Equações de Poisson e de Laplace - clovisalmeida.xpg.com.br · A região de fronteira é...

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  • Equaes de Poisson e de Laplace

    A equao de Poisson obtida a partir:

    V=E

    Da forma pontual da Lei de Gauss:

    Da definio de D:

    Da relao de gradiente:

    ED =V=.D

    V

    V

    VV

    V

    ==

    ===

    2

    )()(

    .

    .E..D

    Equao de Poisson

  • Equaes de Poisson e de Laplace

    A equao de Poisson aplicvel a uma regio com distribuioconhecida de cargas. Quando se tratar de uma regio sem cargaslivres, a equao se transforma em:

    02 =V Equao de Laplace

  • Operador Laplaciano

    2

    2

    222

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    sen1sen

    sen11

    11

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    Vr

    Vrr

    Vrrr

    V

    zVVVV

    zV

    yV

    xVV

    Em coordenadas cartesianas:

    Em coordenadas cilndricas:

    Em coordenadas esfricas:

  • Exerccio pg. 159 E 7.1

    Determine se os seguintes campos potenciais satisfazem Equao de Laplace:

    (a) V = x2 y2 + z2;(b) V = cos + z;(c) V = r cos + .

  • Teorema da unicidade

    Da equao de Laplace , deveremos ter duas solues, V1 e V2.02

    Logo, e .

    =V

    022 =V01

    2 =V

    0)( 212 = VV

    Cada uma das solues da Equao de Laplace ser vlida, tambm, paraas condies de contorno, onde temos o potencial Vb na regio de fronteira.Assim, V1 ser V1b e V2 ser V2b , ambos na regio de fronteira e que, por suavez, sero iguais a Vb . Vale dizer:

    02121 === bbbbb VVVVV

  • Teorema da unicidade - continuao

    A partir da relao vetorial

    vlida para qualquer escalar (por exemplo, V) e qualquer vetor (por

    exemplo, D). Logo, poderemos considerar (V1 - V2) como sendo o escalar

    e como sendo o vetor. Portanto, )( VV

    )()()( VVV + D..DD.

    21

    dvVVVVdvVVVV

    dvVVVV

    volvol

    vol

    +

    )()()]()[(

    )]()[(

    21212121

    2121

    ..

    .

  • Teorema da unicidade - continuao

    A regio de fronteira caracterizada por uma superfcie que limita o volume.

    Logo, o lado esquerdo da expresso anterior pode ser substituda por uma

    integral de superfcie fechada, ou seja:

    0)]()[()]()[( 21212121 == S bbbbvol dVVaVVdvVVVV S..O lado esquerdo da equao acima zero, por hiptese, isto :

    ===

    == 2121

    2

    21

    2

    2121

    2

    0)(0)]([

    0)]([0)(

    VVVVVV

    dvVVVVvol

    constante.

  • Teorema da unicidade - continuao

    Considerando as condies de contorno na regio de fronteira,

    conclumos que a constante zero, ou seja:

    21 VV =

    As solues idnticas acima mostram o Teorema da Unicidade,

    para as condies de contorno.

  • Exerccio pg. 161 E 7.2

    Os cones = /6 e = /3 esto com potenciais de 1,317 e0,549 V, respectivamente.

    (a) As funes potenciais V1 = ln [ tg (/2)] eV2 = -1/2 ln [ (1 + cos ) / (1 - cos )] satisfazem s condies de contorno?

    (b) V1 e V2 satisfazem Equao de Laplace?(c) V1 e V2 so idnticas?

  • Solues da Equao de Laplace - 1o. Exemplo(V funo apenas de x em coordenadas cartesianas)

    002

    2

    2

    2

    ==

    dxVd

    xV

    A equao de Laplace fica reduzida a:

    BAxVAdxdV

    +==

    Como V varia apenas em x, as superfcies equipotenciais sero planosparalelos. A estrutura se assemelha a um capacitor de placas paralelas.Logo, as constantes A e B podero ser calculadas a partir de duas placasparalelas com potenciais V1 (em x1) e V2 (em x2).

