Equações de Poisson e de Laplace - clovisalmeida.xpg.com.br · A região de fronteira é...
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Equações de Poisson e de Laplace
A equação de Poisson é obtida a partir:
V−∇=E
Da forma pontual da Lei de Gauss:
Da definição de D:
Da relação de gradiente:
ED ε=Vρ=∇.D
ερ
ρεε
V
V
VV
V
−=∇=∇∇∴
=∇−∇=∇=∇⇒
2
)()(
.
.E..D
Equação de Poisson
Equações de Poisson e de Laplace
A equação de Poisson é aplicável a uma região com distribuiçãoconhecida de cargas. Quando se tratar de uma região sem cargaslivres, a equação se transforma em:
02 =∇V Equação de Laplace
Operador Laplaciano
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
sen1sen
sen11
11
φθθθ
θθ
φρρρ
ρρ
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∇
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
∂∂
=∇
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Vr
Vrr
Vrrr
V
zVVVV
zV
yV
xVV
Em coordenadas cartesianas:
Em coordenadas cilíndricas:
Em coordenadas esféricas:
Exercício – pág. 159 – E 7.1
Determine se os seguintes campos potenciais satisfazem àEquação de Laplace:
(a) V = x2 – y2 + z2;(b) V = ρ cos φ + z;(c) V = r cos θ + φ.
Teorema da unicidade
Da equação de Laplace , deveremos ter duas soluções, V1 e V2.02
Logo, e .
=∇V
02
2 =∇V01
2 =∇V
0)( 21
2 =−∇⇒ VV
Cada uma das soluções da Equação de Laplace será válida, também, paraas condições de contorno, onde temos o potencial Vb na região de fronteira.Assim, V1 será V1b e V2 será V2b , ambos na região de fronteira e que, por suavez, serão iguais a Vb . Vale dizer:
02121 =−∴== bbbbb VVVVV
Teorema da unicidade - continuação
A partir da relação vetorial
é válida para qualquer escalar (por exemplo, V) e qualquer vetor (por
exemplo, D). Logo, poderemos considerar (V1 - V2) como sendo o escalar
e como sendo o vetor. Portanto, )( VV −∇
)()()( VVV ∇+∇≡∇⇒ D..DD.
21
dvVVVVdvVVVV
dvVVVV
volvol
vol
∫∫
∫
−∇−∇+−∇∇−≡
≡−∇−∇
)()()]()[(
)]()[(
21212121
2121
..
.
Teorema da unicidade - continuação
A região de fronteira é caracterizada por uma superfície que limita o volume.
Logo, o lado esquerdo da expressão anterior pode ser substituída por uma
integral de superfície fechada, ou seja:
0)]()[()]()[( 21212121 =−∇−=−∇−∇ ∫∫ S bbbbvoldVVaVVdvVVVV S..
O lado esquerdo da equação acima é zero, por hipótese, isto é:
=−∴=−∇⇒=−∇∴
=−∇⇒=−∇ ∫2121
2
21
2
2121
2
0)(0)]([
0)]([0)(
VVVVVV
dvVVVVvol
constante.
Teorema da unicidade - continuação
Considerando as condições de contorno na região de fronteira,
concluímos que a constante é zero, ou seja:
21 VV =
As soluções idênticas acima mostram o Teorema da Unicidade,
para as condições de contorno.
Exercício – pág. 161 – E 7.2
Os cones θ = π/6 e θ = π/3 estão com potenciais de –1,317 e–0,549 V, respectivamente.
(a) As funções potenciais V1 = ln [ tg (θ/2)] eV2 = -1/2 ln [ (1 + cos θ) / (1 - cos θ)] satisfazem às condições de contorno?
(b) V1 e V2 satisfazem à Equação de Laplace?(c) V1 e V2 são idênticas?
Soluções da Equação de Laplace - 1o. Exemplo(V é função apenas de x em coordenadas cartesianas)
002
2
2
2
=⇒=∂∂
dxVd
xV
A equação de Laplace fica reduzida a:
BAxVAdxdV
+=∴=
Como V varia apenas em x, as superfícies equipotenciais serão planosparalelos. A estrutura se assemelha a um capacitor de placas paralelas.Logo, as constantes A e B poderão ser calculadas a partir de duas placasparalelas com potenciais V1 (em x1) e V2 (em x2).
