MASSÖVERFÖRING och...

TEKNISKA FAKULTETEN VID ÅBO AKADEMI Institutionen för Värmeteknik

Kurskompendium i

MASSÖVERFÖRING och separationsteknik (3602)

Göran Öhman med tilläggsmaterial av Ron Zevenhoven

Fjärde upplagan 1996/2001, tilläggsmaterial 2005

AΦΦ˝̋molAmolA →→

boundary layermedium A

phaseboundary

boundary layermedium B

cA,bulkA

cA,bulkB

cA,interfaceA

cA,interfaceB

BAΦΦ˝̋molAmolA →→

boundary layermedium A

phaseboundary

boundary layermedium B

cA,bulkA

cA,bulkB

cA,interfaceA

cA,interfaceB

B

ii

Förord till kompendium 2006. Fr.o.m. läsåret 2005/2006 föreläses kursen av Ron Zevenhoven. Kurskompendiet av Göran Öhman (4:e upplagan 1996) används för tillfället, men eftersom boken Mass transfer operations av R.E. Treybal (McGraw-Hill, 1955) har blivit lite gammalmodig kommer kursinnehållet och kurskompendiet att förnyas under de kommande åren. Som tilläggsämnen ingår fr.o.m. 2006 även Massöverföring i fler-komponent system och Massöverföring med samtidig kemisk reaktion. Åbo i december 2005 Ron Zevenhoven INNEHÅL Förord 1. DIMENSIONSANALYS OCH MODELLTEORI ......................................................1 2. MASSÖVERFÖRINGENS GRUNDBEGREPP.........................................................8 3. FASJÄMVIKTER......................................................................................................13 4. MASSÖVERFÖRING ÖVER FASGRÄNSER.........................................................18 5. KONTINUERLIG DESTILLATION.........................................................................26 6. FYLLKROPPSKOLONNER.....................................................................................33 7. MASSÖVERFÖRING GENOM GRÄNSSKIKT......................................................39 8. MEKANISMERNA FÖR ÖVERFÖRING AV VÄRME, MASSA OCH RÖRELSEMÄNGD ...................................................................................................43 LITTERATUR...................................................................................................................50 + 9. MASSÖVERFÖRING I FLER-KOMPONENT SYSTEM.......................................51 10. MASSÖVERFÖRING MED SAMTIDIG KEMISK REAKTION............................60 LITTERATUR KAPITLEN 9 OCH 10.............................................................................62 + LÖSNINGAR TILL NÅGRA AV KURSKOMPENDIETS (4:E UPPLAGAN) UPPGIFTER Mer tilläggsmaterial av Ron Zevenhoven via några ”handouts” på kursen

J D dcdzi

i= − ciα

ciβ

βαdiffusivity

k Dzii=

Δ

mass transfer coefficient

Fick’s law

Ji : flux of i with respect to the mixture

J D cz

k ci ii

i i= − = −ΔΔ

Δ

Δz

Δc c ci i i= −β α

Mass Transfer as you have learned it

N D dcdz

Nxi ii

i= − +differential equation

N k c Nxi i i i= − +Δdifference equation123 {

Ni : flux with respect to an interface

diffusion flux

drift flux

Stefan or drift correction

N Nii

= ∑flux of mixture

with Drift

− k s ci i iΔ

gas: c c c constant1 2+ = =

fluxes with respect to mixture

J D dcdz1 1

1= −

J D dcdz2 2

2= −

( )J J Dd c c

dz1 21 20+ = = −+

+

0 1

D

x1

only one binary D, which is independent of

composition

Classic - in Gases

N2, CO2N2, H2

ideal gases, 100 kPa, 298 K

A B

beginning: xN2 = 0 46.xH2 = 0 54.

xN2 = 0 52.x CO2 = 0 48.

Question: Does N2 transfer (a) from A to B?(b) from B to A?(c) not at all?(d) or does it do (a), (b) and (c)?

Three Gases (1)

0.6

0.5

0.4

0.6

0.4

0.2

0.00 10 20

N2 A

B

H2

CO2

A

B

B

A

mole fraction xi

reverse diffusion

timeh

Three Gases (2) Two Cations

H+

Cl-

Na+

Cl-

cationpermeable membrane

highconcentration

lowconcentration

excess +chargeand electrical field

so Na+ can move againstits concentration gradient!

