Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Marija Gerovac

Brojevi e i π

zavrsni rad

Osijek, 2011.

Sveuciliste J.J.Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Marija Gerovac

Brojevi e i π

zavrsni rad

Voditelj: doc. dr. sc. Kristijan Sabo

Osijek, 2011.

Sazetak. U ovom radu bavit cemo se najznacajnijim matematickim konstan-tama e i π. U radu ce biti dane njihove osnovne definicije, njihova primjena umatematici ali i u ostalim podrucjima (fizika, biologija, kemija ...) te kratakpregled povijesti svakog pojedinog broja.

Kljucne rijeci: broj e, broj π

Abstract.In this paper we will deal with the most important mathemat-ical constants e and π. In the paper will be given their basic definitions,theirapplications in mathematics and other areas (physics, biology, chemistry,...)and a brief history of each number.

Keywords: number e, number π

3

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Broj e 2

2.1 Stroga matematicka definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Ostale karakterizacije broja e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Primjene broja e u matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3.1 Eulerova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.2 Eksponencijalne funkcije i prirodni logaritmi . . . . . . 6

2.3.3 Derivacije i integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Primjena broja e u ostalim podrucjima . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Kratka povijest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Broj π 12

3.1 Stroga matematicka definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Ostale karakterizacije broja π i njegove primjene u matematici 15

3.3 Kvadratura kruga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Kratka povijest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Zanimljivosti 21

Literatura 23

Zivotopis 25

1 Uvod

Brojevi e i π su jedni od najznacajnijih matematickih konstanti. Broj e jepoznat jos i kao Eulerov broj ili Napierova konstanta. Osim sto je iracionalani realan, ovaj broj je jos i transcendentan. Njegova vrijednost, zaokruzenana dvadeset decimala iznosi e = 2.71828182845904523536.

Broj e se pokazao od velikog znacaja za matematicare (u teoriji brojeva,vjerojatnosti i statistici, bioloskim i fizikalnim znanostima, balistici, inzenjeringui financijama). Mi smo ga upoznali kroz eksponencijalu funkciju, kao bazuprirodnog logaritma ili pak jednostavno kao izraz 2.718282. Osim broja eu radu ce biti opisan i broj π. Broj π je poznat jos kao Ludolphov broji Arhimedova konstanta. Njegova vrijednost, zaokruzena na pet decimalaiznosi π = 3.14159. Broj π je beskonacan, decimalan i transcedentan broj.

U radu cemo se upoznati s njihovim nastankom i definiranjem.

Rad je podijeljen u tri poglavlja.Prvo poglavlje se odnosi na broj e. Dane su osnovne definicije, primjenabroja e u razlicitim podrucjima matematike ali i ostalim podrucjima (fizika,kemija...) te kratak pregled povijesti broja.

Drugo poglavlje se odnosi na broj π gdje su takoder kao i kod broja e daneosnovne definicije, primjena broja π u razlicitim podrucjima te kratak pre-gled povijesti broja.

Trece poglavlje posveceno je nekim zanimljivostima i intrigama vezane zabrojeve e i π.

1

2 Broj e

Kao sto je u uvodu receno broj e je broj jos nazvan i Eulerov broj ili Napierova1 konstanta je jedan od najznacajnijih brojeva u sadasnjoj matematici, poredneutralnog elementa zbrajanja i mnozenja 0 i 1, imaginarne jedinice i i brojaπ. Osim sto je iracionalan (brojevi koji se ne mogu prikazati omjerom dvajucijelih brojeva) i realan broj, ovaj broj je jos i transcendentan (ne mozebiti izrazen kao konacan red ili rezultat numerickih ili algebarskih operacija.Njegovu iracionalnost dokazao je 1737. Leonard Euler2 a transcedentnostCharles Hermite3, 1873. godine. [vidi 11, 16, 17]

U radu ce biti opisano nekoliko definicija broja e.

2.1 Stroga matematicka definicija

Stroga matematicka definicija broja e proizlazi iz konvergencije jednog nizarealnih brojeva. U radu cemo definirati niz i dokazati njegovu konvergenciju.Na pocetku cemo dati neke definicije i tvrdnje na koje cemo se pozivati udokazu.

Teorem 2.1. [prema 3, 8, 12] Za svaki racionalni broj ν > 1 i svaki realnibroj h > −1 vrijedi Bernoullijeva nejednakost

(1 + h)ν ≥ 1 + νh. (2.1)

1John Napier od Merchistouna, imenom Marvellous Merchiston (1550. - 1617.), skotskivelikas, teolog, matematiccar, fizicar, astronom i astrolog. Najpoznatiji je kao izumiteljlogaritma i Napierovih kostiju, te zbog popularizacije uporabe decimalnog zareza.

