CLCULO DE INDUCTANCIA.La fuerza electromotriz inducida es igual a la rapidez de cambio del flujo de un campo magntico a travs del circuito excepto por un signo negativo: siendoel nmero de enlaces de flujo. Para obtener el nmero total de enlaces de flujo se suma todos los productos de las lneas de campo por el nmero de vueltas que enlazan. Experimentos han demostrado que en un circuito magntico, si la corriente cambia el flujo de campo magntico representado por las lneas de campo. Asumiendo la permeabilidad del medio en que acta el campo magntico es constante, entonces bajo esta circunstancia, el nmero de enlacesde flujo de campo es directamente proporcional a la corriente, siendo la constante de proporcionalidadconocida con el nombre de inductancia (L):(1.12)Para obtener el valor preciso de la inductancia de una lnea de transmisin es necesario considerar tanto el flujo interior de un conductor como el exterior.INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO AL FLUJO INTERNOConsideremos un largo conductor cilndrico con la seccin transversal representada en la figura 2.18. Supongamos que el hilo de vuelta est tan lejos que no esapreciablemente el campo magntico creado por el conductor. Las lneas de flujos son concntricas al conductor.

Figura 1.18 seccin transversal de un conductor cilndricoPorla Leyde Ampere la fuerza magnetomotriz (fmm) en amperio-vueltaalrededor de cualquier trayectoria cerrada, es igual, a la corriente en ampereencerrada por esa trayectoria. La fmm. es igual a la integral de lnea alrededor de una trayectoria cerrada de la componente de intensidad de campo magntico que es tangente a la trayectoria. As (1.13)DondeHes la intensidad de campo magntico, en amperio-vueltas por metro,ses la distancia a lo lago del camino, en metros, I es la corriente abarcada en amperios; el punto entreHydsindica que el valor deHes la componente de la intensidad de campo tangente ads.Designemos porHxla intensidad de campo a x metros del centro del conductor. Como el campo es simtrico,Hxes constante en todos los puntos equidistantes del centro del conductor. Si la integracin indicada enla Ecuacin(1.13) se hace a lo largo de una lnea circular, concntrica al conducto y a x metro del centro, Hxes constante a lo largo de la lnea y tangente a ella.La Ecuacin(1.13) ser:y (1.14)dondeIxes la corriente abarcada. Suponiendo una densidad de corriente uniforme (1.15)DondeIes la corriente total del conductor. Sustituyendola Ecuacin(1.15) enla Ecuacin(1.16), tenemos: (1.16)y (1.17) La densidad de flujoa x metros del centro del conductor es (1.18)Donde es la permeabilidad del conductor.En el elemento tubular de espesor dx, el flujoesBxveces el rea transversal del elemento normal a las lneas de flujo, siendo el rea dx veces la longitud axial. El flujo por metro de longitud es (1.19)Los enlaces de flujodpor metro de longitud, producidos por el flujo del elemento tubular son el producto del flujo por metro de longitud por la fraccin de corriente enlazada. De esta forma. (1.20) Integrando desde el centro del conductor hasta el borde exterior para encontrar, enlaces de flujo totales en el interior del conductor, obtenemos: (1.21)

Para una permeabilidad relativa de 1, =4 x 10-7Henrios/metro, y (1.22) (1.23)Hemos calculado la inductancia Por unidad de longitud(henrios/metro) de un conductor cilndrico debido a su flujo interior.INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO AL FLUJOEXTERIORComo primer paso para calcular la inductancia debida al flujo exterior a un conductor, deduciremos los enlaces de flujo de un conductor aislado debidos a la porcin de flujo exterior comprendida entre D1y D2del centro del conductor.