BAxVBAxV +=→+= 2211
Soluções da Equação de Laplace - 1o. Exemplo(V é função apenas de x em coordenadas cartesianas)
21
1221
21
2112
21
21
)()(
xxxxVxxVV
xxxVxVB
xxVVA
−−−−
=∴
−−
=−−
=
Simplificando-se a solução com situações ainda mais particulares, pode-seescolher V = 0 em x = 0 e V = V0 em x = d. Logo,
dxVVB
dVA 00 0 e =∴==
Soluções da Equação de Laplace - 2o. Exemplo(V é função apenas de ρ em coordenadas cilíndricas)
A equação de Laplace fica reduzida a:
0101=
⇒=
∂∂
∂∂
ρρ
ρρρρ
ρρ ddV
ddV
BAVAddV
+=∴= ρρ
ρ ln
Trata-se agora de uma estrutura semelhante a um capacitor coaxial.As constantes A e B poderão ser calculadas colocando-se V = V0 em ρ = ae V = 0 em ρ = b , para b > a. Assim,
)/ln()/ln(
0 abbVV ρ
=
Soluções da Equação de Laplace - 3o. Exemplo(V é função apenas de φ em coordenadas cilíndricas)
0012
2
2
2
2=
⇒=
∂∂
φφρ dVdV
A equação de Laplace fica reduzida a:
αφφ 0VVBAV =⇒+=∴
Trata-se agora de uma estruturasemelhante a planos radiais.As constantes A e B poderão sercalculadas colocando-se V = V0 emφ = α e V = 0 em φ = 0. Assim,
Soluções da Equação de Laplace - 4o. Exemplo(V é função apenas de r em coordenadas esféricas)
As variações em φ são semelhantes às anteriores (cilíndricas).
As condições de contorno são: V = V0 em r = a e V = 0 em r = b ,para b > a. Logo,
babrVV
/1/1/1/1
0 −−
=∴
Soluções da Equação de Laplace - 5o. Exemplo(V é função apenas de θ em coordenadas esféricas)
A equação de Laplace fica reduzida a:
AddV
=⇒θ
θsen0sensen1
2=
θθ
θθ ddV
dd
r
A segunda integralpassa a ser:
+=⇒+=∫ BtgAVBdAV ]2/(ln[
senθθ
θAs superfícies equipotenciais são cones tais que V = 0 em θ = π/2 e V = V0 em θ = α, para α < π/2. Logo,
]2/(ln[]2/(ln[
0 αθ
tgtgVV =
Exemplo de solução da Equação de Poisson - continuação
A junção pn de um semicondutor é um exemplo de onde é possível encontrar uma densidade de cargas não nula. A Equação de Poisson é aplicável, neste caso.Uma expressão simples para representar a distribuição de carga é:
0,881axax
ax
vv
vv
==
=
,
tanhsech2
max,0
0
ρρ
ρρ
dav eNeN ==0ρ
A densidade máxima ρ v0 está relacionada com as concentraçõesde doadores e receptores Na e Ndsegundo a relação:
Exemplo de solução da Equação de Poisson - continuação
Resolvendo-se a Equação de Poisson com a densidade de carga abaixo, teremos:
10
10
0
2
22
0
sech2
sech2
tanhsech2
tanhsech2
Caxa
dxdVE
Caxa
dxdV
ax
ax
dxVdV
ax
ax
vx
v
vv
vv
−−=−=⇒
+=∴
=⇒−=∇
=
ερ
ερ
ερ
ερ
ρρ
Exemplo de solução da Equação de Poisson - continuação
A constante C1 pode ser calculada considerando que o campoelétrico e a secante hiperbólica tendem a zero quando .Portando, C1 = 0, o que implica em:
±∞→x
2
/12
00
0
t4sech2
sech2
CeanaVaxa
dxdV
axa
dxdVE
axvv
vx
+=∴=
−=−=⇒
−
ερ
ερ
ερ
Exemplo de solução da Equação de Poisson - continuação
A constante C2 pode ser calculada considerando que a referênciazero para o potencial está no centro da junção, em x = 0, ou seja:
−=⇒+= −
4tan4
440 /1
2
02
2
0 πε
ρπε
ρ axvv eaVCa
A diferença de potencial V0 através da junção pode ser obtida apartir da fórmula acima, isto é:
επρ 2
00
2 aVVV vxx =−= −∞→∞→
Exemplo de solução da Equação de Poisson - continuação
A carga total em um dos lados da junção, bem como a capacitância na junção, podem ser calculados a partir de V0 e da área da seção reta da junção (S).
aS
VS
dVdQC
VSaSQ
dxax
axSdxSdvQ
v
vv
vvv
πε
περ
περρ
ρρρ
22
22
tanhsech2..
0
0
0
000
0 000
===
==∴
=== ∫∫∫∞∞∞