1 21/11/2017

Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή – Πολυώνυμα Hermite

i) Δείξτε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. ii) Δείξτε ότι ( )2 0 0nψ ≠ , για 0,1,...n =

iii) Υπολογίστε τους αριθμούς Hermite ( )0n nH H≡ , για 0,1,...n =

Λύση i) Οι τελεστές καταστροφής και δημιουργίας του αρμονικού ταλαντωτή δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις

ˆ ˆ ˆ2m ia x p

mω

ω = + h

†ˆ ˆ ˆ2m ia x p

mω

ω = − h

Στην αναπαράσταση θέσης, όπου x x= και ˆ dp idx

= − h , ο τελεστής δημιουργίας

γράφεται

( )†ˆ2 2 2 2m i d m d m da x x i x x

m dx m dx m dxω ω ω

ω ω ω = − − = − = −

h hh

h h h

Δηλαδή

( )†ˆ2 2m da x x

m dxω

ω= −

h

h

Αν εισάγουμε την κλίμακα μήκους amω

=h στην τελευταία σχέση, αυτή γράφεται

( )† 1ˆ2

x da x aa dx

= −

(1)

Εξάλλου, ο τελεστής ομοτιμίας P ορίζεται από τη σχέση

Px x= −

Έτσι, η δράση του τελεστή ομοτιμίας στην ( ) ( )†ˆ na x xψ μάς δίνει

( ) ( )( ) ( ) ( )† †ˆ ˆ ˆn nP a x x a x xψ ψ= − −

Με τη βοήθεια της (1), η τελευταία ισότητα γράφεται

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )† 1 1ˆ ˆ

2 2n n n

x d x dP a x x a x a xa d x a dx

ψ ψ ψ − = − − = − − − = −

( ) ( ) ( ) ( )† † ˆˆ ˆn na x x a x P xψ ψ= − − = −

2 21/11/2017

Δηλαδή

( ) ( )( ) ( ) ( )† †ˆ ˆˆ ˆn nP a x x a x P xψ ψ= − (2)

Όμως

( ) ( )ˆn nP x xψ ψ= ± ,

αφού οι ιδιοσυναρτήσεις ( )n xψ είναι είτε άρτιες (ομοτιμία 1) είτε περιττές (ομοτιμία 1− ).

Αν η ( )n xψ έχει ομοτιμία 1, δηλαδή αν ( ) ( )ˆn nP x xψ ψ= , η (2) μάς δίνει

( ) ( )( ) ( ) ( )† †ˆ ˆ ˆn nP a x x a x xψ ψ= − ,

δηλαδή η ( ) ( )†ˆ na x xψ έχει ομοτιμία 1− .

Αν η ( )n xψ έχει ομοτιμία 1− , δηλαδή αν ( ) ( )ˆn nP x xψ ψ= − , η (2) μάς δίνει

( ) ( )( ) ( ) ( )† †ˆ ˆ ˆn nP a x x a x xψ ψ= ,

δηλαδή η ( ) ( )†ˆ na x xψ έχει ομοτιμία 1.

Συμπεραίνουμε ότι οι ( )n xψ και ( ) ( )†ˆ na x xψ έχουν αντίθετη ομοτιμία.

Από τη σχέση ( ) ( ) ( )†1ˆ 1n na x x n xψ ψ += + , που είναι η έκφραση της σχέσης

†ˆ 1 1a n n n= + + στην αναπαράσταση θέσης, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση

( ) ( )†ˆ na x xψ έχει ίδια ομοτιμία με την ιδιοσυνάρτηση ( )1n xψ + . Έτσι, καταλήγουμε

ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις ( )n xψ και ( )1n xψ + του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. Η ιδιοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή έχει τη μορφή

( )2

0 2exp2xx Aa

ψ

= −

,

όπου A σταθερά και amω

=h η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή.

Η ( )0 xψ είναι επομένως άρτια.