Figura 1.19. Conductor y puntos P1 y P2 exteriores a l.En la figura 1.19, P1y P2son dos puntos a una distancia D1y D2del centro de un conductor por el que circula una corriente de I amperios. Como las lneas de flujo son crculos concntricos al conductor, todo el flujo comprendido entre P1 y P2est dentro de la superficie cilndrica concntrica que pasan por los puntos P1 y P2. En el elemento tubular, que esta a x metros del centro del conductor, la intensidad de corriente de campo es Hx. La fmm. a lo largo de este elemento es: (1.24)La intensidad del campo es (1.25)Y la intensidad de flujo en el elemento (1.26)El flujoen el elemento tubular de espesor dx es (1.27)Los enlaces de flujo d por metro son iguales, numricamente, al flujo, puesto que el flujo exterior al conductor enlaza toda la corriente del conductor solo una vez. Los enlaces de flujo totales entre P1 y P2 se obtienen integrando d desde x=D1 a x=D2. De esta forma obtenemos: (1.28)O, para una permeabilidad relativa de 1, (1.29)La inductancia debida solamente al flujo comprendido por los puntos P1 y P2 (1.30)Corrientemente se emplea la reactancia inductiva en lugar de la inductancia. La reactancia inductiva de un conductor. (1.31) (1.32) (1.33)INDUCTANCIA DE UNA LNEA MONOFSICASe puede ahora determinar la inductancia de una lnea simple de dos conductores, compuestos de conductores cilndricos slidos. En la figura 1.20 se muestra una lnea que tiene dos conductores de r1y r2. Un conductor es el circuito de retorno. En principio consideraremos solamente los enlaces de flujo del circuito producidospor la corriente del conductor 1. Una lnea de flujo, debida a la corriente del conductor 1, situada a una distanciamayor a D+r2del centro del conductor 1 no enlaza el circuito y, por tanto, no induce ninguna f.em. en l. La fraccin de la corriente total enlazada por una lnea de flujo exterior al conductor1 y a distanciamenor a D -r2es 1.0, por lo tanto es lgico suponer que se puede usar D en lugar de D+r2o D-r2, cuando D es mucho mayor que r1y r2.

Figura 1.20 Conductores de radios diferentes y campos magnticos debido solamente a la corriente del conductor1La inductancia del circuito debida a la corriente del conductor 1 se determina usandola Ecuacin(1.30), sustituyendo D2 por la distancia D entre los conductores 1 y 2, y D1 por el radio r1del conductor 1.Para el flujo exterior nicamente (1.34)Para el flujo interior nicamente (1.35)La inductancia total del circuito, debido a la corriente del conductor 1 tan solo, es (1.36)La expresin que da la inductancia puede simplificarse sacando factores comunes dela Ecuacin(1.36) teniendo en cuenta quede donde (1.37) (1.38)Aplicando propiedades de los logaritmos llegamos a (1.39)Si sustituimos r1 por (1.40)El radior es el de un conductor ficticio que se supone sin flujo interno pero con la misma inductancia que tiene el conductor real r1Como la corriente del conductor 2 va en direccin contraria a la que circula por el conductor 1, los enlaces de flujo producidos por las corrientes en el conductor 2, considerado aislado, tiene la misma direccin que los producidos por la corriente del conductor 1. El flujo restante de los dos conductores est determinado por la suma de las fmm de ambos conductores. Sin embargo para la permeabilidad constante pueden sumarse los enlaces de flujo de los dos conductores considerados aisladamente.Por comparacin conla Ecuacin(1.40), la inductancia debida a la corriente del conductor 2 (1.41)Y para todo el circuito (1.42)Si r1,r2 =rla inductanciatotal se reduce a (1.43)INDUCTANCIA DE UN CONDUCTOR DEBIDO A UN GRUPOUn caso ms general que el de la lnea monofsica, es el de un conductor en un grupo de ellos, en el que la suma de las corrientes es igual a cero. El grupo de conductores se representan en la figura 1.21. Los conductores 1,2, 3,.n son recorridos por los vectores I1, I2, I3,, In.