H+ moves rapidly H+

Na+

1

3

2

51

Åbo Akademi TkF Värmeteknik Massöverföring 2006

ron

Text Box

ron

Text Box

9. MASSÖVERFÖRING I FLER-KOMPONENT SYSTEM med användning av kalvor som går med “Mass Transfer in Multicomponent mixtures” av J.A. Wesselingh & R. Krishna (2000)

He

298 K

100 kPa

Ar

298 K

100 kPa

!friction (He / plug) < friction (Ar / plug)

the plug, matrix or membrane is a (pseudo)component

MM

Ar

He

N NHe Ar≈ −3

2 Gases in a Porous Plug (1)

He

298 K

100 kPa

Ar

298 K

101 kPa (for example)

main reason:viscous flow

retards He, accelerates Ar

Δp

N NHe Ar= −

2 Gases in a Porous Plug (2)

1kg

1 m

the potential difference is the work required to change the condition of the weight

here: Δψ Δ= = ≡mg z 9 81 9 81. .J ( Nm)

or, per mole Δψ Δi iM g z=

1kg

Fi

the driving force is the negative potential gradient:

F ddz

M gii

i= − = −ψ

the force is downwards

Gravity - a simple Potential Chemical Potentialxi γ i

mixture ( ) ii aRTTpconst ln, +=μ

chemical potential

activity

pure i (one mole)

( )μ i const p T∗ = ,

iiii aRT ln−=μ−μ=μΔ ∗

activity coefficientwork required: change in the chemical potential

iii xa γ=

chemical potential in an ideal solution ii xRTTpconst ln),( +=μ

in an ideal gas ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=μ

ppRTTpconst i

i ln),(

partial pressure

μ in an Ideal Solution

momentum ‘in’ momentum ‘out’

forces

∑ invm )( &

change of momentum ∑∑∑ +−= Fvmvm

dtmvd

outin )()()(&&

∑ outvm )( &

∑F

Momentum Balance

52


(2)(1)

1u2u

zH2 CO2

dzz +

Moving Through Each Other

species velocities

dzz +z

area A

volume Adz

zAp1 dzzAp+1

)( 1221 uuppforce

friction−∝⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dzdp

forcedriving 1−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Forces on Hydrogen (1)

dzda

aRT

dzadRT

dzdF i

i

iii −=−=

μ−=

ln−

RTx

dxdzi

i

in ideal solutionsfor a given T and p

Driving Force (per Mole of i)

( )F x u ui i j j i jj i

= −≠∑ζ ,driving force

on i

friction coefficient between i and j

mole fractionof j

(diffusive) species velocities

Maxwell-Stefan Equation

gases

liquids

Δz ≈ −10 4 m

Δz ≈ −10 5 m

membrane

Δz = − −10 107 4K m

in a solid particle

Δz d≈10

Δzd

Film Theory, Thickness of Films

eddies & large scale convection

‘film’: no eddies

phase boundary

two thin, one dimensional ‘films’ next to the phase boundary

Difference Form of Force

za

aRT

zaRT

zF i

i

iii Δ

Δ−=

ΔΔ

−=ΔμΔ

−=ln

zx

xRT i

i ΔΔ

−

in ideal solutionsfor a given T and p

53


Δμ1

RT+1

0

-1

0 2

approximate

exact

‘approximate’ works out better in difference equations

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

β

1

1lnaa

( )αβ

αβ

+−

=Δ

11

11

1

1

5.0 aaaa

aa

α

β

1

1

aa

− ∞

-2

Approximationgrowing bubble of CO2

Δz ≈ −10 5 m

mole fractionof CO2

x1 0 003α = .

F RTx

dxdz

RTx

xz1

1

1

1

1= − ≈ −ΔΔ

x1 0 001β = .

Forces in a Glass of Beer

Friction Coefficients of Spheres

( )ζ πη1 2 2 112 1 1

3 3 10, = A × ≈ × − − −d N mol ms1

F1F1

A = ×6 1023

molecules mol-1

coefficient of a single sphere

spheres ‘1’

liquid ‘2’

Maxwell-Stefan diffusivity of large molecules in dilute liquids (not gases)

( ) sm10

104.01010106300314.8 2

99323

−−− ≈

××××××

→

Ð RT1 2

1 2,

,

≡ζ

Ð RTd1 2

2 13, = A πη

Diffusion and Friction Coefficients

2,12,1 Ð

RT≡ζ

each others ‘inverse’

we use both

2 components: 1 relative velocity1 independent equation

3 components: 2 relative velocities2 independent equations

n components: n - 1 relative velocitiesn - 1 independent equations

One Equation Missing only relativevelocities

∑≠

−ζ=ij

jijjii uuxF )(,

bootstrap

‘floating’ transport relations: have to be ‘tied’ to surroundings

Bootstrap (1)

54


N2CO2

N2H2

H+

Cl-Na+

Cl-

HeAr

no net volume flow plug does not move

membrane does not move

(almost) no charge transfer

Bootstraps (2)

∑ −ζ=j

jijijiii uuxcxcxF )(,

∑ −ζ=j

jiijjii NxNxf )(,

force on i per unit volume of mixture

in practical problems we use fluxes:

N u c u cxi i i i i= =

flux form of MS-equation:

Fluxes

x1α

β1xx1

positivedirection

α β

binary:

infinitesimallayer

finite layer(approximate)

u1( )21

2,12

1

1

uuÐRTx

dzda

aRT

−=−

( )( )dzÐ

uuxa

da2,1

212

1

1 −=−

( )z

Ðk

kuux

aa

Δ=

−=

Δ− 2,1

2,12,1

212

1

1

from Differential to Difference

α1a

β1a

876film

iu

0iu

α β0

icaverage concentration ic

species velocity(depends on position in film)

species velocity at the average composition

positive velocity

Average Velocity

)(1212

2,11

1 uuxka

a−=

Δ−

cxc 1×

)(12112

2,11

11 NxNx

ckaax −=

Δ−

Differences with Fluxes

∑≠

−=

Δ−

ij ji

jij

i

i

kuu

xaa

,

)(

using velocities using fluxes

∑≠

−=

Δ−

ij ji

jiij

i

ii ck

NxNxaax

,

)(

for ideal solutions ixΔ−

Multicomponent Equations

55


100

10-2

10-4

10-6

ki j,1m s−

kÐ

zi ji j

,,=

Δ

gases ≈ − −10 1 m s 1

liquids ≈ − −10 4 m s 1

Transfer Coefficients

in pores

in poreschanges are not very important

changes are not very important

Temperature EffectsMS-equation

)terms diffusion thermal()(, +−ζ= ∑ jijjii uuxFsmall

driving force

dzdx

xRT

dzdF i

iT

ii −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ μ−=

difference form:

zx

xTRF i

ii Δ

Δ−=

at constant temperature

average film temperature

x1α

x1

0α β

drops on a tray

gas: trace of NH3 (1)

bulk of N2 (2)

..as you already knew..

Stripping -dilute

12 ≈x

transport relation

bootstrap

flux

ckNxNxx

2,1

21121

−=Δ−

02 =N

12,11 xckN Δ−=0

β

x1 0 5= .x1β

α

x1α

Stripping - concentrated

12,112

2,11 2 xckx

xck

N Δ−=Δ−=

heat

benzene (1), volatile

toluene (2)

x1α

x2α

x2β

x1β

y K x1 1 1= β

y K x2 2 2= β

vapour removed by convection

bootstrap:NN

yy

1

2

1

2

= = ν

Vaporising Drop

NN

1

2

= ν

− =−

Δx x N x Nk c1

2 1 1 2

1 2,

− =−

Δx x N x Nk c2

1 2 2 1

1 2,

Nk c

x xx1

1 2

2 11= −

−,

νΔ N

k cx x

x21 2

1 22= −

−,

νΔ

example ν = 2 x x1 2 0 5= = .

N k c x1 1 2 14= − , Δ ( )N k c x2 1 2 22= − − , Δ

Fluxes from Vaporising Drop

Stefan (drift) corrections

56


O C CO2 2 2+ →

C

O2 1( )

CO( )2

1.0

0.60.4

0.0

both components are moving and have a high concentration

k1 2210, = − −ms 1

bootstrap:N N2 12= −

calculate N1 and N2

c = −10 mol m 3

Carbon Gasification

( )− =−

=+

Δx x N x Nk c

x x Nk c1

2 1 1 2

1 2

2 1 1

1 2

2

, ,

N N2 12= −

( )Nk c

x xx1

1 2

2 11

2

210 10

0 7 2 0 30 6= −

+= −

×+ ×

−−

,

. ..Δ

( )N exact1 0 046 0 047= − −. : . mol m s2 1

( ) 122 smmol094.0:092.0 −−−−= exactN

Fluxes in Gasification

almost the same

Binary Distillation

0β

x1β

N1

α

x1αtransport relation

N2

x2α

x2β

hexane (1)

heptane (2)− =

−Δx x N x N

k c12 1 1 2

1 2,

bootstrap N N1 2= −

(equimolar exchange)

( )→ − =+

Δxx x N

k c11 2 1

1 2,

N k c x1 1 2 1= − , Δ N k c x2 1 2 2= − , Δ

1

2

3

4

5

6

membrane stagnant

bulk stagnant (absorption)

trace stagnant (polarisation)

equimolar exchange (distillation)

interface determined (vaporisation)

reaction stoichiometry

uM = 0

02 =N

u1 = 0

N N1 2 0+ =

NN

yy

1

2

1

2

=

Some Bootstraps

N N1

1

2

2ν ν=

( ) ( )

( ) ( )

− = − + −

− = − + −

ddz

x u u x u u

ddz

x u u x u u

μζ ζ

μζ ζ

11 2 2 1 2 1 3 3 1 3

22 1 1 2 1 2 3 3 2 3

, ,

, ,

forces per mole of ‘1’

forces per mole of ‘2’

Ternary - per mole of i

( ) ( )

( ) ( )