Έτσι, οι ιδιοσυναρτήσεις ( )2n xψ είναι άρτιες, ενώ οι ιδιοσυναρτήσεις ( )2 1n xψ + είναι περιττές, δηλαδή

( ) ( )2 2n nx xψ ψ− =

και

( ) ( )2 1 2 1n nx xψ ψ+ +− = − (3)

για 0,1,...n = Από την (3) παίρνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 10 0 0 0 0 0n n n n nψ ψ ψ ψ ψ+ + + + +− = − ⇒ = − ⇒ =

3 21/11/2017

Δηλαδή, όλες οι περιττές ιδιοσυναρτήσεις μηδενίζονται στο μηδέν. Ακολούθως θα δείξουμε επαγωγικά ότι οι άρτιες ιδιοσυναρτήσεις δεν μηδενίζονται στο μηδέν, δηλαδή

( )2 0 0nψ ≠ , για 0,1,...n =

ii) Για 0n = , είναι ( )2

0 2exp2xx Aa

ψ

= −

, και επομένως

( ) ( )0 0 exp 0 0A Aψ = = ≠

Έστω ότι ( )2 0 0kψ ≠

Θα δείξουμε ότι ( ) ( )2 1 0 0kψ + ≠

Με τη βοήθεια της σχέσης ( ) ( ) ( )†1ˆ 1n na x x n xψ ψ += + , υπολογίζουμε τη δράση του

τελεστή ( )†2a x στην ιδιοσυνάρτηση ( )2k xψ , που είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )†2 † † †2 2 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1k k ka x x a x a x x a x k xψ ψ ψ += = + =

( ) ( ) ( )( ) ( )†2 1 2 2ˆ2 1 2 2 2 1k kk a x x k k xψ ψ+ += + = + +

Δηλαδή

( ) ( ) ( )( ) ( )†22 2 2ˆ 2 2 2 1k ka x x k k xψ ψ += + + (4)

Εξάλλου, από την (1), ο τελεστής ( )†2a x είναι

( )2 2

†2 22

1 1ˆ2 2

x d x d x d d da x a a x x aa dx a dx a dx dx dx

= − − = − − +

Δηλαδή

( )2 2

†2 22

1ˆ2

x d d da x x x aa dx dx dx

= − − +

Επομένως

( ) ( ) ( )2 2

†2 22 22

1ˆ2k k

x d d da x x x x a xa dx dx dx

ψ ψ = − − + =

( ) ( ) ( )( ) ( )2

22 2 2 2

12 k k k k

x dx x x x x a xa dx

ψ ψ ψ ψ ′ ′′= − − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22 2 2 2 2

12 k k k k k

x x x x x x x a xa

ψ ψ ψ ψ ψ ′ ′ ′′= − − − + =

( ) ( ) ( )2

22 2 2

1 1 22 k k k

x x x x a xa

ψ ψ ψ ′ ′′= − − +

Δηλαδή

4 21/11/2017

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

†2 22 2 2 2

1ˆ 1 22k k k k

xa x x x x x a xa

ψ ψ ψ ψ ′ ′′= − − +

Συγκρίνοντας την τελευταία σχέση με την (4), παίρνουμε

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22 2 2 2 2

12 2 2 1 1 22k k k k

xk k x x x x a xa

ψ ψ ψ ψ+

′ ′′+ + = − − +

Άρα

( )( )( )

( ) ( ) ( )2

22 2 2 2 2

1 1 22 2 2 2 1

k k k kxx x x x a xak k

ψ ψ ψ ψ+

′ ′′= − − + + +

Επομένως

( )( )( )

( ) ( )( )22 2 2 2

10 0 02 2 2 2 1

k k kak k

ψ ψ ψ+′′= − +

+ + (5)

Η ( )2k xψ είναι ιδιοσυνάρτηση ενέργειας 2122kE k ω = +

h , επομένως ικανοποιεί

την εξίσωση

( ) ( )2 22 2 22

2 1 02k k k

mx E m x xψ ω ψ ′′ + − = h

Άρα

( ) ( )22 22

20 0 0kk k

mEψ ψ′′ + =h

Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της προηγούμενης εξίσωσης με 2a , και στη

συνέχεια χρησιμοποιήσουμε τη σχέση 2122kE k ω = +

h , θα πάρουμε

( ) ( ) ( ) { ( )2 2 22 22 2 2 22 2

2 20 0 0 0 0 0k kk k k k

m

mE mEa a a

ω

ψ ψ ψ ψ ′′ ′′+ = ⇒ + = ⇒ hh h

( ){

( ) ( ) ( ) ( )2 222 2 2 2

12 22

20 0 0 0 4 1 0 0kk k k k

k

Ea a k

ω

ω

ψ ψ ψ ψω

+

′′ ′′⇒ + = ⇒ + + =

h

h

h

Επομένως

( ) ( ) ( )22 20 4 1 0k ka kψ ψ′′ = − + (6)