Figura 1.21 Vista de una seccin transversal de un grupo de conductores en que la suma de las corrientes es cero. P es un punto lejano de los conductoresLas distancias de estos conductores a un punto lejano P estn indicados en la figura 2.21 por D1P, D2P, D3P,..DnP. determinemos1P1, en laces de flujos del conductor 1 debidos a la corriente I1, comprendiendo los enlaces de flujo interno, pero excluyendo todo el flujo ms all del punto P. Por las ecuaciones(1.22) y (1.29) (1.44) (1.45)Los enlaces de flujo1P2con el conductor 1 debido a I2, pero excluyendo el flujo ms all de P1es igual al flujo producido por I2entre el punto P y el conductor 1. As: (1.46)Los enlaces de flujo1Pcon el conductor 1, debido a todos los conductores del grupo, pero excluyendo el flujo ms all del punto P1, es (1.47)Desarrollando los trminos logartmicos y reagrupando, se convierte en(1.48)Como la suma de las corrientes es nula,Y despejando In, tenemos (1.49)Sustituyendo enla Ecuacin(1.47), Inpor su valor dado enla Ecuacin(1.49) y agrupando los trminos logartmicos, tenemos: (1.50)Suponiendo que el punto P se aleja hasta el infinito, de forma que los trminos logartmicos de las relaciones de distancias desde P se hagan infinitesimales, puesto que dichas relaciones tienden a la unidad, obtenemos (1.51)Al hacer este supuesto, se incluyen en la deduccin todos los enlaces de flujo de conductor1. De esta formala Ecuacin(1.51) nos da todos los enlaces de flujo del conductor1, en el grupo de conductores, cuando la suma de todas las corrientes es cero. Si las corrientes son alternas, estas tienen que ser corrientes instantneas, o bien valores complejos,con lo que se obtienen los valores eficaces de los enlaces de flujo en forma de nmeros complejos.INDUCTANCIA DE LNEAS DE CONDUCTORES COMPUESTOSLos conductores trenzados estn comprendidos en la denominacin general de conductores compuestos que estn formados por dos o ms elementos o hilos en paralelo. Se limitara el estudio al caso en el que todos los hilos son idnticos y comparten la corriente por igual. El mtodo por desarrollar indica una aproximacina problemas ms complicadosde conductores no homogneos y a una reparticin desigual de la corriente entre hilos. El mtodo es aplicable a la determinacin de la inductancia de lneas formadas por circuitos en paralelos, puesto que dos conductores en paralelo pueden considerarse como hilos de un solo conductor compuesto.

Figura 1.22 Lnea monofsica formada por dos conductores compuestosLa figura1.22, representa una lnea monofsica formada por dos conductores. Para hacer el caso general, cada conductor que constituye una parte de la lnea, se representa como un indefinido numero de conductores agrupados arbitrariamente. Las nicas restricciones son, que los hilos paralelos han de ser cilndricos y con la corriente igualmente distribuida entre ellos. El conductor X esta compuesto por n hilos paralelos, exactamente iguales, cada uno lleva la corriente I/n. El conductor Y, que constituye el retorno de la corriente de X, esta formado por m hilos paralelos, exactamente iguales, cada un de los cuales lleva la corriente I/m. Las distancias entre los elementos que designaran por la letra D con los subndices correspondientes. Aplicando la ecuacin (1.51), al hilo a del conductor X, obtenemos los enlaces de flujo del hilo a (1.52)De la cual, obtenemos