− = − + −

− = − + −

⎫

⎬⎪

⎭⎪

x ddz

x x u u x x u u

x ddz

x x u u x x u u

11

1 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3

22

2 1 1 2 2 1 2 3 2 3 2 3

μζ ζ

μζ ζ

, ,

, ,

forces per mole of mixture

these should cancel: ζ ζ2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2, , , , , ,≡ ≡ ≡Ð Ð k k

Ternary - per mole of Mixture

57


binary

ternary

quaternary

ckNxNx

ckNxNxx

3,1

3113

2,1

21121

−+

−=Δ−

ckNxNx

ckNxNxx

3,2

3223

1,2

12212

−+

−=Δ−

More Components Condensor vapour

liquid

cooling water

H O2

NH3

H2

0.6

0.4

0.2

0.0

NH3 (1) and H2O (2) condense on a tube

find the velocities in the gas film

H2 (3) does not condense

k k1 3 2 333 10, ,= = × − −ms 1

k1 231 10, = × − −ms 1

Condenser (2)transport (MS) relations:

NH3

H2O

bootstrap

three linear equations, three unknowns

exact solutions:

03 =N

30)103(4.03.0

30)101(3.04.02.0 3

313

21−− ×

−+

×−

=−NNNN

30)103(3.03.0

30)101(3.04.04.0 3

323

12−− ×

−+

×−

=NNNN

015.01 =N 122 smmol045.0 −−=N

013.01 =N 122 smmol049.0 −−=N

H O2

NH3

H2

mixture velocity

H2O moves down its gradient

NH3 dragged against its gradient

H2 does not move at all

Condenser (3)

Murphree Efficiency

yn−1

yn

yneq

operatingline

equilibriumline

y

x

E y yy ymv

n n

neq

n

=−−

=−

−

1

1

change in real stagechange in equilibrium stage

n

yn

xnyn−1

xn

Ternary Distillation (1)

in which direction does 2 move?

0.530.45

0.63

0.35

0.02 0.02

1

3

2

1 ethanol 3 water2 a trace of butanol

large friction between 1 2andk1 2

28 10, = × − −ms 1

k k1 3 2 3220 10, ,= = × −

bootstrap: equimolar exchange

vapour liquid

m s-1

u y u y u y1 1 2 2 3 3 0+ + =

58


0.018

0.020

0.0220.0214

0.018

0.020

0.0186

0.022y2α y2β

no motion

u223 75 10= − × −.

u22158 10= − × −.

u220 81 10= + × −.

Butanol - which Direction? Murphree Efficiency (2)

0

1

Emv large

y y2 2

0 020α β=

= .

negative!y2α

Murphree efficiency undetermined

zero

Ammonia Reaction

N2 (1)

H2 (2)

NH3 (3)

α β

catalytic surface

N H NH2 2 33 2+ ⇔

− =−

+−

Δx x N x Nk c

x N x Nk c1

2 1 1 2

1 2

3 1 1 3

1 3, ,

− =−

+−

Δx x N x Nk c

x N x Nk c2

1 2 2 1

1 2

3 2 2 3

2 3, ,

− =−

+−

Δx x N x Nk c

x N x Nk c3

1 3 3 1

1 3

2 3 3 2

2 3, ,

transport relations:

bootstrap: N N N1 2 3

1 3 2= =

−

− =−

+−Δx

xx u u

kx u u

k1

12

1 2

1 23

1 3

1 3, ,

L=−x u u

keffeff

eff

1

1,

a ternary can be approximated as a binary when

When is: 3 = 2?

1

2

3

one friction term dominates:

(example: mobile species in many membranes)

equal velocity of two species:

(example: Na+ and Cl- in water)

equal diffusivities (‘1’ in m- and p-xylene)

xk

xk

x u uk

2

1 2

3

1 33

1 3

1 3, , ,

<< →−

( )u u xk

xk

u u2 32

1 2

3

1 31 2= → +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

, ,

( ) ( )k kx x u x u x u

k1 2 1 32 3 1 2 2 3 3

1 2, ,

,

= →+ − +

x xeff = 3

k keff1 1 3, ,=

xk

xk

xk

eff

eff1

2

1 2

3

1 3, , ,

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

x x xeff = +2 3

u x u x ux xeff =

++

2 2 3 3

2 3

simplifying transport equation of N2 in ammonia formation:

eliminate N2 and N3 with N N N N2 1 3 13 2= = −

N k c xeff1 1 1= − , Δ1 3 21

2 1

1 2

3 1

1 3kx x

kx x

keff, , ,

=−

++

with

similarly for H2 and NH3

Effective Binary in Reactive System

59



60

10. MASSÖVERFÖRING MED SAMTIDIG KEMISK REAKTION I många kemisk-tekniska processer sker massöverföring samtidigt med kemisk reaktion, och i nästan alla fall är reaktionshastigheten begränsad av tillförsel av (åtminstone en av) reaktanterna, eller produkternas avföring från reaktionszonen. Speciellt i stora anläggningar har detta stor betydelse. Ett exempel är en gasreaktant A som lösar sig i en vätska där den deltar i en kemisk reaktion som är första-ording i A; konversionen rA (mol s-1m-3) av A kan skrivas, med reaktionshastighetskonstanten kr (s-1) och koncentrationen cA (mol m-3) som

rA = dcA/dt = - krcA (10.1) Koncentrationen av gasen A vid gränsytan kan beräknas när dess fördelningskoefficient över gas och vätska är känd. Vid antagandet att vätskan är bra blandad med ett tunt gränsskikt är det klart att massöverföringsmotståndet ligger i gränsskiktet, med massöverföringskoefficienten k (m s-1) lika med k = DA/δc, där DA är diffusionskoefficienten (m2 s-1) för A i gränsskiktet och δc gränsskiktets tjocklek (m). Vätskans volym är V (m3) och gränsskiktets totalyta är A (m2). Två olika situationer kan urskiljas (se även Figur 10.1): 1. Reaktionen i vätskan är långsam och konversionen i gränsskiktet kan försummas. Överförda massaströmmen för A, ΦA (kg s-1) är i en stationär process

ΦA = Ak(cAi – cA) = krVCA (10.2) Efter eliminering av (obekanta) cAi följer för massafluxen Φ˝A (kg m-2 s-1)

(10.3)

1a. När kemiska reaktionen är mycket långsam, eller A·k « V·kr, närmar koncentrationen cA sig cAi, eller cA ≈ cAi, med resultatet (Figur 10.1b)

(10.4)

och massöverföringshastigheten bestäms enbart av kemiska reaktionen (Figur 10.1a).

1b. När kemiska reaktionen är mycket snabb, eller A·k » V·kr, blir resultatet

(10.5)

och cA ≈ 0 p.g.a. den höga reaktionshastigheten (Figur 10.1c).

rAirA VkAk

AkckAV"Φ

+=

AirA ckAV"Φ =

AirA ck"Φ =


61

Det ovanstående gäller vid antagandet att ingen reaktion tar plats i gränsskiktet, vilket är fel när reaktionen är tillräckligt snabb. Detta ger den andra situationen:

2. Reaktionen sker delvis eller helt i gränsskiktet. 2a. I fallet där reaktionen sker bara i gränsskiktet gäller massbalansen för diffusion med kemisk reaktion (med platsvariabel y)

(10.6)

med gränsvärden y = 0: cA = cAi och y = ∞. cA = 0. Lösningen för detta är

(10.7)

(se Figure 10.2) vilket för massafluxen genom gränsskiktet ger (Figur 10.1e)

(10.8)

ArAAA

A ckr med ,rdy

cdD −=0=+2

2

AiAry

AAA c.Dk

dydcD"Φ =−=

0=

Figur 10.1 Massöverföring med samtidig första-ordning kinetik i komponent A [4]. a, b och c: långsam kemi, och ingen reaktion i gränsskiktet: a: kemi mest långsam, b: kemi och massöverföring långsam, c: massöverföring mest långsam d, e: snabb kemi, som d: delvis eller e: helt sker i gränsskiktet

( )y

Dk

AiAA

r

ecyc.−

=


62

Resultatet betyder att massöverföringskoefficientens storlek är √(kr·DA). Dimensionslösa förhållandet √(kr·DA)/k, dvs mellan massöverföring med och utan kemiska reaktionen, kallas för Hatta-nummret, Ha:

(10.9)

Vid situationen där ingen reaktion sker i gränsskiktet är Ha « 1 (eller mera exakt, Ha < 0.3), medan en delvis reaktion i gränsskiktet betyder att Ha ~ 1.

2b. När reaktionen sker delvis i gränsskiktet och delvis i vätskans bulkvolym (där cA

måsta vara liten, eller cA ≈ 0) blir resultatet (Figur 10.1d)

(10.10)

Vid den här situationen är Ha » 1 (eller mera exakt Ha > 2 ~ 3). Om reaktionen har andra-ordningens kemi, t.ex. A+B → produkter med reaktant B i vätskan kan fallet behandlas med ovanstående metodik när cB är konstant genom bulkvätskan. I så fall kan kemin beaktas som pseudo-första-ording, med synbar reaktionshastighetskonstanten k’r = kr·cB. Vid Ha > 1 måsta cB i gränsskiktet vara nära cB i bulkvätskan, så att k·cB » cAi·√(krDA). LITTERATUR KAPITLEN 9 + 10 [3] J.A. Wesselingh, R. Krishna ”Mass transfer in multicomponent mixtures” VSSD,

Delft (2000) [4] J.M. Smith, E. Stammers, L.P.B.M Janssen ”Fysische transportverschijnselen I”,

D.U.M, Delft (1984)

2+= kDk.c"Φ ArAiA

Figur 10.2 Koncentrationsprofil vid en snabb första-ordnings reaktion [4]

kDk

Ha Ar=


63 LÖSNINGAR TILL NÅGRA AV KURSKOMPENDIETS (FJÄRDE UPPLAGAN) UPPGIFTER 1.1 h/d = 1.25 m / 1.6 m = 1.563

Från figuren V/d³ ≈ 0.40 V = 0.40 × (1.6 m)³ = 1.64 m³ (Exakt : V = π/12×d²h = 1.6755 m³.)

