Jurnal EKSPONENSIAL Volume 3, Nomor 1, Mei 2012 ISSN 2085-7829

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman 39

Bentuk Fungsional Model Data Cacah

(Functional Form for Model of Count Data)

Rito Goejantoro Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

Abstract

Poisson regression is the basic model of count data. Having an assumption of the equality of the distributional

mean and variance, Poisson models are inappropriate for many count-modeling situations. Overdispersion

occurs when the variance exceeds the nominal mean. The negative binomial is commonly employed to model

overdispersed

Ke words : Maximum Likelihood Estimation, Negative Binomial, Poisson

Pendahuluan

Model untuk data cacah banyak dijumpai

dalam berbagai bidang seperti statistika,

ekonometrika, ilmu-ilmu sosial dll. Beberapa

aplikasi di antaranya adalah banyaknya kejadian

penyakit di suatu populasi, banyaknya

penyalahgunaan obat-obat terlarang, banyaknya

kejadian keuangan seperti kebangkrutan dsb. Model

regresi Poisson merupakan model dasar untuk

pemodelan data cacah. Karena asumsi kesamaan

mean dan variansi, model Poisson tidak cocok

untuk banyak situasi pemodelan data cacah.

Overdispersi terjadi bila nilai variansi melebihi nilai

mean. Model binomial negatif digunakan untuk

memodelkan data Poisson yang overdispersi.

Bentuk Fungsional Dasar

Regresi Poisson, berdasarkan fungsi

peluang Poisson adalah metode dasar yang

digunakan untuk pemodelan data respon cacah.

Fungsi kepadatan peluang Poisson adalah

( )

Model Regresi Poisson

Spesifikasi regresi kanonik untuk variabel

Y yang merupakan cacah peristiwa adalah regresi

Poisson

[ | ] ( )

( )

( )

di mana xi : vektor kovariat, N : ukuran sampel.

Model Poisson mempunyai sifat :

[ | ]

dan sifat dispersi sama

[ | ]

Karena data hampir selalu memperlihatkan

overdispersi maka perlu dicari alternatif untuk

regresi Poisson, seperti model binomial negatif.

Estimasi parameter model menggunakan

N sampel obsevasi pada (yi,xi), i = 1,2,,N,

diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log

likelihood .

( ) [ ( ) ( )]

Persamaan likelihood mempunyai bentuk sederhana

( )

(

)

( )

(

)

Efek parsial dalam model Poisson adalah

[ | ]

Model Binomial Negatif Baku

Model binomial negatif digunakan sebagai

bentuk fungsional untuk mengatasi kendala dispersi

sama dari model Poisson. Untuk memperkenalkan

heterogenitas laten ke dalam model data cacah

maka

[ | ] ( )

Jurnal EKSPONENSIAL Volume 3, Nomor 1, Mei 2012 ISSN 2085-7829

40 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

di mana ( ) diasumsikan berdistribusi gamma satu parameter, G(,) dengan mean 1 dan

variansi 1/ = yaitu

( ) ( )

( ) *

Mean tak nol dari akan diserap ke dalam suku konstan dari fungsi indeks. Dengan perubahan

variabel menghasilkan variabel log gamma dengan fungsi kepadatan peluang :

( ) ( ( )) [ ( )]

( )

Mean dan variansi variabel acak adalah

( ) ( ) dan ( ) ( )

di mana ( ) adalah fungsi digamma, ( ) dan ( ) adalah fungsi trigamma. Untuk membuktikan hasil ini akan digunakan metode

derivasi tak langsung untuk memperlihatkan hasil

sederhana. Mengambil log persamaan * dan

membuang subskrip

( ) ( ) ( )

Fungsi peluang persamaan * regular menurut

kriteria Fisher untuk sifat estimasi kemungkinan

maksimum, sehingga

[ ( )

] ( ) ( ) ( )

E(h)=1 dari hasil sebelumnya untuk distribusi

gamma, sehingga bagian pertama hasil untuk

( ) terbukti karena . Untuk hasil kedua, dari persamaan matriks informasi

[ ( ) ] [ ( )

]

( )

Tetapi

[ ( ) ] ( ) ( ) ( )

dan

( )

sehingga

( ) ( ) ( )

Perlu dicari ( ) untuk memperoleh ( ) ( );

( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] ( ( ) )

Dengan mengubah menjadi variabel berdistribusi

gamma untuk h :

[ ]

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Di sini digunakan rekursi ( ) ( ). Hasil ini menunjukkan [ ] bila h mempunyai distribusi gamma ( ) dari hasil sebelumnya [ ] ( ) . Sehingga diperoleh

