4.1) e (4.3) pode-se obter

( ) ( ) ( )2 3 1 1 3 2 1 2 31 2 3 1 2 3

1p

h h q h h q h h q Tq Ch h h x x x t

+ + + =

num domnio , 0t > (4.8)

Substituindo os fluxos de calor dos sistemas de coordenadas (equaes (4.5) a (4.7))

obtm-se as equaes para os sistemas de coordenadas cartesianas, cilndricas e esfricas

como a seguir.

- Sistema de coordenadas retangulares:

( , , , ) pT T T Tk k k q x y z t C

x x y y z z t

+ + + = (4.9)

- Sistema de coordenadas cilndricas:

2

1 1 ( , , , ) pT T T Tkr k k q r z t C

r r r r z z t

+ + + =

(4.10)

- Sistema de coordenadas esfricas:

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2

1 1 1

( , , , ) p

T T Tkr k ksenr r r r sen r sen

Tq r t Ct

+ + + + =

(4.11)

As condies de contorno em problemas de conduo podem ser escritas na seguinte

forma genrica, para uma superfcie iS normal a um eixo de coordenadas ix

i

i i i S

Tk T fn

+ =

sobre , 0iS t > (4.12)

Assume-se que o domnio tem um nmero de superfcies contnuas , 1, 2, ,iS i s= em

nmero, tal que cada superfcie iS coincide com a superfcie do sistema de coordenadas

ortogonal escolhido. As combinaes 0, 1i ik = = ou 1, 0i i = = recuperam as condies

de contorno de primeiro ou de segundo tipos respectivamente. O sinal mais ou menos depende

se a normal a iS est apontando no sentido positivo ou negativo da direo ix

respectivamente.

82

A condio inicial geralmente da forma:

( ) ( ),T r t F r= para 0t = no domnio (4.13)

Os mtodos de soluo da equao de conduo podem ser analticos exatos, mtodos

analticos aproximados ou mtodos numricos dependendo da complexidade do problema a

ser analisado. Os mtodos analticos englobam os mtodos de Separao de Variveis,

Tcnica de Transformada Integral, Tcnica de Transformada de Laplace, por exemplo. Os

mtodos analticos aproximados incluem o Mtodo Integral, Mtodo de Rayleigh-Ritz,

Mtodo de Galerkin, entre outros. Os mtodos numricos clssicos so: Mtodo de Diferena

Finita, Mtodo de Volume Finito e Mtodo de Elemento Finito. Um mtodo numrico

tambm usado o mtodo de Monte-Carlo. Alguns destes mtodos sero descritos a seguir.

4.1 Solues Analticas

O mtodo analtico clssico em problemas de conduo de calor homogneos o

mtodo de separao de variveis. O procedimento de separao de variveis pode ser

aplicado tambm ao caso dos problemas em regime permanente sem gerao de calor quando

apenas uma das condies de contorno seja no homognea. Se vrias condies de contorno

so no homogneas possvel separar o problema original em um conjunto de problemas em

que cada um dos subproblemas tenha apenas uma condio de contorno no homognea.

Considere, por exemplo, o problema de conduo multidimensional homogneo em regime

permanente com condio de contorno no homognea definido a seguir:

( )2 0T r = num domnio (4.14a)

i i i

Tk hT fn

+ =

sobre iS (4.14b)

O problema definido por (4.14) pode ser separado em um conjunto de problemas mais

simples de forma que apenas uma condio de contorno permanea no homognea. Cada

subproblema ser governado pelas seguintes equaes

( )2 0jT r = num domnio (4.15a)

ji i j ij i

Tk hT f

n

+ =

sobre iS (4.15b)

83

nas quais

1, 2, ,1, 2, ,

1 se 0 se ij

i sj s

i ji j

==

==

A soluo para a distribuio de temperatura ser a superposio das solues dos problemas

mais simples na forma

( ) ( )1

s

jj

T r T r=

= (4.16)

Considere o seguinte caso de conduo num paraleleppedo

0 , 0 , 0x a y b z c com as condies de contorno definidas a seguir

2 2 2

2 2 2 0T T T

x y z

+ + =

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.17a)

0T T= em 0x = ; T T= em x a= (4.17b, c)

1Tk qy

=

em 0y = ; 1 1Tk hT hTy

+ =

em y b= (4.17d, e)

2Tk qz

=

em 0z = ; 2 2Tk h T h Tz

+ =

em z c= (4.17f, g)

Como todas as condies de contorno so no homogneas, inicialmente, faz a

seguinte mudana de varivel T T = , que homogeneza trs condies de contorno

resultando 2 2 2

2 2 2 0x y z + + =

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.18a)

0 = em 0x = ; 0 = em x a= (4.18b, c)

1k qy =

em 0y = ; 1 0hy k + =

em y b= (4.18d, e)

2k qz =

em 0z = ; 2 0hz k + =

em z c= (4.18f, g)

Agora prope-se a separao do problema (4.18) em trs problemas mais simples,

cada um deles com apenas uma condio de contorno no homognea, pela seguinte

superposio:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , , ,x y z x y z x y z x y z = + + (4.19)

84

Pode-se obter os seguintes trs problemas:

Problema 1 2 2 2

1 1 12 2 2 0x y z

+ + =

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.20a)

1 0 = em 0x = ; 1 0 = em x a= (4.20b, c)

1 0y

=

em 0y = ; 1 1 1 0h

y k + =

em y b= (4.20d, e)

1 0z

=

em 0z = ; 1 2 1 0h

z k + =

em z c= (4.20f, g)

Problema 2 2 2 2

2 2 22 2 2 0x y z

+ + =

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.21a)

2 0 = em 0x = ; 2 0 = em x a= (4.21b, c)

21k qy

=

em 0y = ; 2 1 2 0h

y k + =

em y b= (4.21d, e)

2 0z

=

em 0z = ; 2 2 2 0h

z k + =

em z c= (4.21f, g)

Problema 3 2 2 2

3 3 32 2 2 0x y z

+ + =

em 0 , 0 , 0x a y b z c< < < < < < (4.22a)

3 0 = em 0x = ; 3 0 = em x a= (4.22b, c)

3 0y

=

em 0y = ; 3 1 3 0h

y k + =

em y b= (4.22d, e)

32k qz

=

em 0z = ; 3 2 3 0h

z k + =

em z c= (4.22f, g)

A soluo de cada um dos trs problemas por separao de variveis fica na forma

( ) ( ) ( ) ( ), ,x y z X x Y y Z z = (4.23)

que substituda em qualquer das trs equaes (4.20a) ou (4.21a) ou (4.22a) resulta aps

algumas manipulaes 2 2 2

2 2 2

1 1 1 0d X d Y d ZX dx Y dy Z dz

+ + = (4.24)

85

Para o problema 1 propes-se a seguinte separao: 2

2 2 22

1 d XX dx

= = + , 2

22

1 d YY dy

= e 2

22

1 d ZZ dz

= (4.25)

As equaes separadas se tornam, ento, 2

22 0

d X Xdx

= (4.26a)

0X = em x a= (4.26b) 2

22 0

d Y Ydy

+ = (4.27a)

0dYdy

= em 0y = (4.27b)

1 0dY H Ydy

+ = em y b= (4.27c)

22

2 0d Z Zdz

+ = (4.28a)

0dZdz

= em 0z = (4.28b)

2 0dZ H Zdz

+ = em z c= (4.28c)

Para o problema 2 pro