2Leonhard Euler (1707. - 1783.) roden je u Svicarskoj, ali se razdoblja njegova naj-plodnijeg rada povezuju s Berlinom u vrijeme Fredericka Velikog i Sant Petersburgom uvrijeme Katarine Velike. Uz Lagrangea smatra se najvecim i najplodnijim matematicarem18. stoljeca. Objavio je brojne radove iz teorijske i primijenjene matematike. Njemu sepripisuju danas standardne oznake: π, e, i te oznake za sumaciju Σ i vrijednost funkcijef(x). Njegova knjiga ”Introductio in analysin infinitorum” smatra se najkompetentnijimmatematickim tekstom 18. stoljeca.

3Charles Hermite(1822. – 1901.) francuski matematicar, imao je veliki doprinos napodrucjima teorije brojeva, kvadratnih formi, teorije invarijanti, ortogonalnih polinoma,eliptickih funkcija i algebri

2

Definicija 2.1. Niz realnih brojeva (xn) je rastuci ako za svaki prirodni brojn vrijedi

xn ≤ xn+1

Definicija 2.2. Niz realnih brojeva (xn) je odozgo omeden ako postoji brojM takav da za svaki prirodni broj n vrijedi

(x)n < M

Teorem 2.2 (prema 3, 12). Svaki rastuci odozgo omeden niz je konvergentan.

Dokazimo sljedeci teorem.

Teorem 2.3. [prema 3, 8, 12] Niz realnih brojeva ciji je opci clan zadan sαk = (1 + 1

k)k je konvergentan.

Dokaz: Stavimo li u Bernoulllijevoj nejednakosti (2.1.) h = 1k+1

,

ν = k+1k

dobivamo

(1 +1

k + 1)

k+1k > 1 +

1

k + 1· k + 1

k= 1 +

1

k.

Potenciranjem obje strane ove nejednakosti sa k izlazi

(1 +1

k + 1)k+1 > (1 +

1

k)k

tj. αk+1 > αk pa je niz (αk) rastuci.

Uocimo da vrijedi

41

k= 2

2

k= 2−121+ 2

k =1

2(1 + 1)1+ 2

k . (2.2)

Ponovnom primjenom Bernoullijeve nejednakosti uzimajuci za h = 1, ν =

3

1 + 2k

iz (2.2) dobivamo

41k >

1

2[1 + 1 · (1 +

2

k)] = 1 +

1

k.

Ponovno potencirajem s k daje

4 > (1 +1

k)k = αk

tj. niz (αk) je odozgo omeden.

Time smo pokazali da je ovaj niz rastuci i omeden, pa prema Teoremu 2.3konvergentan.

Sada mozemo definirati broj e.

Definicija 2.3. Limes niza αk = (1 + 1k)k je broj koji se oznacava s e, tj.

e = limk→∞

(1 +1

k)k.

2.2 Ostale karakterizacije broja e

Teorem 2.4. [prema 3, 4]

e =∞∑k=0

1

k!(2.3)

Dokaz:

e =∞∑k=0

1

k!=

1

0!+

1

1!+

1

2!+

1

3!+

1

4!+ · · ·

Pokazimo da Teorem 2.4 proizlazi iz Definicije 2.3. Ocigledno je da vrijedi(∀k ∈ N, k ≥ 2)

αk = (1+1

k)k =

1

0!· 1

k0+k

1!· 1

k1+k(k − 1)

2!· 1

k2+···+k(k − 1) · · · (k −m+ 1)

m!· 1

km

4

+ · · ·+k(k − 1) · · · 2 · 1k!

· 1

kk

> 2 +1

2!· (1− 1

k) +

1

3!· (1− 1

k)(1− 2

k) + · · ·+ 1

k!· (1− 1

k)(1− 2

k)(1− m− 1

k)

Kada k →∞ vrijedi nejednakost:

e ≥ 2 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

m!= βm

koja je zadovoljena za proizvoljni m, kako u skupu βm ne postoji najvecielement, za m = k:

βk = 2 +1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

k!< e,

znak jednakosti je nemoguc.

S druge strane je

αk = (1 +1

k)k < 2 +

1

2!+

1

3!+ · · ·+ 1

k!< βk

.

Znaci,αk < βk < e i lim

k→∞αk = e.

Odatle slijedi da jelimk→∞

βk = e.