(1.53)Dividiendola Ecuacin(1.53) por la corriente I/n, encontramos que la inductancia sobre el hilo aes, (1.54)Anlogamente, la inductancia del hilo b, es (1.55)La inductancia media de todos loshilos del conductor X, es (1.56)El conductor X esta formado por n hilos en paralelo. Si todos tienen la misma inductancia, la del conductor ser l/n la del hilo. En nuestro caso, todos los hilos tienen inductancias diferentes, pero la de todos los hilos, en paralelo, es l/n de la inductancia media. As la inductancia del conductor X, es (1.57)Poniendo la expresin logartmica de la inductancia de cada hilo enla Ecuacin(1.57) y agrupando trminos, obtenemos(1.58)Donde ra, rb y rn se han sustituido por Daa, Dbb, Dnm, respectivamente. Ntese que el numerador de la expresin logartmica es la razmn-sima del producto demntrminos o producto de las distancias de cada uno de los n hilos del conductor X a cada uno de los m hilos del conductor Y. Para cada hilo del conductor Xhay m distancias a los hilos del conductorY, y en total, existe n hilos en el conductor X. El conjunto de lasmdistancias de cada uno de losnhilos da el total demntrminos. La razmn-sima del producto de lasmndistancias se llama distancia media geomtrica entre el conductor X y el Y. Se representa por DMG.El denominador de la expresin logartmica dela Ecuacin(1.49) es la razn2-sima den2trminos. Haynhilos y por cada hilo hay un producto dentrminos, der de dicho hilo por las distancias del mismo a cada uno de los restantes hilos del conductor X, lo que hace el total den2trminos. A ra se le llama la distancia del hiloaa si mismo, especialmentecuando se representa por Daa. Teniendo en cuenta esto, la expresin subradical del denominador puede decirse que es el producto de las distancias de cada uno de los hilosa si mismo y a los restantes hilos. La raz n2-sima de esta expresin se le llama RMG del conductor X.La ecuacin 1.58 en trminos de RMG y DMGda (1.59) (1.60)La inductancia del conductor Yse determina de forma anloga, siendo la de la lnea:DISTANCIA MEDIA GEOMETRICA Y RADIO MEDIO GEOMETRICOSe dedujo la expresin para la inductancia de una lnea de conductores compuestos. En la ecuacin que da la inductancia debida a la corriente en un conductor, existe un trmino logartmico cuyo numerador es el promedio geomtrico de las distancias entre los dos grupos, denominado DMG (distancia media geomtrica). El denominador de dicho trmino es el promedio geomtrico de las distancias entre conductores de un mismo grupo, llamado RMG (radio medio geomtrico).El RMG de una superficie circular puede demostrarse que es igual al radio del crculo multiplicado por-1/4. Como el r de la ecuacin (1.40) que da la inductancia de un alambredeseccin circular es el radio del alambre multiplicado por -1/4, por lo tanto el RMG de un conductor es r.El RMG de un conductor connnmero de hilos puede calcularse por medio de la ecuacin: (1.61)Se puede demostrar que el RMG para los conductores trenzados, siendo estos homogneos es igual al radio de un hilo por una constante K

Figura 1.23 Dos hilos idnticosSi tenemos dos conductores circulares idnticos de una misma fase de radio igual a R el RMG es igual a (1.62)Donde d11y d22son las distancias del centro del conductor a el mismo, es decir r, por lo tanto, nos queda (1.63) (1.64)Ahora sitenemos son 3 conductores idnticos como en la figura 1.24 el RMG viene dado por: (1.65) (1.66) (1.67)

Figura 1.24 Tres conductores idnticosLos cables reales poseen 7 conductores, calculando el RMGobtenemosLas distancias d12=2R; d14= 4Rd13=d142-d342= (4R)2-(2R)2=2R3 (1.68) (1.69) (1.70)

Figura 1.25 Siete conductores idnticosSi se observan las ecuaciones 1.64, 1.67, 1.70 se observa que el RMG de los conductores trenzados es el radio de uno de los hilos multiplicado por una constante y si se sigue aumentando el nmero de conductores siempre el RMG es el radio de un alambre por una constante. (1.71)Donde rh es el radio de un hilo del conductorComo el dimetro del conductor completo es proporcional al radio de un alambre para la geometra normal conductor se tiene (1.72)Donde rc es el radio del conductorLos valores de K se obtienen de la tabla 1.3