1.2 Kombinationer av d och h ger V (cm³). Se tabellen.

V (cm³)

tabelised d

(cm) 0.2 0.2 0.5 … … 100 200 500

h (cm) 0.5 … … … … … … … 1 … … … … … … … 2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 100 … … … … 262000 1050000 6540000 200 … … … … 524000 2090000 13100000 500 … … … … 1310000 5240000 32700000

1.3a. τ = f (L, g, mk) dimensionslös blir τ / s = f (L / m, g / m s-², mk / kg)

Med τ som naturlig tidsenhet s → τ, m → L, kg → mk τ / τ = f ( L / L, g / L τ-2 , mk / mk) eller 1 = f (1, gτ2/L, 1) slutsats gτ2/L = konstant eller τ = √ konstant × √ (L/g)

b. P / kg m2 s-3 = f (n / s-1, η / kg m-1 s-1, ρ / kg m-3, d1 / m, d2 / m, …..) med m → d1, s → n-1, kg → ρd1

3 blir P / ρd1

3 d12n3 = f (n / n , η / ρd1

3n d1-1 , ρ / ρ d1

3 d1-3, d1 / d1 , d2 / d1, .....), eller

P / ρd15 n3 = f (1 , η / ρd1

2n , 1 , 1, d2 / d1, .....) 1.4 I = modelförsök II = huvudutförande Modelvillköret fordrar att

nI = nII (d1,II / d1,I)² (ρII / ρI) (ηII / ηI) = 0.8 (1290 / ρI) (η / 0.06) s-1 Då det uppfylls gäller PI / PII = (ρI / ρII) (d1,I / d1,II)5 (nI / nII)³ = (1 / 3125) (ρI /1290) (nI /0.8)

Försökvätska I ρI (kg/m³) ηI (kg /m s) nI (s-1) PI / PII KommentarVatten 0ºC 1000 0.00179 0.77 2.2×10-4 PI for liten Vatten 100ºC 958 0.00028 0.13 10-6 PI for liten Konc. sockerlösning 1290 0.06 20 5 PI > PII Utsp. sockerlösning ~ 1050 0.010 4.1 0.035 OK !


641.5

1.6a. ja, om Y = f(X) är känd kan entydligt konstrueras t.ex. Y = (5 X) b. ja, t.ex. Y = f(X +2) i stället för Y = f(X) c. nej, X+Z = f(X,Y) i stället för Y = f(X,Y) förlorar informationen d. ja, går bra.

1.7a. Definitioner: ηρζ w.d.Re and

.½ 2==

wmdL

Pförld

&

Relevanslista: Pförl/L = f(w, d, η, ρ, k) , med väggskrovligheten k, och med Pförl/L är en (1) variabel (= P’)

Dimensionslös: P’ / ρd3dw3d-3 = f( w/m s-1, d/m, η/kg m-1s-1 , ρ/kg m-3 , k/m)

med m → d, s → w-1d, kg → ρd3 blir P’ = f(w/dw-1d-1, d/d, η/ρd3d-1wd-1 , ρ/ρd3d-3 , k/d) = f (1, 1, η/ρdw , 1 , k/d) = f (η/ρdw , k/d), eller П1 = f(П2, П3) eller Z = f(X,Y)

П2 (eller X) ersätts med Re-1, och

8..½

4.

.½

'.½4

..

4..½.

'222

1πζππ

πρd

wmdL

P

wwddL

P===Π

&

ersätts med П1.8/π = ζd.