2.3 Primjene broja e u matematici

Broj e pronalazi primjene u razlicitim podrucjima matematike.Napomena 1. Sljedece definicije i teoremi broja e navode se bez dokaza.[vidi 4, 8, 13, 16]

5

2.3.1 Eulerova formula

Broj e nazivamo i Eulerov broj. Eulerova formula, koja glasi

eix = cos(x) + i · sin(x)

ubraja se u najznacajnije formule u matematici. Ako se x zamjeni sa πdobiva se Eulerov identitet:

eiπ + 1 = 0,

koji je znacajan po tome sto daje vezu izmedu pet izuzetno vaznih matematickihkonstanti: e, i, π, 1 i 0.

Euler je e definirao i kao beskonacni razlomak:

e− 1

2=

1

1 + 11+ 1

6+ 1

10+ 1

14+ 118+...

ili

e− 1 = 11

1 + 12+ 1

1+ 1

1+ 1

4+ 11+...

.

2.3.2 Eksponencijalne funkcije i prirodni logaritmi

Broj e koristi se za definiranje eksponencijalnih funkcija. Ovdje cemo prikazatidvije definicije eksponencijalnih funkcija pomocu broja e:

ex = limx→∞

(1 +x

n)n,

ex =∞∑n=0

xn

n!.

Prirodni logaritam, je logaritam po bazi e, ponekad se koristi i naziv Napierovlogaritam

lnx = loge x.

Vrijedi jos: eln(x) = x , ako je x > 0 i ln(ex) = x.

6

2.3.3 Derivacije i integrali

Deriviranje i integriranje eksponencijelanih i logaritamskih funkcija:

1. ddxex = ex, d

dxlnx = 1

x

2.∫

dxx

= ln |x|+ C,∫ex = ex + C

3. ex =∫ x

−∞ etdt =

∫ 0

−∞ etdt+

∫ x

0etdt = 1 +

∫ x

0etdt

4.∫ e

11xdx = 1 [Slika 1.]

Slika 1. Povrsina ispod grafa funkcije 1x

na intervalu [1, e] je jednaka 1[13]

2.4 Primjena broja e u ostalim podrucjima

Osim u samoj matematici matematicke formule se upotrebljavaju i u ostalimpodrucjima. U ovom radu su opisana neka podrucja koja koriste formulevezane za broj e [vidi 6, 8, 10, 15]:

• Fizika i kemijaBroj e je osnova prirodnog logaritma te se kao takav koristi u formu-lama vezanim za radioaktivnost. Moguce je preko prirodnog logaritma

7

ustanoviti vezu izmedu perioda poluzivota α-emitujuceg izvora i en-ergije α-cestica koje se emituju (svi atomi α-izvora emituju α-cesticekoje uvijek imaju identicne vrijednosti energije):

1

t= A lnE +B,

gde je t period poluzivota, A i B su konstante, a E je energija izrazenau eV . Kao zakljucak se moze izvesti da α-emitujuci izvor sa visomenergijom ima kraci period poluzivota od onog sa nizom.

• EkonomijaVrijednost broja e u pocetku je racunata u bankarske svrhe. Koliki jenjegov znacaj za ekonomiju ilustira primjer koji slijedi.Pretpostavlja se da ulazemo u banku sumu novca x. Ako bi bankadavala 100%-tnu kamatu na godisnjem nivou, nakon godinu dana sumanovca koja bi se mogla podici iznosila bi 2x (Ovdje se radi o jednos-tavnom kamatnom racunu). Ukoliko bi se na pola godine podigao novaci ponovo ulozio, nakon jedne godine imalo bi se (1 + 1

2)2 · x. Ako bi

se svaki dan podizao novac i ponovo ulagao, suma bi se nakon godinudana povecala (1 + 1

365)365 puta. Postavlja se pitanje: ”Koliko novca se

moze zaraditi ukoliko bi banka racunala slozeni interes na beskonacnomalim vremenskim intervalima?” (tzv. ”neprekidno ukamacivanje”).Odgovor je:

limn→∞

(1 +1

n)n = e

Postavlja se pitanje: ”Sto ako kamata ne iznosi 100% na odredenomvremenskom razdoblju, nego npr. 200%?”. Odgovor je slijedeci: to vre-mensko razdoblje moze se podijeliti na dva jednaka dijela. Na osnovuprethodno izlozenog moze se zakljuciti da ce na kraju prve polovine (ipocetku druge polovine) ”neprekidnim ukamacivanjem ” suma biti eputa veca od ulozene. Slicno, na kraju druge polovine suma ce biti eputa veca nego na njenom pocetku, sto znaci da ce na kraju promatra-nog vremenskog razdoblja suma biti e · e = e2 puta veca od ulozene.Moze se izvesti zakljucak: Ako ce se, racunano jednostavnim kamat-nim racunom, ulozena suma nakon odredenog vremenskog razdoblja,uvecati r puta, onda ce se ”neprekidnim ukamacivanjem” ta ista suma,nakon istog vremenskog razdoblja uvecati er puta.

