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Testes de Restrições Lineares Gerais: o teste FAula 12/05/2014

Prof. Moisés A. Resende Filho

Introdução à Econometria (ECO 132497)

12 de maio de 2014

Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seção 4.5) 12/05/2014 1 / 14

Testes de restrições lineares gerais: passos

Passo 1. Estime o modelo (econométrico) irrestrito

y = β0 + β1x1 + ...+ βkxk + u (1)

e guarde a Soma dos Quadrados dos Resíduos deste, SQRir .Passo 2. Estabeleça as hipóteses de restrições lineares sobre os

parâmetros do modelo, por exemplo:

H0: β1 + β2 = 1; e β3 = · · · = βk = 0

Passo 3. Sob H0, estime o modelo (econométrico) restrito e guardea Soma dos Quadrados dos Resíduos, SQRr .

Passo 4. Calcule a estatística do teste e proceda com o teste

F =(SQRr − SQRir )/qSQRir/(n− k − 1)

∼ Fq,(n−k−1) g.l. (2)

em que q é o número de restrições lineares impostas aomodelo (1).


A forma R2 da estatística F

Se a variável dependente do modelo restrito e irrestrio é a mesma,então;

SQRr = (SQT − SQEr )SQTSQT

= SQT (1− R2r ) (3)

e

SQRir = (SQT − SQEir )SQTSQT

= SQT (1− R2ir ) (4)


A forma R2 da estatística F

Substituindo (3) e (4) em (2), tal que

F =SQT (1− R2r − 1+ R2ir )/qSQT (1− R2ir )/(n− k − 1)

obtém-se:

F =(R2ir − R2r )/q

(1− R2ir )/(n− k − 1)∼ Fq,(n−k−1) g.l. (4.41)

Note que F mede a perda relativa de ajuste do modelo quandonos movemos do modelo irretrito para o restrito.

Vantagem: contas com 0 ≤ R2 ≤ 1, são em geral mais fáceis defazer do que com SQR.


O caso do teste da significância global da regressão

Considere o caso em que H0: β1 = · · · = βk = 0 contra H1: pelomenos um dos βj 6= 0, j = 1, ..., k.O modelo irrestrito é

y = β0 + β1x1 + ...+ βkxk + u

O modelo restrito éy = β0 + u

mas como yi = β0 = y , então,

R2r = 1−∑

n

i=1(yi−yi )

∑n

i=1(yi−y )

= 1− ∑n

i=1(yi−y )

∑n

i=1(yi−y )

= 0, pois

SQRr = ∑ni=1(yi − y) = SQT .

Note que o número de restrições q é igual a k, ou seja, é o próprionúmero de variáveis explicativas do modelo irrestrito.Nesse caso,

F =R2ir/k

(1− R2ir )/(n− k − 1), pois R2r = 0


Exemplo: salário na liga de beisebol americana

• Considere o modelo (econométrico) irrestritolog(sal ario) = β0 + β1anos + β2jogosano + β3rebmed +

+β4hrumano + β5rebrumano + u

• Modelo irrestrito estimado

_cons 11.19242 .2888229 38.75 0.000 10.62435 11.76048 rebrumano .0107657 .007175 1.50 0.134 .0033462 .0248776 hrumano .0144295 .016057 0.90 0.369 .0171518 .0460107 rebmed .0009786 .0011035 0.89 0.376 .0011918 .003149 jogosano .0125521 .0026468 4.74 0.000 .0073464 .0177578 anos .0688626 .0121145 5.68 0.000 .0450355 .0926898

lsalario Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 492.175535 352 1.39822595 Root MSE = .72658 Adj Rsquared = 0.6224

Residual 183.186335 347 .52791451 Rsquared = 0.6278 Model 308.9892 5 61.79784 Prob > F = 0.0000

F( 5, 347) = 117.06Source SS df MS Number of obs = 353

. reg lsalario anos jogosano rebmed hrumano rebrumano

• Como F(5, 347) =117.06 e Prob>F = 0.0000, então, rejeita-se H0:β1 = · · · = β5 = 0 em favor de H1: o modelo é globalmentesignificante ou pelo menos um dos βj 6= 0, j = 1, ..., 5.Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seção 4.5) 12/05/2014 6 / 14

Testes de restrições lineares gerais: um exemplo

• Considere o modelo econométrico irrestrito:

log(preço) = β0 + β1 log(aval) + β2 log(tamterr) +

+β3 log(aquad) + β4qtdorm+ u

onde preço é o preço pelo qual a casa foi vendida; aval é o preço da casasegundo o avaliador; tamterr é o tamanho do terreno; aquad é a áreaconstruída da casa; qtdorm é o número de quartos da casa. • Passo 1: OModelo irrestrito estimado:

_cons .263743 .5696647 0.46 0.645 .8692972 1.396783 qtdorm .0338392 .0220983 1.53 0.129 .0101135 .0777918 logarquad .1032384 .1384305 0.75 0.458 .378571 .1720942 logtamterr .0074379 .0385615 0.19 0.848 .0692593 .0841352 logaval 1.043065 .151446 6.89 0.000 .7418453 1.344285

logpreco Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 8.01760352 87 .092156362 Root MSE = .14814 Adj Rsquared = 0.7619

Residual 1.82152879 83 .02194613 Rsquared = 0.7728 Model 6.19607473 4 1.54901868 Prob > F = 0.0000


. reg logpreco logaval logtamterr logarquad qtdorm

• Guarde SQRir = 1.82152879 e (n− k − 1) g.l.= 88− 4− 1 = 83 g.l..Moisés Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seção 4.5) 12/05/2014 7 / 14


A avaliação das casas é racional? Ou seja:

Cada 1% de aumento na avaliação da casa resulta em 1% de aumentono preço de venda da casa? eApenas a variável aval explica o preço da casa?