2.1 Storhet Enhet N2 H2 NH3 Totalt Kommentarmi kg 3.00 0.40 1.50 4.90 Givna data Mi kg / kmol 28.0 2.0 17.0 12.45 ni kmol 0.107 0.198 0.088 0.394 xi - 0.272 0.504 0.224 1 ρi kg /m3 0.600 0.080 0.300 0.980 Ovanlig ci kmol /m3 0.021 0.040 0.018 0.079 ni/V pi kPa 66.45 123.1 54.66 244.2 Ideal gas

Fall Dimensionella variabler

Grundenheter Dimensionslösa variabler

Check

Kon 3 1 2 3 = 1 + 2 Pendel 4 3 1 4 = 3 + 1 Omrörare 9 3 6 9 = 3 + 6


65 2.2 ”1” = etanol, ”2” = vatten. Molbråk x1 = n1 / (n1+n2), med ni = mi / Mi

och mi = ρiVi. Med ni = ρiVi/ Mi blir x1 = ρ1V1/ M1 / (ρ1V1/ M1 + ρ2V2/ M2 )

= 1 / (1 + [(ρ2 V2 M1)/ (ρ1 V1 M2)]) = 1 / (1 + [(998/791).(4/96).(46/18)]) = 0.882 2.3 G-G ovanlig. G-L, G-S, S-L, L-L helt normal S-S långsam (genom diffusion) 3.1 Tryck är 1 bar = 100 kPa för gasen. Glöm pånga för vatten i gasen. pA = Hc,A.x A och xA = nA / (nA+nH2O)

nA = poVA / (RTo) för gasen och nH2O = mH2O/MH2O = VH2O.ρH2O /MH2O för vattnet

HcA = pA / xA = pA . (nA + nH2O) / nA = pA . (1 + nH2O/nA) = pA . (1 + [VH2O. ρH2O.R.To] / [MH2O.po.VA] ) med VH2O = 1000 m3; ρH2O = 1000 kg/m3; R = 8.314 kJ/kmol.K; To = 273.15 K ; MH2O = 18.02 kg/kmol; po = 100 kPa ger HcA = 1 bar . (1 + 1.26×106 m3 / VA)

3.3 ptot = xApAº + (1-xA)pBº dvs xA = (ptot - pBº) / (pAº - pBº)

medan yA = xApA/ptot (Raoult)

T K pAº kPa pBº kPa xA - yA - 350 100 43.93842 1 1 360 132.5393 58.23567 0.562077 0.744973 370 174.3158 76.59162 0.239535 0.417548 380 227.5912 100 0 0

345

350

355

360

365

370

375

380

385

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

xA, yA (-)

T (K

)

xAyA

data m3 gas dissolved result Henry coeff. (MPa)0°C 20°C 0°C 20°C

O2 48.9 31.1 O2 2577 4052N2 23.8 15.7 N2 5294 8026Ar 56 33.6 Ar 2250 3750


66 3.4 4.1 Från uppgift 3.2: pA = HcA.xA och yA = pA/ptot = (HcA/ptot).xA = β.xA med β = 2.53 vid ptot =101 kPa och β = 0.639 vid ptot = 400 kPa dvs pA = 255.53 kPa.xA NA = ky . (yA – yAs) = kx . (xAs – xA) där yA = 1 %, xA = 0.8 % samt yAs = βxAs om ky = kx fås yA – β.xAs = xAs – xA eller yA + xA = (1+β).xAs → xAs = (xA + yA ) / (1 + β) = 1.8 % / (1 + β) a) xAs = 0.510 % yAs = 1.29 % dvs desorption vid 101 kPa b) xAs = 1.098 % yAs = 0.702 % dvs absorption vid 400 kPa 4.2 y*A = β.xA → a) 2.024 % b) 0.511 % x*A = yA/β → a) 0.395 % b) 1.565 % 4.5 Ämnesmängdström ńA = KyA.∆yA,ln = KxA. ∆xA,ln = 0.320 mol/s yA0 = 1.8 % → x*A0 = 0.7115 % → ∆xA0 = 0.2044 % yA1 = 0.20 % → x*A1 = 0.07905 % → ∆xA1 = 0.02905 % ∆xA,ln = 0.08987 xA1 = 0.05 % → y*A1 = 0.1265 % → ∆yA1 = 0.0735 % xA0 = 0.5071 % → y*A0 = 1.2831 % → ∆yA0 = 0.5169 % ∆yA,ln = 0.22732 KyA = ńA / ∆yA,ln = 140.77 mol/s KxA = ńA / ∆xA,ln = 356.07 mol/s


675.1 Metanol = 46 kg/kmol för etanol ∆Hm,k = ∆hk.M = 841 kJ/kg . 46 kg/kmol = 38.67 MJ/kmol för vatten ∆Hm,k = 2257 kJ/kg . 18 kg/kmol = 40.67 MJ/kmol Alltså ungefär lika, McCabe-Thieles metod går för sig. vid 90°C är ∆Hm,k = 2283 kJ/kg . 18 kg/kmol = 41.15 MJ/kmol 5.5

Ämnet B = H2O oförandrade (från uppgift 5.4) ńD = 0.75 mol/s zD = xD = 0.90 R = 1 ńF = 2,0 mol/s xF = 0.40 ńL,F = ńR = R. ńD = 0.75 mol/s (lika!) ńG = ńL,F + ńD = (R+1).ńD = 1.50 mol/s (lika!) yA1 = xR = xD = 0.9.D (lika!) yA = 0.65 driftlinje (lika !) ńL,a = ńL,f + ńF = 2.75 mol/s (lika!)