• BiologijaPromatrana je npr. populaciju bakterija. Neka na pocetku proma-tranja ta populacija broji n jedinki i neka je tih n jedinki sposobno

8

da nakon vremenskog razdoblja t ostavi potomstvo tako da se brojnostpopulacije poveca r puta. Ukoliko je pretpostavka da se te jedinkepocinju razmnozavati cim se rode i da mogu stvoriti potomke tijekombeskonacno malog vremenskog razdoblja, onda ce se brojnost popu-lacije nakon vremenskog razdoblja t povecati er puta.

2.5 Kratka povijest

Kratki pregled povijesti broja e. [vidi 11, 16, 17]Broj e se u matematici pojavljuje na nevazan nacin 1618. kada se u dodatkuNappierovog rada o logaritmima pojavila tablica vrijednosti prirodnih loga-ritama raznih brojeva. No, tada se nije znalo da su to logaritmi s bazom ejer oni nisu imali danasnje znacenje. Potom je 1624. Briggs dao numerickuprocjenu log e , ali e nije spominjao kao takav u svom radu. Sljedeca pojavabroja e je opet dvojbena. 1647. Saint-Vincent je racunao povrsinu ispodistostrane hiperbole i nepoznato je je li uopce shvatio vezu s logaritmima ije li naisao na e. Ali vec 1661. Huygens je shvatio odnos, koji je pazljivopromatrao kod istostrane hiperbole xy = 1 i logaritma. Broj e je takav da jepovrsina ispod istostrane hiperbole od 1 do e jednaka 1 [Slika 1.]. Huygensje takoder definirao krivulju, koju je nazvao logaritamska, ali u danasnjojterminologiji ona bi bila eksponencijalna, formule y = kax . Nicolaus Mer-cator je 1668. objavio rad

”Logarithmotechnia“ u kojem se nalazi razvoj

log(1 + x). Mercator je tada prvi upotrijebio izraz”prirodni logaritam“ za

logaritme baze e. Ali ni tada se broj e nije pojavio kao samostalan te je opetostao po strani. Jacob Bernoulli je 1683. razmatrao problem kamata na ka-matu i pokusavao naci limn→∞ (1 + 1

n)n. Binomnim teoremom je pokazao da

se granica nalazi izmedu 2 i 3, sto se danas smatra prvom procjenom broja e.To takoder mozemo promatrati i kao definiciju broja e te je to i prvo defini-ranje broja limesom. Kao sto smo vec ranije spomenuli danas je logaritamfunkcija, a nekada je sluzio iskljucivo kao pomoc u racunanju. Mozda je Ja-cob Bernoulli prvi shvatio inverznost logaritamske i eksponencijalne funkcije,ali je James Gregory prvi povezao logaritme i eksponente. Broj e se prvi putsamostalno pojavio 1690. Leibniz je u pismu Huygensu upotrijebio slovo bza danasnje e. S obzirom na to da vecinu matematicke notacije dugujemoEuleru, vjerojatno nije iznenadenje ni njegovo oznacavanje broja e. Iako nekitvrde da e potjece od prvog slova njegova imena ipak je vjerojatnije da oz-naka e potjece od toga sto je e sljedeci samoglasnik nakon a, kojeg je Eulervec iskoristio. Koji god razlog bio, oznaka e se prvi put pojavila u pismuEulera Goldbachu 1731., ali je tek 1748. Euler u svom radu

”Introductio in

9

Analysin infinitorum“ objavio sve ideje.[pogledaj Tablica 1.] Dokazao je daje e = 1 + 1

2!+ 1

3!+ · · · i da je e = limn→∞ (1 + 1

n)n Euler je procijenio e

na cak 18 decimalnih mjesta. Izmedu ostalih zanimljivih rezultata, u nje-govom djelu, istice se vec ranije spomenuta veza izmedu trigonometrijskihfunkcija i kompleksnih eksponencijalnih funkcija do kojih je Euler dosao DeMoivreovom formulom: eiπ = cos(π)+i ·sin(π). Znatizelja zbog koje su ljudiracunali e na sto vise decimala je nejasna, Shanks je 1854. prvi izracunaoveliki broj decimala broja e. Glaisher je dokazao da je prvih 137 decimala,koje je izracunao Shanks, bilo tocno, a nakon korekcije, Shanks je izracunaotocnih 205 decimala. Napomenimo da je potrebno cak 120 pribrojnika redae = 1 + 1

2!+ 1

3!+ · · ·.