    BAxVBAxV +=+= 2211

  • Solues da Equao de Laplace - 1o. Exemplo(V funo apenas de x em coordenadas cartesianas)

    21

    1221

    21

    2112

    21

    21

    )()(

    xxxxVxxVV

    xxxVxVB

    xxVVA

    =

    =

    =

    Simplificando-se a soluo com situaes ainda mais particulares, pode-seescolher V = 0 em x = 0 e V = V0 em x = d. Logo,

    dxVVB

    dVA 00 0 e ===

  • Solues da Equao de Laplace - 2o. Exemplo(V funo apenas de em coordenadas cilndricas)

    A equao de Laplace fica reduzida a:

    0101 =

    =

    ddV

    ddV

    BAVAddV

    +==

    ln

    Trata-se agora de uma estrutura semelhante a um capacitor coaxial.As constantes A e B podero ser calculadas colocando-se V = V0 em = ae V = 0 em = b , para b > a. Assim,

    )/ln()/ln(

    0 abbVV =

  • Solues da Equao de Laplace - 3o. Exemplo(V funo apenas de em coordenadas cilndricas)

    0012

    2

    2

    2

    2=

    =

    dVdV

    A equao de Laplace fica reduzida a:

    0VVBAV =+=

    Trata-se agora de uma estruturasemelhante a planos radiais.As constantes A e B podero sercalculadas colocando-se V = V0 em = e V = 0 em = 0. Assim,

  • Solues da Equao de Laplace - 4o. Exemplo(V funo apenas de r em coordenadas esfricas)

    As variaes em so semelhantes s anteriores (cilndricas).

    As condies de contorno so: V = V0 em r = a e V = 0 em r = b ,para b > a. Logo,

    babrVV

    /1/1/1/1

    0

    =

  • Solues da Equao de Laplace - 5o. Exemplo(V funo apenas de em coordenadas esfricas)

    A equao de Laplace fica reduzida a:

    AddV

    =

    sen0sensen1

    2=

    ddV

    dd

    r

    A segunda integralpassa a ser:

    +=+= BtgAVBd

    AV ]2/(ln[sen

    As superfcies equipotenciais so cones tais que V = 0 em = /2 e V = V0 em = , para < /2. Logo,

    ]2/(ln[]2/(ln[

    0

    tgtgVV =

  • Exemplo de soluo da Equao de Poisson

  • Exemplo de soluo da Equao de Poisson - continuao

    A juno pn de um semicondutor um exemplo de onde possvel encontrar uma densidade de cargas no nula. A Equao de Poisson aplicvel, neste caso.Uma expresso simples para representar a distribuio de carga :

    0,881axax

    ax

    vv

    vv

    ==

    =

    ,

    tanhsech2

    max,0

    0

    dav eNeN ==0

    A densidade mxima v0 est relacionada com as concentraesde doadores e receptores Na e Ndsegundo a relao:

  • Exemplo de soluo da Equao de Poisson - continuao

    Resolvendo-se a Equao de Poisson com a densidade de carga abaixo, teremos:

    10

    10

    0

    2

    22

    0

    sech2

    sech2

    tanhsech2

    tanhsech2

    Caxa

    dxdVE

    Caxa

    dxdV

    ax

    ax

    dxVdV

    ax

    ax

    vx

    v

    vv

    vv

    ==

    +=

    ==

    =

  • Exemplo de soluo da Equao de Poisson - continuao

    A constante C1 pode ser calculada considerando que o campoeltrico e a secante hiperblica tendem a zero quando .Portando, C1 = 0, o que implica em:

    x

    2

    /12

    00

    0

    t4sech2

    sech2

    CeanaVaxa

    dxdV

    axa

    dxdVE

    axvv

    vx

    +==

    ==

  • Exemplo de soluo da Equao de Poisson - continuao

    A constante C2 pode ser calculada considerando que a refernciazero para o potencial est no centro da juno, em x = 0, ou seja:

    =+=

    4tan4

    440 /1

    2

    02

    2

    0

    axvv eaVCa

    A diferena de potencial V0 atravs da juno pode ser obtida apartir da frmula acima, isto :

    20

    0

    2 aVVV vxx ==

  • Exemplo de soluo da Equao de Poisson - continuao

    A carga total em um dos lados da juno, bem como a capacitncia na juno, podem ser calculados a partir de V0 e da rea da seo reta da juno (S).

    aS

    VS

    dVdQC

    VSaSQ

    dxax

    axSdxSdvQ

    v

    vv

    vvv

    22

    22

    tanhsech2..

    0

    0

    0

    000

    0 000

    ===

    ==

    ===