Numero de capasN de hilos del conductorK

110,389

270,363

3190,371

4370,378

5610,381

Tabla 1.3. Valores de k La inductancia de una lnea formada por conductores de secciones irregulares puede encontrarse calculando los valores DMG y RMG. Lareactancia inductiva debida a la corriente en cada conductor viene dada por la ecuacin (1.60) y la inductancia de la lnea es la suma de la de ambos conductores. Suponemos una densidad de corriente uniforme

Elmtodo del RMG no se aplica exactamente a conductores no homogneos como las ACSR, ni aquellos casos en que la densidad de la corriente no es homognea a lo largo del conductor.INDUCTANCIADE LNEAS TRIFSICAS CON DISPOSICIN EQUILTERAHasta ahora solamente hemos considerados lnea monofsicas. Sin embargo, las ecuacionesencontradas pueden adaptarse fcilmentepara calcular la inductancia de las lneas trifsica

Figura 1.26 Seccin transversal de una lnea trifsica con sus conductores en posicinequilteraLa figura 1.26 representa los conductores de una lnea trifsica colocados en los vrtices de un triangulo equiltero. Si suponemos que no existe hilo neutro, o que los vectores corriente de las tres fases estn equilibrados, Ia+Ib+Ic=0. La ecuacin (1.51) da los enlaces de flujo del conductor a: (1.73)Introduciendo Ia= -(Ib+Ic) la ecuacin 1.73 se convierte en (1.74) (1.75) (1.76)La ecuacin 1.76 es de la misma forma que la 1.40 para una lnea monofsica. En los conductores trenzados, el RMG sustituye a r en la ecuacin. Debidoal simetra, las inductancias de los conductores b y c son iguales a la delconductor a. Cada fase tiene solamente un conductor, las ecuaciones 1.76 dan la inductancia por fase de una lnea trifsicaINDUCTANCIA DE LAS LNEAS TRIFSICA CON DISPOSICIN ASIMTRICA.Cuando los conductores de una lnea trifsica no estn en disposicin equiltera, el problema de encontrar la inductancia es ms difcil. En ese caso los enlaces de flujo y la inductancia de todas las fases no son iguales.Si se tienen 3 conductores, con corrientes trifsicas balanceadas y de igual radio,los enlaces de flujo del conductor a es igual a: (1.77)Como las corrientes estn desfasadas 120 en secuencia ABC (1.78) (1.79) (1.80)Por lo tanto la inductancia de la fase a es (1.81)Aplicando propiedades logartmica nos queda (1.82)La reactancia inductiva de la fase a es, (1.83)Si efectuamos la ecuacin anterior nos queda una reactancia negativa, lo cual produce un desbalance en la lneaSe puede restablecer el balance en las tres fases intercambiando las posiciones de los conductores en intervalos regulares a lo largo de la lnea, de forma que cada conductor ocupe la posicin que tenan originalmente deotros a igual distancia. Este cambio de lasposiciones de los conductores se les llama transposicin. La figura 2.27 representa un ciclo completo de transposicin. Los conductores de cada fase se designan por a, b y c mientras que las posiciones ocupadas estn representadas por los nmeros 1, 2 y 3. El resultado de la transposicin es que todos los conductores tienen la misma inductancia mediaa lo largo del ciclo completo.