Tablica 1. Kronoloska notacija broja e

10

Broj poznatih znamenki broja e dramaticno se povecao tijekom posljed-njih nekoliko desetljeca (sto zbog za povecanja performansi racunala stozbog poboljsanja algoritama racunanja). U Tablici 2. vidljiv je kronoloskinapredak u otkrivanju znamenki.

Tablica 2. Broj poznatih znamenki e

11

3 Broj π

Kao sto je u uvodu receno broj π je broj poznat kao Ludolphov broj4 iArhimedova5 konstanta, njegova je primjena vrlo siroka. Osim sto je ira-cionalan (brojevi koji se ne mogu prikazati omjerom dvaju cijelih brojeva)i realan broj, ovaj broj je jos i transcendentan (ne moze biti izrazen kaokonacan red ili rezultat numerickih ili algebarskih operacija). Njegovu ira-cionalnost dokazao je Lambert6 1761. a transcedentnost Lindeman7 1882.godine. [vidi 11, 16, 17]U radu ce biti opisano nekoliko defnicija broja π.

3.1 Stroga matematicka definicija

Broj π mozemo definirati na vise nacina. U euklidskoj geometriji π senajcesce definira:

Definicija 3.1. Omjer duljine opsega kruznice i duljine njenog promjera jestπ.

π =O

d

4Ludolph van Ceulen (1540. - 1610.) je nizozemski matematicar njemackog porijekla,veliki dio svog zivota je proveo (skoro trecinu) racunajuci broj π na sto veci broj decimala(izracunao 35 decimala). Poznat je po tome sto je na njegovom nadgrobnom spomenikubilo ispisano 35 decimala broja π.

5Arhimed iz Sirakuze, navodno jedan od najgenijalnijih matematicara svih vremena,bio je vrhunac helenske matematike i najveci fizicar starog vijeka. Glavna dijela:O kvadra-turi parabole; O lopti i valjku; O mjerenju kruga; O plivanju tijela; Racun s pjescanimzrncima;

6Johann Heinrich Lambert(1728. - 1777.), njemacki matematicar, astronom, fizicar ifilozof

7Ferdinand von Lindemann(1852. – 1939.) najpoznatiji njemacki matematicar

12

Slika 2. Opseg kruznice jednak je umnosku broja π i promjera kruznice. [16]

Definicija 3.2. Omjer povrsine kruga i kvadrata njegovog polumjera nazivase π.

π =P

r2

Slika 3. Povrsina kruga jednaka je umnosku kvadrata polumjera kruga ibroja π. [16]

Arhimedov pristup [vidi 17]Arhimed je bio prvi matematicar koji je dao vrijednost broja π slicnu danasnjoj.Do tada poznate cinjenice.

13

Propozicija 3.1. Povrsina bilo kojeg kruga jednaka je povrsini pravokutnogtrokuta kod kojeg je jedna stranica uz pravi kut jednaka radijusu, a drugajednaka opsegu kruga.

Propozicija 3.2. Povrsina kruga se odnosi prema kvadratu promjera kaosto se 11 odnosi prema 14.

Propozicija 3.3. Omjer opsega bilo kojeg kruga i njegovog promjera je manjiod 31

7, a veci od 310

71.

Promatramo kruznicu ciji je polumjer jednak 1. U nju upisemo pravilnimnogokut sa 3 · 2n−1 stranica, poluopsega bn, te neka mu je opisan pravilnimnogokut sa istim brojem stranica poluopsega an.

Slika 4. Primjer za n = 2 [17]

Potrebno je definirati rastuci niz b1, b2, b3, · · · i padajuci niz a1, a2, a3, · · · takoda oba niza imaju granicu π. Ako primijenimo trigonometrijsku notacijudobivamo da su dva poluopsega dana sa:

an = Ktan(π

K), bn = Ksin(

π

K)

gdje je K = 3 · 2n−1. Ako promatramo sljedece clanove niza dobit cemo:

an+1 = 2Ktan(π

2K), bn+1 = 2Ksin(

π

2K)

14

Iz toga slijede formule:

(1

an+

1

bn) =

2

an+1

(3.1)

an+1bn = (bn+1)2 (3.2)

Arhimed je pocevsi od a1 = 3tan(π3) = 3

√3 i b1 = 3sin(π

3) = 3

√3

3, izracunao

a2 koristeci (3.1), pa b2 koristeci (3.2), a zatim a3 koristeci (3.1). Sve doknije izracunao a6 i b6. Zakljucio je da vrijedi:

b6 < π < a6.

