Belastningar och spänningar i vägar

Belastningar och spänningar i vägar

Föreläsning 2013-01-29Väg- och banteknik, KTH


Behov av att kunna förutsäga och förstå fördelningen av spänning, σ, och töjning, ε, inom överbyggnadsstrukturen, och hur dessa storheter relaterar till vägens nedbrytning (sprick- och spårbildning).

Numeriska modeller – Hur kan en ideal modell se ut?• Behov av modeller för beräkning av deflektioner (δ) och töjningar (ε)• Numeriska modeller tillgängliga med olika:

– förutsättningar– antaganden– komplexitet– krav på materialinformation

Ideal modellFörutsäger Input-parametrar

• Spänningar• Töjningar

• Statiska och dynamiska laster• Materialegenskaper• Trafik• Miljö

Ingen modell idag uppfyller dessa krav!

Möjligt att uppnå rimliga uppskattningar!

1. Tillgängliga modeller

Mest använd• Rimliga resultat• Egenskaper relativt enkla att bestämma

• Flerlagermodell baserad på elasticitetsteori• Finita elementmetoder• Viskoelasticitetsteori (tids- och temp.beroende beteende)• Dynamisk analys (tröghetseffekter)• Termiska modeller (temperaturändring)

Hur bestäms E? Före och efter konstruktion

E & ν

Före: lab.provning (MR)Efter: fältprovning(FWD)


Fallviktsdeflektometer

• Liten släpvagn• Fallvikt• Geofoner•

Deflektionsbassäng

Använder elastisk teori för förutsägning av deflektionsprofil för given last. Sedan utförs iterering med olika modulkonfigurationer tills beräknad deflektionsbassäng överensstämmer med uppmätt.


2. Flerlagermodell baserad på elastisk teori

E1, ν1

E2, ν2

E3, ν3

∞

z1

z2

z3

a = radie

q = tryck

Punkt APunkt B

Antaganden:• Varje lager

– Kontinuerligt– Homogent– Isotropt– Linjärelastiskt– Materialet viktlöst och ytan oändligt stor– Bestämnd tjocklek (utom sista lagret)

Egenskaper @ A = Egenskaper @ B

Samma egenskaper i alla riktningar

Hookes lag

trzz σσνσE1

ε


2. Flerlagermodell baserad på elastisk teori (forts.)

Antaganden (forts.):• Spänningar på ytan

– Cirkulär– Vertikal– Jämnt fördelat

• Full friktion mellan lagren• Kontinuerligt stöd för varje lager

Punkt APunkt B

E1, ν1

E2, ν2

E3, ν3

∞

z1

z2

z3

a = radie

q = tryck

Varför önskar vi fullstän-dig friktion mellan varje lager?


2inlbs

psi

610 inin

nmicrostrai

Dimensioner

• Spänning:- Givet i psi:

• Töjning:- Givet i

microstrain:

• Deflektion:- Givet i mils:

1000

inmils

Vid hemuppgifter, tentamen och projekt förväntas ni omvandla edra svar till dessa dimensioner


(Last/Yta)

(Dimensionslöst)

(Sträcka)

3. Ett-lagersystem

3.1 Baserat på Boussinesq (1885) Halv-rymd:

oändlig yta och djup

Z

σz

σz

X

P

r

zσz

225

2z z

P

zr

1

12π3

σ

Punktbelastning på en elastisk halv-rymd

• Undersök σ-fördelning längs Z & X

där:– σz = vertikal spänning– r = radiellt avstånd från

last– z = Djup– P = punktlast

Lägg märke till att spännings-fördelningen är oberoende av E


3.2 Ett-lager lösningar (Foster & Ahlvin 1950-talet)

Figurerna 2.2 – 2.6

Utvecklade diagram för bestämning av σz, σt, σr, τrz & w (ν=0.5) • Axelsymmetrisk belastning:

– σz = Vertikal spänning– σr = Radial spänning– σt = Tangentiell spänning– τrz = Skjuvspänning– w = Deflektion