Figura 1.27 Ciclo de transposicinPor lo general, las lneasde los sistemas de potencia modernos no se transponen en intervalos regulares, aunque se puede hacer un intercambio de las posiciones de los conductores en las subestaciones de interconexin, con el fin de balancear las inductancias de las fases de formas ms aproximada. Afortunadamente, la asimetra entre las fases de una lnea sin transposicin es pequea, pudindose despreciar en muchos casos. Si se desprecia la asimetra, la inductancia de una lnea sin transposicin se calcula como si la tuviera. La reactancia inductiva de cada fase de una lnea sin transposicin se admite que es igual al valor medio de la reactancia inductiva de una fase de la misma lnea en la que se hubiera realizado correctamente la transposicin. La deduccin que viene a continuacin es para lneas con transposicin.Para encontrar la inductancia media de un conductor, primeramente se calculan los enlaces de flujo de un conductor en cada posicin del ciclo de transposicin, hallando a continuacin, la media de los enlaces de flujo. Aplicandola Ecuacin1.51 al conductor a en la posicin 1, b en la 2 y c en la 3 tenemos: (1.84)Con a en la posIcin 2, b en la 3 y c enla 1, (1.85) Y con a en la posicin 3, b en la 1 y c en la 2 (1.86)El valor medio de los enlaces de flujo de a es (1.87) (1.88)Teniendo en cuenta Ia=-(Ib+Ic), (1.89) (1.90)Y la inductancia media por fase es (1.91) (1.92)

Donde La ecuacin 1.92 puede escribirse como (1.93)Como puede observarse, al comparar las ecuaciones (1.93) y(1.76), la distancia media geomtrica de las tres distancias de la lnea asimtrica, DMG,es el espaciamiento equiltero equivalente. Debe observarse la similitud de todas las ecuaciones para el clculo de la inductancia de un conductor. Si la inductancia esta en ohmios por metroaparece el factor 0.074 en todas las ecuaciones, y el denominador del termino logartmico siempre es el RMG. El numerador es la distancia entre los conductores de una lnea de dos conductores, o el promedio de las distancia de conductores de fases diferentes, o bien, la distancia entre conductores de una lnea de espaciamiento equiltero o el espaciamiento equiltero equivalente de una lnea asimtrica.

CLCULO DE INDUCTANCIA PARA CONDUCTORES AGRUPADOSEn voltajes extra altos (EAV), esto es, voltajes por arriba de los 230Kv, el efecto corona y sus consecuentes prdidas de potencia e interferencia en las comunicaciones pueden ser excesivas si el circuito solo tiene un conductor por fase. En el rango de EAV, el gradiente de alto voltaje en la superficie del conductor se reduce considerablementesi se tienen dos o ms conductores por fase que estn a una distancia que, comparada con la distancia que hay entre fase, sea relativamente pequea. Se dice que una lnea as esta compuesta por conductores agrupados. El agrupamiento consiste en dos, tres o cuatro conductores. En la figura 1.27 se muestran estos arreglos. La corriente no se repartir exactamente entre los conductores del agrupamiento a menos que exista una transposicin de conductores dentro del grupo. Sin embargo, la diferencia no es de importancia prctica y el mtodo del RMG y DMG es exacto para los clculos.

Figura 1.28 Arreglo de agrupamiento de conductoresLa reactancia reducida es la otra ventaja realmente importante del agrupamiento de los conductores. Al incrementar el nmero de conductores en el agrupamiento, se reduce el efecto coronay la reactancia. La reduccin de la reactancia es el resultado del incremento del RMGdel agrupamiento de los conductores. Por supuesto el clculo del RMGes exactamente igual a los conductores trenzados. Por ejemplo, cada conductor de un agrupamiento de dos conductores se considera como un hilo de un conductor de dos hilos.Si se denomina Dsbel RMG de los conductores agrupados y el Dsel RMG de los conductores que individualmente componen el agrupamiento, se encuentraPara un agrupamiento de dos conductores. (1.94) Para un agrupamiento de tres conductores. (1.95) Para un agrupamiento de cuatro conductores (1.96)Al calcular la inductancia mediante la ecuacin (1.93), el RMG propio de cada conductorse reemplaza por eldel agrupamiento. Para calcular el DMG, la distancia desde el centro de un agrupamiento de conductores al centro de otro, es lo suficientemente exacta para la determinacin de DMGab, DMGbc, DMGca. Obtener el DMG real entre los conductores de un agrupamiento y los de otro es prcticamente igualal clculo mediante las distancias centro a centro del espaciamiento comn