Vazno je naglasiti kako Arhimed nije mogao koristiti trigonometriju i alge-barsku notaciju. Sluzio se iskljucivo geometrijom time ovaj izracun nije bionimalo trivijalan zadatak. [vidi 17]

3.2 Ostale karakterizacije broja π i njegove primjene umatematici

Pi se pojavljuje u formulama koje se ticu geometrijskih slika i tijela kojesadrze oblik kruga ili elipse. U njih spadaju valjak, kupa i lopta. [vidi 1, 6, 9, 13, 14, 16]

• Geometrija

Pi se pojavljuje u formulama koje se ticu geometrijskih likova i tijelakoje sadrze oblik kruga ili elipse.

15

Takoder vrijedi: 180◦ = πrad.

• AnalizaU matematickoj analizi se broj π izrazava i koristi na dosta razlicitihnacina. Od oblika beskonacnih redova do integrala i specijalnih funkcija.

– Leibnizova formula

∞∑n=0

(−1)n(1

2n+ 1) =

π

4

16

π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9− · · ·

– Integral vjerojatnosti

∞∑−∞

e−x2

dx =√π

– Bazelski problem (prvi ga rjesio Leonhard Euler)

ζ(2) =1

12+

1

22+

1

32+

1

42+ · · · = π2

6

ζ(4) =1

14+

1

24+

1

34+

1

44+ · · · = π4

90,

opcenito ζ(2n) je racionalni umnozak broja π2n za svaki n ∈ N .

– Eulerova formulaeiπ + 1 = 0

– Beskonacni razlomak π ima puno predstavljanja u obliku beskonacnihrazlomaka, navest cemo primjer Eulerove formule:Eulerova formula:

π

4=

1

1 + 1

2+ 32

2+ 52

2+ 72

2+ 922+···

– Teorija brojeva- Vjerojatnost da su dva slucajno izabrana cijela broja relativnoprosta je 6

π2

- Vjerojatnost da je slucajno izabran cijeli broj beskvadratan je6π2

- broj nacina da se dani prirodni broj napise kao zbroj dva savrsenakvadrata (redosljed pribrojnika je bitan) je π

4

3.3 Kvadratura kruga

Kako smo u uvodu rekli π je transcendentan broj. Vazna posljedica transce-dentnosti ovog broja je cinjenica da π nije konstruktibilan.

17

Ovo je takoder dokaz da nije moguce izvrsiti kvadraturu kruga tj. nemoguceje ravnalom i sestarom konstruirati kvadrat cija bi povrsina bila jednakapovrsini zadanog kruga.

Kvadratura kruga je pojam vezan za najpoznatije anticke matematickeprobleme (uz duplikaciju kocke i trisekciju kuta). To je skraceni naziv zaproblem koji se najcesce opisuje recenicom:

Konstruirati kvadrat iste povrsine kao zadani krug.

Kako je povrsina kvadrata Pkvadrat = a2 , a povrsina kruga Pkrug = r2πizjednacavanjem povrsina dobivamo a2 = r2π slijedi da je a = r

√π. Znaci

problem se svodi na konstrukciju duzine duljine r√π odnosno

√π.

U stvari, postoje egzaktna rjesenja, ali ako se ne postuju pravila konstrukcijeravnalom i sestarom. Ravnalom i sestarom je moguce napraviti pribliznukonstrukciju, sa odredenom pogreskom.

Slika 7. Kvadratura kruga [16]

Pretpostavlja se da je na ovaj problem tijekom ljudske povijesti potrosenovise intelektualnog napora nego za slanje covjeka na Mijesec. Tijekom vre-mena doslo se do razlicitih rijesenja ali je na kraju zakljuceno da su dobivenamehanickim metodama (za crtanje su morale biti konstruirane posebne mehanickenaprave). Jedna od takvih je i Arhimedova spirala.[ Slika 8.]