Με τη βοήθεια της (6), η (5) γράφεται

5 21/11/2017

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )2 2 2 210 0 4 1 0

2 2 2 2 1k k kk

k kψ ψ ψ+ = − − + =

+ +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

2 2 1 2 10 02 12 2 2 2 1

k k

k kkk k

ψ ψ+ +

= − = −++ +

Δηλαδή

( ) ( ) ( )2 2 22 10 0

2 1k kkk

ψ ψ+

+= −

+ (7)

Εφόσον ( )2 0 0kψ ≠ , από την (7) βλέπουμε ότι

( ) ( )2 1 0 0kψ + ≠

Επομένως

( )2 0 0nψ ≠ , για 0,1,...n =

iii) Οι ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή συνδέονται με τα πολυώνυμα Hermite με τον τύπο

( ) ( )1

24

2

1 1 exp22 !

n nnH

anξψ ξ ξ

π = −

,

όπου xa

ξ = , amω

=h .

Δηλαδή είναι 1

24

2 2

1 1 exp22 !

n nn

x x xHa a a an

ψπ

= −

(8)

Από το προηγούμενο ερώτημα

( )2 1 0 0nψ + =

Επομένως

( )( ) ( )

14

2 1 2 122 1

1 1 0 0 0 02 2 1 !

n nnH H

an π + ++

= ⇒ = +

Άρα

2 1 0nH + =

για 0,1,...n = Εξάλλου, από την (8) παίρνουμε

( )

124

2 22 22

1 1 exp22 2 !

k kk

x x xHa a a ak

ψπ

= −

6 21/11/2017

και

( )

124

2 2 2 22 22 2

1 1 exp22 2 2 !

k kk

x x xHa a a ak

ψπ+ ++

= − +

Άρα

( )( )

( )14

2 222

1 10 02 2 !

k kkH

akψ

π =

και

( )( )

( )14

2 2 2 222 2

1 10 02 2 2 !

k kkH

akψ

π+ ++

= +

Αν αντικαταστήσουμε τις δύο τελευταίες σχέσεις στην (7), θα πάρουμε

( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 14 4

2 2 22 22 2 2

2 11 1 1 10 02 12 2 2 ! 2 2 !

k kk k

kH H

a k ak kπ π++

+ = − ⇒ + +

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )2 2

22 2 2 22

2 1 2 2 2 ! 2 10 0 2 2 1 2 2 0

2 1 2 2 ! 2 1

k

k k kk

k k kH H k k H

k k k

+

+

+ + +⇒ = − = − + + =

+ +

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3

2 2

2 12 2 1 1 0 2 2 1 0

2 1 k k

kk k H k H

k+

= − + + = − + ⇒+

( ) ( ) ( ) ( )22 1 0 2 2 1 0kkH k H+⇒ = − +

Δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )22 1 0 2 2 1 0nnH n H+ = − + (9)

για 0,1,...n = Για 0n = , η (9) μάς δίνει

( ) ( )2 00 2 0H H= −

Για 1n = παίρνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )442 2 22

4 2 0 00 2*3 0 1 2 *3 0 1 2 *1*3 0H H H H= − = − = −

Για 2n = παίρνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )663 3 22

6 4 0 00 2*5 0 1 2 *3*5 0 1 2 *1*3*5 0H H H H= − = − = −

Για 3n = παίρνουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )884 4 22

8 6 0 00 2*7 0 1 2 *3*5*7 0 1 2 *1*3*5*7 0H H H H= − = − = −

Έστω ότι

7 21/11/2017

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

2 0 2 00 1 2 *1*3*...* 2 1 0 0 1 2 2 1 !! 0kk k k

k kH k H H k H= − − ⇒ = − −

Τότε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 02 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 2 2 1 !! 0k kkkH k H k k H+ = − + = − + − − =

( ) ( ) ( )1 101 2 2 1 !! 0k k k H+ += − −

Επομένως

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 102 1 0 1 2 2 1 !! 0n n

nH n H+ ++ = − −

για 1, 2...n = , και

( ) ( )2 00 2 0H H= −

Επειδή ( )0 0 1H = , οι δύο τελευταίες σχέσεις γράφονται

( ) ( ) ( )1 12 1 1 2 2 1 !!n n

nH n+ ++ = − −

για 1, 2...n = , και

2 2H = −

Σημείωση Με ( )2 1 !!k − συμβολίζουμε το διπλό παραγοντικό του 2 1k − , δηλαδή

( ) ( )2 1 !! 1*3*...* 2 1k k− = −

Σπύρος Κωνσταντογιάννης

Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com