• Bestämd @ radiella avstånd

2a

q

z

r

σz

σr σt

τrz

a

q

02a 1a3a

0

2a

1a

Avstånd

Dju

p


3.2 Ett-lager lösningar (Foster & Ahlvin)Diagram

Djup (z) and avstånd (r) uttrycks i radiella kvoter


3.2.1 Vertikal spänning

Givet:– Last, P = 9000 lbs– Tryck, q = 80 psi

2a9000

AP

q

9000

680

a in

a

q

r=6”

z=6”σzBestäm:– Vertikal spänning , σz @ z=6” & r=6”

Först måste vi bestämma radien:

z/a = 6/6 =1

r/a = 6/6 =1Figur 2.2 (vertikal spänningsfördelning)


1.

2.

3.2.1 Vertikal spänning (forts.)z/a = 6/6 =1r/a = 6/6 =1

33%100q

z


psi4.26100

8033z

Lös ut z

Deflektionsprofil

3.2.2 Deflektion Flexibel platta Styv platta

q qGummi Stål

Reaktion frånundergrund

Vilken deflektion är större?

Eqa5.1

W0 FlexibleRigid W%79W E

qa18.1W0

E

qa12W

2

0

E2

qa1W

2

0


Antag att ν=0.5

3.2.2 Deflektion (forts.)

a = 6”

q = 80 psi

∞

h1= 4”h2= 8”

h3= 12”

Överbyggnads-struktur

Hur kan vi använda ett-lagerteori för bestämning av systemets deflektion?

Vi kan anta att överbyggnads-strukturen är inkompressibel

Grund-läggande:

A

Asurface

I detta fall (ett-lager antas):

FE

aqA

F erålls från figur 2.6


Σ z=24’’

a=6’’q=80 psiz=24’’r=0 i punkten A


Givet:z/a=24/6=4r/a=0

Resultat:F=0.37

Belastningar och spänningar i vägar a=6’’q=80 psiz=24’’r=0 i punkten A


071.037.02500

680

w 0071.037.0

25000

680

w

w=71 mils (Hög) w=7.1 mils (Låg)

a = 6”

q = 80 psi

∞

h1= 4”h2= 8”

h3= 12”

A

• Undersök två fall:

Lera Tät sandE=2500 E=25000

Undergrundens kavalitet är mycket viktig vid dimen-sionering av överbyggnad


För ett-lagerlösning

• Syftet med överbyggnadsstrukturen:– Skydda undergrunden; reducera spänningar till acceptabel

nivå för att förhindra alltför stora sättningar eller kollaps

4.1 Vertikal spänning• Vertikal spänning på undergrundens översida viktigt vid

dimensionering av överbyggnad, eftersom den svarar för permanent deformation (spårbildning); Tillåten σz beror på E hos undergrundsmaterialet.

4. Spänningar och töjningar för dimensionering

– För att kombinera effekten av spänning (σ) och styvhet (E)

– Effekten av horisontell spänning är relativt liten; vertikal töjning orsakas primärt av vertikal spänning

Vertikal trycktöjning (εc) använd som dimensioneringskriterum

Varför används töjningen?

trCC σσνσE1

ε E

Cσ

0 0εc

aq

∞

h1

h2

E1

E2

E3


4.2 Dragtöjning

Horisontella huvudtöjningen (εt) används som dim. kriterium

aq

∞

h1

h2

E1

E2

E3

ε

• Dragtöjning vid botten av asfaltlagret; används inom överbyggnadsdimensionering som utmattningskriterium

• Två typer av töjning:– Minsta genomsnittliga huvudtöjningen, ε3

– Horisontella “huvudtöjningen”, εt (inte en verklig huvudtöjning)


4.2.1 Genomsnittliga huvudtöjningar:• Baserat på samtliga 6 komponenter av normal- och

skjuvspänningar – σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz

− Lös kubiska ekvationen för att erhålla σ1, σ2, & σ3

− Beräkna sedan huvudtöjningen 2133 σσνσE1

ε

Minsta huvudtöjning (ε3) anses vara dragtöjning då dragning är negativ

aq

ACε3

Vilken är riktningen hos ε3?