18

Slika 8. Arhimedova spirala [16]

3.4 Kratka povijest

Kratki pregled povijesti broja π. [vidi 11, 16, 17]U Bibliji se nalazi jedan zanimljiv tekst:

”Tada od rastaljene kovine izli

more koje je od ruba do ruba mjerilo deset lakata; bilo je okruglo naokolo,pet lakata visoko, a u opsegu, mjereno vrpcom, imalo je trideset lakata.“(Kraljevi I 7, 23)

To su mjere Solomonova velikog hrama, sagradenog oko 950. god. pr. Kr. iuocavamo kako je π = o

d= 30

1= 3. Iako je i ovo iznenadujuce, ranije procjene

broja π su puno starije i tocnije.Tako su jos davne 1700. god.pr.Kr. Egipcani π procijenili na 3.16, a Sumeraniracunali π kao 3.125. Naravno i Kinezi su se istaknuli oko 500. god. pr. Kr.uzevsi π = 355

113. Arhimed (287. - 212. god. pr. Kr.) je prvi precizno definirao

interval 22371

< π < 227

cija je sredina 3.1418, koja od broja π odstupa zapriblizno 0.0002.Nakon Grka, Rimljani su zbog svojih uvjerenja krivi za zastoj u matematici,a u

”mracnom“ srednjem vijeku istaknuo se jedino Fibonacci s procjenom

π = 3.141818 . Ali zahvaljujuci Arapima ipak se uspjesno premostio gotovotisucljetni jaz u znanju. Europska renesansa je napokon dovela do uzleta umatematickom svijetu. Ludolph van Ceulen je proveo veliki dio svog zivotaracunajuci numericku vrijednost broja π pomocu Arhimedove metode, te jetako do 1596. izracunao prvih 35 decimala,

π = 3.14159265358979323846264338327950288.

19

S vremenom su se razvile formule za lakse racunanje. Jedna od najpoznati-jih je bila Wallisova π

4= 1 − 1

3+ 1

5− 1

7+ · · ·. Doprinos u racunanju sto

vise decimala dao 1699. Sharp. On je izracunao 71 tocnu decimalu. 1701.Machin je unaprijedio racunanje i izracunao 100 decimala, a njegovi sljed-benici su koristili njegovu metodu, sve do Shanksa, koji je 1873. izracunao707 decimala, od kojih je prvih 527 bilo tocno. Nedugo nakon Shanksovaizracuna, De Morgan je uocio neobicnu statisticku pogresku: u zadnjih neko-liko decimala nedostaju sedmice. Tek je 1945. Ferguson otkrio pogreskuna 528. decimali, nakon koje su sve znamenke pogresne. 1949. godine jepomocu racunala odredeno 2000 decimala broja π. U ovom i svim kasnijimracunalnim izracunima, broj sedmica ne odstupa znacajno od ocekivanja inizovi su prosli sve statisticke testove slucajnosti. 1973. bilo je poznato mil-ijun znamenki a vec 1989.Chudnovsky izracunava 1,011,196,691 znamenki.Zadnji poznati broj znamenaka je otkriven u kolovozu 2010. kada su 1,000Yahoo-u racunala racunajuci vise od 23 dana izracunalo dva quadrilliona(2, 000, 000, 000, 000, 000) znamenaka.

Potrebno je spomenuti i nesto o notaciji broja π.Kronoloski pregled notacije broja π vidljiv je u Tablici 3.

20

Tablica 3. Kronoloska notacija broja π

4 Zanimljivosti

Iz rada je vidljivo da su brojevi e i π zaintrigrirali mnoge matematicare aline samo njih nego i ”obicne” ljude. U ovom poglavlju ce biti prikazane nekezanimljivosti vezane za te brojeve. [vidi 5, 7]

Svake godine obiljezava se dan matematickih konstanti e i π. Dan brojae obiljezava se 7. veljace (2.7.) i prvi put je obiljezavan 2007. godine, a danbroja π obiljezava se 14.ozujka i posebno znacajan trenutak u danu je 1 sati 59 minuta (ujutro ili poslije podne) jer tada broj izgleda: 3.14 1 59 sto jepriblizno broju π u 5 znamenki. [Napomena: u zapadnom dijelu svijeta sedatum pise u obliku m.dd]

21

Istinita anegdota vezana za broj eProf. Blanusa studentima prve godine gradevine na pocetku predavanja postavljovakvo pitanje:Moze li mi netko odgovoriti k cemu konvergira slijed brojeva oblika (1 + 1

n)n

kad n tezi u beskonacno?U zadnjem redu dvorane grupa Splicana o necem zusro raspravlja, uopce neprateci predavanje.Odjednom jedan od njih glasno uzvikne: A, e!Na to Blanusa s ushicenjem kaze: Bravo, kolega! Odgovor je tocan!

Objavljene su dvije price u kojima nema ni jednog slova ′e′ - Gadsby, ErnestVincent Wright (1938), i La disparition, George Perec (koji je preveden ina engleski jezik (A Void, koji je preveo Gilbert Adair) i takoder postujespomenuto pravilo).

