calculocoeficientes_11173

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Calculo de coeficientes de transferencia

Dr. Rogelio Cuevas García 1

El calculo de los coeficientes de transferencia de masa seprefiere en función de números adimensionales. Eningeniería de reactores heterogéneos, considerando l0 y v0 lalongitud y velocidad característica del sistema, los máscomunes son:comunes son:

El número de Reynolds

El número de Schmidt

0 0Re ó en un lecho empacado Re= Pl v d Gρμ μ

=

Sc μ=


El número de Schmidt

El número de SherwoodD

Scρ

0 ; en un reactor de lecho fijo DC mk l kSh Sh

Gρ

= =

2

Nusselt 0

T

hlNuk

=

Prandtl

Lewis

Pr P

T

Ckμ

=

/ /Sc; Le=Pr / /

AB AB

AB P AB P

D DkLeD C D C K

ν μραρ ν α μ

= = = =


Factores j 1/3 1/3

Sh Nu = ; ReSc Re PrD Hj j =

Anteriormente, se definió el flujo molar causado por unfenómeno puramente difusivo, utilizando la ley de Fickcomo:como:

O cuando nos referimos a una dimensión

( )j mj jJ D C= ∇

dCj= -Ddy


Donde este factor JA[=] mol/(tiempo*área). Este factor sedetermina experimentalmente. Cuando existe unadiferencia de concentraciones entre dos localizaciones 1 y2 se define como

3

Que representa la definición más simple del coeficiente detransferencia kmA ([=] longitud/tiempo).

1 2( )A m m A AJ k a C C= −

A su vez el coeficiente de transferencia de masa se define através del número de Sherwood:

Donde l0, es una longitud característica.

00

velocidad de transferencia de masa por flujo convectivovelocidad de transferencia de masa por difusión

mAl

A

k lShD

= =


Existen bastantes correlaciones experimentales basadas en elSh y entonces con este número es posible calcular kmA.

• Para una placa plana de longitud L y ReL<105

En este caso la definición del número de Reynolds (Re) ySchmidt (Sc) es respectivamente:

Cuando Re>105


Cua do e 0

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• Flujo sobre una esfera (gotas de líquido, burbujas de gas,partículas pequeñas de sólidos). La longitud característica seconvierte en el diámetro (D).( )

Donde ReDuDμ

=


Conforme el diámetro de la partícula se hace pequeño, el límitees Sh=2. Situación que corresponde a una esfera rodeada porlíquido estancado.

• Flujo a través de un tubo de diámetro D• Flujo a través de un tubo de diámetro D

Si ReD<2100 Sh=8/3

Ecuación valida a una distancia dentro del tubosuficiente para que el flujo laminar se desarrollecompletamente.


Si ReD>2100

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• (1) Gamson et al. y Wilkeand Hougen

• (2) Taecker and Hougen• (3) McCune and Wiihelm• (4): Ishino and Otake. • (5) Bar Ilan and Resnick.• (6) De Acetis and Thodos• (7) Bradrhaw and Bennett • (8) Hougen, Yoshida,

Ramasnlami, and Hougen(esferas; ε = 0.37).


Datos experimentales del coeficiente de transferencia de masa contra Re

• Partículas en un lecho empacado. En el cálculo de reactoresde lecho empacado,

ík ρ

Para esta geometría en particular

Existen varias correlaciones; pero una de las más usuales esla propuesta por Dwivedli y Upadhai; porque es la que Smithutiliza en su libro de texto.

mkShGρ

=

( ) 0.4070.458 Re ; Re= PD

d Gj −=


A vez,

( )Re ; ReDB

jε μ

( )2/3 ; D

mD

t

aj Sh Sc Sca

μρ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

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P l t t l di i t d t i k tPor lo tanto el procedimiento para determinar km en estecaso seria:

1) Buscar o evaluar el valor del coeficiente de difusión(D).

2) Calcular el número de Schmidt Sc y el Re3) Evaluar el valor de jD utilizando el Re.4) Utili d l j l l l ú d Sh


4) Utilizando el jD calcular el número de Sh.5) Del Sh determinar km(am)

Transferencia de calorDado que la radiación no es importante hasta ~500 °C, el calor

que se transfiere en condiciones de flujo convectivo es

D d A á d t f i( )SQ hA T T= −

Donde A= área de transferencia yh=coeficiente de transferencia de calor. Estecoeficiente se define con el número de Nusselt

kT es la conductividad térmica del fluido.Resulta que para gases el Sh=Nu; porque el número de Lewis

lT

hlNuk

=


Resulta que para gases el Sh Nu; porque el número de Lewis(Le)

De donde es posible substituir el Sh por el Nu para calcular kT.