Ändrat: ńF + ńÅ = ńW + ńD → ńW = 2.75 mol/s xF.ńF + ńÅ.0 = ńW.xW+ ńD.xD → xW = (2.00×0.40 - 0.75×0.9)/2.75 = 0.04545 Vad blir yA där xA = 0.10 ? yA × 1.50 mol/s + 2 × 0.40 mol/s = 2.75 mol/s + 0.75 × 0.9 mol/s → yA = 0.10 6.1 (tolkas här: luft = acetonfri luft) a) ämnesmängdström gas in ńG, in = ńluft, in + ńA, in = 70.00 mol/s + 1.80 % . ńG, in dvs ńG, in = 70 / (1 - 0.018) = 71.2831 mol/s och ńA, in = 1.2831 mol/s motsvarande ut: ńG, ut = ńluft, ut + ńA, ut = 70.00 mol/s + 0.2 % . ńG, ut dvs ńG, ut = 70 / (1 - 0.002) = 70.1403 mol/s och ńA, ut = 0.1403 mol/s överförd ńA = ńA,in – ńA,ut = 1.2831 – 0.1403 = 1.1428 mol/s b) med ingående gasström 71.8231 × (1.8 % - 0.2 %) = 1.1405 mol/s med utgående gasström 70.1403 × (1.8 % - 0.2 %) = 1.1222 mol/s överförd 70.00 × (1.8 % - 0.2 % ) = 1.1200 mol/s


68 exakt: ńG, in × yA,in – ńG,ut × yA,ut = ńA ńG, in × yA,in – (ńG,in – ńA)× yA,ut = ńA ger ńA = [ ńG,in × (yA,in - yA,ut)] / (1 – yA,ut) ≈ ńG,in × (yA,in - yA,ut) 7.2 kxA / mol m-2 s-1 = f ( d/m, wo/m s-1, η / kg m-1 s-1, ρ / kg m-3, DAB / m2 s-1, c / mol m-3) väljs m → d; kg → ρd3; mol → c.d3; s → d2.DAB

-1 erhålls kxA / cd3 d-2 d-2 DAB = f (1, wo / d d-2 DAB, η / ρd3 d-1 d-2 DAB, 1, 1, 1) = f (wod/ DAB , η / ρDAB) eller Π1 = f (Π2, Π3) ; ersätts Π2 med Π2/Π3 fås ekv. (7.9) 7.4 kxA = f (d, η, ρ, c, DAB, (∆ρ.g)) ty ∆ρ och g verkar endast via sin produkt ∆ρ.g. kxA = f (d /m, η / kg m-1 s-1, ρ / kg m-3, DAB / m2 s-1, c / mol m-3, ∆ρ.g / kg m-2 s-2) väljs m → d; kg → ρd3; mol → c.d3; s → d2.DAB

-1 erhålls kxA.d / c.DAB = f (1, η / ρDAB, 1,1,1, ∆ρ.g.d3 / ρDAB

2) eller Π1 = f (Π2, Π3) ; ersätts Π3 med Π3/Π2 fås resultatet, med ν = η/ρ. 8.1 vid t ≤ 0 : I = (mA + mB).w0 = 4 kg × 2 m/s = 8 kg.m/s Ek = ½ (mA + mB).w0

2 = ½ . 4 . 2 = 8 kg.m2/s2 = 8 J vid t = 0.3 s wA = w0 – F.t/mA = 2 – 5×0.3/1 = 0.5 m/s wB = w0 + F.t/mB = 2 + 5×0.3/3 = 2.5 m/s I = mAwA + mBwB = 1×0.5 + 3×2.5 = 8 kg.m/s Ek = ½ (mAwA

2 + mBwB2)= ½ ×( 1×0.52 + 3×2.52) = 9.5 kg.m2/s2

= 9.5 J. Ek ökar pga fjäderarbete. 8.6 w = 18 km/h = 5 m/s (i riktning ”x”)

m'last = 2.0 t/s m'tåg = ”massaström lastat tåg” impulsbalans: İin + ΣF = İut + dI/dt där dI/dt = 0 İin = m'tåg.w ty m'last från silo har ej x-hastighet İut = m'tåg.w + m'last.w ty fallande last har hastighet w ΣF = Fdrag,2 – Fdrag,1 dvs mek. dragkraft i tåget → Fdrag,2 – Fdrag,1 = m'last.w = 2000 kg/s . 5 m/s = 104 N = 10 kN → extra effekt = w. (Fdrag,2 – Fdrag,1) = 5 m/s . 10 kN = 50 kW

MASSÖVERFÖRING och...

Documents

Transcript of MASSÖVERFÖRING och...