( )

Var( )

[( ( ) ) ( ( ) )]

Akhirnya dengan menggunakan rekursi

( ( ) ( ) )

Dengan mensubstitusikan ini pada persamaan

di atas diperoleh hasil akhir

Var( ) ( ) ( )

Model regresi Poisson bersyarat adalah :

[ | ] [ ( ) ] [ ( ) ]

( )

( ),

Peluang tak bersyarat yaitu hanya bersyarat pada xi,

diperoleh dengan mengintegralkan terhadap dari fungsi kepadatan peluang :

[ | ] [ | ]

( )

[ ( ) ] [ ( ) ]

( )

( ( )) [ ( )]

( )

Dengan mengubah variabel kembali menjadi

( ) maka peluang bersyarat menjadi :

Jurnal EKSPONENSIAL Volume 3, Nomor 1, Mei 2012 ISSN 2085-7829

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman 41

[ | ] [ ] [ ]

( )

( ),

dan peluang tak bersyarat adalah :

[ | ] [ | ] ( )

[ ] [ ]

( )

x ( )[ ]

( )

( ) ( )

[ ( )]

( ) ( )

( )

( )

Dengan mendefinisikan ( ) diperoleh

[ | ] ( )

( )

( ) ( )

yang merupakan fungsi kepadatan peluang untuk

distribusi binomial negatif.

Mean dan variansi bersyarat dari variabel acak

binomial negatif berhubungan dengan momen

distribusi Poisson sebagai berikut :

[ | ]

[ | ]

( )

( ) [ ]

(sama seperti model Poisson) dan

[ | ] [ ( ) ] [ ]

di mana [ ]

Model Campuran Lognormal Poisson

Selain memperkenalkan heterogenitas

sebagai variabel berdistribusi normal dengan mean

nol dan simpangan baku , akan diperkenalkan

model yang secara eksplisit membakukan . Model Poisson adalah

[ | ] ( )( )

( )

( ) ( )

Fungsi kepadatan peluang tak bersyarat adalah

P( | )

[ ( ) ][ ( ) ]

( )

( )

di mana ( ) menyatakan fungsi kepadatan normal baku. Fungsi log likelihood tak bersyarat

adalah

( )

( | )

( )

( | )

{ [ ( ) ] [ ( ) ]

( )

( ) }

Estimasi maksimum likelihood dari parameter

model diperoleh dengan memaksimumkan fungsi

log likelihood tak bersyarat terhadap parameter

model ( ).

Integral dalam fungsi log likelihood tidak

ada dalam bentuk tertutup. Pendekatan kuadratur

yang disarankan Butler dan Moffitt (1982) adalah

metode pendekatan yang cocok . Misalkan

dan . Setelah perubahan dari menjadi dan perubahan parameter peluang maka diperoleh

P( | )

[

] ( | )

di mana mean bersyarat adalah [ | ] (

) Estimasi maksimum likelihood dari ( ) diperoleh dengan memaksimumkan log likelihood yang diubah

parameternya. Dalam bentuk ini, ln L dapat

didekati dengan kuadratur Gauss-Hermite.

Pendekatannya adalah

[

( | )

]

di mana dan adalah node dan bobot untuk kuadratur. Simulasi juga merupakan pendekatan

yang efektif untuk memaksimumkan fungsi log

likelihood (Train, 2003).

Jurnal EKSPONENSIAL Volume 3, Nomor 1, Mei 2012 ISSN 2085-7829

42 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

Kesimpulan

Regresi Poisson adalah model dasar untuk

data cacah. Model Poisson mempunyai keterbatasan

yaitu asumsi kesamaan nilai mean dan variansi.

Untuk mengatasi overdispersi digunakan model

binomial negatif.

Daftar Pustaka

Butler, J. and Moffitt, R., A Computationally

Efficient Quadrature Procedure for the One Factor

Multinomial Probit Model, Econometrica, 50,

1982, pp. 761-764.

Cameron, C., and P. Trivedi. (1998) Regression

Analysis of Count Data. New York: Cambridge

University Press.

McCullagh, P. and J.A. Nelder (1989). Generalized

Linear Model (2nd

ed.) London: Chapman and Hall.

Hilbe, Joseph M. (2011). Negative Binomial

Regression (2nd

ed.), New York : Cambridge

University Press.

Train, K.,(2003) Discrete Choice Models with

Simulation, Cambridge : Cambridge University

Press.

Winkelmann, R., (2003) Econometric Analysis of

Count Data (4th ed), Heidelberg : Springer Verlag.