Minsta huvudtöjning (ε3) verkar inte alltid i horisontella planet

ε3


4.2.1 Horisontell huvudspänning:• Baserad enbart på horisontella normal- och

skjuvspänningar – σx, σy, τxy

• Horisontell huvudspänning (εt) är något lägre än minsta huvudtöjning (ε3)–

• Maximala horisontella töjningen på X-Y planet• Verkar alltid på horisontella planet• Används för att prediktera utmattningsbrott

aq

ACεt

2

x y x y 2t xy2 2

t3


Utvecklade lösningar för:• Vertikala deflektioner (flexibel & styv)• Vertikala spänningar (begränsat antal fall)

− σ & δ starkt beroende av styvhetskvoten E1/E2

Notera betydelsen av styvhetskvoten vid minskande spänningar.

5. Två-lagerteori (Burmister 1940-talet)


5.1 Tvålagerdeflektioner• I ett-lagerteori antar vi att alla lager skulle kunna

representeras av ett lager– δyta = δundergrundens överyta

• För två-lagerteori har vi:– Vertikal ytdeflektion– Vertikal deflektion i gränsytan

a

q

∞

h1 E1

E2

• Flexibel

• Styv

22

max 5.1 FEqa

W

22

max 18.1 FEqa

W

5.1.1 Ytdeflektioner

Varför används E2 för ytdeflektion?• E2 svarar för större delen av deflektionen (jfr följande

exempel)• F2 tar hänsyn till styvhetskvoten


5.1.2 Ytdeflektioner - exempela=6”

q=80 psi

∞

h=6”E1=50,000 psi

E2=10,000 psi

Givet:h1/a=6/6=1E1/E2=5Sök:F2=0.6

milsW

FEqa

W

43"0432.0

6.010000

)80(65.15.1

max

22

max


5.1.3 Gränsytedeflektion - exempelF

h1/a

Offset

a=6”

q=80 psi

∞

6”E1=50,000 psi

E2=10,000 psi

Givet:h1/a=6/6=1 ;r/a=0r/a=0Sök:F=0.83

milsW

FEqa

W

40"0398.0

83.010000

)80(6

2

• För samma exempel som ovan:


5.1.4 Jämförelse mellan yt- och gränsytedeflektioner

Jfr resultaten i exemplet:• Ytdeflektion = 43 mils• Gränsytedeflektion= 40 mils Kompression i topplagret = 3 mils

%710043

3– Topplager

%9310043

40– Underbyggnad

Procentuell andel kompression:


5.2 Två-lager vertikal spänninga=6”

q=80 psi

∞

h1E1=500,000 psi

E2=5,000 psi

Vilken tjocklek behöver vi för att skydda undergrunden?

Maximalt tillåten σc för lermaterial = 8 psiGivet:σc/q=0.1E1/E2=100

Fig 2.15

Sök:a/h1=1.15

"2.515.16

h1


5.2 Kritisk dragtöjninga=6”

q=80 psi

∞

6”E1=200,000 psi

E2=10,000 psie = εt= kritisk dragtöjningGivet:E1/E2=20 h1/a=1

Fig 2.21

Sök:Fe=1.2

t e

t

q 80F 1.2

E 200000in

0.00048 480in

εt

Str

ain

Fact

or,

Fe


6. Brottkriterier

6.1 Modell för sprickbildning vid utmattning• Baserad på Miner’s kumulativa skadekoncept

– Skademängd utryckt som en skadekvot predikterat/tillåten antal upprepade laster

2 3ff

f 1 t 1N f E

5f

d 4 cN f

f1 = Skiftfaktor laboratorium/fältf2 & f3 = bestämda på lab.provkroppar

6.2 Spårmodell• Tillåtet antal upprepade laster relaterat till εc på ytan

av undergrunden– Förklarar inte brott i andra lager

f4 & f5= predikterade skiftfaktorer mellan laboratorium och fält 4.4779

d cN 1.365 10

3.291 0.854

f t 1N 0.0796 E


Belastningar och spänningar i vägar

Documents

Transcript of Belastningar och spänningar i vägar