Passo 2: estabeleça as restrições lineares

H0:β1 = 1 e β2 = β3 = β4 = 0

• Observe que as hipóteses β2 = β3 = β4 = 0 são restrições deexclusão, mas β1 = 1 não é uma restrição de exclusão.

• Assim, H1: H0 é falsa, ou seja, a avaliação das casas não é racional.



Impondo diretamente H0: β1 = 1 e β2 = β3 = β4 = 0:

log(preço) = β0 + 1 ∗ log(aval) + 0 ∗ log(tamterr) ++0 ∗ log(aquad) + 0 ∗ qtdorm+ u

• Gera o modelo (econométrico) restrito(log(preço)− log(aval)) = β0 + u (5)

• Passo 3: modelo restrito estimado

_cons .0848135 .0156709 5.41 0.000 .1159612 .0536658

yr Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Total 1.88014885 87 .021610906 Root MSE = .14701 Adj Rsquared = 0.0000

Residual 1.88014885 87 .021610906 Rsquared = 0.0000 Model 0 0 . Prob > F = .


. reg yr

• Guarde SQRir = 1.88014885 e (n− k − 1) g.l.= 88− 0− 1 = 87g.l.



• Passo 4: calcule a estatística do teste e proceda com o teste

F =(SQRr − SQRir )/qSQRir/(n− k − 1)

=(1.88014885− 1.82152879) /41.82152879/(88− 4− 1)

= 0.66777

• FInv(0.95; 4, 83) = 2.4817; como 0.66777 < 2.4817, então, não seRejeita H0 a 5% e, consequentemente, a qualquer nível de significânciamenor que 5%.• P-valor = (1− FDist(0.66777; 4, 83)) = 0.61616.• Conclusão: "A avaliação das casas é racional".• Seria errado utilizarF = (R 2ir−R 2r )/q

(1−R 2ir )/(n−k−1)= (0.7728−0)/4

(1−0.7728)/(88−4−1) = 70.579, pois SQT é diferente

nos modelos restrito e irrestrito.


No Stata: digite na janela de comandos

*Instala o pacote o ado "bcuse"ssc install bcuse*Carrega a base de dados a ser utilizadabcuse hprice1, clear*Traduz os nomes da variáveis para o portuguêsrename lprice logprecorename lassess logavalrename llotsize logtamterrrename lsqrft logarquadrename bdrms qtdormdrop price assess lotsize sqrft colonial*Teste F indireto*Passo 1: Estima o modelo irrestrito e armazena SQRir e g.l.quietly reg logpreco logaval logtamterr logarquad qtdormscalar sqr_ir = e(rss)scalar gl_ir = e(df_r)


No Stata: digite na janela de comando

*Gera a variável dependente do modelo restritogen yr= logpreco - logaval* Passo 2: Estima o modelo restrito e armazena SQRr e g.l.quietly reg yrscalar sqr_r = e(rss)scalar gl_r = e(df_r)scalar q = gl_r - gl_ir*Calcula a estatística Fscalar Festatistica = ((sqr_r-sqr_ir)/q)/(sqr_ir/gl_ir)*Obtém o F crítico a 5%, p-valor e lista tudoscalar Fcrit5 = invFtail(q,gl_ir,.05)scalar pvalor = Ftail(q,gl_ir,Festatistica)scalar list sqr_ir sqr_r gl_r gl_ir q Festatistica pvalor Fcrit5


No Stata: digite na janela de comando

*Executa em um só passo o teste F da hipótese conjuntaH0 : β1 = 1;e β2 = β3 = β4 = 0quietly reg logpreco logaval logtamterr logarquad qtdormtest (logaval=1) ( logtamterr logarquad qtdorm)

Prob > F = 0.6162 F( 4, 83) = 0.67

( 4) qtdorm = 0( 3) logarquad = 0( 2) logtamterr = 0( 1) logaval = 1

. test (logaval=1) ( logtamterr logarquad qtdorm)


Apresentação dos resultados

Incluir sempre as estimativas dos parâmetros, os erros-padrão dasestimativas, o R2 e o tamanho da amostra, n.Quando muitos modelos são estimados, uma boa prática é colocá-loslado a lado em uma tabela, por exemplo:

* p<0.10, ** p<0.05, *** p<0.01t statistics in parentheses

rss 1.822 1.879 1.880adj. Rsq 0.762 0.763 0.000Rsq 0.773 0.766 0.000N 88 88 88

(0.46) (0.47) (5.41)_cons 0.264 0.161 0.0848***

(1.53)qtdorm 0.0338

(0.75)logarquad 0.103

(0.19)logtamterr 0.00744

(6.89) (16.76)logaval 1.043*** 1.013***

logpreco logpreco yr (1) (2) (3)


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