Difusividad térmica 1Pr Difusividad masicaScLe = = =

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Transferencia de calor entre un fluido y las particulas. (1) Gamson et al. Y Wilkeand Hougen. (2) Baumeister and BennettBaumeister and Bennett (a) for dt/dp>20, (b) correlación promedio(3) Glaser and Thodos. (4) de Acetis and Thados(5) Sen Gupta and Thadas(6) Handley and Heggs (ε = 0.37).G.E. Froment, K.E. Bishop, Chemical Reactor analysis

El coeficiente de calor también puede correlacionarse con el número de Re de acuerdo a:


2/3PrfH

P

hj

c G=

and design, 2nd ed. 1979

Factores de efectividad no isotérmicosPara determinar el efecto de la temperatura en el factor de efectividad; procedemos de la siguiente manera: Para una reacción de orden n:reacción de orden n:

La situación que se presenta es:

0

Rη=R 0 0 0 0

nnS S S S

n

k C k Ck C k C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Reacción exotérmica


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Para determinar la relación (k/ks) AE−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Definiendo la temperatura adimensional

0

0 0

0 0 0 00

1 1exp exp exp 1

S

A

RTS A A A A

ES S SRT

k A e TE E E Ek RT RT R T T RT T

A e−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = − + = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

* STTT

=


0T

0 0

1exp 1

*S Ak Ek RT T

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

Para determinar la relación CS/C0, se utiliza el hecho de que en estado estable la velocidad de transferencia de masa es igual a la reacción química:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0 0

00 0

( ) R R ;

R R R ; ;

R1 1

m m S A A m m m m S

m m A Am m S m m A S

m m m m

AS

k a C C k a C k a C

k a Ck a C k a C C C

k a k a

C D

− = − − = −

− − −= − − = = −

−


( )0

0 0

1 1AS

m m

DaC k a C

η= − = −

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E l ió i i lEn la ecuación original:

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦0 0

1exp 1

*S Ak Ek RT T

00

1SC DaC

η= −


⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦0 0 0

( )η⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞= = − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭η 0

0 0 0

1exp 1 1

*

nnS S Ak C E

Dak C RT T

Ahora el problema es determinar T*Calor disipado=calor generado por la reacciónCa o d s pado ca o ge e ado po a eacc ó

Dividiendo ambos lados de la ecuación entre T0.

( ) ( )( )( )( )

− = −Δ

−Δ− =

A

A

-R ;

-R0

0

,

,

S R S

R SS

ha T T H T C

H T CT T

ha


( )( )( )

( )( )( )

−Δ Δ− = = −A A-R -R

; 0 0 0 0

, ,1 1R S R SS S

H T C H T CT TT ha T T ha T

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Si no existen datos para determinar el valor de h, se utilizanlos factores j; porque en las condiciones en que operanlos reactores de lecho fijo:los reactores de lecho fijo:

JD=JH

;

2 23 3

2

Prg

X X

k Sc hv v Cpρ

=


D

H

JJ

32

3

2 2

3 3

PrPr

1X

g

X

hv Cp h

Cpk Sc Sc

v

ρρ

= = =

( )( )( ) ρ

Δ ⎛ ⎞= = − • =⎜ ⎟

⎝ ⎠

A-R23

02

0 0 0 3

, Pr* 1 R SS

m

H T CT C hT

T ha T C CpkSc

( )( )ρ

− ⎛ ⎞−Δ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A-R =

23

0

0 0

,1

PrSR

m m

T CH C ScT Cp k a C

* 1T Daβ η= + •Donde


1T Daβ η+

Para gases Le=1 0

20 3

1HCcpT

Leβ

ρ−Δ

=

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( )η⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

Rη=R 0

1exp 1 1

*

nAE DaRT T

( )

( )ηβ η

⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞

= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ •⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

0R

00

00

*

1exp 1 1

1

nA

RT T

EDa

RT Da


• 1. Cuando domina la reacción química. (La velocidad detransferencia de masa es alta, Da0→0)

( )ηβ η

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ •⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

Rη=R 0

1exp 1 1

1

nAE DaRT Da

• 2. Cuando controla la transferencia de materia, Da0 alcanzavalores altos. Esto implica que:

( )

( ) ( )

β η

η

+ •⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

≈ − ≈ ≈

0R

0

0

1

exp(0) 1 exp(0) 1 1n n

RT Da

Da

( )1 0n

Daη− →


Teniendo en cuenta el orden de reacción (n) en la ecuaciónanterior, resulta que para ordenes mayores la limitacióncausada por los problemas de transferencia de masa es mayor:

( )01 0Daη →

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• 3. Se presenta una zona con comportamiento interesante enla zona intermedia, En la definición de T* se tienen dosfunciones.

−Δ 0HC

• Al principio (conforme aumenta Da0) predomina la funciónexponencial y entonces el valor de η depende del calor dereacción

( )ηβ η

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ •⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

η 00

1exp 1 1

1

nAE DaRT Da

βρ

Δ= 0

0

HCcpT


• Si la reacción es exotérmica, esto implica que ΔHR>0, β tambiénes positivo y T*>1, lo cual implica que TS>T0. lo cual acelera lavelocidad de reacción y el factor de efectividad es η>1

Para una reacción endotérmica ΔHR es positivo; β es negativo,

β η

β η+ • ≤ ⇒ ≥

+ •1

1 1 11

DaDa

Entonces

Y finalmente

β η+ •1 Da

β η− ≥

+ •1

1 01 Da

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞− − ≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟

1exp 1 1AE


Y finalmente

Lo que indica que el factor de efectividad cae bastante rapido.

β η≤⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ •⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦0

exp 1 11RT Da

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• Para una reacción exotérmica


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