Broj π je puno zanimljiviji i kontroverzniji od broja e.Promotrimo neke situacije:Skupstina Savezne drsave Indiane je 5. veljace 1897. godine predlozila zakonkojim se proglasava sluzbena vrijednost broja π koju treba upotrebljavatiu drzavi Indiani. Izvjesni Edvard Gudvin, predlagac, je zakon tako losenapisao da se spominju cetiri razlicite vrejdnosti za π ali je za svaki slucajzastitio svoje otkrice. Autor je velikodusno ponudio drzavi da koristi njegovuvrednost za π u skolskim udzbenicima bez naknade dok bi svi ostali placalitantijeme. Zakon je prosao donji dom jednoglasno (sa 76:0) ali je zaustavljenu gornjem domu parlamenata. Niko ne zna da li je zakon ikad skinut sadnevnog reda ili jos ceka izglasavanje.

Π kulturaPostoji cjelo polje humoristicnog ali i ozbiljnog proucavanja koje ukljucujekoristenje mnemonika za lakse pamcenje znamenki broja π i zove se pi-filologija. Najpoznatija obrada je obrada poeme Edgara Allana Poe-a Gavrani cilj je da duljina rijeci stihova bude kljuc pamcenja znamenki broja π.

Primjer ”matematicke igre” je sljedeca aproksimacija π : Uzmite broj 1234,zamjenite mjesta prvim dvjema i posljednjim dvama znamenkama, tako dabroj postaje 2143. Podjelite taj broj sa 22 ( 2143/22 = 97,40909...). Izvaditecetvrti korjen ovog broja. Konacan rezultat je izuzetno blizu π : 3,14159265.

Koliko je π utjecajan, svjedoci i gotovo nevjerojatna prica, kada su π isko-ristili kao ispriku za rasisticki napad na eminentnog matematicara EdmundaLandaua 1934. u Njemackoj.

22

Literatura

Literatura

[1] Berggren, J. M. Borwein, P. B. Borwein: Pi:a source book, Springer,2003.

[2] A. Banovic, I. Buljan, T. Petrac : Udzbenik iz biologije za 8. razredosnovne skole, Profil, Zagreb, 2010.

[3] D.Blanusa,Visa matematika: Algebra i algebarska analiza, TehniCkaknjiga, Zgagreb, 1970.

[4] S.Breuer, G.Zwas, Numerical Mathematics: A Laboratory Approach,Cambridge University Press,Cambridge, 1993.

[5] http://www.croatianhistory.net/mat/ssala.html

[6] B. Culina, Z.Bosnjak, G. Paic : Matematicki izazovi 8 udzbenik i zbirkazadataka, ALFA, Zagreb 2010.

[7] B.Dakic, MIS,godina VIII., br. 38, 2007.http://element.hr/static/files/5-Razno/Broj%20pi/Broj%20pi%20-%20Jeste%20li%20znali%20-%20Clanak%20iz%20MiSa%20br.%2038.pdf

[8] B.Dakic,N.Elezovic: Udzbenik i zbirka zadataka za 4.razred gimnaz-ije,Element, Zagreb, 2001.

[9] S.Gracan, MIS,godina I., br. 4, 1999.http : //www.pdfdownload.org/pdf2html/viewonline.phpurl =http%3A%2F%2Fmis.element.hr%2Ffajli%2F889%2F04− 06.pdf

[10] S.Gracan, MIS,godina II., br. 9, 2000.http : //www.pdfdownload.org/pdf2html/viewonline.php?url =http%3A%2F%2Fmis.element.hr%2Ffajli%2F565%2F09− 09.pdf

[11] I.Gusic: Matematicki rjecnik, Element,Zagreb, 2005.

[12] D. Jukic, R. Scitovski ,Matematika I,Prehrambeno tehnoloski fakul-tet;Elektrotehnicki fakultet, Osijek, 1998.

[13] http://mathworld.wolfram.com/

23

[14] J.J.O’Connor and E.F.Robertson,A history of Pihttp : //www−groups.dcs.stand.ac.uk/ history/HistTopics/P ithroughtheages.html

[15] hhttp://www.proven.hr/slike/upload/1196097250-Slo%C5%BEenikamatnira%C4%8Dun.pdf

[16] www.wikipedia.org/ [broj e, broj π, Arhimedova spirala ]

[17] http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/ [Biografije]

24

Zivotopis

OSOBNI PODACI

Ime i prezime Merija GerovacDatum i godina rodenja 15. ozujak 1986

Mjesto rodenja Vinkovci

SKOLOVANJE

srednja skola 2000.-2004.Gimnazija ”Matija Antun Reljkovic” , Vinkovciprirodoslovno matematicka gimnazija

fakultet 2004.-. . .Odjel za matematiku Osijeksveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

25